阿基里斯悖论

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范文一:阿基里斯悖论

阿基里斯悖论

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什么是阿基里斯悖论

公元前5世纪,芝诺为了捍卫他老师巴门尼德的学说,用他关于无限、连续及部分和等知识,提出了著名的运动悖论和多悖论,以表明运动和多是不可能的。他的结论在常人看来当然很荒谬,但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证,故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。他的悖论在亚里士多德的《物理学》里被概括为以下四个:二分法、阿喀琉斯、飞矢不动、运动场。其中最著名的是阿基里斯和飞矢不动。

悖论:若慢跑者在快跑者前一段,则快跑者永远赶不上慢跑者,因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点,而当他到达被追者的出发点,慢跑者又向前了一段,又有新的出发点在等着它,有无限个这样的出发点。

阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步,忽然发现在他前面100米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬。 乌龟说:“阿基里斯! 谁说你跑得最快?你连我都追不上!”阿基里斯回答说:“胡说!我的速度比你快何止百倍!就算刚好是你的10倍,我也马上就可以超过你!”乌龟说:“就照你说的,我们来试一试吧!当你跑到我现在这个地方,我已经向前爬了10米。当你再向前跑过10米时,我又爬到前面去了。

每次你追到我刚刚耽过的地方,我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近,却永远也追不上我!”阿基里斯说:“哎呀!我明明知道能追上你,可你说的好像也有道理,这是怎么回事呢? ”这个有趣的悖论,是公元前5世纪古希腊哲学家芝诺提出来的。在2 000多年的时间里,它使数学家和哲学家伤透了脑筋。先看下面的图:

阿基里斯在A点时,乌龟在B点;他追到B,它爬到C;他追到C,它爬到D,……我们看到,阿基里斯离乌龟越来越近,也就是,AB,BC,CD,……这些线段越来越短,每个都只有前一个的1/10,但是每一个线段的长度都不会是0,这就是说,当阿基里斯按上面的过程去追乌龟时,在任何有限次之内他都追不上乌龟。 那么,阿基里斯真的追不上乌龟了吗? 当然不是。所以会产生上述困难,是因为忽视了一个十分重要的因素:由于那些线段越来越短,阿基里斯跑完那些线段所用的时间也越来越短,下一次只相当于上一次的1/10。芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来,我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落,月亮的圆缺变化,一年四季的推移,钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。芝诺悖论中除了普通的钟以外,还有另一种很特别的“钟”,就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。

用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。例如,当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时,芝诺时记为n,这样,在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分钟,那么他跑完BC只要6秒钟,跑完CD只需 0.6秒,实际上,他只需要1 又1/9分钟就可以追上乌龟了。

因此,芝诺悖论的产生原因,是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后,正常计时仍可以进行,只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。 这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的,运动也不是连续的。

范文二:阿基里斯悖论

阿基里斯悖论 公元前5世纪,芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,设所用的时间为t,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时,他所用的时间为t/100,乌龟仍然前于他1米„„ 芝诺认为,阿基里斯能够继续逼近乌龟,但决不可能追上它。

目录:1悖论内容、2产生原因、3哲学辨析、4简单证明、5推翻悖论 1、悖论内容

关于阿基里斯悖论的一个解释是:阿基里斯的确永远也追不上乌龟。虽然现实中我们知道阿基里斯超越乌龟非常简单,但是它是如何超过乌龟的在过去却一直存在争论。

现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的,所以总有最为微小的一个时间里,阿基里斯和乌龟共同前进了一个空间单位,从此阿基里斯顺利超过乌龟。 2、产生原因

芝诺悖论的产生原因,是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后,正常计时仍可以进行,只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。 这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的,运动也不是连续的。 通俗一点讲,我们都知道一条线是由无数个点组成的,但这个“无数个点”并不能说我们无法画出一条线。也就是说就是芝诺偷换了概念,(1+0.1+0.01+„„)t其实是一个有限的时间,但他认为这个时间是无限大的,只要时间超过(1+0.1+0.01+„„)t 阿基里斯就追上了乌龟。

3、哲学辨析

1

阿基里斯悖论分离了运动与静止,把运动绝对化,否定客观标准。是相对主义诡辩论。黑格尔在《小逻辑》中说:“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物,把本身片面的、抽象的规定,认为是可靠的。”辩证唯物主义认为,运动与静止是对立统一的辩证关系。一方面,运动与静止的对立表现在:运动是绝对的,静止是相对的,二者相互区别,不可混淆。所谓运动是绝对的是说,运动是物质的根本属性,任何事物在任何条件下都是永恒运动的,是无条件的。所谓静止是相对的是说,静止是运动在特定条件下的特殊状态,是有条件的。另一方面,运动与静止的统一表现在:运动和静止是相互依存、相互贯通的,即所谓动中有静、静中有动。在运动与静止关系上有两种形而上学的错误:一种是割裂运动与静止的关系,否认运动,只讲静止,将静止绝对化的形而上学不动论;一种是割裂运动与静止的关系,只讲运动,否认静止的形而上学相对主义和诡辩论。

4、简单证明

关于阿基里斯追龟的问题,我们可以很简单地证明阿基里斯追上了乌龟。我们设乌龟先前所走过的所有的点属于集合B,乌龟现在所在的点标志为b,乌龟所走过的所有的点是集合A,A由集合B中所有的点加上b点构成。只要是乌龟先前所在的点,都是阿基里斯可以走到的,因而阿基里斯可以走到集合B中所有的点。那么,我们能不能在集合A中找到一个点,它既不属于B,也不是b,回答是不能的。因而如果阿基里斯走过了集合B中所有的点,阿基里斯与b点的距离就已经是0(如果不是0,则应该在阿基里斯与b点之间还会存在着一个点,但这个点并不存在),也就是说,阿基里斯已经追上了乌龟。而按照我们悖论所设定的条件,阿基里斯是可以走到乌龟先前所走过的所有的点的。因而阿基里斯追到了乌龟。但在上面的分析中,我们发现了一个有趣的矛盾,这就是b既属于B又不属于B,也就是说,b既是现在又是先前。而且这是阿基里斯得以追上乌龟的前提和条件。这样的一个有趣的结论,是决不可能为具有形而上学头脑的那些数学家们所接受的。

