阿尔伯特亲王穿刺

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范文一:希尔伯特:数学界的无冕之王

数学界的无冕之王--希尔伯特

(一)希尔伯特及其主要数学成就

希尔伯特(D.Hilbert,David,1862~1943)德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。中学时代,希尔伯特就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活深刻地掌握和应用老师讲课的内容。1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位,留校任教,1895年,转入哥廷根大学任教授,此后一直在哥廷根生活和工作。在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间,他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后,他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。

希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的哥廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序,他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础,其间穿插的研究课题有:狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中,他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为,科学在每个时代都有它自己的问题,而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出:“只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止”。在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题,后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说:“在我们中间,常常听到这样的呼声:这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为在数学中没有不可知”。三十年后,1930年,在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中,针对一些人信奉的不可知论观点,他再次满怀信心地宣称:“我们必须知道,我们必将知道”。希尔伯特的《几何基础》(1899年)是公理化思想的代表作,书中把欧几里得几何学加以整理,成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统,并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年,又着手研究数学基础问题,经过多年酝酿,于二十年代初,提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统,并从不假定实无穷的有穷观点出发,建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质,从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明,以便克服悖论所引起的危机,一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而,1930年,年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔(K.Godel,1906~1978)获得了否定的结果,证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说,希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性,并继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》(三卷),其中包括他的著名的《数论报告》)、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等,与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。

(二)希尔伯特的二十三个数学问题及其解决情况

(1) 康托的连续统基数问题。

1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。1938年,侨居美

国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科思(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下,问题已获解决。

(2) 算术公理系统的无矛盾性。

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

(3) 只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

问题的意思是:存在两个登高等底的四面体,它们不可能分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等德思(M.Dehn),1900年已解决。

(4) 两点间以直线为距离最短线问题。

此问题提的一般。满足此性质的几何很多,因而需要加以某些限制条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布,在对称距离情况下,问题获解决。

(5) 拓扑学成为李群的条件(拓扑群)。

这一个问题简称连续群的解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年,由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zippin)共同解决。1953年,日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

(6) 对数学起重要作用的物理学的公理化。

1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来,在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化,很多人有怀疑。

(7) 某些数的超越性的证明。

需证:如果α是代数数,β是无理数的代数数,那么αβ一定是超越数或至少是无理数(例如, 、e、π)。苏联的盖尔封特(Gelfond)于1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)于1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前,确定所给的数是否超越数,尚无统一的方法。

(8) 素数分布问题,尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。

素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均属中国数学家陈景润。

(9) 一般互反律在任意数域中的证明。

1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷(E.Artin)各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

(10) 能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解?

求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图(约210-290,古希腊数学家)方程可解。1950年前后,美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年,巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明:在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系。

(11) 一般代数数域内的二次型论。

德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代,法国数学家外尔(A.Weil)取得了新进展。

(12) 类域的构成问题。

即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果,离彻底解决还很远。

(13) 一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。

七次方程 的根依赖于3个参数a、b、c;x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来?此问题已接近

解决。1957年,苏联数学家阿诺尔德(Arnold)证明了任一在[0,1]上连续的实函数 可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9),这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数,ξij的选取可与f完全无关。1964年,维土斯金(Vituskin)推广到连续可微情形,对解析函数情形则未解决。

(14) 某些完备函数系的有限的证明。

即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi(i=1,…,m),R为K[X1,…,Xm]上的有理函数F(X1,…,Xm)构成的环,并且F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]试问R是否可由有限个元素F1,…,FN的多项式生成?这个与代数不变量问题有关的问题,日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

(15) 建立代数几何学的基础。

荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年,外尔1950年已解决。

(15)注一舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础。

一个典型的问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

(16) 代数曲线和曲面的拓扑研究。

此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N(n)和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2(即二次系统)的情况,1934年福罗献尔得到N(2)≥1;1952年鲍廷得到N(2)≥3;1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3,这个曾震动一时的结果,由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置,中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了(E2)不超过两串。1957年,中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年,中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下,与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年,秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环,并且是(1,3)结构,从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题,并为研究希尔伯特第(16)问题提供了新的途径。

(17) 半正定形式的平方和表示。

实系数有理函数f(x1,…,xn)对任意数组(x1,…,xn)都恒大于或等于0,确定f是否都能写成有理函数的平方和?1927年阿廷已肯定地解决。

(18) 用全等多面体构造空间。

德国数学家比贝尔巴赫(Bieberbach)1910年,莱因哈特(Reinhart)1928年作出部分解决。

(19) 正则变分问题的解是否总是解析函数?

德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein,1929年)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939年)已解决。

(20) 研究一般边值问题。

此问题进展迅速,己成为一个很大的数学分支。日前还在继续发展。

(21) 具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅(Deligne)作出了出色贡献。

(22) 用自守函数将解析函数单值化。

此问题涉及艰深的黎曼曲面理论,1907年克伯(P.Koebe)对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

(23) 发展变分学方法的研究。

这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。可见,希尔伯特提出的问题是相当艰深的。正因为艰深,才吸引有志之士去作巨大的努力。

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数学界的无冕之王--希尔伯特

(一)希尔伯特及其主要数学成就

希尔伯特(D.Hilbert,David,1862~1943)德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。中学时代,希尔伯特就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活深刻地掌握和应用老师讲课的内容。1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位,留校任教,1895年,转入哥廷根大学任教授,此后一直在哥廷根生活和工作。在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间,他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后,他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。

希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的哥廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序,他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础,其间穿插的研究课题有:狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中,他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为,科学在每个时代都有它自己的问题,而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出:“只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止”。在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题,后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说:“在我们中间,常常听到这样的呼声:这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为在数学中没有不可知”。三十年后,1930年,在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中,针对一些人信奉的不可知论观点,他再次满怀信心地宣称:“我们必须知道,我们必将知道”。希尔伯特的《几何基础》(1899年)是公理化思想的代表作,书中把欧几里得几何学加以整理,成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统,并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年,又着手研究数学基础问题,经过多年酝酿,于二十年代初,提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统,并从不假定实无穷的有穷观点出发,建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质,从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明,以便克服悖论所引起的危机,一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而,1930年,年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔(K.Godel,1906~1978)获得了否定的结果,证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说,希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性,并继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》(三卷),其中包括他的著名的《数论报告》)、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等,与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。

(二)希尔伯特的二十三个数学问题及其解决情况

(1) 康托的连续统基数问题。

1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。1938年,侨居美

国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科思(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下,问题已获解决。

(2) 算术公理系统的无矛盾性。

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

(3) 只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

问题的意思是:存在两个登高等底的四面体,它们不可能分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等德思(M.Dehn),1900年已解决。

(4) 两点间以直线为距离最短线问题。

此问题提的一般。满足此性质的几何很多,因而需要加以某些限制条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布,在对称距离情况下,问题获解决。

(5) 拓扑学成为李群的条件(拓扑群)。

这一个问题简称连续群的解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年,由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zippin)共同解决。1953年,日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

(6) 对数学起重要作用的物理学的公理化。

1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来,在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化,很多人有怀疑。

(7) 某些数的超越性的证明。

需证:如果α是代数数,β是无理数的代数数,那么αβ一定是超越数或至少是无理数(例如, 、e、π)。苏联的盖尔封特(Gelfond)于1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)于1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前,确定所给的数是否超越数,尚无统一的方法。

(8) 素数分布问题,尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。

素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均属中国数学家陈景润。

(9) 一般互反律在任意数域中的证明。

1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷(E.Artin)各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

(10) 能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解?

求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图(约210-290,古希腊数学家)方程可解。1950年前后,美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年,巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明:在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系。

(11) 一般代数数域内的二次型论。

德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代,法国数学家外尔(A.Weil)取得了新进展。

(12) 类域的构成问题。

即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果,离彻底解决还很远。

(13) 一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。

七次方程 的根依赖于3个参数a、b、c;x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来?此问题已接近

解决。1957年,苏联数学家阿诺尔德(Arnold)证明了任一在[0,1]上连续的实函数 可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9),这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数,ξij的选取可与f完全无关。1964年,维土斯金(Vituskin)推广到连续可微情形,对解析函数情形则未解决。

(14) 某些完备函数系的有限的证明。

即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi(i=1,…,m),R为K[X1,…,Xm]上的有理函数F(X1,…,Xm)构成的环,并且F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]试问R是否可由有限个元素F1,…,FN的多项式生成?这个与代数不变量问题有关的问题,日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

(15) 建立代数几何学的基础。

荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年,外尔1950年已解决。

(15)注一舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础。

一个典型的问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

(16) 代数曲线和曲面的拓扑研究。

此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N(n)和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2(即二次系统)的情况,1934年福罗献尔得到N(2)≥1;1952年鲍廷得到N(2)≥3;1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3,这个曾震动一时的结果,由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置,中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了(E2)不超过两串。1957年,中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年,中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下,与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年,秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环,并且是(1,3)结构,从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题,并为研究希尔伯特第(16)问题提供了新的途径。

(17) 半正定形式的平方和表示。

实系数有理函数f(x1,…,xn)对任意数组(x1,…,xn)都恒大于或等于0,确定f是否都能写成有理函数的平方和?1927年阿廷已肯定地解决。

(18) 用全等多面体构造空间。

德国数学家比贝尔巴赫(Bieberbach)1910年,莱因哈特(Reinhart)1928年作出部分解决。

(19) 正则变分问题的解是否总是解析函数?

