阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯圆

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范文一:阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯(Apollonius)圆,简称阿氏圆。

在平面上给定相异两点A、B,设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ, 当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗尼斯圆的直径,且MN=[2λ/(λ^2-1)]AB。 证明

我们可以通过公式推导出AN的长度:AN:BN=AP:BP ,其中BN=AN+AB,所以AN:(AN+AB)=AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP),以NM为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。 由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理,即:

设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标,下同)、mb、mc,则有以下关系:

b^2+c^2=a^2/2+2ma^2;

c^2+a^2=b^2/2+2mb^2;

a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。

(此定理用余弦定理和勾股定理可以证明)。

相关知识

1.到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。

2.到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆。

3.到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线。

4.到两定点的距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线。

原文地址:http://fanwen.wenku1.com/article/11610687.html

范文二:阿波罗尼斯圆

“阿派 罗尼斯 圆 ”

妙件

仪征 教 师进修 学校

本文 介绍 “阿波 罗尼斯 圆 ”的定义 , 以及在 高考及 模 拟考试 中的应用 , 着重介绍 作为一 种解 题方 法对优

可是若从 轨迹的角度去求解 , 即在平时 的教学 中

注意渗透了 “阿波罗尼斯 ”圆的定义 ,则 该题 的解 决简 洁明了且运算简捷 求解过程如下

因为 月 刀一 定 长 , 可 以以

化 解题培养解题 习惯增强数学信心有很大的帮助

阿波罗尼斯 圆的定义 在平 面上给定 相异 的两点

。 、 , 。 卜 同一平 面上 , 。 。尸 “ 、 “一 ,' 设 ` 点在 、、、 一 ”, ' 一 且满足认 门 尸毋 ` 、 、, 、、 八且 。 久当 ” 一 又 ”` 一

月 刀所在的直线为 为

轴 ,其 中 垂线

轴 建 立 直 角 坐标 系 , 则

, , ,设 , ,由

又 并 时 尸点 轨迹 是一个 圆 , 这个 圆我 们称 为 阿波罗

尼斯 圆 这个结论称 为阿波罗尼斯轨迹定理

一 ,

司厄 现 可得 丫

一 、 “阿波罗尼斯团 ”典型应用

犷一 招了 一 , 即 在以

`一

犷 ,化

年江苏高考题第

,则 的最大值

题 若 刀

,

简得 一

, 为圆心 , 在为半径

'苏 ”

的 圆 垅 动又昆 一 双 二 一 妾

答案 涯

一产 '一 成 晒 咧 “'

高考考试说明上给出的说明 “命题者本意考查 三角形面积公式 、 余弦定理及函数思想 ”可谓立意新

颖 ,题 意简 明 , 但是运算 量 大处理有难 度 求 解 如下

评析 如上解题简 洁 ,省 去 了求解 变量取 值范 围 的过程 , 另又避 免了复杂 的构造运 算 ,求解运算简单 其实像这样来源于数学史 ,数 学定 义 的题 型还 不

一 ,则

。 乙 ■ 内陇 了 一

, 、一伶 很钻 一 四悦 酋

,一

、 一一尹 万 二一 、 任

甚枚举 如果在平 时 的教学 中我们 能够 较 多的渗透 , 对于进一 步 培 养 学 生 的数 学 学 习 兴 趣 , 有 极 大 的

帮助 二 、 “阿波 罗尼 斯团 ”在 , 、 历次 模拟 测

。■ 人仪〕

,一

飞 一一扩 了二一 ,、

、 仕工 尹

试 中的应 用

扬州市高三一模

已知圆

尸 少一 , 点

一 一

由 三边关系 有弓

故当 万时

得 了一

一 ,

, 直线

求与 圆

相切 , 且 与直

线 垂 直的直线方程

取最大值 涯

食 亚夏贾 卜

在直线 扒 上

、`” ',

为 坐标 原点 , 存 在 定点

是否存在不同于点

的定点

, 对于 圆

品 川足对 ` ,“ 于 目 一任 上一 ' 八 、 、 ` ' ,都 即有 曰尸 不 同 于 点“ 了”,满 圆 上 点尸 黔

任 意 一 点都 ,喘为 常 数若 ,存 在,求 所 以 满 足 条

件 的点 的坐标 若 不存在 , 说 明理 由 第一 问解 略 ,第二问解题如下

为一 常数 ,试求所有满足条件 的点

的坐标

评 析 该题 属 于解 析 几何 中直线 与 圆问题 的考

察 , 第二 问

其设 置原 型即来 源于 “阿波罗尼 斯 ”圆的定

设点

假设存 在点

门倒风 , 常 , 数 · 有 黔为

的坐标为

,

,刃 ,则 尸 犷一

上任意一点 ,都

义 如果熟悉 了定义 那么必 定增 强解 决该题 的信 心 ,

从 而从 容面对复杂的化简计算过程 具体求 解如下

, 对于

一 一 ,

设 所求直线方程为 一一

,即

则几 侣 一 一

,

一 , ,加 叭 砰 一

二双常数 恒成立

“ 犷,

丫 直 线 与 圆 相 切, 雀 得。 一、 拓 , 了 `头` 一 ,

' 所求直线方程为 一 土拓

。、 、。一 一 一 二 一, , 、 , 使得 一 尸 、, 常数 台 专为 、“ , 假设存在这样 '以认 '比 ,丫的点 “ 品 、“' “ 了' 氏 ,耳尸 巾淋

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,

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,

一 , 舍

恒成立 ,

澎 一,

气 、

解得

所 以存 在 满 足 条 件 的 点

, 它 的坐标

拼 一 脸

认 一产一

、, 【 为 一于 ,' 一 , 、

'

对 已有的知识进行新定义 , 已经成为高考 的一大

去,所 以 存 在 点。一 普,。 对 于 圆上 任 一 点”,

亮点 , 这就要求 教师学 生面对 陌生环境 , 能 迅速 提取 有用信息 , 善于挖掘 概念的 内涵 与本质 , 并 合理迁移 运用已学的知识加 以解决

都 有 碧为 常 数 普

评注 当然通过 “阿波罗尼斯圆 ”的定义就知道答

若能在平时多做 积 累相信 自身平 时有一 潭清澈

的活水 , 相信在用 时能有取之不竭的活水取 出

案的取舍很为方便 南京三模卷

在 直 角 , 系、 中 椭 ,圆 誓 十 答 一的 左 右 、焦

点分别为 、凡 , 点 为椭 圆的左顶点 , 椭 圆上的点 尸

在第一象限沪 土尸 石 笼 ,圆

的方程为 尹十夕

的位

求点 尸坐标 , 并判 断直 线 尸凡 与 圆

置关 系

, ,叫

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/AF3782DAC44B4EE4.html

范文三:来自圆系_阿波罗尼斯圆

——阿波罗尼斯圆来自圆系—

■朱爱明

苏教版必修中,阿波罗尼斯圆就已经进入到我们的视野中.题目离之比为

y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距已知点M(x,

1

,那么点M的坐标应满足什么关系?画出满足条件2

1

MA,即+y2

2

=

16414,×BD×|y|≤.又因为故|y|≤,则得S△ABD=9323

8

.3

S△ABC=2S△

ABD,故S△ABC的最大值为

的点M所形成的曲线.

