阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯圆

【范文精选】阿波罗尼斯圆

【范文大全】阿波罗尼斯圆

【专家解析】阿波罗尼斯圆

【优秀范文】阿波罗尼斯圆

范文一:阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯(Apollonius)圆,简称阿氏圆。

在平面上给定相异两点A、B,设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ, 当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗尼斯圆的直径,且MN=[2λ/(λ^2-1)]AB。 证明

我们可以通过公式推导出AN的长度:AN:BN=AP:BP ,其中BN=AN+AB,所以AN:(AN+AB)=AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP),以NM为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。 由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理,即:

设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标,下同)、mb、mc,则有以下关系:

b^2+c^2=a^2/2+2ma^2;

c^2+a^2=b^2/2+2mb^2;

a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。

(此定理用余弦定理和勾股定理可以证明)。

相关知识

1.到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。

2.到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆。

3.到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线。

4.到两定点的距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线。

原文地址:http://fanwen.wenku1.com/article/11610687.html
阿波罗尼斯(Apollonius)圆,简称阿氏圆。

在平面上给定相异两点A、B,设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ, 当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗尼斯圆的直径,且MN=[2λ/(λ^2-1)]AB。 证明

我们可以通过公式推导出AN的长度:AN:BN=AP:BP ,其中BN=AN+AB,所以AN:(AN+AB)=AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP),以NM为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。 由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理,即:

设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标,下同)、mb、mc,则有以下关系:

b^2+c^2=a^2/2+2ma^2;

c^2+a^2=b^2/2+2mb^2;

a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。

(此定理用余弦定理和勾股定理可以证明)。

相关知识

1.到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。

2.到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆。

3.到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线。

4.到两定点的距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线。

范文二:阿波罗尼斯圆

“阿派 罗尼斯 圆 ”

妙件

仪征 教 师进修 学校

本文 介绍 “阿波 罗尼斯 圆 ”的定义 , 以及在 高考及 模 拟考试 中的应用 , 着重介绍 作为一 种解 题方 法对优

可是若从 轨迹的角度去求解 , 即在平时 的教学 中

注意渗透了 “阿波罗尼斯 ”圆的定义 ,则 该题 的解 决简 洁明了且运算简捷 求解过程如下

因为 月 刀一 定 长 , 可 以以

化 解题培养解题 习惯增强数学信心有很大的帮助

阿波罗尼斯 圆的定义 在平 面上给定 相异 的两点

。 、 , 。 卜 同一平 面上 , 。 。尸 “ 、 “一 ,' 设 ` 点在 、、、 一 ”, ' 一 且满足认 门 尸毋 ` 、 、, 、、 八且 。 久当 ” 一 又 ”` 一

月 刀所在的直线为 为

轴 ,其 中 垂线

轴 建 立 直 角 坐标 系 , 则

, , ,设 , ,由

又 并 时 尸点 轨迹 是一个 圆 , 这个 圆我 们称 为 阿波罗

尼斯 圆 这个结论称 为阿波罗尼斯轨迹定理

一 ,

司厄 现 可得 丫

一 、 “阿波罗尼斯团 ”典型应用

犷一 招了 一 , 即 在以

`一

犷 ,化

年江苏高考题第

,则 的最大值

题 若 刀

,

简得 一

, 为圆心 , 在为半径

'苏 ”

的 圆 垅 动又昆 一 双 二 一 妾

答案 涯

一产 '一 成 晒 咧 “'

高考考试说明上给出的说明 “命题者本意考查 三角形面积公式 、 余弦定理及函数思想 ”可谓立意新

颖 ,题 意简 明 , 但是运算 量 大处理有难 度 求 解 如下

评析 如上解题简 洁 ,省 去 了求解 变量取 值范 围 的过程 , 另又避 免了复杂 的构造运 算 ,求解运算简单 其实像这样来源于数学史 ,数 学定 义 的题 型还 不

一 ,则

。 乙 ■ 内陇 了 一

, 、一伶 很钻 一 四悦 酋

,一

、 一一尹 万 二一 、 任

甚枚举 如果在平 时 的教学 中我们 能够 较 多的渗透 , 对于进一 步 培 养 学 生 的数 学 学 习 兴 趣 , 有 极 大 的

帮助 二 、 “阿波 罗尼 斯团 ”在 , 、 历次 模拟 测

。■ 人仪〕

,一

飞 一一扩 了二一 ,、

、 仕工 尹

试 中的应 用

扬州市高三一模

已知圆

尸 少一 , 点

一 一

由 三边关系 有弓

故当 万时

得 了一

一 ,

, 直线

求与 圆

相切 , 且 与直

线 垂 直的直线方程

取最大值 涯

食 亚夏贾 卜

在直线 扒 上

、`” ',

为 坐标 原点 , 存 在 定点

是否存在不同于点

的定点

, 对于 圆

品 川足对 ` ,“ 于 目 一任 上一 ' 八 、 、 ` ' ,都 即有 曰尸 不 同 于 点“ 了”,满 圆 上 点尸 黔

任 意 一 点都 ,喘为 常 数若 ,存 在,求 所 以 满 足 条

件 的点 的坐标 若 不存在 , 说 明理 由 第一 问解 略 ,第二问解题如下

为一 常数 ,试求所有满足条件 的点

的坐标

评 析 该题 属 于解 析 几何 中直线 与 圆问题 的考

察 , 第二 问

其设 置原 型即来 源于 “阿波罗尼 斯 ”圆的定

设点

假设存 在点

门倒风 , 常 , 数 · 有 黔为

的坐标为

,

,刃 ,则 尸 犷一

上任意一点 ,都

义 如果熟悉 了定义 那么必 定增 强解 决该题 的信 心 ,

从 而从 容面对复杂的化简计算过程 具体求 解如下

, 对于

一 一 ,

设 所求直线方程为 一一

,即

则几 侣 一 一

,

一 , ,加 叭 砰 一

二双常数 恒成立

“ 犷,

丫 直 线 与 圆 相 切, 雀 得。 一、 拓 , 了 `头` 一 ,

' 所求直线方程为 一 土拓

。、 、。一 一 一 二 一, , 、 , 使得 一 尸 、, 常数 台 专为 、“ , 假设存在这样 '以认 '比 ,丫的点 “ 品 、“' “ 了' 氏 ,耳尸 巾淋

所以

' 少

几 十

可得

人 一耐 一矿一 一 。, 所

以一 ,

又'一'

又 一耐 一矛一 一

久, 则

人〕 ,

代人得 ,扩 一 一 ,即 久

犷一护 「

产 一护

'

少 〕,将 犷

粥 川了

人一

二二 ,

,

'

矛 尸 对 一 ,

绷、

人 一

,

几一 一

一万

,

一 , 舍

恒成立 ,

澎 一,

气 、

解得

所 以存 在 满 足 条 件 的 点

, 它 的坐标

拼 一 脸

认 一产一

、, 【 为 一于 ,' 一 , 、

'

对 已有的知识进行新定义 , 已经成为高考 的一大

去,所 以 存 在 点。一 普,。 对 于 圆上 任 一 点”,

亮点 , 这就要求 教师学 生面对 陌生环境 , 能 迅速 提取 有用信息 , 善于挖掘 概念的 内涵 与本质 , 并 合理迁移 运用已学的知识加 以解决

都 有 碧为 常 数 普

评注 当然通过 “阿波罗尼斯圆 ”的定义就知道答

若能在平时多做 积 累相信 自身平 时有一 潭清澈

的活水 , 相信在用 时能有取之不竭的活水取 出

案的取舍很为方便 南京三模卷

在 直 角 , 系、 中 椭 ,圆 誓 十 答 一的 左 右 、焦

点分别为 、凡 , 点 为椭 圆的左顶点 , 椭 圆上的点 尸

在第一象限沪 土尸 石 笼 ,圆

的方程为 尹十夕

的位

求点 尸坐标 , 并判 断直 线 尸凡 与 圆

置关 系

, ,叫

范文三:来自圆系_阿波罗尼斯圆

——阿波罗尼斯圆来自圆系—

■朱爱明

苏教版必修中,阿波罗尼斯圆就已经进入到我们的视野中.题目离之比为

y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距已知点M(x,

1

,那么点M的坐标应满足什么关系?画出满足条件2

1

MA,即+y2

2

=

16414,×BD×|y|≤.又因为故|y|≤,则得S△ABD=9323

8

.3

S△ABC=2S△

ABD,故S△ABC的最大值为

的点M所形成的曲线.