此悖论假设阿基米斯永远只能到达龟前一个时间段到达的地方,即追上的前一个时间段,此时条件未发生变化,并先承认此时间段两者间仍有差异,然后用不同的时间段进行重复换算,假设条件仍未变化。而在此时间段的下一个口径相同的时间段里,阿基米斯就会追上。

2

相反观点:这证明是错误的。因为证明假设了阿基里斯可以走一个点,在事实上回避了悖论中无法找第1点问题实质。故此证明和悖论无关,只是把小学应用题用集合论复述了一遍。

5、推翻悖论

其实,我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识,只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论:阿基里斯在跑了1000(1+0.1+0.01+„„„„)=1000 (1+1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟。

人们认为数列1+0.1+0.01+„„„„是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。 我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 t(1+0.1+0.01+„„„„)= t (1+1/9)=10t/9

芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟,就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。

由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的,对时间是没有限制的,时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件,阿基里斯就追上了或超过了乌龟。

人们被距离数列1+0.1+0.01+„„„„好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了,没有考虑到时间数列1+0.1+0.01+„„„„是很容易达到和超过的了。

但是不是所有的数列都能达到,所以,我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线,对于点的个数来说,我们就永远无法穷尽它。

其实,以上的证明是无法推翻这个悖论的。因为这个证明用到了极限这个概念。然而,极限这个概念,正是为了解决阿基里斯悖论而定义出来的一个概念。用这个概念再反证这个悖论很明显是不合理的。

无限的细分并不代表不会从时间1流入时间2,否则你的时钟将永远停留在59分59.9999............秒。

阿基里斯能够继续逼近乌龟,在某一时间点之前无法追上。但永远追不上这一结果并不成立,因为这一悖论只引导去考虑追上之前的距离,而不是追上的这一距离。 3

范文三:“阿基里斯”悖论探析

第 9卷

第1 6期

20 0 9年 8月  

程 

Vo.   No 6 Aug 19 .1   .20 9 0 

17 .89 20 ) 64 3 -5 6 11 1 (09 1・7 70 

S i n e T c n lg   n   n i e rn   c e c   e h oo y a d E gn e i g

@ 2 0  Si eh E gg 09 c .T c. nn .  

其 他 

“ 阿基 里斯 " 论 探析  悖

曲 学 杰 

( 东营职业学院 , 东营 2 79 ) 5 0 1 

将芝诺“ 阿基里斯” 悖论与龟兔赛跑的故事相联系 , 以亚里士多德和 黑格 尔对芝诺的反驳为引子 , 给出 了代数和极限 

方 法 的证 明 ; 出应 避 免 为 抽 象 而抽 象 、 淆 实 际步 骤 和 虚 拟 步 骤 、 淆 步 骤 无 限 和 时 间 无 限 以及 不 将 经验 方 法 与推 理 方 法  指 混 混 相 结合 等错 误 ; 出 了芝 诺 “ 指 阿基 里 斯 ” 悖论 的本 质 。  

关键词  “ 阿基里斯 障论 

亚里士多德 

黑格尔 

代数 方法 

极限方法 

启 示 

本质 

中图法分类 号 B 0 。5 ; 5 2 13 

文献标 志码

A  

古 希腊 第三 代爱 利亚 哲学 家 的代表 芝诺 ( 同为  代 表人物 的还 有 麦 里 梭 ) 以其 辩 证 法 著 称 , 里 士  亚

前 面的  点 , 当兔 子 跑 到 日点 时 , 乌龟 早 已跑 到前  面 的 c点 , 此 以至 无 穷 , 如 因此 兔 子永 远 追 不 上 乌 

多德称他 为 辩 证 法 的创 始 人¨ , 关 于 物 质 的辩   j他 证 法 , 到今 天 还 没 有 被 反 驳 掉 J而 其 反 对 运 动  直 ,

的 四个悖论 更是影 响深 远 , 至今 仍 可带 给 我 们许 多 

龟。这就是所谓 “ 阿基里斯 ” 悖论 ( 见荷马史诗《 伊  利亚特》 。阿基里斯是希腊联军 中的猛将 , 跑得快 

也是 他 的特 长 ) 或 “ 基 里斯 ” 证 。我们 把 兔 子  , 阿 论

追赶 乌龟 的这 种方 法 叫做 芝诺追 赶法 。   乍一想 , 诺 的证 明很 正 确 , 子 输 的 心 服 口 芝 兔   服也 无可 厚 非 。但 凭 经 验 我 们 却 知 道 这 个 证 明肯 

思 考 。下 面结 合 龟 兔 赛 跑 的故 事 探 讨 一 下 其 第 二 

个 悖论 , 阿基里 斯 ” 即“ 悖论 。  

1 芝诺追赶法 

龟兔赛 跑 的故 事 尽人 皆知 , 的是 和 乌龟 同时  讲 起 跑 的兔子 因轻 敌 睡 了一 觉 而输 了 比赛 。据 说 , 后 

来 兔子感 到 委 屈 , 请 芝 诺 帮 忙 劝 乌 龟 再 比赛 一  就

定是 错 的 : 子 的速 度 是 乌龟 的不 止 三 倍 五 倍 , 兔 怎  么会 连一 半 的距 离 也追 不上 !可芝 诺 的证 明 又错  在哪 里呢? 怎样证 明兔子肯 定能

追 上乌龟 呢?  