简解:

由题意可知MO=

=

1

(x-3)2+y,化简整理得:(x+1)+y2=4.点M的轨

0)为圆心,2为半径的圆.迹是以(-1,

B的距离之比由此可进行一般推广:若动点M与两定点A,

MA

=λ(λ≠1),即则动点M的轨迹为圆,为一常数λ(λ≠1),MB此圆被称为阿波罗尼斯圆.

例1

(2013年江苏卷第17题改编)在平面直角坐标系xOy

3),中,点A(0,直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

y),x+(y-3)解析:设点M(x,由MA=2MO,知:图2

AB=AC,AD=kAC(k形式2:在△ABC中,点D在腰AC上,0<k<1),BD=2,为常数,求△ABC面积的最大值.

解析:建立如图3所示的坐标系,则易得顶点A所在的阿波罗尼斯圆方程为(x+=

2k2k2+12

)+y2=(2),可得(S△ABD)2

k-1k-1

max

max

2k1

S,故(S△

ABC)2.又因为S△ABC=k△ABD1-k

=

2

.1-k2

=

22

2+y,化简得:x+(y+1)=4,

2为半径的阿波罗尼即:点M的轨迹为以(0,-1)为圆心,

可记为圆D.又因为点M在圆C上,故圆C圆D的关系为斯圆,相交或相切.

故:1≤|

CD|≤3,其中|

CD|=

图3

22

B,形式3:在x轴正半轴上是否存在两个定点A,使得x+y

12

+(2a-3)

,.解得:0≤a≤5

例2

(2008年江苏卷第13题)满足

AC=的三角形ABC的条件AB=2,

.面积的最大值为

解析:以直线AB为x轴,边AB中点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角0),B(1,0),坐标系,由题设可设A(-1,

图1

y),BC可得,(x+设C(x,则由AC=22221)+y=2[(x-1)+y],整理得顶点C所在圆方程为(x-3)

2

=4上任意一点到A,B两点的距离之比为常数B的坐标;如果不存在,出点A、请说明理由.

1

?如果存在,求2

2

B,解析:假设在x轴正半轴上存在两个定点A,使得圆x+

B两点的距离之比为常数1/2,y2=4上任意一点到A,设P(x,y),A(x1,0),B(x2,0),不妨设0(x-x1)x-x2)<x1

x2.则有

+y+y+y2=8,,可知AB边上高的最大值为2故S△ABC的最大值其实阿波罗尼斯圆还会以其他形式出现在我们面前,比

=

122

,整理得阿波罗尼斯圆3(x+y)-2

为2如:

AB=AC,BD=形式1:在△ABC中,点D是腰AC的中点,2,求△ABC面积的最大值.

BD所在直线为x轴建立如图解析:以BD的中点O为原点,

2所示的平面直角坐标系,y),设A(x,则AB=2AD.易得点A在

22

一个阿波罗尼斯圆3x+3y-10x+3=0上,即(x-

2

2(4x1-x2)x+4x21-x2=0.由题意可知阿波罗尼斯圆和已知圆

x2+y2=4是同一个圆,故有

{

4x1-x2=0,

x1=1,

解得即

2

x=4.x2-4x=12,221

{

22

0),B(4,0),在x轴正半轴上存在两个定点A(1,使得x+y=

4上任意一点到A,B两点的距离之比为常数1/2.

阿波罗尼斯圆作为圆系中的一员在解题中确实有它的优越性,故我们要善于认识这一圆系模型.

[江苏省高邮市三垛中学(225624)]

5

3

2

+y2

·20·

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/9F3F21B10BC36C70.html

范文四:回归教材阿波罗尼斯圆

回归教材——阿波罗尼斯圆

原题:

A(3,0)距离的比为已知一曲线是与两个定点O(0,0)、

并画出曲线。

解:设点M(x,y)是曲线上任意一点,

1的点的轨迹,求此曲线的方程,21,整理即得到该曲线的方程为: 2

(x1)2y24。

一般地,平面内到两个定点距离之比为常数(1)的点的轨迹是圆,此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”。

这是一个很有趣的圆,下面我们先来解决它的“逆向”问题:

引申1:

在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B,使得圆x2y24上任意一点到A、B两点的距离之比为常数1?如果存在,求出点A、B坐标;如果不存在,请说明理由。 2

解:假设在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B,使得圆x2y24上任意一点到A、B两点的距离之比为常数

1,设P(x,y)、A(x1,0)、B(x2,0),其中x2x10。

21对满足x2y24的任何实数对(x,y)恒成立, 2

222整理得:2x(4x1x2)x24x123(x2y2),将xy4代入得:

22x(4x1x2)x24x1212,这个式子对任意x[2,2]恒成立,所以一定有:

4x1x20,因为x2x10,所以解得:x11、x24。 22x24x112

所以,在x轴正半轴上是否存在两个定点A(1,0)、B(4,0),使得圆xy4上任意一点到A、B两点的距离之比为常数221。 2

引申2:

再来介绍一个看似与阿波罗尼斯圆“风马牛不相及”的问题:

如图,铁路线上线段AB100km,工厂C到铁路的距离CA20km。现要在A、B之间某一点D处,向C修一条公路。已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3:5,为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少,点D应选在何处?

此问题可以用阿波罗尼斯圆迅速得到解答,你相信吗?

解:建立如图所示直角坐标系,

先求到定点A、C的距离之比为

动点P(x,y)的轨迹方程,

即:

3的53,整理即得动点5

P(x,y)的轨迹方程: BX

4x24y290y9000,

令y0,得x15(舍去正值)即得点D(15,0),DA15,DC25。下面证明此点D即为所求点:

自点B作CD延长线的垂线,垂足为E,在线段BA上任取点D1,连接CD1,再作D1E1BE于E1。

设每吨货物运输1km的铁路费用为3k(k0),则每吨货物运输1km的公路费用为5k,如果选址在D1处,那么总运输费用为y3kBD15kDC(3BD15DC11)k,

而BE1D1∽BED∽CAD,∴BD1CD255,∴3BD15E1D1, E1D1AD153

那么总费用y(3BD15DC1)k(E1D1DC1)5k(CDDE)5k5kCE, 当且仅当点C、D1、E1共线时取等号。总上所述,点D即为所求点。

作者:马力仲

单位:广东仲元中学

通讯地址:广东省广州市番禺区广东仲元中学

邮政编码:511400

电话:13312806463

电子信箱:panyuweijie@21cn.com

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范文五:阿波罗尼斯圆教学案

课题:阿波罗尼斯圆

苏州市三中唐庆明

一.课本题再现:

1.(苏教版必修二P100,10)已知两个定点A(2,0),B(4,0),若动点P满足

点P的轨迹是 PA1,则PB2

x2y2

1的左焦点和右焦点的距离之比为2.(苏教版选修21P34,7)已知点M与椭圆169144

2:3,则点M的轨迹方程.

P点的轨迹是.

二.阿波罗尼斯圆内容:

P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆. ,当0,且1时,,当0,且1时,

M、

N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗尼斯圆的直径.

三.例题呈现:

1.(08年江苏)若AB2,AC

22.已知点A(2,0),B(4,0),圆C:x4y16,P是圆C上任意一点,问:是否存在22BC,则SABC的最大值.

常数,使得

PA?若存在,求出常数;若不存在,请说明理由. PB

23.已知A(2,0),圆C:x4y16,P是圆C上任意一点,问:是否存在定点B,使得2

PA1?若存在,求出点B;若不存在,请说明理由. PB2

24.已知P是圆C:x4y16任意一点,问:在x

21?2

若存在,求出点A、B;若不存在,请说明理由.