简解:

由题意可知MO=

=

1

(x-3)2+y,化简整理得:(x+1)+y2=4.点M的轨

0)为圆心,2为半径的圆.迹是以(-1,

B的距离之比由此可进行一般推广:若动点M与两定点A,

MA

=λ(λ≠1),即则动点M的轨迹为圆,为一常数λ(λ≠1),MB此圆被称为阿波罗尼斯圆.

例1

(2013年江苏卷第17题改编)在平面直角坐标系xOy

3),中,点A(0,直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

y),x+(y-3)解析:设点M(x,由MA=2MO,知:图2

AB=AC,AD=kAC(k形式2:在△ABC中,点D在腰AC上,0<k<1),BD=2,为常数,求△ABC面积的最大值.

解析:建立如图3所示的坐标系,则易得顶点A所在的阿波罗尼斯圆方程为(x+=

2k2k2+12

)+y2=(2),可得(S△ABD)2

k-1k-1

max

max

2k1

S,故(S△

ABC)2.又因为S△ABC=k△ABD1-k

=

2

.1-k2

=

22

2+y,化简得:x+(y+1)=4,

2为半径的阿波罗尼即:点M的轨迹为以(0,-1)为圆心,

可记为圆D.又因为点M在圆C上,故圆C圆D的关系为斯圆,相交或相切.

故:1≤|

CD|≤3,其中|

CD|=

图3

22

B,形式3:在x轴正半轴上是否存在两个定点A,使得x+y

12

+(2a-3)

,.解得:0≤a≤5

例2

(2008年江苏卷第13题)满足

AC=的三角形ABC的条件AB=2,

.面积的最大值为

解析:以直线AB为x轴,边AB中点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角0),B(1,0),坐标系,由题设可设A(-1,

图1

y),BC可得,(x+设C(x,则由AC=22221)+y=2[(x-1)+y],整理得顶点C所在圆方程为(x-3)

2

=4上任意一点到A,B两点的距离之比为常数B的坐标;如果不存在,出点A、请说明理由.

1

?如果存在,求2

2

B,解析:假设在x轴正半轴上存在两个定点A,使得圆x+

B两点的距离之比为常数1/2,y2=4上任意一点到A,设P(x,y),A(x1,0),B(x2,0),不妨设0(x-x1)x-x2)<x1

x2.则有

+y+y+y2=8,,可知AB边上高的最大值为2故S△ABC的最大值其实阿波罗尼斯圆还会以其他形式出现在我们面前,比

=

122

,整理得阿波罗尼斯圆3(x+y)-2

为2如:

AB=AC,BD=形式1:在△ABC中,点D是腰AC的中点,2,求△ABC面积的最大值.

BD所在直线为x轴建立如图解析:以BD的中点O为原点,

2所示的平面直角坐标系,y),设A(x,则AB=2AD.易得点A在

22

一个阿波罗尼斯圆3x+3y-10x+3=0上,即(x-

2

2(4x1-x2)x+4x21-x2=0.由题意可知阿波罗尼斯圆和已知圆

x2+y2=4是同一个圆,故有

{

4x1-x2=0,

x1=1,

解得即

2

x=4.x2-4x=12,221

{

22

0),B(4,0),在x轴正半轴上存在两个定点A(1,使得x+y=

4上任意一点到A,B两点的距离之比为常数1/2.

阿波罗尼斯圆作为圆系中的一员在解题中确实有它的优越性,故我们要善于认识这一圆系模型.

[江苏省高邮市三垛中学(225624)]

5

3

2

+y2

·20·

范文四:从阿波罗尼斯圆出发

从 阿 波罗 尼 斯 圆 出

渠 慎 情

+ 1 ) 0 +v   —4 .   不谈 因果, 但 信 凡 事 事 出有 因. 高 考 试  (

题 可谓 道 道 经 典 , 每 道 经 典 确 也 题 出 有 因.

由上 面 的 问题 可 简 单 总 结 一下 : 平面 内

高 中数 学 中直 线 与 圆 的 问 题 又 为 高 考 之 经  到两个 定 点 的距离 之 比为常 数 是 ( 忌 ≠1 ) 的点

典. 此处 从 阿波 罗 尼 斯 圆 出发 , 探经索典 , 努  的 轨 迹 是 圆 .   力 去发 现点 什 么.

、 、

— ~ — —

泠 追本溯源, 寻求根基

平 面 内到 两个定 点 的距 离之 比 为常 数 忌

( 忌 ≠1 ) 的点 的轨 迹 是 圆 , 这 个 圆 就 是 阿 波 罗

可 自证 ) .   教 材 新知 : ( 苏教 2 0 1 2第 4版 第 1 0 7页 )   尼斯 圆( 原来 , 这 个 结 论 很 经 典. 你知, 或 是 不  以 。 为定 点 , r为 定 长 画 出 一 个 圆 , 如 何 建 立  知, 它就在 那 里.   它的 方程 ?

这 个 问题 及 问 题 的解 决 可 谓 无 人 不 知

( 2 0 1 3年 江 苏 卷 第 1 7

. y

如 图 1, 在 平 面 直 角 坐  无人 不 晓 , 它 是 苏 教 版 教 材 中 求 圆 的 方 程 时  题 ) Oy 中 , 点 A( 0, 3 ) ,   给 出 的一 个 问 题 . 建系 、 设点 、 代数 、 化简 , 即   标系x

: y一 2 x一 4, 设 圆 C   可 得到 圆 的方 程 z   +y 。 = = = r   . 即通 过 建 立 平  直 线 Z

/   一

0   7

7   l

图 1

面 直角 坐 标 系 , 设 出所求点 , 根 据 具 体 限 制  的 半 径 为 1 , 圆心在 Z 上.

条 件代 人数 字 ( 或字母) , 列 出方 程 化 简 式 子

就 可得 到我 们 所要 的结 果 .   教 材 问题 : ( 苏教 2 0 1 2第 4版 第 1 l 2页

习题 1 2 )已 知 点 M ( z, Y) 与 两 个 定 点 O( 0,

( 1 ) 若 圆 心 C 也 在 直

线  — z一 1上 , 过 点 A 作

圆 C 的切 线 , 求切 线的 方程 ;   ( 2 )若 圆 C 上 存 在 点 M , 使 MA一 2 M0,

0 ) , A( 3 , 0 ) 的距 离之 比 为÷ , 那 么 点 M 的 坐  求 圆心 C 的 横 坐标 口 的 取 值 范 围. 题 中求 圆及 切 线 的 方程 亦 可 谓 “ 家 喻 户

标 应 满 足 什 么 关 系?

晓” , 单说 问 题 ( 2 ) . 看看这句话 “ 存 在点 M,   一   1

由 题,

使 MA 一 2 MO” , 是 多 么 的眼熟 , 确 实 很 像

+   一 4.

丢 , 化 简 得 ( z + 1 ) 。

1   1若 不

是 点 A 的坐 标 由教 材 中 的

( 3 , 0 ) 变为( 0 , 3 ) , 那就 不 能用 “ 像” 来 表 述 这  里 的惊人 相似 了 !显 然 , 点 M 所要 满 足 的关  系式 就 是 z   +(  +1 )  一 4 ( 不 妨 叫 它 为 圆

Ne w  U n i v e r s i t y   E n t r a n c e   E x a mi n a t i o n   2 5

即点 M 的 坐 标 应 满 足 的 关 系 式 为

D) .

斯圆, 又回归高考. 看来 , 你要看 重课本 , 还

对“ 若 圆 C上存 在 点 M , 使 MA一2 M0”   要关 注经 典. 这很重 要 !

的理解 还要 到位 : 点 M 既在 圆 C上 又在 圆 D  凡事事 出有 因 , 有 着 事 情 发 展 的 来 龙 去  上 —— 换句话 , 圆 C与圆 D 有交 点 M . 于是 ,   脉, 也 有着 些许 变与 不变 .

切便 可步人 迎 刃而解 的节 奏 了 !   看来 , 确 实 题 出有 因. 一 个 简 单 的课 本

万变 归 宗 。 变 是 永恒

曲线方 程 可 算 是 个 不 变 的话 题. 直线 ,

圆, 以及 圆锥 曲线 , 都 会 有 求 方程 的 问题 . 前

题, 就这 样 近 似 于 原 题 地 在 高 考 试 卷 中 出  现. 其实 , 高考 中 阿波罗尼 斯 圆早 已 出现.