次, 作为交 换 条件 , 自己宁 愿 等 乌龟 跑 到 全 程 中点  时 才开始跑 。乌龟 已欣然 同意 , 但芝 诺研 究一 番后  却 说不用 比 了 , 有 理 有 据地 证 明 , 子 永 远 追 不  并 兔

上 乌龟 , 龟 肯 定 还 会 赢 。兔 子 听 了 , 头 丧气 而  乌 垂 去 , 此再 也 不 找 乌 龟 比赛 了。经 后 人 考 证 , 诺  从 芝 是这样 证 明 的 : 当兔 子 跑 到 全 程 中点 时 , 龟 已跑  乌 到前 面的 A点 , 当兔 子 跑 到 A点 时 , 龟 又 已跑 到  乌

20 09年 4月 2 日收 到  0

2 前人的反驳 

古 今许 多哲 学 家如 亚里 士 多德 、 格 尔 、 黑 罗素 

等都对芝 诺 的“ 阿基里 斯 ” 论证 作过 分 析和 反驳 , 现  仅 简要叙 述亚里 士多德 和黑格 尔 的反 驳 。  

2 1 亚里 士 多德 的反驳  .

古希 腊哲 学 家 亚 里 士 多 德 早 已反 驳 了芝 诺 的 

观 点 。他 首先 叙 述 了芝 诺 的 主 张 。芝 诺 关 于 运 动  这个 论证 的意思是 说 : 个跑 得 最 快 的人 永 远追 不  一

济南市科技计划专项基金资助 (0 87 2 ) 2 00 18 资助  第一作者 简介 : 曲学杰 (9 1 ) 男 , 17 一 , 山东青 州人 , 硕士 , 营职业  东

学 院讲 师 。  

上一 个跑得 最慢 的人 , 因为追 赶 人必 须 首先 跑 到 被  追人 的出发 点 , 因此 跑 得 慢 的 人 必 然永 远 领 先 [ 。 3  ]

亚里 士多德 只是简 单 地 用 了一句 话 加 以反 驳 : 它  在

4 3  78

程 

9卷  

领先 的时 间 内是 不 能 被 赶 上 的 , 是 , 果 芝 诺 允  但 如

生 郡 日 以 辁 松 地 用 代 数 知 识 证 明 兔 子 肯 定 能 追 上  J

许它能 越过 所规定 的有 限 的距 离 的话 , 么它 也 是  那

可 以被赶上 的 J 3。列 宁解 释 :   事实 上 二 分 之一 在 这  里 ( 某种 程度上 ) 在 就是 “ 所规定 的有 限 的距 离 ”4。 l   j

乌 龟 。假设 乌龟 的速度 为 , 兔子 的速度 是 乌龟 的 k   倍( k>1 即  , 程为 J 它们 比赛所 用 的时 间为 t ) 全 s , ,  

 ̄   v一 S > 即 £   lk     J t > 时

兔 子 就 追 上 乌 

在这 里 , 里 士 多 德 没有 反 驳 芝 诺 “ 赶 人 必 须 首  亚 追 先跑 到被 追人 的 出发 点 ”的假 设 , 采 取 了把 它 抛  而

在 一边 、 不予理 会 的态 度 。亚 里 士 多德 的反 驳 固然 

龟 。但 是这 种证 明并 不 能 驳倒 芝 诺 , 诺 的证 明看  芝 起 来 还是 天 衣 无 缝 。下 面 就 按 照 芝 诺 的思 路 来 看 

是对的, 驳倒 了芝诺 的论点 , 却未 驳

倒他 的论 据 。  

2 2 黑格 尔 的反驳  .

看 龟兔赛 跑 的问题 。  

笔者认 为 这 实 际 是 数 学 上 求 极 限 的 问题 。路 

3 2 用求极 限的方法 证 明  .

黑格 尔则直 奔芝 诺 的论 据 。他 说 : 动 的 意思  运

是, 在这 个地 点 同时 又不 在 这 个 地 点 ; 就 是 空 间  这

程 中各 点 A、 c、 等分 别 用 0 12 3 … 、, 表   、 … 、 、 、 、 /点 7 示 。兔子 从起 跑点 跑 到 全 程 中点 0点 ( A点 ) 即 所 

S  

^  

和时 间 的 连 续 性 , 且 这 才 是 使 得 运 动 可 能 的条  并

件 。而 芝诺 在 他 一 贯 的推 理 里 把 这 两 个 点 弄 得 严  格地相 互反 对了  。就 是说 , 动者 在 运 动过 程 中  运

用 时 间为 £ 。  

, 时 间 内乌 龟 跑 到 1点 ( 该 即 

何 时具 体跑 到那 一 点 , 不能 明确 规定 的 。列 宁对  是 这个 反驳 给予肯 定 , 他在 这 两 句 的边 上 标 注 双竖 线 

和评语 “ 意对 ! , 注 ” 同时引证 并批 驳 了切 尔诺 夫 ( 维 

BA )    ̄

Os =  。  

= s

兔 子从 全 程 的 中点跑 

1 ,  .

米 ・ 切尔 诺夫 17 — 15 , 衷 主义 者 和不 可 知  86 92 折

到 B点 所用 时间 为 t l  

,  C

2 

f  ,,

该 时 间 内乌龟 跑 

论者) 对黑 格尔 的 曲解 ] 。黑 格 尔然 后 指 出芝 诺错  误 的根源 : 成 困难 的永 远 是 思 维 , 造 因为 思 维 把 一  个 对象在 实 际里 紧 密 联 系 着 的诸 环 节 彼 此 区分 开 

到 2点 ( cA ) 即   的路 程 为 5  2

. . . . .

, 子从  兔

..— —  

来 J 。这 句话 较 难 理 解 , 宁 解 释 : 果 不 把 不 间  列 如 断 的东 西割 断 , 使 活 生生 的东 西 简单 化 、 糙 化 , 不 粗   不加 以划分 , 不使 之 僵化 , 么我 们 就不 能 想 象 、 那 表 

达、 量、 测 描述运 动 。思 想 对运 动 的描述 , 总是 粗 糙  化、 僵化 。不仅 思想 是 这样 , 且感 觉 也 是 这样 ; 而 不 

日点 跑到 c点所 用时 间 为 £=22     k

=   ,

该 时 间 内 

乌跑 3(D ) 程 J V , 龟到点即 点的 为  -   路 s = 嘉

....