5.(13年江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A0,3,直线l:y2x4.设圆的半径为1,圆心在l上.

(1) 若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(2) 若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

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范文六:从阿波罗尼斯圆出发

从 阿 波罗 尼 斯 圆 出

渠 慎 情

+ 1 ) 0 +v   —4 .   不谈 因果, 但 信 凡 事 事 出有 因. 高 考 试  (

题 可谓 道 道 经 典 , 每 道 经 典 确 也 题 出 有 因.

由上 面 的 问题 可 简 单 总 结 一下 : 平面 内

高 中数 学 中直 线 与 圆 的 问 题 又 为 高 考 之 经  到两个 定 点 的距离 之 比为常 数 是 ( 忌 ≠1 ) 的点

典. 此处 从 阿波 罗 尼 斯 圆 出发 , 探经索典 , 努  的 轨 迹 是 圆 .   力 去发 现点 什 么.

、 、

— ~ — —

泠 追本溯源, 寻求根基

平 面 内到 两个定 点 的距 离之 比 为常 数 忌

( 忌 ≠1 ) 的点 的轨 迹 是 圆 , 这 个 圆 就 是 阿 波 罗

可 自证 ) .   教 材 新知 : ( 苏教 2 0 1 2第 4版 第 1 0 7页 )   尼斯 圆( 原来 , 这 个 结 论 很 经 典. 你知, 或 是 不  以 。 为定 点 , r为 定 长 画 出 一 个 圆 , 如 何 建 立  知, 它就在 那 里.   它的 方程 ?

这 个 问题 及 问 题 的解 决 可 谓 无 人 不 知

( 2 0 1 3年 江 苏 卷 第 1 7

. y

如 图 1, 在 平 面 直 角 坐  无人 不 晓 , 它 是 苏 教 版 教 材 中 求 圆 的 方 程 时  题 ) Oy 中 , 点 A( 0, 3 ) ,   给 出 的一 个 问 题 . 建系 、 设点 、 代数 、 化简 , 即   标系x

: y一 2 x一 4, 设 圆 C   可 得到 圆 的方 程 z   +y 。 = = = r   . 即通 过 建 立 平  直 线 Z

/   一

0   7

7   l

图 1

面 直角 坐 标 系 , 设 出所求点 , 根 据 具 体 限 制  的 半 径 为 1 , 圆心在 Z 上.

条 件代 人数 字 ( 或字母) , 列 出方 程 化 简 式 子

就 可得 到我 们 所要 的结 果 .   教 材 问题 : ( 苏教 2 0 1 2第 4版 第 1 l 2页

习题 1 2 )已 知 点 M ( z, Y) 与 两 个 定 点 O( 0,

( 1 ) 若 圆 心 C 也 在 直

线  — z一 1上 , 过 点 A 作

圆 C 的切 线 , 求切 线的 方程 ;   ( 2 )若 圆 C 上 存 在 点 M , 使 MA一 2 M0,

0 ) , A( 3 , 0 ) 的距 离之 比 为÷ , 那 么 点 M 的 坐  求 圆心 C 的 横 坐标 口 的 取 值 范 围. 题 中求 圆及 切 线 的 方程 亦 可 谓 “ 家 喻 户

标 应 满 足 什 么 关 系?

晓” , 单说 问 题 ( 2 ) . 看看这句话 “ 存 在点 M,   一   1

由 题,

使 MA 一 2 MO” , 是 多 么 的眼熟 , 确 实 很 像

+   一 4.

丢 , 化 简 得 ( z + 1 ) 。

1   1若 不

是 点 A 的坐 标 由教 材 中 的

( 3 , 0 ) 变为( 0 , 3 ) , 那就 不 能用 “ 像” 来 表 述 这  里 的惊人 相似 了 !显 然 , 点 M 所要 满 足 的关  系式 就 是 z   +(  +1 )  一 4 ( 不 妨 叫 它 为 圆

Ne w  U n i v e r s i t y   E n t r a n c e   E x a mi n a t i o n   2 5

即点 M 的 坐 标 应 满 足 的 关 系 式 为

D) .

斯圆, 又回归高考. 看来 , 你要看 重课本 , 还

对“ 若 圆 C上存 在 点 M , 使 MA一2 M0”   要关 注经 典. 这很重 要 !

的理解 还要 到位 : 点 M 既在 圆 C上 又在 圆 D  凡事事 出有 因 , 有 着 事 情 发 展 的 来 龙 去  上 —— 换句话 , 圆 C与圆 D 有交 点 M . 于是 ,   脉, 也 有着 些许 变与 不变 .

切便 可步人 迎 刃而解 的节 奏 了 !   看来 , 确 实 题 出有 因. 一 个 简 单 的课 本

万变 归 宗 。 变 是 永恒

曲线方 程 可 算 是 个 不 变 的话 题. 直线 ,

圆, 以及 圆锥 曲线 , 都 会 有 求 方程 的 问题 . 前

题, 就这 样 近 似 于 原 题 地 在 高 考 试 卷 中 出  现. 其实 , 高考 中 阿波罗尼 斯 圆早 已 出现.

( 2 0 0 5年 江 苏 卷 第 1 9题 ) 如图 2 , 圆 0

与 圆 02 的半 径都 是 1 , o   0 2 —4 , 过动 点 P 分  面 那个 高 考 试 题 也 涉 及 了 圆 的 方 程 与 切 线

剐作 圆 0   , 圆0   的切 线 P M, P N( M, N 分  ( 直线) 的 方 程.圆锥 曲 线 也 一 样 , 特 别 是

别 为切 点) , 使得 P M =√ 2 PN, 试 建 立适 当的  椭 圆. 坐标 系 , 并 求 动 点 P 的轨 迹 方 程 .

( 2 0 1 4年 江 苏卷 第 1 7题 ) 如图 3 , 在 平 面

直 角坐标 系 x O y中 , F   , P z分 别 是 椭 圆   +

一1 ( 口> 6 >o ) 的 左、 右 焦点 , 顶 点 B 的 坐

标为( 0 , 6 ) , 连 结 BF 。 并 延 长 交椭 圆于 点 A,

图 2

过 点 A 作 z 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 另 一 点 C, 连

结 F1   C.

除 了上 面 “ 光明正大” 地 考 查 阿 波 罗 尼

斯 圆外 , 有 时高考考查也会 “ 又像 笼 着 轻 纱  的梦 ” . 请看 :

( 1 ) 若 点 C 的 坐 标 为 ( ÷ , ÷ ) , 且 B F

√ 2 , 求椭 圆的方程

( 2 )若 F   C 上 AB, 求 椭 圆 离 心 率

的值.

( 2 0 0 8年 江 苏 卷 第 1 3 题) 若 AB一 2 , AC

√ 2 B C, 则S △ A 月 c 的最大值 为

显然 , 这 是 一 道 解 三 角 形 的 问题 . 你 可

以这样做 : 设B C =z , 结合 s △ A B c 一÷a 6 s i n   C

的形式 得 到 关 于 z 的 函 数 式 , 或配方, 或 求

导, 历 经千 辛 万 苦 , 也 许 能 得 到 结 果. 但, 很

繁琐 !难 道 不 可 以 考 虑 一 下 阿 波 罗 尼 斯

圆吗 ?