( 2 0 0 5年 江 苏 卷 第 1 9题 ) 如图 2 , 圆 0

与 圆 02 的半 径都 是 1 , o   0 2 —4 , 过动 点 P 分  面 那个 高 考 试 题 也 涉 及 了 圆 的 方 程 与 切 线

剐作 圆 0   , 圆0   的切 线 P M, P N( M, N 分  ( 直线) 的 方 程.圆锥 曲 线 也 一 样 , 特 别 是

别 为切 点) , 使得 P M =√ 2 PN, 试 建 立适 当的  椭 圆. 坐标 系 , 并 求 动 点 P 的轨 迹 方 程 .

( 2 0 1 4年 江 苏卷 第 1 7题 ) 如图 3 , 在 平 面

直 角坐标 系 x O y中 , F   , P z分 别 是 椭 圆   +

一1 ( 口> 6 >o ) 的 左、 右 焦点 , 顶 点 B 的 坐

标为( 0 , 6 ) , 连 结 BF 。 并 延 长 交椭 圆于 点 A,

图 2

过 点 A 作 z 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 另 一 点 C, 连

结 F1   C.

除 了上 面 “ 光明正大” 地 考 查 阿 波 罗 尼

斯 圆外 , 有 时高考考查也会 “ 又像 笼 着 轻 纱  的梦 ” . 请看 :

( 1 ) 若 点 C 的 坐 标 为 ( ÷ , ÷ ) , 且 B F

√ 2 , 求椭 圆的方程

( 2 )若 F   C 上 AB, 求 椭 圆 离 心 率

的值.

( 2 0 0 8年 江 苏 卷 第 1 3 题) 若 AB一 2 , AC

√ 2 B C, 则S △ A 月 c 的最大值 为

显然 , 这 是 一 道 解 三 角 形 的 问题 . 你 可

以这样做 : 设B C =z , 结合 s △ A B c 一÷a 6 s i n   C

的形式 得 到 关 于 z 的 函 数 式 , 或配方, 或 求

导, 历 经千 辛 万 苦 , 也 许 能 得 到 结 果. 但, 很

繁琐 !难 道 不 可 以 考 虑 一 下 阿 波 罗 尼 斯

圆吗 ?

\   一

我不愿 惊 醒这 “ 笼 着轻 纱 的梦 ” ; 若你 想  轻轻地 惊 扰她 , 定会 发现 属于你 的那 份美 !   也 许任 何 一 个 梦 都 会 有 着 自己 的 一 个

图3

求 曲线 方程 的题 目随处 可 见 , 求 圆锥 曲

此 处 不 再 追 寻  故事 , 那每个故事背后 也许都藏着 什么. 了  线 离 心 率 的 题 目也 俯 拾 皆 是 . 解她 , 懂她 , 这很 重要 .

题 目源 头 何 在 , 而 是 要 寻 求 题 目 中永 恒 的

从 教 材新 知 到课 后 习题 , 源 来 阿 波 罗 尼  东 西 .

2 ‘   N e w  U n i v e r s i t y   E n t r a n c e   E x a mi n a t i o n

求 方程 。 字 母论 英雄 .

简 言之 , 求 曲 线 的 方 程 就是 求 各 自相 应  的 字母 大 小 . 变 的是 限 制 条 件 , 不 变 的是 去

联 立 ① ② , 解 得 A 点 坐 标 为 (   车 ≥ ,

) , 则 c 点 坐 标 为 (   车 ≥ , 孺 b 3 ) .

6 3

求方 程 ; 变 的 是 具 体 曲线 方 程 , 不 变 的是 这

些 待求 的字 母.   直 线有 多种 方 程 形式 , 若 求 其 方 程 就 去  找 到各 自的字母 : 点 斜式 求  , b , 斜截 式求 a ,

b , 一般 式 求 A, B, C; 圆有 常 见 两 种 形 式 : 标  准 方程 求 a和 b, 一 般 方 程 求 D, E, F; 椭 圆

所 以

一  a   2 -  ̄ _ c 2 一

又忌 A B :一_ 垒 -

要 求 a和 6 ; 双 曲线 还 是 a和 b; 抛 物 线 只求

由F   c 上A B 得  d

毒 一 C   1 _   c ・ ( \   一   C   / 1 一 一   ,

个 P.

即 6   一3 口 。 c   +f 4 ,   所 j ( n 2 一c   )  — 3 a   c  + c 4 . 化简得 P —

题 中易知 a:   , 若 求 b就 只需 一 个 方

程— — 由点 C 的 坐 标 所 满 足 的 条 件 去 构

造 —— 求 6 , 得 方程 .

( 1 )解 :

√ 5   一了 ‘

事 情很 简 单— —若 求 离 心 率 , 就 去 找 关  系. 只是 难算 了些.

在你 花一 样 的年华里 , 见 到 花 样 繁 多  的试 题 与 花 团 锦 簇 的条 件

, 再 经 历 上 一

由题 意 , F   ( C , 0 ) , B( 0 , b ) , l   BF 2   l 一

一a 一

又 因 c (

有   +

段艰 难 险 阻 百 转 干 回 的 过 程 , 最 终求 出   那 个 唯 一 存 在 着 的  , 是 多 么 快 乐 的 一 件

事啊!

1 , 解得 6 —1 , 所以椭 圆方程为等 +   一1 .

离心 率 。 万变 不 变是 关 系.

这 里再 给 出 一道 题 , 试 试 你 能否 感 受 到

要 求 得离 心 率 , 只需 想 尽 一 切 办 法 找 到  那样 的快乐 . 因为 此 题 , 我 曾历 经 艰 辛 . 有 人  个关 于 n , b , C 与 P中任 意 两个 字 母 之 间 的  说 , 应 一 眼 看 穿. 拿出它, 与君 共 享. 题 目

关 系式 —— 或 由方 程 直 接求 得 , 或 数 形 结 合  如 下 :   构造 图形 再 找 关 系 , 或 结 合 条 件 尽 其 所  已 知 双 曲 线 的 顶 点 到 渐 近 线 的 距 离 为  能—— 这 就 是 条 件 变 化 后 永 恒 的 东 西——  2 , 焦点 到 渐近 线 的 距 离为 6 , 则 该 双 曲 线 的  两 个字 母 的关 系 . 一 句话 : 花样繁多离心率,   离 心 率 为  .

万 变 其 宗 a与 C .

变 的是 条 件 , 不变 的是求解 ; 变 的 是 结  论, 不 变 的是 方 法 ; 变 的是 求 方 程 , 求最值 、

回 看 上 题 :谁 在 变 —— 条 件 .怎 么  办 —— 找 关 系. 如 何 找—— 看 条件 .

结合 F   Cj _ AB, 知 直 线 斜 率 互 为 负 倒  数, 构造 关 于字 母 的方 程. 解如下 :

离心 率 , 找定点 , 算定 值 , 判位置关 系 , 看 存  在 与否 , 不变 的 是 , 你 要 正 确 地 求 出来 , 认 真

地写 出 来 ; 变 的是试卷 上的那道题 , 不 变 的

因为直线 B F   方程 为  +≠ =1   ①,   是 曲线必 考.

唯变 永 恒 , 我 也 信 .以 不 变 应 万 变 ,

椭 圆 方 程 为  +  一 1 ② ,

才行 .

N e w  U n i v e r s i t y   E n t r a n c e ‘ E x a mi n a t i o n  2 ,

I 耔高看 数 学

本 质 何 在?—— 曲 线 系 : 有共 同的点 ,

☆ 探求本质, 化繁为简

就 应有 共 同 的方程体 现.   难 算本 就 是高 中 曲线 的基 本 特 点 . 但 大

曾经 听 过 一 个 关 于 一 道 题 目的 故 事 , 很   多 数 高考试 题 , 并 没有 给 大 家 关 死通 往 成 功

有 意思 , 拿 出来 与 大 家 分享 下 —— 当你 发 现  的 大 门 . 往 往会有一个很难走 的 门, 还 有 一

问题 的 本 质 时 , 才真正发现 , 原 来 一 切 如 此

个  径 通 幽豁 然 开 朗美 景 尽 收 的 门. 但 它 总

简单 . 题 目如 下 :

是 为少数 人 所 开. 你 会 到这 里 来 吗 ?打 开 这

在 平面 直 角坐标 系 x O y中 , 设 二 次 函 数  扇 门 的秘诀 就是 : 拿你 的青 春去 换钥匙 .

, (  ) = = = l z   +2 x+b ( z∈R) 的 图 象 与 两 坐 标  轴 有三 个交 点 , 若 经 过 这 三 个 交点 的 圆记 为

C, 求 圆 C的 方程.