.—

 

兔子从 n l - 点跑到 n   AN, NNNN  = k = 2 i ̄  

该 时间 内乌 龟 所跑 路 程 为 S   对 s 求极 限 : 川 因为  >l 所 以  s + , n  =  

仅 对运 动是 这 样 , 而且 对 任 何 概 念 也 都 是 这 样  。  

这 样芝诺 的论 据 被 驳 倒 了 , 点 自然 也 站 不 住 脚 。 论  

黑 格尔 的反 驳相对来

说是 比较 中肯 的 。  

Z  

3 用代数的和极限的方法证明 

0, 当 n ∞时 , 即 一 兔子 和乌龟 都在  点 , 兔子 

亚里 士多德 和 黑格 尔 的反驳 仅 仅 是 理论 上 的 ,   是 抽象 的 , 有 涉 及 实 际 的 速 度 , 没 有 将 问 题 具  没 还 体 化 。下面 从 正 反 两 个 方 面 以实 际数 据 来 证 明兔 

子是 完全可 以追上 乌龟 的 。   3 1 用代数 的方 法证 明  .

追上 了乌龟 。乌 龟分别 从 0 12 …、 跑 到 12  、 、 、 n点 、、 3…、 、 n+1点所 用 时 间 与兔 子 分 别从 起 跑 点 、 、 、 0 1 

2 …、 1 、 n一 点跑到 0 12 …、 、 、 、  点所用时间是相等 

的, 而 

S   S   S  

如果 不被芝诺 牵着 鼻 子 走 , 何一 个 中学 毕业  任

f t+t+2 -・・+n 瓦 +   o l t+・・・ t    

+  

+  

l 6期 

曲学 杰 : 阿基 里 斯 ” 论 探 析  “ 悖

+ 

的说法 , 能部 分 地 说 明兔 子 的速 度 ; 象 的环 节  只 抽 到此为止 , 回归到 具 体 问题 , 是 : 再 就 兔子 能 在 日落  前 从 A点跑 到 B点 。而在 芝诺 的证 明 中 , 键 错误  关 在 于 只对时 间和空 间进 行 了抽 象 , 未 考虑 跑 的最  而

其各项 为一个 同 比数 列 , 应用 同 比数列 求 和公 

式 得- 求t  

1 。此子 上龟 快 的人 和跑 的最 慢 的人 的速 度 。对 需 解 决 的 问题  一 因兔 追 乌   ) 不 所用 时 间 为 :  l n =mIJ 1 , 来 说因而必然 完 整 再 过 象 到 具可 能真 正, 映具 体 事  一       一   物 , , 是不 无法 的抽 渡 , 体 问题 反 出 正 确 的  i n二一 六) m l    ∞  iJ  i ∞ =   这 得

( ) 1 = 一  

证 明的结果 相 同。  

是 ,与 数 法 结论 。其思 考方法 本 身 即是 错误 的 , 典 型 的为抽  这 代 方  象 而抽 象 的思 考方法 。   42 混 淆 了实际步 骤和虚拟 步骤  .

实际步 骤 是 在 现 实 中 独 立存 在 的 事 物 进 程 的 

这是一 段有 限的时 间 , k= 当 2时 ( 据 常识 ,  根 k 实 际是 远 远 大 于 2的 ) 兔 子 追 上 乌 龟 所 用 时 间  ,

部分 。例 如 在龟 兔 赛 跑 中兔 子 必 须 一 步 一 步地 

2。 即兔 子 从 起跑 点 跑 完 全 程 的 时 间 , t,   也 就是说 , 子 刚 到终 点 就 追 上 乌 龟 了。 可见 , 兔 应  用 数学上 求极 限 的方 法 , 即使 按 照 芝 诺 的思 路 , 也  完 全可 以证 明兔子 可 以追 上乌龟 。  

跑, 不能 省掉 任 何 一 步 , 里 每一 步 就 可 以 看作 一 

这 个 实 际步骤 , 不过 是 重 复 的步骤 。再 如 将 一个 篮 子  里 的苹 果拾 到另一 个 篮子 里 , 拿一 个 苹 果 就可 以  每 看 作一个 实 际 步骤 。虚拟 步骤 则 是 为 了 解 决 问题 

而设想 的实 际上并 不独 立 存在 的步 骤 , 并且 在 很 多  情 况下 虚 拟 步 骤 与 实 际 步 骤 并 没 有 截 然 的界 限。   例 如历史 上 著 名 的 “ 尺 之 棰 , 一 日取 其 半 , 世 不  万

4 芝诺追赶法的启示 

虽 然所谓 芝诺 追赶 法 是 虚构 的 , 是 对 它 的考  但 察 可使我们 避免 以下错误 。  

4 1 为抽象 而抽 象的错误  .

竭” 设想 中的 “ 日取其半 ” 在 最初 的几 天是 可行 的 , ,   属 于实 际步骤 , 在很 多 天 以后 就 不可 行 了 。一般  但 情 况下 没有人 能够将 一毫 米 的“ ” 假设 它 还能 叫  棰 ( 做 棰 的话 ) “日取 其半 ” 再 小 的 “ ” , 棰 根本 就 不 可能 

存在, 更不 用 说 “日取 其 半 ” 。因 此 , 能 实 际操  了 不

抽 象是 一 种 推理 工具 , 用 于解 决 问 题 的 , 是 所  以它必 然包 含 具体 ( 物 的具 体 或 思维 的具 体 ) 事 一  抽象一 具体 三 个 环 节 , 即先 由具 体 过 渡 到 抽 象 , 再  由抽象过 渡 到具 体 。如 果 缺 少 了某 个 环 节 或 某 个 

环节不完 整 , 会 得 出 错误 的结 论 , 至 无 法 得 出  就 甚 结论 ; 果抽 象 的环 节 不 完 整 , 然 无 法 再 过 渡 到  如 必