\   一

我不愿 惊 醒这 “ 笼 着轻 纱 的梦 ” ; 若你 想  轻轻地 惊 扰她 , 定会 发现 属于你 的那 份美 !   也 许任 何 一 个 梦 都 会 有 着 自己 的 一 个

图3

求 曲线 方程 的题 目随处 可 见 , 求 圆锥 曲

此 处 不 再 追 寻  故事 , 那每个故事背后 也许都藏着 什么. 了  线 离 心 率 的 题 目也 俯 拾 皆 是 . 解她 , 懂她 , 这很 重要 .

题 目源 头 何 在 , 而 是 要 寻 求 题 目 中永 恒 的

从 教 材新 知 到课 后 习题 , 源 来 阿 波 罗 尼  东 西 .

2 ‘   N e w  U n i v e r s i t y   E n t r a n c e   E x a mi n a t i o n

求 方程 。 字 母论 英雄 .

简 言之 , 求 曲 线 的 方 程 就是 求 各 自相 应  的 字母 大 小 . 变 的是 限 制 条 件 , 不 变 的是 去

联 立 ① ② , 解 得 A 点 坐 标 为 (   车 ≥ ,

) , 则 c 点 坐 标 为 (   车 ≥ , 孺 b 3 ) .

6 3

求方 程 ; 变 的 是 具 体 曲线 方 程 , 不 变 的是 这

些 待求 的字 母.   直 线有 多种 方 程 形式 , 若 求 其 方 程 就 去  找 到各 自的字母 : 点 斜式 求  , b , 斜截 式求 a ,

b , 一般 式 求 A, B, C; 圆有 常 见 两 种 形 式 : 标  准 方程 求 a和 b, 一 般 方 程 求 D, E, F; 椭 圆

所 以

一  a   2 -  ̄ _ c 2 一

又忌 A B :一_ 垒 -

要 求 a和 6 ; 双 曲线 还 是 a和 b; 抛 物 线 只求

由F   c 上A B 得  d

毒 一 C   1 _   c ・ ( \   一   C   / 1 一 一   ,

个 P.

即 6   一3 口 。 c   +f 4 ,   所 j ( n 2 一c   )  — 3 a   c  + c 4 . 化简得 P —

题 中易知 a:   , 若 求 b就 只需 一 个 方

程— — 由点 C 的 坐 标 所 满 足 的 条 件 去 构

造 —— 求 6 , 得 方程 .

( 1 )解 :

√ 5   一了 ‘

事 情很 简 单— —若 求 离 心 率 , 就 去 找 关  系. 只是 难算 了些.

在你 花一 样 的年华里 , 见 到 花 样 繁 多  的试 题 与 花 团 锦 簇 的条 件

, 再 经 历 上 一

由题 意 , F   ( C , 0 ) , B( 0 , b ) , l   BF 2   l 一

一a 一

又 因 c (

有   +

段艰 难 险 阻 百 转 干 回 的 过 程 , 最 终求 出   那 个 唯 一 存 在 着 的  , 是 多 么 快 乐 的 一 件

事啊!

1 , 解得 6 —1 , 所以椭 圆方程为等 +   一1 .

离心 率 。 万变 不 变是 关 系.

这 里再 给 出 一道 题 , 试 试 你 能否 感 受 到

要 求 得离 心 率 , 只需 想 尽 一 切 办 法 找 到  那样 的快乐 . 因为 此 题 , 我 曾历 经 艰 辛 . 有 人  个关 于 n , b , C 与 P中任 意 两个 字 母 之 间 的  说 , 应 一 眼 看 穿. 拿出它, 与君 共 享. 题 目

关 系式 —— 或 由方 程 直 接求 得 , 或 数 形 结 合  如 下 :   构造 图形 再 找 关 系 , 或 结 合 条 件 尽 其 所  已 知 双 曲 线 的 顶 点 到 渐 近 线 的 距 离 为  能—— 这 就 是 条 件 变 化 后 永 恒 的 东 西——  2 , 焦点 到 渐近 线 的 距 离为 6 , 则 该 双 曲 线 的  两 个字 母 的关 系 . 一 句话 : 花样繁多离心率,   离 心 率 为  .

万 变 其 宗 a与 C .

变 的是 条 件 , 不变 的是求解 ; 变 的 是 结  论, 不 变 的是 方 法 ; 变 的是 求 方 程 , 求最值 、

回 看 上 题 :谁 在 变 —— 条 件 .怎 么  办 —— 找 关 系. 如 何 找—— 看 条件 .

结合 F   Cj _ AB, 知 直 线 斜 率 互 为 负 倒  数, 构造 关 于字 母 的方 程. 解如下 :

离心 率 , 找定点 , 算定 值 , 判位置关 系 , 看 存  在 与否 , 不变 的 是 , 你 要 正 确 地 求 出来 , 认 真

地写 出 来 ; 变 的是试卷 上的那道题 , 不 变 的

因为直线 B F   方程 为  +≠ =1   ①,   是 曲线必 考.

唯变 永 恒 , 我 也 信 .以 不 变 应 万 变 ,

椭 圆 方 程 为  +  一 1 ② ,

才行 .

N e w  U n i v e r s i t y   E n t r a n c e ‘ E x a mi n a t i o n  2 ,

I 耔高看 数 学

本 质 何 在?—— 曲 线 系 : 有共 同的点 ,

☆ 探求本质, 化繁为简

就 应有 共 同 的方程体 现.   难 算本 就 是高 中 曲线 的基 本 特 点 . 但 大

曾经 听 过 一 个 关 于 一 道 题 目的 故 事 , 很   多 数 高考试 题 , 并 没有 给 大 家 关 死通 往 成 功

有 意思 , 拿 出来 与 大 家 分享 下 —— 当你 发 现  的 大 门 . 往 往会有一个很难走 的 门, 还 有 一

问题 的 本 质 时 , 才真正发现 , 原 来 一 切 如 此

个  径 通 幽豁 然 开 朗美 景 尽 收 的 门. 但 它 总

简单 . 题 目如 下 :

是 为少数 人 所 开. 你 会 到这 里 来 吗 ?打 开 这

在 平面 直 角坐标 系 x O y中 , 设 二 次 函 数  扇 门 的秘诀 就是 : 拿你 的青 春去 换钥匙 .

, (  ) = = = l z   +2 x+b ( z∈R) 的 图 象 与 两 坐 标  轴 有三 个交 点 , 若 经 过 这 三 个 交点 的 圆记 为

C, 求 圆 C的 方程.

很 喜欢 这样 的几 道题 :

函数 , ( z ) 一√ 5 s i n   一3   C O S 。 z +√ 2 的 最

小 正 周 期 为

我们 会这样 做 :   由题 易知 b 满 足条 件 6 <l , 6 ≠0 .   令 - 厂 ( z ) 一0 , 解 方程 。 +2 x@b =0 , 得z

一 一

函数 厂 (  ) 一 ( e   +a e 一) , z∈R 是 偶 函

数 , 则 实数 a的 值 为

我 能秒杀 它 们 , 你 能 吗 ?秒 杀 的能 力 来

1 ± ̄ / 1 一b , 则 二 次 函数 - 厂 ( z) 一z   +2 x   自于你 已经 看 清 问 题 的 本 质 的 那 一 刻. 否

我还 依稀 记得 2 0 1 0年 高考 的那 道第 1 8

+b ( x ∈R) 的图象 与两 坐 标轴 有 三个 交 点 坐  则 , 你就 慢慢 算吧 !