很 喜欢 这样 的几 道题 :

函数 , ( z ) 一√ 5 s i n   一3   C O S 。 z +√ 2 的 最

小 正 周 期 为

我们 会这样 做 :   由题 易知 b 满 足条 件 6 <l , 6 ≠0 .   令 - 厂 ( z ) 一0 , 解 方程 。 +2 x@b =0 , 得z

一 一

函数 厂 (  ) 一 ( e   +a e 一) , z∈R 是 偶 函

数 , 则 实数 a的 值 为

我 能秒杀 它 们 , 你 能 吗 ?秒 杀 的能 力 来

1 ± ̄ / 1 一b , 则 二 次 函数 - 厂 ( z) 一z   +2 x   自于你 已经 看 清 问 题 的 本 质 的 那 一 刻. 否

我还 依稀 记得 2 0 1 0年 高考 的那 道第 1 8

+b ( x ∈R) 的图象 与两 坐 标轴 有 三个 交 点 坐  则 , 你就 慢慢 算吧 !

标分 别为 ( 一l +  r 二  , 0 ) , ( 一1 一 √r 二  ,

+F一0 , 则 有

其他 暂 且 不 提 , 只看 一 个 方 程 组 的 解 答  0 ) , ( 0 , 6 ) . 设 圆 的方 程 为 z   +Y   +D x+ Ey   题.

( 其中l z   ≠ 一3 ) :

f ( ~1 一 ̄ /

) 。 +D( 一1 一 ̄ /

) +F =0

{ ( 一1 +   4 T 1  ̄5 ) 。 +D ( 一1 +   4 T 1 = b ) +F :0 ,

解 方 程 组

1  一  ( . z   + 3 ) ,

( 你 会 怎

l   6 。 + E 6 + F — o

f D一 2

l 等 + 等 一 1 ,

么解 ? )

解 之 得  E一 一 1 —6 .

1 F=b

所 以 圆 的方 程 为  +  。 +2 x 一( 1 +6 )

+ 6— 0.

一冬・

因为  ≠ 一 3 , 所 以丁 3 E 1 " - 3一 一

你 能 在三分 钟 内解决 此题 吗 ?   不妨 可 以这样 思 考 , 因 为 圆过 二 次 函数

字 , 则 X l 一

, 从 而   一   .

难 吗 ?明 白方 程 组 的 本 质 吗 ?其 实 , 题  厂 ( z ) 一   +2 x+b (  ∈R) 的 图象 与  轴 的  目已经 告诉 我 们 方 程 组 已有 一 解 是 一 3 . 去  交点 , 故可 设 圆 的 方 程 为

。 +Y   +2 x+ E y   查 阅一 下 这 道 题 吧 , 细细品味 , 定 别 有 一 番  +6 —0 . 又 因 为点 ( 0 , 6 ) 在 圆上 , 所 以代 入 上  滋 味在 心头 .

式得 b   +Eb +6 —0 .

难 与 不 难 是 相 对 的. 弄 清 问 题 的 真 本

亲, 忘 了告诉 你 : 从简 , 本就是一 种美德.

因为 6 ≠0 , 则 E一 一 1 一b , 所 以 圆 的 方  质 , 轻 松上 阵 , 高考 面前 , 青春不 再 被浪 费 !   程为 z   +Y   +2 z ~( 1 +6 ) 3 , +6 —0 .

2 B   Ne w  U n i v e r s i t y   E n t r a n c e   E x a mi n a t i o n

范文五:阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用

数学理论

1.“阿波罗尼斯圆”:在平面上给定两点A,B,设P点在同一平面上且满足PA,当PB0且1时,P点的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆。

(1时P点的轨迹是线段AB的中垂线)

2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质

定理:A,B为两已知点,P,Q分别为线段AB的定比为(1)的内外分点,则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比为.

证 (以1为例) 设ABa,APAQ,则 PBQB

APaaaa,PB,AQ,BQ. 1111

由相交弦定理及勾股定理知

a22a2222BCPBBQ2,ACABBC2, 112

于是BCa21,ACACa. ,21BC

而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于的曲线(圆)上,不共线的三点所确定的圆是唯一的,因此,圆O上任意一点到A,B两点的距离之比恒为.

性质1.当1时,点B在圆O内,点A在圆O外;

当01时,点A在圆O内,点B在圆O外。

性质2.因ACAPAQ,过AC是圆O的一条切线。

若已知圆O及圆O外一点A,可以作出与之对应的点B,反之亦然。 2

2aa性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ2,面积为2. 1

性质4.过点A作圆O的切线AC(C为切点),则CP,CQ分别为ACB的内、外角平分线。 性质5.过点B作圆O不与CD重合的弦EF,则AB平分EAF. 2

数学应用

1.(03北京春季)设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值a(a0),求点P的轨迹.

2.(05江苏)圆O1和圆O2的半径都是1,O1O24,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得PM2PN,试建立适当坐标系,求动点P的轨迹方程.

3.(06四川)已知两定点A(2,0),B(1,0).如果动点P满足2PB,则点P的轨迹所围成的图形的面积是________________.

4.(08江苏)满足条件AB2,AC2BC的ABC面积的最大值是___________.

5.在等腰ABC中,ABAC,BD是腰AC上的中线,且BD3,则ABC面积的最大值是___________.

6.已知A(2,0),P是圆C:(x4)2y216上任意一点,问在平面上是否存在一点B,使得

变式:已知圆C:(x4)2y216,问在x轴上是否存在点A和点B,使得对于圆C上任意一点P,都有

7.在ABC中,AB2AC,AD是A的平分线,且ADkAC.

(1)求k的取值范围;

(2)若ABC的面积为1,求k为何值时,BC最短.

PA1?若存在,求出点B坐标;若不存在,说明理由. PB2PA1?若存在,求出A,B坐标;若不存在,说明理由. PB2

范文六:“阿波罗尼斯圆”妙用

‘ ‘ 阿 液 罗 尼 斯 圃 ’ ’够再

仪征 教 师进修 学校 朱 波 2 1 1 4 0 0

本文介绍“ 阿波 罗 尼 斯 网” 的定 义 , 以及 在 高 考 及  模 拟 考 试 中的 应用 , 着 重 介 绍 作 为 一 种 解 题 方 法 对 优

可 是 若 从 轨 迹 的角 度 去 求 解 , 即在 平 时 的 教 学 中  注意 渗 透 了“ 阿 波 罗 尼斯 ” 圆的 定 义 , 则 该 题 的 解 决 简

化解题培养解题习惯增强数学信 心有很大 的帮助.

阿 波 罗 尼 斯 圆 的定 义 : 在 平 面 上 给 定 相 异 的 两 点

D ^

洁明了且运算简捷. 求解 过程 如下 :

因为 A B= 2 ( 定长) , 可 以 以

A、 B, 设 P点在同一平面上且 满足  i  t f— 当 > O且  ≠1时 P点轨迹 是一 个 阋, 这个 圆我们 称为 阿波 罗

尼斯 圆. 这 个 结 论 称 为 阿 波 罗 尼 斯 轨 迹定 理 .

A B所在的直线为 z轴 , 其中垂线

为  轴 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 A  A   0   \ \  B   /  /

( 一1 , O ) , B( 1 , O ) , 设 C( x ,  ) , 由

、 \ 、 ~

, 化

“ 阿 波 罗 尼斯 圆” 典型应用 :

A C

B C可得

I _

2 0 0 8年江苏高考题第 l 3题 : 若 AB=2 , AC  ̄ / 2

BC , 则S △ A 8 c 的最大值

一 — —

简得 ( z 一3 )   +  一8 , 即 c在 1 7 2 ( 3 , o ) 为 圆心 , 2   为 半径

的圆 上 运动 . 又

答案: 2 √ 2

一 去・ A B・  j l —I  I ≤   .

高考考试说 明上给 出的说 明 : “ 命题 者本 意考查  三角形 面积公式 、 余弦定理及 函数思 想. ” 可谓立意新  颖, 题意 简明 , 但 是运算量 大处理有 难度. 求解 如下 :

评析 : 如上解题简 洁, 省 去 了求 解 变 量 取 值 范 围  的过 程 , 另 义 避 免 了 复 杂 的构 造 运 算 , 求解运算简单.

设B C=x, 则 AC一√

根 据 面积 公 式 得 : S A  一

/ l 2 8  ( z   一1 2 )

一   — — —   —

其实像这样来源于数学史 , 数学定义 的题型还不  甚枚举. 如果在 平时 的教学 中我们能 够较多 的渗透 ,   对 于进 一 步 培 养 学 生 的数 学 学 习兴 趣 , 有 极 大 的

帮助.