德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein,1929年)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939年)已解决。

(20) 研究一般边值问题。

此问题进展迅速,己成为一个很大的数学分支。日前还在继续发展。

(21) 具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅(Deligne)作出了出色贡献。

(22) 用自守函数将解析函数单值化。

此问题涉及艰深的黎曼曲面理论,1907年克伯(P.Koebe)对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

(23) 发展变分学方法的研究。

这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。可见,希尔伯特提出的问题是相当艰深的。正因为艰深,才吸引有志之士去作巨大的努力。

范文二:与众不同的赫尔伯特

赫尔伯特是一只与众不同的羊。   星期一是剪羊毛的日子,所有的羊排着长长的队伍去剪羊毛,除了逃跑的赫尔伯特。赫尔伯特从来不去剪羊毛。   时间一天天过去,它身上的毛也越长越长,蓬松的羊毛使它看上去很庞大。无论是在森林里,还是在牧场上,一眼就能看到它。   整个羊群都是赫尔伯特的好伙伴―――不管是捉迷藏、滚草垛、做旋转游戏,还是玩炸弹式跳水,它们一起玩耍。羊群尊重并且接受赫尔伯特的选择,它们觉得赫尔伯特那云朵似的羊毛,正好给它们平凡、普通的生活带来新鲜的乐趣。   羊群对赫尔伯特的接受与认同,使它充满了创造力。它有的是新花样:捉迷藏的时候,大家都躲在树阴里、灌木丛后,只有赫尔伯特躲在伞一样的大树顶上;过生日的时候,赫尔伯特把自己洗得干干净净,在身上缀满红色的缎带蝴蝶结,看上去漂亮极了……   羊群一直在赫尔伯特身旁,它们羡慕、喜欢它的长羊毛,却再没有另一只羊模仿它。个性是一种创造力,对夸张的、外表的模仿,是对自己个性的不认同。   草原上的草绿了又黄了。赫尔伯特身上的羊毛还在不停地长长,重重的羊毛把它累坏了。终于,在一个星期天,赫尔伯特作出了一个重要决定,随着羊群一起去剪羊毛。   在有个性的外表和自由自在的生活之间,赫尔伯特选择了后者。   赫尔伯特的羊毛可真厚实!羊毛纺成线,织成围巾,赫尔伯特不仅送给每个伙伴一件这样温暖的礼物,还余下一团像天空一样高的毛线团,太不可思议了!   色彩缤纷的围巾,使每一只羊看上去都与众不同。其实,每一个孩子也都有着与众不同的地方,一个快乐的集体是包容的集体,即使我们围着不同颜色的围巾,但我们还是在“羊群”这一个整体中。   赫尔伯特是一只有个性的、合群的羊。我们总是把个性看成孤独的代名词,赫尔伯特的故事,却说明即使是一个与众不同的孩子,也是群体的一分子。   每个孩子只有先接受自己与众不同的地方,才能理解并接受他人与众不同之处。不同的你,不同的我,组成了缤纷多彩的世界。只有懂得这一点,我们才能愉快地分享丰富的世界,才能快乐地和世界一同成长。   如果你是一只羊,你愿意做赫尔伯特吗?如果你是另一只羊,你愿意有赫尔伯特这样的伙伴吗?

范文三:阿尔伯特班都拉

阿尔伯特·班杜拉

阿尔伯特·班杜拉

阿尔伯特·班杜拉(1925

— )是美国当代著名心理学家。班杜拉对心理学的最大贡献就是提出了社会学习理论与行为矫正技术。

名: 杜拉

外文Albert

名: Bandura

国籍: 美国

出生加拿大艾伯特

地: 省 出生日期: 职业: 代表作品: 1925年 心理学家 《通过榜样实践进行行为矫正》,《认知过程的社会学习理论》

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编辑本段阿尔伯特·班杜拉

阿尔伯特·班杜拉(Albert Bandura,1925—):新行为主义的主要代表人物之一,社会学习理论的创始人,认知理论之父

阿尔伯特·班杜拉,美国当代著名心理学家,现任斯坦福大学心理学系约丹讲座教授。他是新行为主义的主要代表人物之一,社会学习理论的创始人。他所提出的社会学习理论是在与传统行为主义的继承与批判的历史关系中逐步形成的,并在认知心理学和人本主义心理学几乎平分心理学天下的当代独树一帜,影响波及实验心理学、社会心理学、临床心理治疗以及教育、管理、大众传播等社会生活领域。他认为来源于直接经验的一切学习现象实际上都可以依赖观察学习而发生,其中替代性强化是影响学习的一个重要因素。有人称他为社会学习理论的奠基者,社会学习理论的集大成者或社会学习理论的巨匠。

编辑本段阿尔伯特·班杜拉生平简介

艾伯特·班杜拉于1925年出生在加拿大的艾伯特省的蒙达,他在加拿大一个小的农业社区成长,父亲是波兰的小麦农场主。像斯金纳一样,他也

是在一个小镇上长大的。1949年班杜拉从不列颠哥伦比亚大学获文学士学位。1951 年在美国衣荷大学获心理学硕士学位;1952年从爱荷华大学获得博士学位。在爱荷华大学学习期间,他提出了社会学习理论。那时,他认为心理学家应当“把临床现象用经过实验验证的方式加以概念化”。班杜拉认为,心理学研究应当在实验中进行,以控制决定行为的因素。1953年,他到维基台的堪萨斯指导中心,担任博士后临床实习医生,同年应聘在斯丹福大学心理学系执教,1964年升任正教授。在这期间,受赫尔派学习理论家米勒(N.Miller)、多拉德(J.Dollard)和西尔斯(R.R.Sears)的影响,把学习理论运用于社会行为的研究中。由于他的奠基性研究,导致了社会学习理论的诞生,从而也使他在西方心理学界获得较高的声望;此后,除了1969华任行为科学高级研究中心研究员一年外,一直在该校任教。其中,1976年至1977年间出任心理学系系主任。

编辑本段班杜拉的荣誉

由于班杜拉在心理学理论研究方面的杰出贡献以及将心理学知识应用于公益事务的热忱和成功,他在他的学术生涯中接受过心理学内外的多种荣誉和奖励,

1969-1970年,受聘为行为科学高级研究中心研究员;

1974年,当选美国心理学会主席,并受聘为斯坦福大学约丹荣誉教授; 1976年,当选斯坦福大学心理学系主任;

1977年,获卡特尔奖;被命名为认知理论之父。

1979年,获不列颠哥伦比亚大学荣誉博士学位;

1980年,当选美国西部心理学会主席,同年当选美国艺术及科学院院士;

1989年,当选美国科学院医学部院士。

1991年至1995年,担任儿童发展研究会国际事务委员会委员; 1999年,担任加拿大心理学会授予的名誉主席;

他还经常出席各种咨询委员会、联邦政府机构的各种委员会、美国国会听证会等。

他一生中还获得过包括不列颠哥伦比亚大学在内的16所大学所授予的荣誉学位。此外,他还担任了《美国心理学家》、《人格与社会心理 学杂志》、《实验社会心理学杂志》等20余种杂志的编辑。

编辑本段班杜拉所获的奖励

1972年,获辜根海姆研究基金奖(the Guggenheim fellowship)及美国心理学会杰出科学家奖;

1973年,获加州心理学杰出科学贡献奖;

1980年,获得攻击行为国际研究会杰出贡献奖及美国心理学会杰出科学贡献奖;

1999年,获美国心理学会教育心理学杰出贡献桑代克奖;

2001年,获行为治疗发展学会终身成就奖;

2002年,获西部心理学会终身成就奖。

编辑本段班杜拉的学术思想

班杜拉的社会学习理论包含观察学习,自我效能,行为适应与治疗等内容。他把观察学习过程分为注意、保持、动作复现、动机四个阶段,简单地说就是观察 学习须先注意榜样的行为,然后将其记在脑子里,经过练习,最后在适当的动机出现的时候再一次表现出来。他认为以往的学习理论家一般都忽视了社会变量。他们 通常是用物理方法来进行的动物实验以此来创建他们的理论体系,这种研究方法对于作为社会一员的人的行为来说,没有多大的研究价值。因为人是生活在一定的社 会条件下,所以他主张在自然的社会情境中来研究人的行为。事实上,人们在社会情境中通过观察和模仿,学到了许多行为。

编辑本段自我效能

班杜拉在 1977 年提出“自我效能”的概念,用以指个体对自己在特定的情境中是否有能力得到满意结过的预期。他认为个体对效能预期越高,就越倾向做出更大努力。班杜拉指出 了四点影响自我效能形成的因素,即:直接的成败经验,替代性经验,言语劝说和情绪的唤起,这四方面的内容影响了自我效能感的形成,同时也对教育中学生学习 兴趣的唤起有很大的影响,自我效能感在教育心理学领域对教师心理的研究和学习动机的研究中颇受关注。

班杜拉理论有着丰富的内涵和外延,他区分了人类学习的两种基本过程,即直接经验学习和间接经验学习;提出了观察学习是人类间接经验学习的一种重要形式,它普遍地存在于不同年龄阶段和不同社会文化背景的学习者中,他的社会学习理论进一步发展了传统的强化理论,并且以教育有着重要的价值和实践意义。但班 杜拉的社会学习理论也局限性和不足之处,它的局限性在于它不适合于解释和说明陈述性知识的学习和复杂的、高难度的技能训练的过程,仅适用于解释和说明观 察,模仿等社会性学习的过程。但有的学者认为班杜拉的社会学习理论还有被发展、深化的余地,只要加以适当地发展性研究,就可能繁衍出一些适用与解释特殊社会环境和特殊社会成员的社会性学习的理论。