标分 别为 ( 一l +  r 二  , 0 ) , ( 一1 一 √r 二  ,

+F一0 , 则 有

其他 暂 且 不 提 , 只看 一 个 方 程 组 的 解 答  0 ) , ( 0 , 6 ) . 设 圆 的方 程 为 z   +Y   +D x+ Ey   题.

( 其中l z   ≠ 一3 ) :

f ( ~1 一 ̄ /

) 。 +D( 一1 一 ̄ /

) +F =0

{ ( 一1 +   4 T 1  ̄5 ) 。 +D ( 一1 +   4 T 1 = b ) +F :0 ,

解 方 程 组

1  一  ( . z   + 3 ) ,

( 你 会 怎

l   6 。 + E 6 + F — o

f D一 2

l 等 + 等 一 1 ,

么解 ? )

解 之 得  E一 一 1 —6 .

1 F=b

所 以 圆 的方 程 为  +  。 +2 x 一( 1 +6 )

+ 6— 0.

一冬・

因为  ≠ 一 3 , 所 以丁 3 E 1 " - 3一 一

你 能 在三分 钟 内解决 此题 吗 ?   不妨 可 以这样 思 考 , 因 为 圆过 二 次 函数

字 , 则 X l 一

, 从 而   一   .

难 吗 ?明 白方 程 组 的 本 质 吗 ?其 实 , 题  厂 ( z ) 一   +2 x+b (  ∈R) 的 图象 与  轴 的  目已经 告诉 我 们 方 程 组 已有 一 解 是 一 3 . 去  交点 , 故可 设 圆 的 方 程 为

。 +Y   +2 x+ E y   查 阅一 下 这 道 题 吧 , 细细品味 , 定 别 有 一 番  +6 —0 . 又 因 为点 ( 0 , 6 ) 在 圆上 , 所 以代 入 上  滋 味在 心头 .

式得 b   +Eb +6 —0 .

难 与 不 难 是 相 对 的. 弄 清 问 题 的 真 本

亲, 忘 了告诉 你 : 从简 , 本就是一 种美德.

因为 6 ≠0 , 则 E一 一 1 一b , 所 以 圆 的 方  质 , 轻 松上 阵 , 高考 面前 , 青春不 再 被浪 费 !   程为 z   +Y   +2 z ~( 1 +6 ) 3 , +6 —0 .

2 B   Ne w  U n i v e r s i t y   E n t r a n c e   E x a mi n a t i o n

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范文七:“阿波罗尼斯圆”高考现身

2 0 1 2年 第 2期

数 学 基 础 精 讲

《 数理天地 》 高 中版

‘ ●   阿波罗尼斯 圆"高 考 现 身

袁玉芹 ( 江苏省泰州市海陵区沈毅中学 2 2 5 3 O 0 )

阿波 罗 尼 斯 ( 希 腊, A p o l l o n i u s   o f  P e r g a ,

设 A( z, 1  ) , 由 AB 一 2 AD , 得

2 6 o ——1 9 o B . c ) 是 亚历 山大时期 的著 名 数学 家 ,

“ 阿波罗 尼斯 圆”是他 的 主要研 究成 果之 一 :

平 面 上 一 点 P 到 两 个 定 点 A、 B的 距 离之 比

( 卅   )   w= = 4 [ ( z 一 , /   g )   w

化 简 , 得( z 一 半)   +  一 - 4 3 ,   即 A 点 的 轨 迹 为 以 点 (  , o ) 为 圆 心 , √ ÷ 为

半 径 的 圆 , 因 为 圆 心 (  , 0 ) 在 直 线 肋上 , 圆

上 点 A 到 BD 的最大 距离 即为圆 的半径  n   ,

√3

满 足 嚣一   (   > 。 且   ≠ 1 ) , 则 P 点 的 轨 迹 是 圆 .

例 1   求满足条件 : A B

2 , A C 一√ 2 B C 的 △A BC

面 积 的 最 大值 .

( 2 0 0 8年 江 苏卷 )

A/   1 D

解  以 A B 所 在 直 线 为  z轴 , 线 段 AB 的中点 为坐 标

因 为

所 以

图 1

所以 S △ A B 。的最 大值 为

原点 , 建 立如 图 1 所 示 的平 面直 角坐标 系 ,

AB 一 2 ,

A( 一1 , 0 ) , B( 1 , O ) ,

丢 肋・   一  ×  × 去

故  △AB C 面积 的最大 值为 2 .   例 3   在 AAB C 中, AB 一 2 AC, A D 是

( 1 )求 k的 取 值 范 围 ;

( 2 )若 AABC 的 面 积 为 1 , 问 k为 何 值 时  BC 最 短 ?

( 2 0 1 1年 同济 大 学等 九 所 高校 自主 招 生试 题 )

设 C ( x,  ) , 由A C一, / g B C, 得

化简 , 得

二 可

(   ≠o ) ,

A 的平分 线 , 且 AD 一 是・AC.

(  一 3 )  + Y 。一 8 ,

所 以

Y  ≤ 8 , Y≤ 2 √ 2 .

又点 c的轨迹是 以( 3 , o ) 为圆心 , 2   为半径 的圆 ,

因为 圆心 ( 3 , 0 )在 直 线 A B上, 圆 上 的 点 C 到

解  ( 1 )以 B C 所在 直 线 为 z轴 , B C 的 中  点 0 为 坐标原 点 , 建 立 如 图 3所示 的直 角 坐标  系, 不妨设 点 B( -3 a , O ) , C ( 3 a , O ) , A( z,  ) , 其  中 a> 0 , 则 由条 件 , 得

B D

AB 的最 大距 离 即

为半 径 2 √ 2 ,

所 以 AA BC 的面积 的最大 值是

1   一   一

÷ ×2× 2   4 2— 2 √ 2 .

例 2   已知 等腰 三 角形 腰

上 的 中线 长 为√ 3 , 求 该 三 角 形

面积 的最 大值.

( 2 0 1 1届 高 三 南 通 市模 拟 题 )

干 ,

^ \ 、一

化简 , 得

( z一 5 a ) 。 + Y 。一 1 6 a  ,

图3

解  如 图 2 , △A B C中, AB

其 中

图 2

Y≠ 0 ,

( z一 5 a ) 。 < 1 6 a   ,

4 口< z一 5 a< 4 a, n< 3 2< 9 a.

于 是

AC, AD — DC, BD 一 √3,

以B D 的中点 0 为原 点 , B D 所 在 直线 为 z轴 ,   建立 如 图 2所 示平 面直 角坐 标 系 ,

因为

所 以

由角平 分线 定 理及  由 AD — k・ AC, 得

一2 , 得

D(  , 0 ) ,

B D =, / g .

B ( 一 , /   g , 0 ) 、 D ( 雩 , 0 ) .