二 、“ 阿波 罗尼斯 圆” 在2 0 0 9 、 2 0 1 0历 次 模 拟 测  试 中的 应 用 :

s 一

一z

√ 1 一 ( 4 _ 4   X 2  ̄ , 2

l 6

/ l 2 8 一( z   一1 2 )

1 .扬州 市高三一模

已 知 圆 C:

z 。 +Y   一9 , 点A   ( -5 , 0 ) , 直线 z : z 一2 Y —O ・   ( 1 )求 与 圆 C相 切 , 且 与 直  线z 垂 直 的直 线 方 程 ;

, ,     L

, \ /

由三边关 系: 有 , / 2   f   z +z >2   得2 √ 2   2 <  < 2

l   +2 >√   z

+ 2

故 当 x=2 √ i 时S △   B c 取最大值 2 √

( 不 同于点 A) , 满足: 对于 圆 C上任 一 点 P, 都有  p R

任意一点 M , 都有

为常数 , 若存 在 , 求所 以满足条

为一常数 , 试求所有满足条件 的点 B的坐标.

评析 : 该题 属 于解 析 几何 中直 线 与 圆 问题 的考  察, 第二 问其设置原型 即来源 于“ 阿波罗 尼斯” 圆的定  义. 如果熟 悉 了定 义那 么必定 增 强解 决该题 的信 心 ,   从而从容 面对 复杂的化简计算过程. 具体求解如下 :

件 的点 B的坐标 ; 若不存在 , 说 明理 由.

第一 问解略 , 第二 问解题如下 :

( 2 )没点 M 的 坐 标 为 ( z,  ) , 则3 / " 。 一 F y 。 一4 .   假 设 存 在 点 B( m,  ) , 时 于 oO 上任 意一 点 M , 都  有  M  B为 常 数

解: ( 1 ) 设既 直线方程为y 一一 2 x +b , 即2 x +

则 M  一

m)   +(

) 。 , 』  。 一( z +3 )   +  ,

6— 0,

・ .

‘ 直线 与圆相 切  ・

V 厶  f   1

一3 , 得 6 一±3 √ 5,

所 以   连

f 3 2 + m一 0 ,

以  2 n = 0,

一   ( 常 数 ) 恒 成 立 .

可得 ( 6 A  ̄2 m) x +2 n y +1 3 A -m   -n   一4 - - 0 , 所

‘ . .

所求直 线方 程为 — 2  ±3 √

( 2 )假 设 存 在 这 样 的 点 B( t , 0 ) , 使得  r n D为   T 】   常数

则 P B 。 一  P A   ,

. .

I 1 3 A — m 2 一   2 - 4 =0 .

( z 一£ )  +  一  [ ( z +5 )   +  ] , 将 。 一9 一

f   一   4 ,

l n =0 ,

一   ,

z 。 代入得 , z   一2  +£   +9 一z   一A   ( z   +1 0 x +2 5 +

9 一z   ) , 即2 ( 5 2   +t ) x +3 4 2   -t 。 一9 —0对 z ∈[ 一3 ,   3 ] 恒成立 ,

卟 一   。   ‘

所 以 存 在 满 足 条 件 的 点 B,它 的 坐 标

.  .

{ l

f  +  o ,

3 z A 2 一 一9 一O ,

1 一

或{

f   一 1

l £ 一m5

( 舍

为 ( 一 号 , o ) .

对已有的知识进行新定义 , 已 经成 为 高 考 的一 大  亮点 , 这就要求 教师学 生 面对陌生 环境 , 能迅 速提取

去 ) , 所 以 存 在 点 B ( 一 号 , o ) 对 于 圆 C  ̄ i : r : - 点 P ,

都 _ 伺 -   P B 为 常 数 詈 .

评注 : 当然通过“ 阿波罗尼斯圆” 的定义就 知道答  案的取舍很 为方便 .

2 .南 京 三模 卷

有用 信息 , 善于挖 掘概 念 的内涵 与本质 , 并合 理迁移

运 用 已 学 的 知 识 加 以解 决 .

若 能在平时多做 积累 相信 自身平 时有一潭 清澈

在 直 角 坐 标 系   G   中 , 椭 圆 苦 + 普 一 1 的 左 、 右 焦

点分 别 为 F l 、 F 2 , 点 A 为 椭 圆 的左 顶 点 , 椭 圆上 的 点 P

在第一象 限, P F 1 j I P F 2 , 圆 0的方程为  +2 2 —4   ( 1 )求点 P 坐标 , 并判 断直 线 PF 2与圆 0 的位

. . . . I ◇  : :   鸯‘ ‘ 阿 液 罗 尼 斯 圃 ’ ’够再

仪征 教 师进修 学校 朱 波 2 1 1 4 0 0

本文介绍“ 阿波 罗 尼 斯 网” 的定 义 , 以及 在 高 考 及  模 拟 考 试 中的 应用 , 着 重 介 绍 作 为 一 种 解 题 方 法 对 优

可 是 若 从 轨 迹 的角 度 去 求 解 , 即在 平 时 的 教 学 中  注意 渗 透 了“ 阿 波 罗 尼斯 ” 圆的 定 义 , 则 该 题 的 解 决 简

化解题培养解题习惯增强数学信 心有很大 的帮助.

阿 波 罗 尼 斯 圆 的定 义 : 在 平 面 上 给 定 相 异 的 两 点

D ^

洁明了且运算简捷. 求解 过程 如下 :

因为 A B= 2 ( 定长) , 可 以 以

A、 B, 设 P点在同一平面上且 满足  i  t f— 当 > O且  ≠1时 P点轨迹 是一 个 阋, 这个 圆我们 称为 阿波 罗

尼斯 圆. 这 个 结 论 称 为 阿 波 罗 尼 斯 轨 迹定 理 .

A B所在的直线为 z轴 , 其中垂线

为  轴 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 A  A   0   \ \  B   /  /

( 一1 , O ) , B( 1 , O ) , 设 C( x ,  ) , 由

、 \ 、 ~

, 化

“ 阿 波 罗 尼斯 圆” 典型应用 :

A C

B C可得

I _

2 0 0 8年江苏高考题第 l 3题 : 若 AB=2 , AC  ̄ / 2

BC , 则S △ A 8 c 的最大值

一 — —

简得 ( z 一3 )   +  一8 , 即 c在 1 7 2 ( 3 , o ) 为 圆心 , 2   为 半径

的圆 上 运动 . 又

答案: 2 √ 2

一 去・ A B・  j l —I  I ≤   .

高考考试说 明上给 出的说 明 : “ 命题 者本 意考查  三角形 面积公式 、 余弦定理及 函数思 想. ” 可谓立意新  颖, 题意 简明 , 但 是运算量 大处理有 难度. 求解 如下 :

评析 : 如上解题简 洁, 省 去 了求 解 变 量 取 值 范 围  的过 程 , 另 义 避 免 了 复 杂 的构 造 运 算 , 求解运算简单.

设B C=x, 则 AC一√

根 据 面积 公 式 得 : S A  一

/ l 2 8  ( z   一1 2 )

一   — — —   —

其实像这样来源于数学史 , 数学定义 的题型还不  甚枚举. 如果在 平时 的教学 中我们能 够较多 的渗透 ,   对 于进 一 步 培 养 学 生 的数 学 学 习兴 趣 , 有 极 大 的

帮助.

二 、“ 阿波 罗尼斯 圆” 在2 0 0 9 、 2 0 1 0历 次 模 拟 测  试 中的 应 用 :

s 一

一z

√ 1 一 ( 4 _ 4   X 2  ̄ , 2

l 6

/ l 2 8 一( z   一1 2 )

1 .扬州 市高三一模

已 知 圆 C:

z 。 +Y   一9 , 点A   ( -5 , 0 ) , 直线 z : z 一2 Y —O ・   ( 1 )求 与 圆 C相 切 , 且 与 直  线z 垂 直 的直 线 方 程 ;

, ,     L

, \ /

由三边关 系: 有 , / 2   f   z +z >2   得2 √ 2   2 <  < 2

l   +2 >√   z

+ 2

故 当 x=2 √ i 时S △   B c 取最大值 2 √

( 不 同于点 A) , 满足: 对于 圆 C上任 一 点 P, 都有  p R

任意一点 M , 都有

为常数 , 若存 在 , 求所 以满足条

为一常数 , 试求所有满足条件 的点 B的坐标.

评析 : 该题 属 于解 析 几何 中直 线 与 圆 问题 的考  察, 第二 问其设置原型 即来源 于“ 阿波罗 尼斯” 圆的定  义. 如果熟 悉 了定 义那 么必定 增 强解 决该题 的信 心 ,   从而从容 面对 复杂的化简计算过程. 具体求解如下 :

件 的点 B的坐标 ; 若不存在 , 说 明理 由.