作 的“日取其 半 ” 就属 于虚 拟 步 骤 。在 龟 兔赛 跑 中 

兔 子分别 跑 到 全 程 中点 、 4点 、 点 、   C点 等 前几 个 

步骤 , 都是 可 以实 际存 在 的 , 于 实 际步 骤 , 属 但是 当  后 来每个步 骤跑 不 了一 步 , 至每 个 步骤 跑 不 了十  甚

分 之一步 或更少 的 时候 , 之后 的步 骤就 不 是 独立  这 存在 的 , 属 于 虚拟 步骤 了 。同 时 , 种 在 时 间和  就 这

具体 的环 节 , 致 为 抽 象 而 抽 象 的错 误 。例 如 , 导 需  解 决 的问题 是 , 子 能 否 在 日落 前 从 A点 跑 到  兔

点?如果 不利用 抽象 这个 工 具 , 只能 让 兔子 把 这  就

空 间上逐 渐 趋 近 于无 穷 小 的虚 拟 步 骤 进 行 到 一 定  程度 必然 陷于时空 停 滞 , 因此 龟 兔赛 跑 实 际 上被 人  为 中止 了, 诺 的证 明也 就失 去 了意 义 。对像 这 样  芝

的虚拟 步骤 的思考 往 往 会 坠人 到 “ 限 ” 无 的陷 阱 中  而得 出错 误 的结论 。   4 3 混淆 了步骤无 限和时 间无 限的概念  .

个 路程 跑 完 了才 能 得 出结 论 。 用 抽 象 的 方 法 , 就  要: 首先是弄 清楚 问题 , 即问 题 的具 体 化

; 然后 进 行 

“ 日落前” 的时间抽 象 ( 例如 三个 小 时 ) “ A点 跑  、从

到  点 ” 的空 间抽 象 ( 如二 十公 里 ) 和 兔子 跑得  例 、 快 慢的速 度 抽 象 ( 如 每 小 时 十 五公 里 , 例 —— 这 是  联 系时间 和空 间 的重 要 的 中 间环 节 ) 结 果 是兔 子  , 能够 在三个 小时 内跑 完二 十 公里 , 结 果是 个 抽 象  该

芝诺 追赶 法 中兔 子追 赶 乌龟 的步骤 是 无 限 的 ,   而这些无 限 的 步骤 却 只需 要 有 限 的 时 问  可 以坦 

44   70

程 

9卷 

言, 兔子 经 过无 限这 样 的 步 骤 也 不 能 追 上 乌 龟 , 但  不 能说兔 子经 过无 限 的 时 间也 不 能追 上 乌 龟 , 能  不 因此就 得 出 兔 子 永 远 追 不 上 乌 龟 的结 论 。 无 限 的 

步骤不 一定要 用无 限 的 时 间 , 诺 就 是 因 为在 这 一  芝

即在于 : 由于思维 方法 ( 即抽 象 方 法 ) 的错 误 而 导致  的分析 过程 ( 即抽 象 ) 中断 , 是说 芝诺 仅 仅 把龟  的 就 兔 赛跑 的 问题 考 虑 了一 半 就认为 已经 得 出了结论 。   但 是作 为辩证 法 的创 始 人 , 是历 史 上 第 一个  又

提 出空间 可无 限分 割 的 问题 的哲 学 家 j芝 诺 决 不  , 仅仅是 否 认 实 际 存 在 的 运 动 。 当他 排 斥 感 性 的 运  动时 , 承 认 了思 维 的运 动 , 他 因为 运 动 本 身 就 是 一 

点上 没有分 清楚 , 把无 限 的步骤 和无 限 的 时 间 当作 

了一 回事 而 妄 下 了 兔 子 永 远 追 不 上 乌 龟 的论 断 。  

这种把 两个 概念 混 淆 的错 误 在 人 们 思 考 问 题 尤 其 

是运 动 问题 时是 常见 的 。  

4 4 没有将 经验 方法 与推理 方法相 结合  .

切存 在者 的辨 证 法 J 。芝 诺 可 以说 是 从 未 想 到 过 

要否认 运 动 , 指 出 了 运 动 的 观 念 里 即 包 含 有 矛  他

推理方 法容 易钻 死 胡 同 , 识或 经 验 可 以 为推  常 理 指 出一个 方 向 。当然 , 常识 或 经 验用 在 推 理 上不 

盾 j 。运 动不仅 反 映 了空 间 的连 续 性 , 反 映 了时  更

间的本质 。对 于时 间 的维度 、 向 、 方 前进 的方 式 、 存  在 的形 式 等 几 个 方 面 问 题 的 研 究 , 今 未 彻 底 解  至 决, 仍存 在许 多争 论 。其 中芝 诺悖 论 反 映 了时 间 和  运 动之 间 的矛 盾 , 德 悖 论 反 映 了 自然 时 间 和理 念  康

时间 的矛盾 , 麦克 塔 伽悖 论 则 反 映 了 自然 时 间 和 生  活时 间的 矛盾  , 者 都 启 发 了 人类 的 许 多 思 考 。 三  

定 总是对 的 , 经 验 的事 实 却 可 以作 为 可 靠 的参  但

。根据 经验人 们都 知道 , 本 文 中兔 子 是 肯 定 可  在

以追上乌龟 的 , 如果 芝 诺 稍微 考 虑 一下 曾经 验 过 的  事 实 , 不至 于得 出错 误 的结 论 。在 一些 实 际 计 算  就 中, 常识 或经验 还可 以作 为 检验 答 案 正确 与 否 的标  准 。既 可以 直 接 检 验 , 可 以用 反 推 的方 法 检 验 。 也   例如 , 算得 出粮 食 亩 产 数 千 斤 甚 至 上 万 斤 , 据  计 根 经验 可 以直 接 判 断 该 结 果 肯 定 是 错 的。再 如 笔 者 