尼 一

一^ 、 / /     ( x 二 而 - 丽 a ) a  ̄y a  ( T l b   4  ̄ )

・  ・

《 数理天地》 高 中版

数 学 基 础 精 讲

2 0 1 2 年第 2 期

S i n 2 0 。 + ( 2+  ) C O s 2 0 。   ( 2+  ) c o s 2 0 。 + s i n 2 0 。   ×

是   ( 2+  )一 2~  ,

是> 0,

2+√3

一   —

2 一厄

解得

忌一 2 一

解法 6   由解法 5 , 知

1 0 。 + s i n 2 0 。

— ~

由( 1 )和 ( 2 ) , 得 志一 2 一

c o s l O  ̄ + — c o s 2 0  ̄   而

: : —

( 2 ~, / 5 ) s i n 2 0 。 +c o s 2 0 。

由解 法 3 , 知

s i n1 0 。上 s i n2 0 。

— — — — — — — — —

co s

l — — — O 。    ̄ — — — — q — — - — — — — c — o — —   s ’ ’ 2 — — — 0 — —  ̄ —   ~

( 2~  ) s i n 1 0 。 + c o s 1 0 。   ( 2十  ) c o s 1 0 。 + s i n i 0 。

( 2- -4  ̄) s i n 2 0  ̄ + c o s 2 0  ̄   2- 4 5

— —

( 2+√ 3 ) c o s 2 0 。 +s i n 2 0 。、 2~、 /

( 2一  ) s i n 2 0 。 + c o s 2 0 。

一 是= 2一√3 .

s i n 2 0  ̄ + 解法 8  i  ̄ .( 2 -4 5)

c o s 2 0  ̄

( 2 一   )

( 2 +√  c o s 2 0 。 +( 2 一  ) s i n 2 o 。   ×   I

忌,

( 2+ √3 ) c o s 2 0 。 + s i n 2 0 。

c o s 2 O  + ( 2一 √ 3 ) s i n 2 O 。

( 2- -  u / - 3 )   s i n   2 0  ̄ +  c o   s 2 0  ̄ × ( 2一

( 2 一√   ) s i n 2 0 。 +c o s 2 O 。

一 k s i n 2 0 。 + 是 ( 2+  ) c O S 2 0 。 ,

2~

思路 4   设元 , 方程思 想 , 曲 径 通 幽

NP . I ( 1 ) 』 ‘ 2 一 √ 。 ) s i n 2 0 。 一k s i n 2 o 。 ,

c o s 2 0 。=  ( 2+  ) c o s 2 O 。 ,

解法 7   设  2

}—

二二 二_ _

o ±

一忌

k一 2一  .

( 2+ , / 3 ) c o s ] 0  + - s i n 1 0 。

( 2 —4 5) s i n l O 。 +c o s 1 0 。

= = = k s i n l O 。 +k ( 2+U g ) c o s l O 。 .

或( 2 ) 』 ( 2 ~ √ 3 ) s i n 2 0 。 一k ( 2 +  ) C O S 2 0 。 ,①

t   c o s 2 0。一 k s i n 2 0 。

② 代入 ① , 得

( 2 一  ) s i n 2 0 o c o s 2 O 。

NP I ( 1 ) f ‘ 2 — 5) 4 s i n   o 。 一志 s i n 1 o 。 ,

c o s l O 。 一k ( 2 +√   ) c o s l o 。 ,

即   2一√ 3一 愚 ,

1一 愚 ( 2十  ) ,

一 是。 ( 2十  ) C O s 2 0 。 s i n2 0 。 .

忌   ( 2 +  )一 2 ~  ,

矗 > 0。

解 得

忌一 2一√

解 得

志一 2一√   .

由( 1 )和( 2 ) , 得 志一 2 一  由解法 5 , 知

s i nl O  ̄ + —

— —

或 ( 2 ) f  ~ √ 3 ) s i n 1 o 。 一k ( 2 +  ) c 。 s 1 0 。 , ①

c o s l 0 。 一k s i n l O 。 .   ②

s i n 2 0  ̄

② 代人 ① , 得

( 2 一√   ) s i n 1 0  ̄ c o s 1 0 。

c o s l O  ̄ + — c o s 2 0  ̄ 一   砖

( 2 一 ̄ /   ) s i n 2 0 。 +c o s 2 0 。

: = = 愚   ( 2 +√ i ) c o s 1 0  ̄ s i n 1 0 。 。

( 上4 i -5 页 )

k = 2一

因为

( z— n ) 。+ 1 6 a 。 ~ (  二

l   y   l ≤ 4 口 ,

a≥  1

脚   ≥

(  一 3 a )  + 1 6 a 。一 (  一 5 a

所 以

√   一2 - a 2 . 2 7

由 n < - z < 9 。 , 得志 ∈ ( o , 詈 ) .

( 2 )由 s一   ×6 口l   I 一1 , 得

此 时

B C 的最小 值为  ,

y一 4 a , z一 5 n。

从 而

k一

从 以上几 例可 以看 出 , 在 一个 三角形 中 , 当

含有 A B 一, U t C 这类 条件 时 , 一 般都 可 借 助 阿

波 罗尼 斯 圆( 用解析法) 来 求解.

。一 j - 『   ’

4 ・

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范文八:阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用

数学理论

1.“阿波罗尼斯圆”:在平面上给定两点A,B,设P点在同一平面上且满足PA,当PB0且1时,P点的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆。

(1时P点的轨迹是线段AB的中垂线)

2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质

定理:A,B为两已知点,P,Q分别为线段AB的定比为(1)的内外分点,则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比为.

证 (以1为例) 设ABa,APAQ,则 PBQB

APaaaa,PB,AQ,BQ. 1111

由相交弦定理及勾股定理知

a22a2222BCPBBQ2,ACABBC2, 112

于是BCa21,ACACa. ,21BC

而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于的曲线(圆)上,不共线的三点所确定的圆是唯一的,因此,圆O上任意一点到A,B两点的距离之比恒为.

性质1.当1时,点B在圆O内,点A在圆O外;

当01时,点A在圆O内,点B在圆O外。

性质2.因ACAPAQ,过AC是圆O的一条切线。

若已知圆O及圆O外一点A,可以作出与之对应的点B,反之亦然。 2

2aa性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ2,面积为2. 1

性质4.过点A作圆O的切线AC(C为切点),则CP,CQ分别为ACB的内、外角平分线。 性质5.过点B作圆O不与CD重合的弦EF,则AB平分EAF. 2

数学应用

1.(03北京春季)设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值a(a0),求点P的轨迹.

2.(05江苏)圆O1和圆O2的半径都是1,O1O24,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得PM2PN,试建立适当坐标系,求动点P的轨迹方程.

3.(06四川)已知两定点A(2,0),B(1,0).如果动点P满足2PB,则点P的轨迹所围成的图形的面积是________________.

4.(08江苏)满足条件AB2,AC2BC的ABC面积的最大值是___________.

5.在等腰ABC中,ABAC,BD是腰AC上的中线,且BD3,则ABC面积的最大值是___________.

6.已知A(2,0),P是圆C:(x4)2y216上任意一点,问在平面上是否存在一点B,使得

变式:已知圆C:(x4)2y216,问在x轴上是否存在点A和点B,使得对于圆C上任意一点P,都有

7.在ABC中,AB2AC,AD是A的平分线,且ADkAC.

(1)求k的取值范围;

(2)若ABC的面积为1,求k为何值时,BC最短.