第一 问解略 , 第二 问解题如下 :

( 2 )没点 M 的 坐 标 为 ( z,  ) , 则3 / " 。 一 F y 。 一4 .   假 设 存 在 点 B( m,  ) , 时 于 oO 上任 意一 点 M , 都  有  M  B为 常 数

解: ( 1 ) 设既 直线方程为y 一一 2 x +b , 即2 x +

则 M  一

m)   +(

) 。 , 』  。 一( z +3 )   +  ,

6— 0,

・ .

‘ 直线 与圆相 切  ・

V 厶  f   1

一3 , 得 6 一±3 √ 5,

所 以   连

f 3 2 + m一 0 ,

以  2 n = 0,

一   ( 常 数 ) 恒 成 立 .

可得 ( 6 A  ̄2 m) x +2 n y +1 3 A -m   -n   一4 - - 0 , 所

‘ . .

所求直 线方 程为 — 2  ±3 √

( 2 )假 设 存 在 这 样 的 点 B( t , 0 ) , 使得  r n D为   T 】   常数

则 P B 。 一  P A   ,

. .

I 1 3 A — m 2 一   2 - 4 =0 .

( z 一£ )  +  一  [ ( z +5 )   +  ] , 将 。 一9 一

f   一   4 ,

l n =0 ,

一   ,

z 。 代入得 , z   一2  +£   +9 一z   一A   ( z   +1 0 x +2 5 +

9 一z   ) , 即2 ( 5 2   +t ) x +3 4 2   -t 。 一9 —0对 z ∈[ 一3 ,   3 ] 恒成立 ,

卟 一   。   ‘

所 以 存 在 满 足 条 件 的 点 B,它 的 坐 标

.  .

{ l

f  +  o ,

3 z A 2 一 一9 一O ,

1 一

或{

f   一 1

l £ 一m5

( 舍

为 ( 一 号 , o ) .

对已有的知识进行新定义 , 已 经成 为 高 考 的一 大  亮点 , 这就要求 教师学 生 面对陌生 环境 , 能迅 速提取

去 ) , 所 以 存 在 点 B ( 一 号 , o ) 对 于 圆 C  ̄ i : r : - 点 P ,

都 _ 伺 -   P B 为 常 数 詈 .

评注 : 当然通过“ 阿波罗尼斯圆” 的定义就 知道答  案的取舍很 为方便 .

2 .南 京 三模 卷

有用 信息 , 善于挖 掘概 念 的内涵 与本质 , 并合 理迁移

运 用 已 学 的 知 识 加 以解 决 .

若 能在平时多做 积累 相信 自身平 时有一潭 清澈

在 直 角 坐 标 系   G   中 , 椭 圆 苦 + 普 一 1 的 左 、 右 焦

点分 别 为 F l 、 F 2 , 点 A 为 椭 圆 的左 顶 点 , 椭 圆上 的 点 P

在第一象 限, P F 1 j I P F 2 , 圆 0的方程为  +2 2 —4   ( 1 )求点 P 坐标 , 并判 断直 线 PF 2与圆 0 的位

. . . . I ◇  : :   鸯

范文七:回归教材阿波罗尼斯圆

回归教材——阿波罗尼斯圆

原题:

A(3,0)距离的比为已知一曲线是与两个定点O(0,0)、

并画出曲线。

解:设点M(x,y)是曲线上任意一点,

1的点的轨迹,求此曲线的方程,21,整理即得到该曲线的方程为: 2

(x1)2y24。

一般地,平面内到两个定点距离之比为常数(1)的点的轨迹是圆,此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”。

这是一个很有趣的圆,下面我们先来解决它的“逆向”问题:

引申1:

在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B,使得圆x2y24上任意一点到A、B两点的距离之比为常数1?如果存在,求出点A、B坐标;如果不存在,请说明理由。 2

解:假设在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B,使得圆x2y24上任意一点到A、B两点的距离之比为常数

1,设P(x,y)、A(x1,0)、B(x2,0),其中x2x10。

21对满足x2y24的任何实数对(x,y)恒成立, 2

222整理得:2x(4x1x2)x24x123(x2y2),将xy4代入得:

22x(4x1x2)x24x1212,这个式子对任意x[2,2]恒成立,所以一定有:

4x1x20,因为x2x10,所以解得:x11、x24。 22x24x112

所以,在x轴正半轴上是否存在两个定点A(1,0)、B(4,0),使得圆xy4上任意一点到A、B两点的距离之比为常数221。 2

引申2:

再来介绍一个看似与阿波罗尼斯圆“风马牛不相及”的问题:

如图,铁路线上线段AB100km,工厂C到铁路的距离CA20km。现要在A、B之间某一点D处,向C修一条公路。已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3:5,为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少,点D应选在何处?

此问题可以用阿波罗尼斯圆迅速得到解答,你相信吗?

解:建立如图所示直角坐标系,

先求到定点A、C的距离之比为

动点P(x,y)的轨迹方程,

即:

3的53,整理即得动点5

P(x,y)的轨迹方程: BX

4x24y290y9000,

令y0,得x15(舍去正值)即得点D(15,0),DA15,DC25。下面证明此点D即为所求点:

自点B作CD延长线的垂线,垂足为E,在线段BA上任取点D1,连接CD1,再作D1E1BE于E1。

设每吨货物运输1km的铁路费用为3k(k0),则每吨货物运输1km的公路费用为5k,如果选址在D1处,那么总运输费用为y3kBD15kDC(3BD15DC11)k,

而BE1D1∽BED∽CAD,∴BD1CD255,∴3BD15E1D1, E1D1AD153

那么总费用y(3BD15DC1)k(E1D1DC1)5k(CDDE)5k5kCE, 当且仅当点C、D1、E1共线时取等号。总上所述,点D即为所求点。

作者:马力仲

单位:广东仲元中学

通讯地址:广东省广州市番禺区广东仲元中学

邮政编码:511400

电话:13312806463

电子信箱:panyuweijie@21cn.com

范文八:阿波罗尼斯圆的深入探究

固本・归细整理

^鑫

阿波罗尼斯圆的深入探究

我们大概知道所学的二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线和圆)一般有三类定义.利用“到两个定点的距离之和或差”可以定义椭圆或双曲线,利用“到一个定点的距离”可以定义圆(第一定义);利用“到一个定点和一条定直线的距离之比”可以定义椭圆、双曲线和抛物线,利用“到两个定点的距离之比”可以定义圆(第二定义);利用“与两个定点连线的斜率之积”可以定义椭圆、双曲线和圆(第三定义,不清楚的同学,可参见本刊本版2013年第2期中的《例说高考解析几何试题的源和流》一文).

这里我们最不熟悉的可能是,利用“到两个定点的距离之比”可以定义圆(即阿波罗尼斯圆),因为我们没有深入研究过这个问题.本文就从这个问题出发,作一番较为深入的探究,供同学们参考.

问题

已知某平面上有两个定点(记

普器孔可得筹器端刊,

解得OP--号差竿d,且oP的两个解的均

值为鲁三,差的绝对值为S刍.于是得点值为誉等d,差的绝对值为≥兰.于是得点

P的两个特殊位置(记为)M,N以及它们的中点(记为)C,不妨设靠近点0的为M,远离

点。的为N,则0.M一荨i{d,ON=芸暑d,

OC-彗等d,于是有cM—CN----i1

2Ad

A2—1。

MN

4DB

、、、

一_

图、、1

冉考虑一般情况。如图l,当点P在该半

为)A,B,它们之间的距离(AB)为定值2d(d>0),设该平面上有一个动点(记为)P,它到

A,B的距离之比(两PA)为定值A(A>1),求

动点P的轨迹.

解法1

(平面几何思路)设AB的中

d2+0P2—2d・0Pcos/BOP

点为0,则0A—OB一寺AB—d.由A>1,知

点P在线段AB中垂线的靠近点B的一侧.

先考虑特殊情况。如图1,当点P在直线

得筹黑OP妥2d肄O艄Pcos筹器鼍篇篇刊,解得oP…,……’

面上运动时,由筹一A2以及余弦定理,可

个寸d2+

2一

“’““”

BOP刊,也即

…”1…。‘

一9三上旦堕譬兰兰堑鲨!≥丝d,其中△一(Az+z一1

1)2COS2/BOP一(A2一I)2.