编辑本段班杜拉的主要论著及著作

主要论著

《通过榜样实践进行行为矫正》(1965) 《认知过程的社会学习理论》(1972) 《榜样理论:传统、趋势和争端》(1972) 《行为变化的社会学习理论》(1976) 《自我效能:一种行为变化的综合理论》(1977) 《人类事物中的自我效能机制》(1982)

主要著作

1、《青少年的攻击》(理查德·沃尔特斯合著,1959)

2、《社会学习与人格发展》(1963,与理查德·沃尔特斯合作合著) 文中首次提出了能解释间接学习的观察学习和替代强化。

3、《行为矫正原理》(1969)

1969年,班杜拉发表了社会学习理论的第一部经典著作:《行为矫正原理》。这本著作可以看成是他在1963年与沃尔特斯合著的《社会学习与人格发展》一 书的修订版。在这本著作中,班杜拉总结了他以往在有关人类行为的经验研究中的零星发现和思考,使之形成一个系统化的学习理论体系,并将这种学习理论应用于 行为治疗的实践,提出了若干行为治疗技术。所以,这本著作反映了班杜拉当时的一般学习论观点,构成后来的社会学习理论的雏形。甚至在80年代以后成为班杜 拉主要研究兴趣、并构成社会学习理论最新进展的自我现象及其观点,也已在这本著作中埋下了种子。在行为治疗发展史上,《行为矫正原理》也是一本重要的经典 著作。

4、《心理学的示范作用:冲突的理论》(1971)

5、《攻击:社会学习的分析》(1973)

6、《社会学习理论》(1971,1977)

本书系统阐述了班杜拉的学术思想,本书的出版,牢固奠定了他在心里学上的地位。全面重点讨论三元交互决定论。标志着班杜拉社会学习理论体系的初步成熟。

7、《思想和行动的社会基础—社会认知论》(1986)

本书围绕示范观察学习、个体的符号表征能力、个体的自主性和自我反省能力等几个概念对社会认知论展开了详尽甚至是开创性的论述。这些概念强调了人的可塑性 和差异性,对学习理论、人格理论、心理治疗和教育等各个领域都发生了积极的影响。可以说,社会认知论是站在一个较高的角度来探讨人类社会存在的各种问题, 是一个全面的心理学理论。

8、《变革社会中的自我效能》(1995)

9、《自我效能:控制的实施》(1997)

编辑本段其它 自我效能是美国心理学家班杜拉最早于1977年提出的一个概念。经过20年的理论探索和实证研究,他在1997年出版了《自我效能——控制的实施》一书, 对自我效能问题进行了全面系统的论述。该书是一本自我效能感的专著,但它涉及归因、动机、目标、期望等许多有关人的。心理特性和行为的理论问题。因此该书 可供所有对人的心理特性与行为问题感兴趣的心理学工作者和其他专业的学者阅读。在书的应用部分,作者不仅阐述了自我效能在各个实践领域的作用,而且广泛地 阐述了如何解决各实践领域中的问题。这部分内容对各部门的实际工作者,如教师、教练、社区工作者、临床工作者、管理人员、各级领导等等如何做好工作,提高 工作效率都有参考价值。 扩展阅读:

 1

《心情》

 2

MFP

 3

希彭斯堡大学

 4

开放分类:

范文四:从希尔伯特空间到巴拿赫空间的建立_王昌

第32卷,第5期2015年10月·科技史·

科学技术哲学研究

StudiesinPhilosophyofScienceandTechnologyVol.32No.5Oct.,2015

从希尔伯特空间到巴拿赫空间的建立

昌,李亚亚

(西北大学数学与科学史研究中心,西安710127)

摘要:希尔伯特空间和巴拿赫空间是泛函分析的重要内容。希尔伯特空间思想起源于希尔伯特的积分方程

工作,它的建立为巴拿赫空间的建立提供了样板,顺应数学向着更高抽象性发展的趋势,巴拿赫给出了抽象巴拿赫空间的定义。从希尔伯特空间到巴拿赫空间的建立是泛函分析历史发展中的一个重要阶段,对此阶段的历史考察是研究泛函分析思想方法从起源到逐步发展完善的重要方面,同时也为反观20世纪数学向着抽象性和统一性发展的特征提供一个视角。

关键词:希尔伯特空间;巴拿赫空间;积分方程;泛函分析中图分类号:N09

文献标识码:A

文章编号:1674-7062(2015)05-0090-04

一引言二希尔伯特空间的建立

希尔伯特(DavidHilbert,1862—1943)在代数

学和几何学中留下深刻印记后进入分析学领域,他在1904—1910年间发表了6篇关于积分方程的文章,他的这一工作中蕴涵的深刻思想对后来数学发展产生了深远的影响。希尔伯特空间和巴拿赫空间是泛函分析中的两大空间,希尔伯特空间的思想很快他的追随者起源于希尔伯特的积分方程工作,

们给出了希尔伯特空间的具体形式。希尔伯特空间的建立为后来巴拿赫空间的建立提供了一个样板,用范数代替内积来研究抽象空间,并顺应数学向着1892—抽象性发展的趋势,巴拿赫(StefanBanach,

[2]

1945)给出了抽象巴拿赫空间的定义。希尔伯特空间和巴拿赫空间是结构数学中的重要对象,从希尔伯特空间到巴拿赫空间的建立过程是泛函分析逐步发展完善的重要过程,对此过程进行历史探究能使我们更好地理解泛函分析的历史进程,也为我们更好地理解20世纪数学思想提供一个视角。

【收稿日期】2014-04-23

[1]

积分方程和微分方程一样是一类关于函数的方

1900年,程,但是它的历史发展却比微分方程缓慢。1866—1927)将第二型弗雷德霍姆(IvarFredholm,

弗雷德霍姆积分方程看成是线性方程组的未知数的

个数趋于无穷时的极限形式,再运用代数的思想方法来加以处理。1900—1901年冬天,希尔伯特得知这一工作后开始研究这一课题,他试图来变革分析这一变革为泛函分析思想方法学研究的思想方法,

[3]

的产生奠定了基础。其积分方程工作正如他过去在代数学和几何学中的工作一样,又为数学发展开辟了一个广阔的领域。虽然希尔伯特没有明确提到“空间”术语,但是已经有希尔伯特空间的思想,他的工作中包含了希尔伯特空间的重要要素,追随者们在用抽象语言表述其思想的过程中很快给出了希尔伯特空间的具体例子。希尔伯特的学生赫尔曼·1885—1955)对其工作给出了外尔(HermanWeyl,

这样的评述:

【基金项目】国家自然科学基金资助项目(11171271,11326048);中国博士后科学基金资助项目(2013M532079,2014T70932);

西北大学科学研究基金资助项目(12NW04)

【作者简介】王

昌(1980-),男,陕西泾阳人,博士后,西北大学数学与科学史研究中心讲师,研究方向为近现代数学史;李亚亚(1988-),女,甘肃会宁人,西北大学数学与科学史研究中心博士研究生,研究方向为近现代数学史。

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“回顾过去,被刻上了希尔伯特精神而且正在向地平线下消沉的数学时代与以前和以后的时代相比较而言取得了一个更加完美的平衡,该平衡体现在掌握单个具体问题和构造一般抽象概念之间。希尔伯特的工作不仅达到了这种令人满意的平衡,而且许多事例表明希尔伯特的工作指”明了我们现在向前行进的方向。

1908年,希尔伯特的学生施密特(ErhardSchmidt,1876—1959)不仅将平方可和的无穷复序列看成是空间中的点或元素,对两个元素定义内积,

2

从而建立了平方可和的无穷序列空间即l空间,而且他还对该空间引入了正交、强收敛和闭子空间概

[4]

泛函分析中的核心部分是研究出现在微分方程法。

[8]

和积分方程中的算子的抽象理论。算子理论的观点是把一个函数看成是相应的函数空间中的点或元素,从而将变换看成是空间与空间之间把点变为点的算子,进而将微分方程和积分方程转化为算子方程来处理,这一观点与研究方法具有一般性。里斯在这一工作中将积分方程的求解问题推广到L空间

p

中,他给出了L空间上有界线性算子的定义,将积t)(t)dt看成是作用在函分方程中的表达式aK(s,

数(t)上的变换,从而可以从算子理论的角度来处理积分方程。

“对偶”“对偶空间”,虽然没有提到或但是里斯的工作中出现了对偶空间即有界线性泛函构成的空

p

间,如果用现代术语表述的话他已经得出L空间的q共轭。有了对偶空其中p,对偶空间是L空间,间,里斯能对他定义的有界线性算子引入伴随算子的概念,他还对函数序列引入强收敛和弱收敛的概

这些为对偶理论的建立奠定了先决条件。里斯念,

1910年的这一工作在泛函分析的历史发展中的地位仅次于希尔伯特的工作,它被看成是函数空间理论发展史中里程碑式的工作。

[9]

q

p

b

念,也建立了投影定理。由于积分方程中的积分

所以即使放宽对积分方程核的限制也是黎曼积分,

并没有在积分方程的研究上取得重大进展。1907

年,里斯(FrigyesRiesz,1880—1956)通过运用勒贝格积分这个新工具将希尔伯特在积分方程方面的成果推广到勒贝格平方可积函数上,从而证明了勒贝

22[6]格平方可积函数空间即L空间和l空间同构。两个月后,费舍尔(ErnstFisher,1875—1959)证明

[5]