因此作 为历史 上最 早 提 出时 间悖 论 的哲 学 家 , 芝诺  “ 阿基里 斯 ” 悖论更 多显 现 出来 的是 辩证 法 , 曾经  他

把时 空 的诸 规定 提 到 意识 前 面 , 且 在 意识 里 揭 露  并

曾看 到一则 报道 , 某市 现在 平 均每 天销 售 汽 车达 六  千辆 , 乍一 看 这 个 数 据 似 乎 没 有 问题 , 是 经 过 反  但 推计算 出的全 年 销 售 量 竟 然 比全 市 的 总 人 口多 出  将 近一倍 , 据 常识 就 可 以 断 定 这 是 绝 不 可 能 的 , 根   这个 数据 肯定是 错 的。可 见 , 常 识 或经 验 方 法 与  将 推理 方 法 相 结 合 , 助 于 提 高 认 识 的 准 确 性 和 可  有

靠性 。  

出它们 的矛 盾 。康 德 的 “ 性 矛 盾 ”比起 芝 诺 这 里  理

所业 已完 成 的并 没 有 超 出 多远  。 由此 可 见 , 诺  芝

辩证 法 的精神也 是 我们应 该学 习 的。  

参 考 文 献 

1 策勒尔 , E著 , 翁绍 军 , 古希腊哲学 史纲. 译. 济南 : 山东人 民出版 

社 ,9 2:5 19 5 

2 黑格尔 , , 著 贺

麟, 王太庆 , 哲学 史讲演 录 ( 译. 第一卷 ) 北京 : .  

商务印书馆 ,9 9 2 2 9  15 :7 —2 3

5 芝诺“ 阿基里斯” 悖论 的本质 

到此 为 止 我 们 所 看 到 的也 只 是 芝 诺 “ 基 里  阿 斯 ” 论 的一 个 方 面 , 至 仅 仅 是 表 面 。根 据 黑 格  悖 甚

尔 的“ 造成 困难 的 永 远 是思 维 ” 的观 点及 本 文关 于 

3 亚里 士多 德 , , 竹 明, 物理 学. 著 张 译. 北京 : 商务 印 书馆 ,9 2  18 :

10 12 9— 9 

4 列

宁, , 著 林

利, 等译校. 哲学笔记. 京 : 北 中共 中央党校 出版 

社 .9 0 2 6 2 7 19 :8— 8 

5 汪 天 文. 间 问题 : 时 自然 科 学 的 困惑 与 出 路. 京 大 学 学 报 ( 学  北 哲 社 会 科 学 版 ) 20 4 ( )5 — 5  ,07;4 4 :2 6 -

抽象 环节 的分 析 , 芝诺 “ 基 里斯 ” 论 的本质 错 误  阿 悖

1 6期 

曲学 杰 : 阿基 里 斯 ” 论 探 析  “ 悖

44  71

Dic s in a d A

n l sso   n ’ S c n   r d x s u so   n   ay i fZe o S e o d Pa a o      

Q   u —e U X ej   i

( ogi   oa oa C l g , ogig27 9 ,.LC ia  D nyn V ctnl ol e D nyn ,5 0 1 P I  hn ) g i   e

『 bta t R l e  eo   eo dPrd x A h ls n   r i  a b  aes r , codn    r t l ad A s c ] e tdZ n’ Scn   aao ( c ie )adt t s r irc t y acri t Ai o e n   r   a S l ooe b t o g o s t 

He e’  o f tt t n t  n t e p o fo l e ac a d lmi meho   r  ie t e e r rt a  h u d a od i  o n _ g lsc n u aai  o Ze o,h   r o  fa g bri  n  i t t d a e gv n,h   ro  h ts o l   v i sp it  o  

e   u ,u h a   sr ci g f r b i g a sr c , o f s g a ta  tp a d f t iu   tp, o u i g se   n n t a d d o t s c   s a t t  o   en   b t t c n u i   cu se   n   c i o s se c n s   tp if i   n   b a n a n l i t f n i e

t  n n t n tc mb n n   x e e c   t d a d r a o i   t o   a h oh r,nd S   n.Th   s e c   fZe oS i i ie, o  o i i g e p r n e meho   n  e s n ng meh d e c   t e a   O o me f i i e e s n e o  n ’  S c n   r d x i  ie   e o d Pa a o  sgv n.

[ yw rs  Zn’scn aao  Ke  od] eo eodprdx s

t n i   o e s nc   se e

A s t  i oe rtl

H gl ee  

a ercm to  l ba   ehd g i

l im to  i t ehd m 

isi 。 npr  a

、 

) 

\ ) 

( 上接 第 4 3 7 2页)  

献 

3 结语 

对 于空 间遥 感 平 台 而 言 , 量 、 耗 等 资源 是  重 功 宝贵且 有 限 的 。与 目前 常 用 的 超外 差 式 微 波 辐射 

Ua yFT,M oeR K, u gA K.Mio aer t snig I   l    b or   F n    c w v  mo  es ( ). r e

e n

Ne  Yo k: Ad io ・ e l y u l h n  C mp n w r d s n W s  P b i i g o a y. 1 8 e s 9 2:9 l   一 2,

29 2 7 3 —_ 6   2  

曲兰欣 . 高灵敏度 w 波段 M I M C辐射计组 件 .固体电子学 研究 

发 展 ,9 6 1 ( ) l  19 ;6 1 :6

Ro e h. C e a a H. Op r tn   n a  o   G一 5 9 / RP   s T zk   l e ai g Ma u fr RP 1 0-0 l G- DP1 0 9   g   e st i   WP Ra i me es,ht /w 5 - 0 Hi h S n i v t L   d o tr i y tp: ww.rd o - a i me  tr p y is t m, 0 5 e — h sc . o 2 0  

计 相 比 , 接 检 波 型微 波 辐 射 计 系 统 性 能 与 之 相  直 当 , 在功 耗 、 量 、 积 等 方 面具 有 明显 的优 势 , 但 重 体  