所以CP2一OC2+OP2—20C・OP・

AB上时,由两PA—A以及共线关系,可得

c。s么卿一(尚)2∽+1)2+(南)2・

矿一

固本・归细整理

[(A2+1)cosZBOP4-V'-五]2-2・—鲁(A2+

Az,可得动点P的轨迹方程为(z一等等d)2

1)・去[(A2+1)cos/'BOP±,l-X]・

+y2=(矛2A—d1',l

2.

c。sLBOP一(南)。㈨2+1)2+2㈠

所以动点P的轨迹形状为:圆心为点

+1)2COS2么BOP一(A2—1)2±2(A2+1)・

C{\AA。2一q-1id,o),半径为r一砉耸的圆,并且可

COS么BOP・拓一2(A2+1)2

COS2么BOP千

以发现动点P的轨迹(即圆C)与直线AB(即z轴)的交点(即一条直径的两个端点)

2(A2+1)c。sZBOP・怄]一\{A2。X—dI)2.

于是CP2一础一CN2一(MN).

为M\[AA十--ild,o),N\[AA+一ild,o).

点评

很明显地,利用解析(数形结

或者,也可以算得MP2+NP2一01W+

合)的思路解决这个问题更加简捷.

ON2+20P2—20M・OPcos么COP一20N

探究1

上面的解法都是以给定线段

・OPcos么COP=MN2.

或者,延长AP至A7,连结MP,NP,设

AB的中点O为参照点(原点)来研究问题的;实际上,完全可以以其他点为参照点(原点),P到AB的距离为h,M到AP,BP的距离

都不会影响轨迹的大小和轨迹相对于定点A,‰¨于是跞SAPAMPBM一;糍2一黜1,又

分别为h。,h。,N到AP,BP的距离分别为

B的位置(请你从数学、物理的角度,认真理解位置的相对性和必须有参照系性).

J△

』上J’,£

』yJ上J’,

等一器孔所龇砘’即MP平分

为此,继续研究A,B,0,M,N,C这6个比较特殊的点,不难发现如下结论:这6个么APB,同理h。一h。,即NP平分么A7PB,点都在定直线AB上,研究其他点相对于点所以/MPN=90。.

0的位置(方向和距离),即其他点在O为原

所以动点P的轨迹形状为i“圆心为在点时的坐标,可得大小关系:一d<o<:甚d

直线AB上靠近点B且到线段AB中点O

距离为荟等d的点c,半径,。A2。A—di”的圆,

7AA。2一+ild<篆号d,因此可得位置顺序:

即“一条直径的两个端点为在直线AB上靠

沿AB方向排依次是A,0,M,B,C,N;除了

上面的AB,OA,OB;OC,OM,ON及MN,

近点B且到线段AB中点0距离为等吾d,

CM,CN这9个线段的长度,其他6个线段

芒里d的点M,N,,的圆.

的长度为:CA一善等,CB一苦,MA一

解法2

(平面解析几何思路)以直线

AB为z轴,向量蕊方向为z轴正方向,线

篇,MB一而2d,NA=1,NB一而2d.

因此,如果以A为参照点(原点),则其他

段AB的中垂线为y轴,在该平面内建立坐标系xOy,则0(0,o),A(一d,O),B(d,0).

黑甜圳n筹筹一设动点P(z,y),由篆一A2,可得

AM一篇一紫<AB一2d一

点都在点A的同侧,且AO—d一璺;}挈<

等半<AC一篙<AN一篇

固本・归细整理

一!;墨:±;墨!垡

A2—1

与MC,MB,MN,MO,MA的表达式的互

换,也就是N与M的互换.想一想这说明什么?说明字母(点的记号)N与M具有对称性.

至此,请再注意一个有趣的现象:将

如果以B为参照点(原点),则A,0,M在点B的一侧,BA一2d,BO—d,BM一

鬲,c,N在点B的另一侧,BC--鬲2d,

BN一兰.

这里,请注意一个有趣的现象:将T1与

A互换并取绝对值,可以实现AO,AM,AB,AC,AN分别与BO,BM,BA,BC,BN的表达式的互换,也就是A与B的互换.想一想这说明什么?说明字母(点的记号)A与B具有对称性.再想一想“A>1”这一假定能否包含这个问题的所有情况?当然能.

如果以C为参照点(原点),则N在点C

型土上1

Fa-+可-I,i笔分别与A,d互换(注:篆苦j—

A—--—1一l

n二藻至筘譬}一∽,可以实现A,B,。分

别与N,M,C的互换.想一想这说明什么?说明字母(点的记号)A,B,O分别与N,M,C具有对称性(请你从数学、物理的角度,认真体会静止和运动,即定和动的相对性).

请同学们结合图2,探究6个点之间的位置关系.

的一侧,CN一詈兰,B,M,0,A在点c的另

一侧,∞一篇,cM一筹,o。一猪d,CA一磐.

如果以N为参照点(原点),则其他点都

探究2

上面的研究都是围绕6个点

在点N的同侧,且Nc一而2Ad<NB—jF2d可一半竿<刚..Ⅵ一而4ad<No—a而q-1d一譬竿<NA一而2ad一等半.

如果以M为参照点(原点),则N,C,B

所构成的15条线段的长度的大小关系来进行的,下面让我们针对15条线段的长度的运算关系来做一些研究(这里重点研究乘除关系,因为加减关系从图中很容易得出).

在点M的一侧,MN一而4ad,Mc一而21d,

MB—l告,o,A在点M的另一侧,AdO一

只看A。B,N,M这4个点,有筹舍一篇--,l>1@,等价(对称)地有嚣一筹一

竺j>1②.据此可以定义:M,N分别为分

线段AB(不能写成BA)成定比A的内、外分点;等价(对称)地可以定义:B,A分别为分

崭d,M一篇.

这里,也请注意一个有趣的现象:将

线段NM(不能写成MN)成定比篝三{的内、

外分点.

芸苦与,Fl+可1且--换.,即将一A与A互换并取绝

对值,可以实现NC,NB,NM,NO,NA分别

处碉一NM一一NB十一NA

~.2

】.1

MN一丽一

21

固本・归细整理

丽1一A丽2--1④,等价(对称)地还有磊一南

“以线段AB为直径的圆0上的点”到+上一三一1AN

“分线段AB成定比A的外、内分点N,M”的

BA

BM上BN一土d④.

d‘

距离之比为:岩,而圆心O到点N,M(可视

因此,可以定义:A,B,N,M为以A,B

/、上1、2

(或N,M)为基点,M,N(或B,A)为内、外分

为--xCK演点)的距离之比为*兰÷鲁.

点,A(或芸号)为分比的调和点列.

总之,根据对称性(定和动的相对性),可视A,B为定点,则N,M在一定圆上转加入0。C这2个点,有CA・CB=CN・

动,也可视N,M为定点,则A,B在一定圆CM一(一甜一酣一(丢NM)2\22…--1/2

上转动.想一想,如果以某个第三方为参照点(系),让A,B,N,M都转动起来呢?想象(等价于①),等价(对称)地有ON・OM—

一下太阳系(恒星、行星、卫星)的运动.

OA・OB(=OA2一OB2一(1AB)。1一∥(等价

实际上,如果A(或B)不动,N,M在一于②).据此可以定义:B,A互为关于以线段个定圆上转动,则B(或A)的轨迹是一条直NM为直径的圆C的反演点;等价(对称)地可线;而“A(或B)”和“B(或A)的轨迹”往往被以定义:M,N互为关于以线段AB为直径的圆称为相应定圆的一组极点和极线……

0的反演点.

最后。请同学们研究:加入“以线段NM还有NB・NA=NO・NM一孝备,为直径的圆C”、“以线段AB为直径的圆0”的根轴(公共弦)与直线AB(即NM)的交点MB・MA—MO・MN--群备(等fr

(记为)D后,又有哪些结论?

③),等价(对称)地还有AM・AN—AC・

提示:CD--三弩,oD一蔷寻d,故CO

AB--阿4A2d2,BM・BN=BC・BA--篙

.cD—cN.cM—f老芝1\^一l/

2,oc.oD一(等价于④).

OA・0B—d2,即D,0互为关于以线段NM此外,不难发现,有器一豁一篙一

为直径的圆C的反演点,D,C互为关于以线段AB为直径的圆O的反演点……如图3,A2>1,等价(对称)地有器一可BN河2一面AN河2一

请同学们继续研究.

搿>1;还有,当0<;l_%1+,/-fin,AB%

,7

,一~、I

、、I

,/

X一、、、

NM;当A>1+厄时,AB>NM.