了L空间完备,这可以推出里斯的结果,于是就建

2

费舍尔定理。该定理不仅表明L空间与立了里斯-l2空间只是希尔伯特空间的两种具体形式,而且也将一直独立发展的积分理论与希尔伯特空间联系起

来了。

里斯-费舍尔定理在积分方程理论与函数空间

在泛函分析的历史发展过程理论之间建立了联系,

中这个定理还有另一个重要意义即它开启了数学家

对巴拿赫空间理论的研究。

2

希尔伯特在其第四篇文章中用经典的无穷二次

这一工作中包含了许多现代型语言建立了谱理论,

分析的内容,他给出了谱理论中的基本定义、定理,这些为后来算子谱理论的发展构建了一个很好的框《无穷维线性方程组》架。1913年,里斯在其一书中同以一种完全不同的方法阐述了希尔伯特的结果,

时他在限制无穷维方程组的解是p次可和的情况下研究了方程组的解,从而发现了与函数空间L相对

p[10]

应的p次可和的无穷序列空间即l空间。与L空间和l空间不同的是L空间和l空间(1<p<+∞,p≠2)不再是希尔伯特空间,它们是巴拿赫空间的两个典型例子,它们的发现使人们看到比希尔伯特空间更一般的函数空间。

2

2

p

pp

三具体巴拿赫空间的建立

1910年,《数学年刊》里斯在上发表一篇较长的文章,文章中他指出:

“这篇文章中我们用|f(x)|p的可积

性来代替平方可积的假设条件……对每个

p2

p>1,用函数类L和L来代替函数类L的地位……对这些函数类的研究会使p=

p

四范数的引入

范数是巴拿赫空间中的基本要素,应用范数研究抽象空间是泛函分析发展史中的关键一步。随着研究的不断深入,里斯进一步认识到用公理化研究函数空间的重要性。1918年,他考虑了区间上的所有连续函数f做成的集合,定义连续函数在区间上取的最大值为它的范数,表示为‖f‖。而且重要的即(1)是他给出了这一范数所要满足的三条公理,‖f‖≥0,‖f‖=0当且仅当f(x)≡0;(2)‖cf(x)

91

2的优势清楚地显现出来,而且我们也可以断言该研究会对这些函数空间的公理化

[7]”研究提供有用的材料。

2

从这段话可以清楚地看出里斯是仿照L空间

p

来研究L空间,即p次勒贝格可积函数构成的空间,

而且可以看出他已经有公理化研究函数空间的想

‖=|c|‖f(x)‖;(3)‖f1+f2‖≤‖f1‖+‖f2‖。里斯指出全体连续函数在这个范数意义下能构成一

由此他开始用范数代替内积并用公理个函数空间,

化来研究函数空间。公理化方法的使用对20世纪

数学的发展具有重要意义,赫尔曼·外尔认为20世纪数学的一个显著方面是公理化方法起到的作用不

以前公理化方法只是用来阐述所建立的理断增长,

论基础,但是现在它却成为具体数学研究的工具。

[11]

博士论文中创建了比希尔伯特空间更一般的巴拿赫

空间的抽象理论,他工作的成功关键在于他是在完文章的引言中他全抽象的环境中来建立其理论的,指出:

“这篇论文的目的是建立一些定理,这些定理在各种情形中都是正确的,这一我不必对每种情点我将给出说明。不过,形进行单独证明,我已经有一种不同的方法即在一般的情形下来考虑满足某些性质的元素的集合,我会推导出一些定理并且我将证明对每种具体的情形这些假设条件

[13]”是正确的。

y,z,……来表示E巴拿赫从集合E出发,用x,b,c,……来表示实数。巴拿赫的空中的元素,用a,间公理总共有三组,第一组有13条公理,前5条说

明在加法运算下E可以做成一个交换群,第6条说明元素与实数进行数乘运算是封闭的,后7条说明实数与元素在加法和数乘运算下满足结合律和分配律。第二组公理是关于E中元素x的范数的,他指出范数是定义在集合E上的实值函数,将其表示为‖x‖。对于任一实数a和E中的元素x,他指出范数必须满足下面三条公理:(1)‖x‖≥0,‖x‖=0当且仅当x=0;(2)‖ax‖=|a|‖x‖;(3)‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。第三组公理是完备性公理,如果序列{xn}在这样定义的范数意义下是一个柯西列,则存在E中一个元素x使得lim‖xn-x‖=0成立。他将

n→∞

里斯这篇文章的新颖点在于他结合弗雷歇(MauriceFréchet,1878—1973)的紧集概念给出了连续空间上的紧算子的定义。由于积分算子是紧算子,这使得里斯可以从算子理论的角度阐述弗雷德霍姆的积分方程理论,即将第二型弗雷德霍姆积分方程转化为-K()=g,再根据对线性算子B=E-A的研究得到了弗雷德霍姆的“择一性”,即方程要么齐次方程有有限多个线要么有唯一的非零解,性无关解。

范数是欧氏空间中向量长度的推广,它与角度概念无关,所以用范数来研究函数空间会失去两个元素正交这一内积空间或希尔伯特空间中的关键概

正交分解等分析中念。因此也就没有了正交投影、

常用的概念、方法,但是用范数定义的空间相比较内

积空间而言更加一般,也就是说用范数研究函数空而且里斯在文间会大大拓广泛函分析的研究范围,章中也指出:

“这篇文章中对连续函数的限制并不是本质。熟悉有关各类函数空间最新研究的读者会立刻认识到这一方法具有更一般

他们也会注意到这些空间中的某的应用,

些空间,如平方可积函数空间和平方可和

序列空间仍然适用,不过这里所处理的看似比较简单的情形可以看成是对这一方法”的一般应用的测试。

[12]

满足这三组公理的空间称为完备的赋范空间或巴拿

p

lp赫空间,这样定义的巴拿赫空间将具体的L空间、

[14]

空间以及连续函数空间都包含在内。

巴拿赫在这篇文章中还给出了许多重要的结果,如范数的三角不等式,关于积分方程抽象形式解的定理以及用抽象方法阐述逐次逼近法而建立的压缩映像定理或不动点定理。由于巴拿赫空间是完备的赋范线性空间,因而它具有线性空间的代数结构,同时还具有用范数定义的拓扑结构。之后,巴拿赫空间又成为了更一般空间研究的出发点。

[15]

由此可以清楚地看出里斯已经认识到他的方法

他的理论对更一般的函数空间就所具有的一般性,

像试金石一样,其结果可以推广到更一般的情形中。在抽象的环境中巴拿赫正是运用里斯对范数给出的

这几条公理来定义抽象巴拿赫空间的。

六结语

泛函分析是一门高度综合性的学科,它的成功之处在于把研究的焦点从单个函数转向了函数的集合。空间可以简单说是具有某种结构的集合,这里的结构是指空间中的点或元素之间的约束关系。希尔伯特空间是泛函分析中较早也较简单的研究对象,由于它具有欧氏空间的许多性质,从而可以说它

五抽象巴拿赫空间的建立

受集合论观念的影响和公理化方法的使用这两大因素的推动,向着更高的抽象性发展是20世纪数

学的重要发展趋势或特征。1922年,巴拿赫在他的92

是有限维向量空间向无穷维的推广。它的思想起源于希尔伯特的积分方程工作,后经由施密特和里斯给出了L空间和l空间这两个典型希尔伯特空间的具体形式。希尔伯特空间的建立为巴拿赫空间的里斯仿照L空间和l空间发现了建立提供了样板,

pp

具体的巴拿赫空间即L空间和l空间。随后他又引入范数代替内积来研究抽象空间,并且在公理化方法的使用的推动下他给出了范数所要满足的三条公理。顺应20世纪数学向着更高的抽象性发展的趋势和结构数学发展的潮流,巴拿赫将里斯对连续函数空间引入的范数公理推广到一般元素上从而给出了抽象巴拿赫空间的定义。

【参

献】

2

2

2

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EstablishmentfromHilbertSpacetoBanachSpace

WANGChang,LIYa-ya

(CenterfortheHistoryofMathematicsandScience,NorthwestUniversity,Xi’an710127,China)

Abstract:HilbertspaceandBanachspacearetheimportantcontentoffunctionalanalysis.TheideaofHilbertspacestemmedfromHilbert’sworksonintegralequation,andtheestablishmentofHilbertspaceprovidedamodeltothecreationofBanachspace.Followingthetrendofthedevelopmentofabstraction,BanachdefinedabstractBa-nachspace.TheprocessfromHilbertspacetoBanachspacewasanimportantstageinthehistoryoffunctionala-nalysis.Thehistoricalexplorationintothisstageisveryimportantforustostudytheoriginanddevelopmentoftheideaandmethodoffunctionalanalysis.It’salsoasignificantperspectivetofullyunderstandthecharacteristicsofthedevelopmentofthemathematicsinthe20thcentury,whichis“abstraction”and“unity”.Keywords:Hilbertspace;Banachspace;integralequations;functionalanalysis

(责任编辑

策)