更 易 于被 空 间平 台接 纳 。本 文 的研 究 结 果 为直 接 

检波 型星载微 波辐射 计 的研制 提 供 了技 术 先 导 , 对 

于陆基平 台微 波辐射计 研制 同样具有 应用价 值 。  

4  

关福宏 , 王

闯, 田为中 , . 等 直接检波式毫米波接 收机研制 . 红 

外与毫米 波学报 ,07;6 2 :2 —18 20 2 ( ) l5 2 

Dua ・ a d Di e t De e t Ty   i r wa e Ra i m e e   lb n   r c   t c   pe M c o v   d o t r

LIDa — a,ZHANG  h n — i   nn   S e g we 

( etr r pc cec n   p ldR sa h, hns  cdm  f c ne , e ig109 P R C ia  C ne f   aeS i eadA pi   eer   ieeA ae yo Si cs B in 0 10, . . hn )   S o n e c C   e j

[ bt c] A da-addrc dtc mco aerdo ee  rsne .T eoean  eunisae1.  A s at r    ul n i t e t i wv ai t i peetd h  prt gf qec  r 8 7 b e  e  r m rs i r e

GHz a d 3 .     n   6 5 GHz n   oh f q e c e  r  u 1p lr ai n mo e h   ef r n e o  e d a . a d d r c  e  。a d b t r u n isa e d a . oa z t   d .T e p r ma c   f h   u b n   i t . e i o o t 1 e d tc  c o v   a i

me e  a   e n tse   n   e n c mp r d wi  h   u 1s p r ee o y e mir w v   a ime  e tmi rwa e rd o trh d b e   e td a d b e   o a e   t t e d a .u e h t rd n   c o a e r d o . h . . tr h  e u t h wst a  i  h   i l rp r r n e,t e dr c  e e tmir wa e rd o trh s t e a v n a e   e .T e r s l s o  h t t te s a   e o ma c   w h mi f h   i t tc  c o v   a imee   a  h   d a t g s e d

o  malrsz fs le  ie,lwe   o rc n u to   nd lg t rweg t n   tmo e s ia l  rs tli   p lc t n o rp we   o s mp in a  ih e   ih ,a d i   r  u tb e f   aelt a p ia i s o e o

.  

    o d  i t e c J yw rsI drc dt t Ke   e   e 

d a.a d u b n  1

m c w v a i e r i o aer o t   r dm e

范文四:阿基里斯_悖论探析

第9卷第16期2009年8月1671—1819(2009)16-4737-05

科学技术与工程

ScienceTechnologyandEngineering

VoL9No.16

Aug.2009

Engng.

@2009

Sci.TeclL

其他

“阿基里斯”悖论探析

曲学杰

(东营职业学院,东营257091)

摘要将芝诺“阿基里斯”悖论与龟兔赛跑的故事相联系,以亚里士多德和黑格尔对芝诺的反驳为引子,给出了代数和极限方法的证明;指出应避免为抽象而抽象、混淆实际步骤和虚拟步骤、混淆步骤无限和时间无限以及不将经验方法与推理方法相结合等错误;指出了芝诺“阿基里斯”悖论的本质。关键词“阿基里斯”悖论中图法分类号B502.153;

亚里士多德

黑格尔

代数方法

极限方法

启示

本质

文献标志码A

古希腊第三代爱利亚哲学家的代表芝诺(同为

代表人物的还有麦里梭)以其辩证法著称,亚里士

前面的曰点,当兔子跑到B点时,乌龟早已跑到前面的C点,如此以至无穷,因此兔子永远追不上乌龟。这就是所谓“阿基里斯”悖论(见荷马史诗《伊利亚特》。阿基里斯是希腊联军中的猛将,跑得快也是他的特长),或“阿基里斯”论证。我们把兔子追赶乌龟的这种方法叫做芝诺追赶法。

乍一想,芝诺的证明很正确,兔子输的心服口服也无可厚非。但凭经验我们却知道这个证明肯定是错的:兔子的速度是乌龟的不止三倍五倍,怎么会连一半的距离也追不上!可芝诺的证明又错在哪里呢?怎样证明兔子肯定能追上乌龟呢?

多德称他为辩证法的创始人u,2】,他关于物质的辩证法,直到今天还没有被反驳掉旧J,而其反对运动的四个悖论更是影响深远,至今仍可带给我们许多思考。下面结合龟兔赛跑的故事探讨一下其第二个悖论,即“阿基里斯”悖论。

1芝诺追赶法

龟兔赛跑的故事尽人皆知,讲的是和乌龟同时起跑的兔子因轻敌睡了一觉而输了比赛。据说,后来兔子感到委屈,就请芝诺帮忙劝乌龟再比赛一次,作为交换条件,自己宁愿等乌龟跑到全程中点时才开始跑。乌龟已欣然同意,但芝诺研究一番后却说不用比了,并有理有据地证明,兔子永远追不上乌龟,乌龟肯定还会赢。兔子听了,垂头丧气而去,从此再也不找乌龟比赛了。经后人考证,芝诺是这样证明的:当兔子跑到全程中点时,乌龟已跑到前面的A点,当兔子跑到A点时,乌龟又已跑到

2009年4月20日收到

济南市科技计划专项基金资助(200807128)资助

2前人的反驳

古今许多哲学家如亚里士多德、黑格尔、罗素等都对芝诺的“阿基里斯”论证作过分析和反驳,现仅简要叙述亚里士多德和黑格尔的反驳。2.1亚里士多德的反驳

古希腊哲学家亚里士多德早已反驳了芝诺的观点。他首先叙述了芝诺的主张。芝诺关于运动这个论证的意思是说:一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人,因为追赶人必须首先跑到被追人的出发点,因此跑得慢的人必然永远领先口1。亚里士多德只是简单地用了一句话加以反驳:在它