探究3

最后,结合“以线段NM为直

径的圆C”以及“以线段AB为直径的圆0”,可以得到如下结论:

图3

“以线段NM为直径的圆C上的点”到

“分线段NM成定比笆望的外、内分点A,B,,

编者按关于定比分点、反演点、极点

极线及其本质“调和点列”、“阿波罗尼斯圆”的距离之比为A,而圆心C到点A,B(可视为的更多研究,请参见本刊本版本期中的最后一对反渲点)的距离之比为A

2:

两篇文章.

p。、

范文九:阿波罗尼斯圆教学案

课题:阿波罗尼斯圆

苏州市三中唐庆明

一.课本题再现:

1.(苏教版必修二P100,10)已知两个定点A(2,0),B(4,0),若动点P满足

点P的轨迹是 PA1,则PB2

x2y2

1的左焦点和右焦点的距离之比为2.(苏教版选修21P34,7)已知点M与椭圆169144

2:3,则点M的轨迹方程.

P点的轨迹是.

二.阿波罗尼斯圆内容:

P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆. ,当0,且1时,,当0,且1时,

M、

N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗尼斯圆的直径.

三.例题呈现:

1.(08年江苏)若AB2,AC

22.已知点A(2,0),B(4,0),圆C:x4y16,P是圆C上任意一点,问:是否存在22BC,则SABC的最大值.

常数,使得

PA?若存在,求出常数;若不存在,请说明理由. PB

23.已知A(2,0),圆C:x4y16,P是圆C上任意一点,问:是否存在定点B,使得2

PA1?若存在,求出点B;若不存在,请说明理由. PB2

24.已知P是圆C:x4y16任意一点,问:在x

21?2

若存在,求出点A、B;若不存在,请说明理由.

5.(13年江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A0,3,直线l:y2x4.设圆的半径为1,圆心在l上.

(1) 若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(2) 若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

范文十:从课本中的阿波罗尼斯圆问题

从课本中的阿波罗尼斯圆问题

探讨数学文化在教学中的渗透

靖江市第一高级中学 数学组 印栋

E-mail: yde2003@163.com 邮编:214500

克莱因在其名著《西方文化中的数学》中指出:数学是一种精神,一种理性的精神.正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度,亦正是这种精神,试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵.因此,美国数学学会主席魏尔德说:“数学是一种会不断进化的文化”.正是数学与文化以及数学文化的不断交融及相互促进,才使数学在人类文明的发展中起到了举足轻重的作用并获得了如此多的赞誉.在新课程改革中,数学文化不再是被孤立的装饰品,而是渗透在相关模块和专题中.

新课标《苏教版·必修2》在第2章平面解析几何初步第2.2节圆与方程介绍了圆的标准方程和一般方程后编排了这样一道习题:

0),A(3,0)的距离之比为1/2,那么点M习题2.2(1)10.已知点M(x,y)与两个定点O(0,

的坐标应满足什么关系?画出满足条件的点M所形成的曲线.

分析:由于有了课上推导圆标准方程的过程可作为参照,大部分学生不需费太多的气力就可以解出上述的问题,解法如下.

解析:由题知MO/MA1/2,将距离公式代入可得

化简整理即得到该曲线的方程为: 1, 2

(x1)2y24.

因此,所求点M所形成的曲线是以(-1,0)为圆心,2为半径的圆(图略).

这道题实际上源自约公元前262~前190的古希腊人阿波罗尼斯(Apollonius of Perga,也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”)在其巨著《圆锥曲线论》给出的一个著名的几何问题:“在平面上给定两点A、B,设P点在同一平面上且满足PA/PB,当大于0且≠1时,P点的轨迹是个圆”,这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”,这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹”.

同上题一样,我们用解析法完全可以证明:与A、B距离之比等于的动点轨迹为圆.但如果每题都先用解析法求出圆的方程,再根据圆心及半径作出圆,显然很费事,特别是对一些选择题或填空题如此解法实在小题大做,能

波罗尼斯圆的简捷作法?下述定理可给出明

定理:A、B为两已知点,P、Q分别为

的定比为(≠1)的内、外分点,则以P、Q

否找出阿确答案. 线段AB为直径的

⊙O上任意点到A、B两点的距离之比等于常数.

证明:不妨以>1为例.

设ABa,过B作⊙O的与直径PQ垂直的弦CD,则AP

BQa. 1aaaPBAQ,,,111

由相交弦定理及勾股定理有

aaa2

BCPB·BQ2,111 222aaAC2AB2BC2a222,11

ACaa. 于是BC且,AC,22BC112

从而,P、Q、C同时在到A、B两点距离之比等于的曲线(即圆)上,而不共线的三点所确定的圆是唯一的,因此,⊙O上任意点到A、B两点的距离之比等于常数.

根据以上过程,关于阿波罗尼斯圆我们还有如下一些显然的性质(证明略).

①因AC2APAQ,故AC为⊙O的一条切线;

②点C为⊙O的切线AC的切点,CP、CQ分别为ACB的内、外角平分线;

③当>1时,点B在⊙O内,点A在⊙O外;当0

⑤过点B作⊙O的不与CD重合的弦EF,则AB平分EAF.因为

BC2BE·BFAB·BO,所以A、F、O、E四点共圆,AB平分EAF.

结合其中的部分性质,我们可以尝试一些应用:

应用1 在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B,使得圆x2y24上任意一点到A、B两点的距离之比为常数1/2?如果存在,求出点A、B坐标;如果不存在,请说明理由.

解:假设在x轴正半轴上存在两个定点A、B,使得圆x2y24上任意一点到A、B两

xx10. 点的距离之比为常数1/2,设P(x,y)、A(x1,0)、B(x2,0),其中2

由题

12

对满足x2y24的任何实数对(x,y)恒成立,

整理得

22x(4x1x2)x24x123(x2y2),

将xy4代入得:

22x(4x1x2)x24x1212, 22

这个式子对任意x2,2恒成立,所以一定有:

4x1x2022x24x112,

因为x2x10,所以解得x11、x24.

所以,在x轴正半轴上是否存在两个定点A(1,0)、B(4,0),使得圆x2y24上任意一点到A、B两点的距离之比为常数1/2.

应用2 铁路线上线段AB100km,工厂C到铁路的距离CA20km.现要在A、B之间某一点D处,向C修一条公路.已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3:5,为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少,点D应选在何处?

解:以点A为原点,AB所在直线为x轴,过点C垂直AB的直线为y轴建立直角坐标系,

0)20)则A(0,,C(0,.

3先求到定点A、C的距离之比为的动点P(x,y)的轨迹方程,即

5

35,

整理即得动点P(x,y)的轨迹方程:

4x24y290y9000,

0),DA15,DC25.下面证明此点D令y0,得x15(舍去正值)即得点D(15,

即为所求点:

自点B作CD延长线的垂线,垂足为E,在线段BA上任取点D1,连接CD1,再作D1E1BE于E1.

设每吨货物运输1km的铁路费用为3k(k0),则每吨货物运输1km的公路费用为5k,如果选址在D1处,那么总运输费用为

y3kBD15kDC(3BD15DC11)k,

而BE1D1∽BED∽CAD,∴

那么总费用 BD1CD255,∴3BD15E1D1, E1D1AD153

y(3BD15DC1)k(E1D1DC1)5k(CDDE)5k5kCE,

当且仅当点C、D1、E1共线时取等号.

综上所述,点D即为所求点.

此外,阿波罗尼斯圆也在历年高考中频频出现:

(1)(2003年北京春季高考卷)设A(c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到点A 的距离与到点B的距离的比为定值a(a>0),求点P的轨迹.

(2)(2005年高考数学江苏卷)⊙O1与⊙O2的半径都是1,⊙O1与⊙O2切线PM、PN

(M、N 分别是切点),使得PM=2PN,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.

(3)(2008年高考数学江苏卷)满足条件AB2,AC2BC的ABC的面积的最大值. 以上试题体现了新课标的要求:了解概念、结论等产生的背景、应用,获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,体会其中所蕴涵的数学思想和方法.通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程.

此外,对像阿波罗尼斯圆这样经典的数学文化课题的研究,还有利于学生进一步丰富自己的探索体验,进一步完善自己的知识体系,为后续的学习留下发展的空间.比如,阿波罗尼斯圆上的任意一点到两个定点的距离之商为定值,什么图上任意一点到两个定点距离之和为定值呢?到两个定点距离之差为定值的动点的轨迹是什么呢?能否判断到两个定点距离之积为定值的动点轨迹是什么图像呢?

教育是文化的一部分,是文化赖以延续和发展的基础,也是文化不断创新的发展的动力.新课改教材在相关章节中都附有以数学文化内容渗透为目的的阅读素材,这正是数学文化教育发展趋势的体现.如何处理好这些内容,不断发掘数学文化的教学价值,是每个数学教师的光荣使命,也是我们青年教师成长的努力方向.