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范文五:莎拉·伯顿为凯特王妃亲披嫁衣的灰姑娘

2011年4月29日,当威廉王子和凯特·米德尔顿携手缓缓步入威斯敏斯特大教堂时,凯特一袭白色蕾丝婚纱的装扮典雅而高贵,吸引了全世界的目光。作为这款梦幻婚纱的设计师,著名国际品牌Alexander McQueen的现任设计师、亚历山大·麦昆的接班人——36岁的莎拉·伯顿名声大噪,成为全球时尚界的焦点。   灰姑娘初露锋芒   莎拉出生在曼彻斯特,父亲是会计,母亲是音乐教师,她没有显赫的背景,也没有突出的天赋,有的只是对服装的强烈兴趣。在圣马丁念书的时候,莎拉就是出名的乖乖女,温和低调,从不做乖张招摇的打扮,但手绘功力一流。   莎拉是麦昆在中央圣马丁学院的同门师妹。1996年初,在圣马丁上学的莎拉在老师西蒙·昂格蕾丝的引荐下,加入麦昆的团队实习。莎拉回忆说,当时,麦昆的工作室在伦敦东部一栋非常普通的大楼,只租了一间地下室,创作团队很小。麦昆本人几乎包揽一切,她记得面试时麦昆的第一个问题是:你相信UFO吗?之后麦昆慢慢开始信任这个与他性格截然不同的女孩,天才是容易有些怪脾气,麦昆也不例外,他对人总抱有一份戒备心,对莎拉,他却毫无保留,合作一段时间之后,他乐意把意大利制造商的资源放心地交给她,2001年起,女装成衣部分,都交由她负责。莎拉对待工作认真负责的态度和高度的忠诚心使麦昆一直以来对她赞赏有加,将其视为最值得信赖的助理。   1996年的伦敦时装周上,凭借超低腰牛仔裤的设计,亚历山大·麦昆一举成名。第一笔订单来自造型师Isabella Blow,这位总戴着帽子出现在秀场的女士花大手笔买下麦昆第一季的全部设计,还在自己工作的时装杂志不断赞赏他。而后,事情顺利多了,Givenchy的合同来了。对于当时麦昆那间资金紧张的小工作室来说,改变几乎就在一瞬间。回味当时的场景依然让莎拉兴奋:“接下来发生的第一件大事就是,我们终于真正拥有了中央暖气系统,还有,我的椅子高度总算能够跟桌子的高度吻合了。”工作也从那时开始繁忙起来。   1997年,莎拉从学校毕业后,和麦昆的合作延续了多年,情谊也非同一般:“我们就像一个大家庭,工作就是那么有激情,这里真的没有什么等级制度,我最喜欢的一点就是,他允许你拥有创意的自由,对我来说,这就是团队工作所需要的。”   2010年2月,亚历山大·麦昆突然离世,深谙其设计理念的莎扛下导师的大旗,成为公司的设计总管。而在4月29日之前,莎拉还仅仅是设计师长队里的一名替补,基本上无名。正当人们担忧莎拉是否能把麦昆的特色延续下去,还是创出属于自己的新路时,莎拉凭借她接掌品牌后的第一次女装大秀在2011春夏时装周获得了众人的肯定。她在继承麦昆一贯风格的基础上,融入自己的创新构思为观众带来惊喜,给人感觉多了些柔和,少了些犀利。   一件白纱的魔法   在为凯特设计婚纱之前,莎拉虽然已经是Alexander McQueen的掌门人,但她在时尚界的受关注度仍然较低,圈内很多人甚至并不知道她,正是她善于聆听的精神使她得到了凯特的信任。当时英国版《VOGUE》杂志的主编亚历山德拉·舒尔曼向凯特推荐了婚纱设计人选莎拉。在一段时间的接触后,莎拉耐心聆听凯特的需求和想法,很快获得凯特的信任并拿下婚纱的设计任务。这是所有设计师都希望得到的,让莎拉十分自豪。   威廉王子那场亿万人观礼的世纪大婚,是仙女的魔法棒,点亮了莎拉这个一度躲在天才阴影之中的灰姑娘。   那件大出风头的婚纱,2.7米长,象牙白蕾丝,缀饰着玫瑰、蓟、水仙花和三叶草,全手工制作,内藏有巴斯尔裙撑和马尾衬,确保凯特沿着威斯敏斯特教堂行走的时候,沉重的婚纱不会变形。复古、经典、优雅、实穿,完全符合王室的审美,让凯特王妃感到满意,也让世界上所有的女人羡慕。   回顾设计这件婚纱的经历,莎拉说:“这是一个足以贯穿我一生的经历,我享受了其中的每一个瞬间。”缝制婚纱的过程中,莎拉与王室签订了严格的保密协议,确保婚纱的尺寸、设计和细节不被泄密,制作团队被缩减至15人,整件婚纱分几部分缝制,刺绣由专人负责,所有的裁缝都不知道成品的样子和主人。据说那些缝制刺绣的姑娘被要求每30分钟必须洗一次手,每3小时必须换一次针,以确保婚纱不被弄脏,针尖足够锋利。商讨、试穿、修改,一切都是秘密进行的。在莎拉看来,“这些正是整个嫁衣制作过程中最有趣的部分”。   在缅怀天才麦昆的大环境中,时尚圈对莎拉前两季度的设计反映平淡。但皇室婚纱的成功,让莎拉成了当红设计师,没人再质疑她的才华,相反,她的女性气质和敏锐触觉浮出水面,很多人建议她尽快开设自己品牌,时机已经成熟。   这件婚纱改变了两个女人的命运:穿着它的平民姑娘凯特·米德尔顿一步步走入皇室,而设计它的莎拉则用她的才华改写了Alexander McQueen的风格。诡异、阴暗、惊世骇俗变成了温柔、亲民、人人都可接受。对莎拉来说,2011年是不可思议的一年,从5月开始,她总是被镁光灯包围,走到哪里都有记者追问,突如其来的成功更是打乱了她的生子计划。但好处是,凯特的选择,不只影响时尚界。这个从前只有“绯闻女孩”或者红毯明星才能驾驭的品牌现在有了新的顾客,美国第一夫人米歇尔·奥巴马很快也看中了莎拉的作品,接待胡锦涛访美的国宴上,就穿了莎拉设计的裙子。莎拉·伯顿,正把品牌带向更大众的市场。   Alexander McQueen绝不哗众取宠   在2011年春夏系列展出之后,莎拉在Alexander McQueen的工作室内接受了英国记者的采访,推开蓝色的大门,可以看到这个创造了奇幻视觉的空间,它通体雪白,素无装饰,阳光从一排硕大的落地窗内照射进来,一切都井井有条,更像是个纯白色的工厂车间。简朴的白色大桌子大概有二十张之多,每张桌子上依次整齐地堆着色板、布样、配饰,还有大堆卷宗的资料。   面对镜头的莎拉穿着白衬衫,走过所有当季走秀款的华服。她带着记者仔细触摸复古的蕾丝、金色的线缕以及精细的印花布样,每一件都精致得让人叹为观止,其中以晚装裙上细腻的饰边为最:一层层雪纺被切分出细碎的孔洞,再叠扎成波浪一样的形状,真正上身的时候,它又像蝴蝶的翅膀般轻盈,可以随着模特的步伐上下翻飞,制作这样考究的衣裳,是极度考验技术的细致活儿,像所有钟情细腻工艺的设计师一样,莎拉对此颇有感触,“在过去的二十年里,社会的分工更细致了,有人乐意当设计师,有人乐意当摄影师,但遗憾的是,乐意从事手工艺制作的人却越来越少,尤其是年轻人。”

范文六:为什么叫马伯庸亲王

马伯庸,人称祥瑞亲王。据说此人非常奇特,与他有接触的人常会遇到霉运,就算与朋友一起遇车祸,朋友多受伤,轻重不一,而他却是多次毫发无伤,类似于国宝熊猫般的幸运,所以人称祥瑞亲王,而遭受劫难的称为[被祥瑞了",类似被吸取好运的意思。朋友间就是提到他的名头,都要说声[祥瑞御免"才能逃过一劫。其余同上。为什么叫马伯庸亲王。

另外据说他是满人,自称[ 西肃慎代天启运后清诸上神圣千年上等开明大帝国太祖威武文圣德仁昭明高贤景匡弘皇帝马伯庸"

祥瑞御免!

又有人曰:

[当世有奇人,马讳伯庸,艺名加里波地,或有友人称小白。

一日朝圣京,但见首都气象恢弘不禁喟曰:[天降祥瑞。"异像乃发生。

乃会友人,电梯废止。入友人屋,电脑罢工。下馆接风,食肆打烊。又有一人者毕业论文惨遭落马--种种诸异,不足一一道。为什么叫马伯庸亲王。

亲王离京时,亦不忘喟曰:[天降祥瑞。"其之离京,诸异止,众人欢。"

于是

[祥瑞御免!!!"提问者评价1马伯庸,人称祥瑞亲王。据说此人非常奇特,与他有接触的人常会遇到霉运,就算与朋友一起遇车祸,朋友多受伤,轻重不一,而他却是多次毫发无伤,类似于国宝熊猫般的幸运,所以人称祥瑞亲王,而遭受劫难的称为[被祥瑞了",类似被吸取好运的意思。朋友间就是提到他的名头,都要说声[祥瑞御免"才能逃过一劫。其余同上。为什么叫马伯庸亲王。

另外据说他是满人,自称[ 西肃慎代天启运后清诸上神圣千年上等开明大帝国太祖威武文圣德仁昭明高贤景匡弘皇帝马伯庸"

祥瑞御免!