PA1?若存在,求出点B坐标;若不存在,说明理由. PB2PA1?若存在,求出A,B坐标;若不存在,说明理由. PB2

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范文九:“阿波罗尼斯圆”妙用

‘ ‘ 阿 液 罗 尼 斯 圃 ’ ’够再

仪征 教 师进修 学校 朱 波 2 1 1 4 0 0

本文介绍“ 阿波 罗 尼 斯 网” 的定 义 , 以及 在 高 考 及  模 拟 考 试 中的 应用 , 着 重 介 绍 作 为 一 种 解 题 方 法 对 优

可 是 若 从 轨 迹 的角 度 去 求 解 , 即在 平 时 的 教 学 中  注意 渗 透 了“ 阿 波 罗 尼斯 ” 圆的 定 义 , 则 该 题 的 解 决 简

化解题培养解题习惯增强数学信 心有很大 的帮助.

阿 波 罗 尼 斯 圆 的定 义 : 在 平 面 上 给 定 相 异 的 两 点

D ^

洁明了且运算简捷. 求解 过程 如下 :

因为 A B= 2 ( 定长) , 可 以 以

A、 B, 设 P点在同一平面上且 满足  i  t f— 当 > O且  ≠1时 P点轨迹 是一 个 阋, 这个 圆我们 称为 阿波 罗

尼斯 圆. 这 个 结 论 称 为 阿 波 罗 尼 斯 轨 迹定 理 .

A B所在的直线为 z轴 , 其中垂线

为  轴 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 A  A   0   \ \  B   /  /

( 一1 , O ) , B( 1 , O ) , 设 C( x ,  ) , 由

、 \ 、 ~

, 化

“ 阿 波 罗 尼斯 圆” 典型应用 :

A C

B C可得

I _

2 0 0 8年江苏高考题第 l 3题 : 若 AB=2 , AC  ̄ / 2

BC , 则S △ A 8 c 的最大值

一 — —

简得 ( z 一3 )   +  一8 , 即 c在 1 7 2 ( 3 , o ) 为 圆心 , 2   为 半径

的圆 上 运动 . 又

答案: 2 √ 2

一 去・ A B・  j l —I  I ≤   .

高考考试说 明上给 出的说 明 : “ 命题 者本 意考查  三角形 面积公式 、 余弦定理及 函数思 想. ” 可谓立意新  颖, 题意 简明 , 但 是运算量 大处理有 难度. 求解 如下 :

评析 : 如上解题简 洁, 省 去 了求 解 变 量 取 值 范 围  的过 程 , 另 义 避 免 了 复 杂 的构 造 运 算 , 求解运算简单.

设B C=x, 则 AC一√

根 据 面积 公 式 得 : S A  一

/ l 2 8  ( z   一1 2 )

一   — — —   —

其实像这样来源于数学史 , 数学定义 的题型还不  甚枚举. 如果在 平时 的教学 中我们能 够较多 的渗透 ,   对 于进 一 步 培 养 学 生 的数 学 学 习兴 趣 , 有 极 大 的

帮助.

二 、“ 阿波 罗尼斯 圆” 在2 0 0 9 、 2 0 1 0历 次 模 拟 测  试 中的 应 用 :

s 一

一z

√ 1 一 ( 4 _ 4   X 2  ̄ , 2

l 6

/ l 2 8 一( z   一1 2 )

1 .扬州 市高三一模

已 知 圆 C:

z 。 +Y   一9 , 点A   ( -5 , 0 ) , 直线 z : z 一2 Y —O ・   ( 1 )求 与 圆 C相 切 , 且 与 直  线z 垂 直 的直 线 方 程 ;

, ,     L

, \ /

由三边关 系: 有 , / 2   f   z +z >2   得2 √ 2   2 <  < 2

l   +2 >√   z

+ 2

故 当 x=2 √ i 时S △   B c 取最大值 2 √

( 不 同于点 A) , 满足: 对于 圆 C上任 一 点 P, 都有  p R

任意一点 M , 都有

为常数 , 若存 在 , 求所 以满足条

为一常数 , 试求所有满足条件 的点 B的坐标.

评析 : 该题 属 于解 析 几何 中直 线 与 圆 问题 的考  察, 第二 问其设置原型 即来源 于“ 阿波罗 尼斯” 圆的定  义. 如果熟 悉 了定 义那 么必定 增 强解 决该题 的信 心 ,   从而从容 面对 复杂的化简计算过程. 具体求解如下 :

件 的点 B的坐标 ; 若不存在 , 说 明理 由.

第一 问解略 , 第二 问解题如下 :

( 2 )没点 M 的 坐 标 为 ( z,  ) , 则3 / " 。 一 F y 。 一4 .   假 设 存 在 点 B( m,  ) , 时 于 oO 上任 意一 点 M , 都  有  M  B为 常 数

解: ( 1 ) 设既 直线方程为y 一一 2 x +b , 即2 x +

则 M  一

m)   +(

) 。 , 』  。 一( z +3 )   +  ,

6— 0,

・ .

‘ 直线 与圆相 切  ・

V 厶  f   1

一3 , 得 6 一±3 √ 5,

所 以   连

f 3 2 + m一 0 ,

以  2 n = 0,

一   ( 常 数 ) 恒 成 立 .

可得 ( 6 A  ̄2 m) x +2 n y +1 3 A -m   -n   一4 - - 0 , 所

‘ . .

所求直 线方 程为 — 2  ±3 √

( 2 )假 设 存 在 这 样 的 点 B( t , 0 ) , 使得  r n D为   T 】   常数

则 P B 。 一  P A   ,

. .

I 1 3 A — m 2 一   2 - 4 =0 .

( z 一£ )  +  一  [ ( z +5 )   +  ] , 将 。 一9 一

f   一   4 ,

l n =0 ,

一   ,

z 。 代入得 , z   一2  +£   +9 一z   一A   ( z   +1 0 x +2 5 +

9 一z   ) , 即2 ( 5 2   +t ) x +3 4 2   -t 。 一9 —0对 z ∈[ 一3 ,   3 ] 恒成立 ,

卟 一   。   ‘

所 以 存 在 满 足 条 件 的 点 B,它 的 坐 标

.  .

{ l

f  +  o ,

3 z A 2 一 一9 一O ,

1 一

或{

f   一 1

l £ 一m5

( 舍

为 ( 一 号 , o ) .

对已有的知识进行新定义 , 已 经成 为 高 考 的一 大  亮点 , 这就要求 教师学 生 面对陌生 环境 , 能迅 速提取

去 ) , 所 以 存 在 点 B ( 一 号 , o ) 对 于 圆 C  ̄ i : r : - 点 P ,

都 _ 伺 -   P B 为 常 数 詈 .

评注 : 当然通过“ 阿波罗尼斯圆” 的定义就 知道答  案的取舍很 为方便 .

2 .南 京 三模 卷

有用 信息 , 善于挖 掘概 念 的内涵 与本质 , 并合 理迁移

运 用 已 学 的 知 识 加 以解 决 .

若 能在平时多做 积累 相信 自身平 时有一潭 清澈

在 直 角 坐 标 系   G   中 , 椭 圆 苦 + 普 一 1 的 左 、 右 焦

点分 别 为 F l 、 F 2 , 点 A 为 椭 圆 的左 顶 点 , 椭 圆上 的 点 P

在第一象 限, P F 1 j I P F 2 , 圆 0的方程为  +2 2 —4   ( 1 )求点 P 坐标 , 并判 断直 线 PF 2与圆 0 的位

. . . . I ◇  : :   鸯

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范文十:由阿波罗尼斯圆衍生的椭圆性质

由阿波罗尼斯圆衍生的椭圆性质

)徐梅香 (江苏省赣榆高级中学 222100

若仅用代数方法,会使得  对椭圆性质的探究,

而若从圆的性质探究入手,则有发现过程很艰难,

再由圆的性质衍生得到较多的几何性质可利用,

椭圆的性质,不失为一种较好的研究方法.以下我

们将从阿波罗尼斯圆的性质探究开始,发现椭圆的与定点、定值、共线等有关的性质,而这些性质恰为近年来高考命题的热点.