又有人曰:

[当世有奇人,马讳伯庸,艺名加里波地,或有友人称小白。

一日朝圣京,但见首都气象恢弘不禁喟曰:[天降祥瑞。"异像乃发生。

乃会友人,电梯废止。入友人屋,电脑罢工。下馆接风,食肆打烊。又有一人者毕业论文惨遭落马--种种诸异,不足一一道。为什么叫马伯庸亲王。

亲王离京时,亦不忘喟曰:[天降祥瑞。"其之离京,诸异止,众人欢。"

于是

[祥瑞御免!!!"提问者评价1

范文七:落基之巅――阿尔伯特峰

落基山脉――Rocky Mountains,莫名地我就感觉这个名字很好听,有一点浪漫,有一点狂野,还有一种永恒的意境,让人思绪万千。   落基山脉是一条南北走向的巨大山脉,它从美国新墨西哥州向北一直贯穿到加拿大,被称作美洲的脊梁(Backbone of America),它也是美国众多河流的发源地。沿着落基山脉的群峰,形成了北美洲的大陆分水岭(The Continental Divide)。在这里,可以说同一块冰的融水可能分别向东和向西注入大西洋和太平洋,想起来就有种荡气回肠的史诗感。   探访落基山脉最挑战的方式是徒步大陆分水岭,历时约半年到一年,据估计已经有几百人完成了这条路线。我没有那样强健的神经,也没有那么强的目的性,我只是想到离上帝近一点的地方去追寻美景。   落基山脉海拔最高的地区是在科罗拉多州中部,这里聚集了40多座海拔4000米以上的山峰,形成了美国大陆最集中的高山景观。那些提到旅行就言必称西藏的朋友也许会觉得这些只有4000多米的雪山并无任何特别之处,但就是这片并不那么致命的土地蕴育了西部的精神。当广大的西部荒原被开发殆尽时,这里的雪山地区就成为秉承西部自由精神的人们的最后乐土。科罗拉多的落基山区也成为美国最集中的地区。   有一种说法是标志美国四大特征的是自由女神、芭比娃娃、美国硬汉、野牛五分镍币。这里说的美国硬汉特别代表美国人的性格特征。如果从地区上划分,自由女神代表着美国东部的政治中心,芭比娃娃代表着西海岸加州的商业文化,美国硬汉和野牛五分镍币则代表着广大的西部荒野。五分野牛镍币是美国在1913年到1937年间发行的五分钱镍制硬币,一面刻有野牛形象,另一面是印第安酋长头像。依据酋长头像的不同,一共有三个版本,分别是达科他族的烙铁尾酋长、大树酋长和夏延族的双月酋长。这两个部落都曾是西部骁勇的勇士部落,野牛则是西部的精神代表。   对于美国硬汉们进行准确的概括描述似乎很难,用西部作家霍顿的话说,“他们就像西部荒原上的郊狼,望见落基山心中就无限欢畅、热情奔放、充满独立精神。当然,也不乏蛮横、残暴。”   在科罗拉多,我的第一站是Mt. Elbert(阿尔伯特峰)。 阿尔伯特峰海拔4399米,位于科罗拉多州中部,是落基山脉的最高点,也是美国本土第二高峰。选择阿尔伯特峰不是因为它的高度,或是因为以后可以向人讲述自己“登上了落基山脉最高峰”的壮举,而是因为它是一座不用任何专业登山器械,徒步就可以到达峰顶的山峰,符合我登山的水平和理念。   Lonely Planet出版的《徒步落基山脉》上说,登阿尔伯特峰往返要30多公里,需要很早出发,夏季的时候应该在下午一点之前到达顶峰,就是登山界内所说的“关门时间”,在这个时间以前若不能登顶,就要立即后撤。虽然阿尔伯特峰只有4000多米,但是因为它位于北美大陆的大陆分水岭上,又适逢6月的雨季,山区上午积聚的热量会推动潮湿的空气上升,随海拔的增高,中午前后在峰顶形成暴风雨,这时登顶有遭雷击的危险,而暴风雨过后登顶又不能按时返回。所以一定要在一点之前到达顶峰。   天蒙蒙亮我就醒来了,山间的清晨冷得让人不想钻出睡袋,我起来生了一堆火,冲了一壶热气腾腾的巧克力奶,用能量极高的Baggle夹着火腿做早餐。然后全副武装,登上去阿尔伯特峰的山路。   山路是在松树丛中延伸的,雪还没有融化,厚厚地铺得漫山遍野。山路上的积雪直没脚踝,踩上去发出雪粒破碎的声音,听起来很有感觉。山区的天气变化无常,有时阳光明媚,透过稀薄的空气和松林照在雪地上,产生强烈的反差;有时则阴云密布,冷风吹过,整个松林都在摇动,发出沙沙的响声,阴森恐怖。   走了一段时间,在林中出现了几块警告牌,告诫旅者已进入狩猎区,并建议进入猎区应穿上鲜艳的衣服,以防被误认为是动物而遭到猎人误伤。在美国西部,除了国家公园和一些国家林地禁止狩猎,在私有土地上是可以狩猎的,即使是公有土地,猎人在缴纳一定费用后也可以进行狩猎,比如猎杀一只黑熊需交纳的许可证费用在5000美元左右,这对当地政府是一笔可观的收入。同时,狩猎是西部的一个传统,猎人们有自己的协会和组织,并常常通过这些组织向当地政府施加影响。   对现代的猎人我没有什么好印象。与传统的猎人不同,狩猎对他们来说,不是生计,甚至不是为了金钱,而只是一种娱乐,是对一张熊皮、一对鹿角的渴望,野生动物的死亡只是来满足他们嗜血的贪婪和虚荣心。他们愿意在家中贴一张持枪与被打死猎物的合影,上面有他们的微笑,显得虚伪和懦弱。   不过看到警告牌,想起自己身上穿的可以隐身于树丛中的墨绿色冲锋衣,虽然有些愤恨,还是禁不住脊梁发冷,不由得左顾右盼。落基山区的许多地方都是私人土地,要是不小心误入其中被猎人误伤甚至击毙,在秉承个人自由主义的西部,猎人通常都不需负什么法律责任的。   也许是出于狩猎季节的缘故,也许是雪还未融化的缘故,一路上很少有人声,只有偶尔的脚印告诉我自己也许并不孤单。唯一的一次与路人相遇也颇具戏剧性。当时我正走在路上,突然前面不知从哪儿随着犬吠冲出两只猎犬,一只黄色,体形中等,另一只黑色,体形健硕。   我心里咯噔一下,顺手摸兜里的军刀,还没来得及掏出来,两只大狗已经冲到跟前,我连忙举起登山杖在身前挥舞着,准备搏斗。两只大狗狂吠着跃跃欲试,接着围着我一阵呲牙咧嘴、左突右冲,迫得我连连后退。   这时候远处传来人声,两只大犬也频频回首,显得有点犹豫不决。一个老者气喘吁吁地从前面奔过来,喝住两只大犬,连连向我道歉,说没想到这里还会有人。他一脸花白胡子,50岁上下,一身老旧的牛仔装束,肩上没有猎枪,不像一般的旅行者,也不像猎人。落基山区的猎鹿人一般都穿着特制的橙色服装,因为驯鹿的眼睛对这种橙色不敏感,而鲜艳的橙色又可以避免被其他猎人误伤;捕猎猛兽和飞禽的猎人则身着丛林迷彩服和用来装子弹和哨子之类杂物的猎人马甲。这个老者应该是当地居民吧,我猜。   自己当时的表现还算镇静。想起两只大犬冲过来的时候,四肢张扬,似乎都尽力将身体横过来,使自己从正面看过去的面积更大,想来应该也是动物的一种本能。难怪专家常常告诫旅行者在西部很多地方遇到狼或者山狮等危险动物时,也应该张开自己的衣服使自己正面显得更大。   山路上都是积雪,越往上爬,路上的雪越深,先是没到脚踝,一会儿就没到小腿。到后来,积雪深达几米,看上去很结实,可随着夏季的到来,积雪底部已经开始溶化,有时候一脚踩上去,雪面会突然下陷,整个腿都会陷进去,不小心脚还会被雪面下的乱石夹住。我在每一步之前都得先用登山杖试探雪的硬度,再试着前行,每迈出一步也都要注意不将全身的重量放在一只脚上,这就大大的降低了前进速度,也加大了体力的损耗。   海拔越来越高,树木也越来越稀疏,已经快接近林木线了,因为林木线以上气候恶劣而且缺乏土壤的沉积,没有高大树木,而是全裸的山石。光秃秃的山体上披着厚实的积雪,我没有登雪山的雪鞋,只好将登山杖深深插入雪中当冰斧用,以免滑下去。   下午一点的时候,我爬到了海拔3900多米的地方。离山顶还有将近400米的垂直高度。再往上已经完全没有脚印的痕迹,山路掩藏在积雪之下,人也渐渐失去方向,幸亏我带着GPS,还不至于迷路。   Lonely Planet不愧被称作“旅行圣经”,书中的预测十分精准,下午一点过后没多久,风云突变,冰雹突然随着狂风从天而降,打在身上噼啪作响,也在雪地上打出无数个小点,大风和着雪山发出呼啸声,吹得人睁不开眼,头顶的云层也在狂风下汹涌地翻腾着,里面不时发出闪电。云层的变化速度极快,感觉就在你的头顶之上。   我正走在覆盖着积雪的山石上,没有树木遮蔽。说实话,当时我真是害怕极了,云层中每出现一个闪电,我就头皮发麻,似乎闻到了自己被闪电烧焦的味道,生怕自己当了山峰的避雷针,有那么一刻我觉得自己会突然死在那儿。   我赶紧按书中教的,卧倒在陡峭的雪地上以降低自己的垂直高度,一步步挪回树丛中的时候已经狼狈不堪,全身都是泥雪,出发时的踌躇满志早已消失无踪。眼看离山顶还有相当距离,而且积雪淹没了山路,我只能在冰雹中顺原路返回。   下到一半路程的时候,一切似乎又回复平静,太阳又现出它的身影,好像在和我捉迷藏。回首阿尔伯特峰巨大的身影,有一些遗憾,但更多的是亲切。其实当我感觉到自己的恐惧的时候,我甚至有一些高兴,因为那就是真实的自我,一个没有伪装的真切的自我。生活中充满太多的竞争、责任、虚荣和压力,都教育我们去用“成功”或“失败”来衡量自己的每一次经历,按照大多数人的标准来进行自我的选择,而忽略其中自己感受。   我没有“征服”阿尔伯特峰,但是我会记住和她有过一次亲密接触。

范文八:大阿尔伯特与科隆

世人到科隆,必看科隆大教堂,这座连续营造632年的神圣建筑,不但让人们赞叹世界文化遗产的伟大,也让人们体会到“坚持”的力量。然而,很少有人知道,科隆有一尊大阿尔伯特(AlbertusMagnus)的雕塑。这座雕塑不大,但却展示着另一种令人崇敬的精神——“读且思”。雕像为坐姿全身像,一本书展卷于大阿尔伯特的双腿之上。大阿尔伯特头颅微扬,闭目凝思,他一手捻起书页,仿佛是因为还未想清楚此页的道理,因此不能继续翻到下页。   我参国际地理联合会四年一度的大会时,聆听了人文主义地理代表人物布蒂默(AnneButtimer)教授的特邀报告。她开场便提到大阿尔伯特。她说这个城市的大阿尔伯特是召唤她来参会的重要原因,虽然大阿尔伯特没有留给科隆宏伟建筑,但是他留下了不断探索的精神。布蒂默的言外之意是,希望参加国际地理联合会的学者,好好体会大阿尔伯特留给科隆的精神遗产。   大阿尔伯特是一位生活在13世纪的神学家、哲学家和科学家,他一生最主要的学术成果是在科隆完成的。大阿尔伯特主要的学习是在帕多瓦大学完成的。这所大学是当时欧洲的知识中心。在那里,大阿尔伯特学习了阿拉伯语。1223年他加入了天主教多明我会,之后在博洛根尼大学继续学习神学,1245年到1254年又在巴黎讲学。后人认为,当时巴黎人了解到的阿拉伯国家的知识,很多是大阿尔伯特传授的。1260年到1262年,大阿尔伯特任雷根斯堡的主教。之后,他迁到科隆,在一个修道院隐居,余生致力于研究。   在大阿尔伯特所在的修道院里,有些房间可以被称为“科学实验室”。大阿尔伯特在那里做了无数的实验,并有很多著名的发现,例如他发现了化学物质“砷”,并总结了一些冶炼的知识。他根据实验结果,撰写了《物理学》等著作。然而这些发现并不是令人们敬仰他的主要原因。在神学至上的时代,大阿尔伯特主张学习前人经典,验证已有知识,发现新的世界,因此有很多人批判他。人们敬仰他,正是因为他顶着压力的探索的精神。   大阿尔伯特坚信亲自进行观察、调查才能得出有价值的结论。这样的认识世界的主张,可以贴上“经验主义”或“实证主义”的标签。大阿尔伯特提倡的“反权威”,也使得他的学生托马斯·阿奎纳的学术地位超越了他。   体会科隆的城市精神,需要了解城市的历史。感谢科隆的雕塑家,用大阿尔伯特的雕像展现了“读且思”的精神。

范文九:8希尔伯特变换

ExperimentalDemonstrationofaWidebandPhotonicTemporalHilbertTransformerBasedonaSingle

FiberBraggGrating

MingLi,Member,IEEE,andJianpingYao,SeniorMember,IEEE

Abstract—AwidebandphotonictemporalHilberttransformerimplementedbasedonasinglefiberBragggrating(FBG)isex-perimentallydemonstrated.TwoFBGswithbandwidthsof50and100GHzaredesignedandfabricated.TheuseofthefabricatedFBGstoperformreal-timetemporalHilberttransformationofaGaussian-likeopticalpulsewithabandwidthofabout12GHzisexperimentallydemonstrated.

IndexTerms—FiberBragggratings(FBGs),Fourieropticsandsignalprocessing,temporalHilberttransformer(THT),ultrafastopticalsignalprocessing.

I.INTRODUCTION

EMPORALHilberttransform(THT)isamongthemanyimportantsignalprocessingfunctionsthatiswidelyusedincommunicationsystems,radar,andotherwarfareandcivilsystems[1].Comparedwithpureelectronicimplementation,photonicTHTimplementedintheopticaldomainprovidesamuchhigherspeedandwiderbandwidth.AphotonicTHTusingamultitapphotonictransversalsystemwasdemonstratedre-cently[2].Sincenumerousdevicessuchasmultipleelectroopticmodulators,opticaldelaylines,andlasersourcesareusedinthesystem,thesystemiscomplicatedandcostly[2].Inaddi-tion,theimplementationbandwidthofthephotonicTHTin[2]islimitedto40GHz.Toachieveanimplementationbandwidthlargerthan40GHz,moretapswithaccuratelycontrolledtimedelaysarerequiredwhichwouldagainincreasetheimplemen-tationcomplicityandcost.

Recently,photonicTHTsimplementedbasedonfiberBragggratings(FBGs)haveattractedgreatinterestthankstotheadvantageousfeaturessuchassimplestructureandgoodcom-patibilitywithotherfiber-opticdevices[3]–[6].OnelimitationofthephotonicTHTreportedin[2]isthattheTHTcanonlyoperateonthetemporalintensityprofileoftheinputwaveformwhichisdifferentfromthephotonicTHTsproposedin[3]–[6]andinthisletter,wheretheTHTscanoperateonthetemporalcomplexenvelopeoftheinputwaveform.AphotonicTHTcanbeimplementedusingasampledFBGtoformamultitapphotonictransversalfilter[3].Themajorlimitationassociated

ManuscriptreceivedMay06,2010;revisedJuly03,2010;acceptedAugust08,2010.DateofpublicationAugust12,2010;dateofcurrentversionOctober06,2010.ThisworkwassupportedbytheNaturalSciencesandEngineeringResearchCouncilofCanada(NSERC).

TheauthorsarewiththeMicrowavePhotonicsResearchLaboratory,SchoolofInformationTechnologyandEngineering,UniversityofOttawa,Ottawa,ONK1N6N5,Canada(e-mail:jpyao@site.uOttawa.ca).

Colorversionsofoneormoreofthefiguresinthisletterareavailableonlineathttp://ieeexplore.ieee.org.

DigitalObjectIdentifier10.1109/LPT.2010.2066964

T

withthisapproachisthattheimplementerroroftheTHTisintimatelyrelatedtothenumberofthesamplingperiod,i.e.,thecountoftaps.Therefore,foraphotonicTHThavingabroaderbandwidth,thesamplingperiodwillbesmallerandtheneedednumberofsamplingperiodwillbeincreasedlargelywhichwouldmakethefabricationofthephotonicTHTverydifficult.Ontheotherhand,aphotonicTHTcanalsobeimplementedusingauniformweak-couplingFBGwithaphaseshiftintheFBG[4],[5].ComparedwiththeapproachusingasampledFBG,theuseofaphase-shiftedFBGiseasiertoimplement.ThemainlimitationofthistechniqueisthattheFBGshouldbeweakenoughtosatisfytheBornapproximationforthesynthesisoftheFBGbasedonspace-to-frequency-to-timemapping(SFTM),makingtheFBGfairlyweak,leadingtoapoorsignal-to-noiseratio(SNR)attheoutputoftheTHT[7].TheSFTMmethodonlyconsidersonereflectionduringthedesignofanFBG,whilethediscretelayerpeeling(DLP)methodconsidersmultiplereflections.So,theDLPmethodhastheintrinsicadvantageofhigheraccuracyforthedesignofanFBGwithahighindexmodulation.Notethat,sincetheindexmodulationoftheTHTdesignedin[4]isveryweak(onlyabout),aprocessingerrorofabout0.3%isresultedforthedesignofaTHT.

Veryrecently,weproposedtoimplementaphotonicTHTbasedonanFBGthatwasdirectlydesignedbytheDLPmethod[6].ThesignificanceofusingtheDLPmethodfortheFBGde-signisthattheFBGisensuredtohaveastrongstrength,whichisessentialforopticalsignalprocessingwithagoodSNR[8],[9].TheFBGtoimplementthephotonicTHTreportedin[6]wasinvestigatednumerically;noexperimentaldemonstrationwasperformed.Inthisletter,theuseofanFBGforwidebandpho-tonicTHTisinvestigatedexperimentally.Notethat,althoughsomeexperimentalresultshavebeenpresentedin[10],detailedanalyses,suchastheprocessingerrorduetothefabricationtol-eranceandthelimitationsoftheproposedapproach,havenotbeenaddressed.TwoFBGswithbandwidthsof50and100GHzaredesignedbasedontheDLPmethodandfabricated.TheuseoftheFBGstoperformHilberttransformofaGaussian-likeop-ticalpulsewithabandwidthofabout12GHzisexperimentallydemonstrated.