从阿波罗尼斯圆开始1 性质探究,

]文[得到了若干与阿波罗尼斯圆有关的性1质,受此启发笔者再补充以下两个性质.

性质1 设AB是圆O的一条直径,M是直线过点M任作一条异于AB上异于O的一个定点,

点P关于直线AAB的直线交圆O于P,Q两点,B

的对称点为P则直线P′,′Q过直线AB上的一个定点N,且有O其中R为圆O半径.M·ON=R2,

运用几何方法简证如下:如图1,延长QO交圆O于另外一点C,连结P′C,易得∠P′CQ+

,QN=90°′PQ+∠O∠P

我们知道,如果对直线与圆进行矩阵为M=

0)的伸缩变换,容易得到如下a>b>0(

a结论:

()该矩阵变换是线性变换,其中直线x=m1

变换为x=m,直线y=n变换为y=直线,

特别地,斜率x+.x+s变换为y=y=k

aa

)分别为k的直线kkk11,2的两条互相垂直(12=-变换得到的两条直线lll′l′′k′1,2,1,2的斜率k1,2

满足k′k′12=-2.a

22222

()(圆变换为椭圆2x+y=a2+2=1aab

).>b>0

运用上面的矩阵变换常识,我们就可以把与阿波罗尼斯圆有关的性质变换为椭圆的性质.从

备考应试的角度考虑,我们只给出下列特殊情况下与定点相关的几个性质.

2(命题1 已知椭圆C的方程是2+2=1aab

),过直线x=m(上的m≠0,|m|≠a)>b>0

MO=90°.因为∠Q

所以′CQ=∠P′PQ,图1∠P

QN=∠QMO,又∠O

所以△O所以OQ=∠QOM,QN∽△OMQ,∠N

,即O证毕.M·ON=OQ2=R2.=OQOM

性质2 设AB是圆O的一条直径,M,N是直线A且满足B上位于圆心O同侧的两个定点,其中R为圆O半径.OM·ON=R2,T为过点M且垂直于A过点N作直线OB的直线上的动点,T的垂线,垂足为H,则有OH·OT=R2.

运用几何方法简证如下

:如图2,因为NH⊥OT,所以△ONH∽

任意一点T作直线TP,TQ分别与椭圆C相切于

)则直线PP,Q两点,Q过定点N,0.m

2(命题2 已知椭圆C的方程是+22=1aab

),右顶点,A,B分别是椭圆长轴上的左、>b>0

过直线x=m(m≠0,|m|≠a)上异于x轴上

的任意一点T作直线TA,TB分别与椭圆C交于

,,)点P,则直线过定点QPQN0.m

2(命题3 已知椭圆C的方程是2+2=1aab

),右顶点,A,B分别是椭圆长轴上的左、>b>0

)(过定点M(的直线与椭圆m,0m≠0,|m|≠a)

TM,所以=△O

OM

,所以OH·OT=OT

图2证毕.OM·ON=R2.

容易证明,性质1,2的逆命题都成立.

批量总结椭圆性质2 矩阵变换,

交于异于A,点P关于x轴的对称B的两点P,Q,

)则直线P点是点P′,′Q过定点N,0.m

特别地,当点N为椭圆焦点时,点M就为椭

]的结论.圆相应准线与x轴的交点,这就是文[2

2(命题4 已知椭圆C的方程是+22=1aab

),右顶点,A,B分别是椭圆长轴上的左、>b>0

直线y=k直线x=m(x依次与椭圆C、m≠0,

点Q必在直线x=(图4中虚线)上,所以有xP

xP

·x.Q=4

题3 (2012·北京理)已知曲线C:(5-

22

)(m)xm-2m∈R).+(y=8

()略;1

)设m=4,(曲线C与y轴的交点为A,2

,点A位于点B的上方)直线y=kB(x+4与曲

线C交于不同的两点M,直线y=1与直线N,

求证:BM交于点G.A,G,N三点共线.22

简析 m=4时,曲线C+直线=1,84),x+4过y轴上定点K(0,4OA=2.y=k

我们换一个角度研究这道试题:

),如图5,设点S(0,1

交于点G,点H在线段O且满T,G上,|m|≠a)

22

,足O则过点且斜率为·HOT=OGH-2的

ak

2,)直线过定点N0.m

上述4个命题的逆命题都成立.

剥下高考试题的“马甲”3 牛刀小试,

有了上面的性质,对于相关的高考试题,我们

就不再是雾里看花,而是一目了然,立刻发现问题的实质,问题解答就有明确的方向.举例说明如下

题1 (2010·江

在平面直角苏)如图3,

坐标系x已知椭圆Oy中,

则有OS·OK=OA2=

因此本题可以看作是4,

把阿波罗尼斯圆中的两个定点变换到y轴上的情形.依据命题2的逆命题,可知直线AN与直线BM

图5

右顶点+=1的左、

95为A,右焦点为F,设B,图3

,过点T(tm)的直线

,TA,TB与椭圆分别交于点M(xN(xy1,1)2,

,,其中m>0,.yyy2)1>02<0()()略;12

)设t=9,(求证:直线MN必过x轴上的一3

个定点(其坐标与m无关).

简析 点T在直线x=9上,应用命题2,可

)得直线MN过点S(1,0.

题2 (2011·四川

)文)如图4,过点C(0,1

22

(的椭圆2+2=1a>bab

22

的交点必在直线y=1上,即直线AN经过直线y

M的交点G.=1与直线B

至此,我们发现,题1、题2与题3只是“马甲”不同而已,实质完全相同.同一问题连续3

年被考查到,的确令人深思.·山东题4 (2011

文)在平面直角坐标系

2,xOy中已知椭圆C3

如图6所示,斜+y=1,

)且不过原率为k(k>0

)的离心率为>0

,椭2

图4

图6点的直线l交椭圆C于线段A射线OA,B两点,B的中点为E,E交椭圆C

),),圆与x轴交于两点A(过点C的a,0B(0-a,

直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.

()略;1

→→()当点P异于点B时,求证:2OP·OQ为定值.

简析 先求得椭圆方程为+y设点=1.

→→),,则O此时P(x0Q(xP·OQ=xxyQ,Q)P·Q,p,

本题可以换一种方式叙述如下:

过点P的直线与椭圆交于C,直线D两点,

依据命题2的逆命题,AC与直线BD相交于点Q,

于点G,交直线x=-3于点D(m).-3,

()略;1

()若O求证:直线l过定点.2G2=OD·OE.简析 因为E是线段A所以kB的中点,AB·

22

,又即kk.=-OE=-2=-AB=-2

33kaakOEOE

点D在定直线x=-3上,且有OG2=OD·OE,

)依据命题4,立刻得到直线l过定点(0.-1,

参考文献

[]]对一道数学问题的研究性学习[数学通1J. 闫振仁.

()报,20115.[]]圆锥曲线焦点弦的一个性质[数学通讯,2J. 偰永锋.()20123.

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/9E3AF8E645EE04CD.html