II.PRINCIPLE

Mathematically,thetemporalenvelopeofanoutputopticalsignalfromaTHTisgivenby[1]

(1)

1041-1135/$26.00©2010IEEE

Fig.1.CouplingcoefficientprofilesandreflectionspectraofthedesignedandfabricatedFBGs.(a)ThecouplingcoefficientprofileofthephotonicTHTwithabandwidthof50GHz,(b)andthecorrespondingreflectionspectraofthede-signed(line+circle)andfabricated(line+square)FBGs.(c)Thecouplingco-efficientprofileofthephotonicTHTwithabandwidthof100GHz,(d)andthecorrespondingreflectionspectraofthedesigned(line+circle)andfabricated(line+square)FBGs.Theinsetsin(b)and(d)showthephaseresponsesofthedesigned(line+circle)andfabricated(line+square)FBGswithaphaseshiftatthenotchwavelength.

whereisthetemporalenvelopeoftheinputopticalpulse,isthetimevariable,denotestheconvolutionoperator,andP.V.meansprincipalvalue.ByapplyingtheFouriertransformtobothsidesof(1),wethenhave

(2)

where

istheFouriertransformoftheinputopticalsignal,istheHilbert-transformedoutputopticalsignal,andisasignfunction(1for,0for,and1for).Obviously,thetransferfunctionofaTHTinthefre-quencydomainis.ToimplementthephotonicTHT,anFBGwithafrequencyresponseofisrequired[6].Ascanbeseen,aphaseshiftshouldbeintroducedtothefrequencyresponseoftheFBG.

BasedontheDLPmethod,anFBGwiththedesiredfre-quencyresponseisfirstdesigned[6].The3-dBbandwidthofthedesignedFBGis50GHz;thecentralwavelengthis1550nm.Fig.1(a)showsthecouplingcoefficientprofileofthedesignedFBGwithitsphaseandreflectionspectrashowinginFig.1(b).ThebandwidthofthesynthesizedFBGis

0.4nm(i.e.,50GHz).Aphaseshiftisrealizedatthecentralwavelength,asshownintheinset(line+circle)ofFig.1(b).Basedonthesamede-signstrategy,aphotonicTHTwithabandwidthof100GHz(i.e.,0.8nm)isalsosuccessfullydesignedwiththesimulationFig.2.Experimentalsetup.TLS:tunablelasersource;PC:polarizationcon-troller;EOIM:electroopticintensitymodulator;THT:temporalHilberttrans-former;OC:opticalcirculator;EDFA:erbium-dopedfiberamplifier;PD:pho-todetector;SO:samplingoscilloscope;BERT:bit-error-ratetester.

resultsshowinginFig.1(c)and(d).Notethatthecouplingco-efficientprofilesshowninFig.1(a)and(c)areverysimilartothosedesignedbasedontheSFTMmethod,butthereflectivitiesoftheFBGsbasedontheSFTMmethodaresmallerthan50%toensureanacceptableprocessingaccuracy.Therefore,aTHTcouldbedesignedusingtheSFTMmethod,butwithareflec-tivityusuallysmallerthan50%.

III.EXPERIMENT

Basedonthecalculatedcouplingcoefficientprofiles,asshowninFig.1(a)and(c),thetwoFBGsarethenfabricatedviaUVilluminationbyafrequency-doubledargon-ionlaseroperatingat244nmandauniformphasemask.TheapodizationisimplementedbydephasingthesubsequentexposureswhiletheUVbeamisscanningthemasksimilartothetechniquein[11].Fig.1(b)showsthereflectionandphasespectraofthefabricated50-GHzphotonicTHTmeasuredbyusinganopticalvectoranalyzer(OVA).Agoodagreementbetweentheexperi-mentalandnumericalresultsisachieved.Aphaseshiftof3.23whichisveryclosetoisexperimentallyrealizedatthenotchwavelength,asshownintheinset(line+square)ofFig.1(b).Themeasurednotchdepthisabout14dB.Forthe100-GHzphotonicTHT,thedesiredreflectionandphaseresponsesareexperimentallyobtained,asshowninFig.1(d).Aphaseshiftof3.08isrealized,andthenotchdepthisabout17dB.

OnemaynotethatthecentralwavelengthsofthedesignedFBGsareboth1555.00nm,whilethecentralwavelengthsofthefabricatedphotonicTHTsinFig.1(b)and(d)are1555.25and1555.50nm,respectively.ThediscrepancyinwavelengthiscausedbytheresidualstrainduringtheFBGwritingprocess.Forthesakeofaneasycomparison,thecentralwavelengthsofthetheoreticallyobtainedreflectionspectraareshiftedtothemeasuredwavelengths.Inaddition,foranFBGhavingaspec-tralresponsewithafinitewidth,theFBGshouldhaveaphysicallengththatisinfinite,whichisnotpossibleforpracticalimple-mentation.Therefore,inthedesignthelengthsoftheFBGsaretruncated,whichwillleadtosidelobesinthespectralresponse,ascanbeseenfromFig.1(b)and(d).

ToverifythatthefabricatedFBGscanbeusedtoimplementreal-timetemporalHilberttransform,anexperimentisthencar-riedoutbasedonanexperimentalsetupshowninFig.2.ACWlightwavefromatunablelasersource(TLS)isdirectedtoanintensitymodulator(IM).Anelectricalpulsetrainwithabitrateof13.5Gb/sfromabit-error-ratetester(BERT,Agilent4901B),asshowninFig.3(a),isappliedtomodulatetheopticalcar-rierattheIM.ThepulsefromtheBERThasashapeclosetoaGaussianwithafull-widthathalf-maximum(FWHM)ofabout63ps.SincetheinputpulseisnotastandardGaussianpulse,

LIANDYAO:EXPERIMENTALDEMONSTRATIONOFAWIDEBANDPHOTONICTHTBASEDONASINGLEFBG

1561

Fig.3.Experimentalresults.(a)TheinputpulsefromtheBERT,theinsetshowsthefrequencyspectrumoftheinputpulse,(b)thesimulated(dashed–dottedline)andmeasured(solidline)outputpulsesfromthephotonicTHTwithabandwidthof50GHz,(c)andthesimulated(dashed–dottedline)andmeasured(solidline)outputpulsesfromthephotonicTHTwithabandwidthof100GHz.

thebandwidthoftheinputpulseattheFWHMinthefrequencydomainiscalculatedtobeabout12GHz,asshownintheinsetofFig.3(a).TheopticalsignalisthensenttotheFBGthroughanopticalcirculator(OC).TheHilberttransformedpulseisam-plifiedbyanerbium-dopedfiberamplifier(EDFA)andthende-tectedbyahigh-speedphotodetector(PD)withitswaveformobservedbyahigh-speedsamplingoscilloscope[(SO)Agilent86116A].

Fig.3(b)showsthemeasuredoutputpulsefromthephotonicTHTwithabandwidthof50GHz.AsimulatedpulseisalsoshowninFig.3(b).Ascanbeseen,thesimulatedandexperi-mentalresultsagreewell.Therootmeansquare(rms)erroriscalculatedtobeabout7.8%.ThephotonicTHTwithaband-widthof100GHzisalsoevaluated.Thesimulatedandexperi-mentalresultsareshowninFig.3(c).Again,agoodagreementisreached.Thermserrorisabout15.1%.

Processingerrorasafunctionoftheinputpulsebandwidthisestimatedbasedonthemeasuredmagnitudeandphasere-sponsesofthefabricatedTHTs.Toimplementthisevaluation,theamplitudeandphaseresponsesofthefabricated50-and100-GHzTHTsarefirstmeasuredusingtheOVA,andthentheoutputpulseforaninputGaussianpulsewithdifferentband-widthiscalculated.TheprocessingerroristhenobtainedbycalculatingthermserrorfortheGaussianpulsewithaband-widthfrom0to200GHz,asshowninFig.4(a).ItcanbeseenthatthereexistsanoptimaloperationbandwidthwherethermserrorisminimizedfortheTHT.Inaddition,itisobviousthattheprocessingerrorissignificantlyincreasedwhenthebandwidthoftheinputpulseisclosedtozero,whichiscausedbythenotchatthecentralwavelengththatshouldbeeliminatedforanidealHilberttransformer.However,thenotchwillbealwaysformedwhenaphaseshiftisintroducedintotheFBG-basedTHT.So,theprocessingerroroftheproposedTHTwillbeintrinsiclargeforaninputsignalwithanarrowbandwidth.

Ingeneral,thephaseshiftinafabricatedTHTcannotbeex-actlycontrolledtobeatthecentralwavelengthduetothe

fab-

Fig.4.(a)Estimatedprocessingerrorasafunctionoftheinputpulsebandwidthforthefabricated50GHz(line+square)and100GHz(line+circle)THTs.RMS:rootmeansquare.(b)Simulationresultsoftheprocessingerrorcausedbythephaseshiftdeviation.

ricationerror.Toevaluatetheinfluenceofthephaseshiftdevi-ationontheTHTperformance,theprocessingerroroftheTHTwithdifferentphaseshiftdeviationsiscalculated,asshowninFig.4(b).Itcanbeseenthatthermserrorisincreasingalmostlinearlywiththeincreaseofthephaseshiftdeviation.

IV.CONCLUSION

TheimplementationofawidebandphotonicTHTbasedonasingleFBGwasexperimentallydemonstrated.TwoFBGswithbandwidthsof50and100GHzweredesignedandfabricated.TheuseofthefabricatedFBGstoperformtemporalHilberttransformofaGaussian-likeopticalpulsewithabandwidthofabout12GHzwasdemonstrated.Processingerrorasafunctionoftheinputpulsebandwidthwasestimatedbasedonthemea-suredmagnitudeandphaseresponsesofthefabricatedFBGs.

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范文十:阿尔伯特·爱因斯坦

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爱因斯 坦 1于5 9 年 54月 1去日世 ,8 享 7 6岁。年 毕他 投生研 究工入作。世人 都 为认

爱 因斯 坦是 他那年代个最伟 的科大学 家之 一。

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