第一作者简介:曲学杰(1971一),男,山东青州人,硬士,东营职业

学院讲师。

万方数据 

4738

科学技术与工程

9卷

领先的时间内是不能被赶上的,但是,如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话,那么它也是

可以被赶上的【3J。列宁解释:事实上二分之一在这里(在某种程度上)就是“所规定的有限的距离”【4J。

在这里,亚里士多德没有反驳芝诺“追赶人必须首先跑到被追人的出发点”的假设,而采取了把它抛在一边、不予理会的态度。亚里士多德的反驳固然是对的,驳倒了芝诺的论点,却未驳倒他的论据。

2.2黑格尔的反驳

黑格尔则直奔芝诺的论据。他说:运动的意思是,在这个地点同时又不在这个地点;这就是空间和时间的连续性,并且这才是使得运动可能的条件。而芝诺在他一贯的推理里把这两个点弄得严格地相互反对了【2J。就是说,运动者在运动过程中何时具体跑到那一点,是不能明确规定的。列宁对这个反驳给予肯定,他在这两句的边上标注双竖线和评语“注意对!”,同时引证并批驳了切尔诺夫(维・米・切尔诺夫1876--1952,折衷主义者和不可知论者)对黑格尔的曲解【4J。黑格尔然后指出芝诺错误的根源:造成困难的永远是思维,因为思维把一个对象在实际里紧密联系着的诸环节彼此区分开来心1。这句话较难理解,列宁解释:如果不把不间断的东西割断,不使活生生的东西简单化、粗糙化,不加以划分,不使之僵化,那么我们就不能想象、表达、测量、描述运动。思想对运动的描述,总是粗糙化、僵化。不仅思想是这样,而且感觉也是这样;不仅对运动是这样,而且对任何概念也都是这样【4J。这样芝诺的论据被驳倒了,论点自然也站不住脚。黑格尔的反驳相对来说是比较中肯的。

3用代数的和极限的方法证明

亚里士多德和黑格尔的反驳仅仅是理论上的,

是抽象的,没有涉及实际的速度,还没有将问题具体化。下面从正反两个方面以实际数据来证明兔子是完全可以追上乌龟的。3.1用代数的方法证明

如果不被芝诺牵着鼻子走,任何一个中学毕业

万 

方数据生都司以轻松地用代数知识证明兔子肯足就遇上乌龟。假设乌龟的速度为口,兔子的速度是乌龟的后倍(k>1)即勋,全程为S,它们比赛所用的时间为t,

贝|]tkv—虿S>纫,即£>志时,兔子就追上乌

龟。但是这种证明并不能驳倒芝诺,芝诺的证明看起来还是天衣无缝。下面就按照芝诺的思路来看一看龟兔赛跑的问题。

3.2用求极限的方法证明

笔者认为这实际是数学上求极限的问题。路

程中各点A、B、C、…等分别用0、1、2、3、…、n点表示。兔子从起跑点跑到全程中点0点(即A点)所

,’

用时间为£。=意2壶,该时间内乌龟跑到1点(即

曰点)的路程为s,=瑟S=轰,兔子从全程的中点跑

到召点所用时间为t。=瓦2k=熹,该时间内乌龟跑

到2点(即G点)的路程为是=丽S口=甭S,兔子从

....S..——

曰点跑到c点所用时间为t:=2—万k2=磊S,该时间内

乌龟跑到3点(即D点)的路程为ss

2k。3---≮移2费,

....S..——

……兔子从n一1点跑到乃点所用时间为“=警=

历s丐,该时间内乌龟所跑路程为s川=丽S口=

而S。对s川求极限:因为后>1,所以地|s川=一lira。

矗b=o,即当n-÷∞时,兔子和乌龟都在凡点,兔子

Z席

追上了乌龟。乌龟分别从0、1、2、…、,l点跑到1、2、3、…、n+1点所用时间与兔子分别从起跑点、0、1、

2、…、n一1点跑到0、1、2、…、n点所用时间是相等的,而

f=to+tl+£2+……+tn=芝历+三i亏+三i磊+

16期

曲学杰:“阿基里斯”悖论探析

4739

…”+丽

式求得t-赤1一专)。因此兔子追上乌龟

其各项为一个同比数列,应用同比数列求和公

所用时间为:一lira。t=一lim。虱i当币(1一专)=

n—・∞,H∞‘I

K—I

J"、

K,

玎‰墅(-一专)=及i§而,这与代数方法

证明的结果相同。

这是一段有限的时间,当|i}=2时(根据常识,后实际是远远大于2的),兔子追上乌龟所用时间

2t。,即兔子从起跑点跑完全程的时间,

也就是说,兔子刚到终点就追上乌龟了。可见。应用数学上求极限的方法,即使按照芝诺的思路,也完全可以证明兔子可以追上乌龟。

虽然所谓芝诺追赶法是虚构的,但是对它的考抽象是一种推理工具,是用于解决问题的,所以它必然包含具体(事物的具体或思维的具体)_+由抽象过渡到具体。如果缺少了某个环节或某个万 

方数据的说法,只能部分地说明兔子的速度;抽象的环节到此为止,再回归到具体问题,就是:兔子能在El落前从A点跑到曰点。而在芝诺的证明中,关键错误在于只对时间和空间进行了抽象,而未考虑跑的最快的人和跑的最慢的人的速度。对需解决的问题来说,这是不完整的抽象,不可能真正反映具体事物。因而必然无法再过渡到具体问题,得出正确的结论。其思考方法本身即是错误的,是典型的为抽象而抽象的思考方法。

实际步骤是在现实中独立存在的事物进程的

一部分。例如在龟兔赛跑中兔子必须一步一步地

里的苹果拾到另一个篮子里,每拿一个苹果就可以看作一个实际步骤。虚拟步骤则是为了解决问题而设想的实际上并不独立存在的步骤,并且在很多

情况下虚拟步骤与实际步骤并没有截然的界限。

例如历史上著名的“一尺之棰,日取其半,万世不芝诺追赶法中兔子追赶乌龟的步骤是无限的,可以坦

4.2混淆了实际步骤和虚拟步骤

玎芒j而2跑,不能省掉任何一步,这里每一步就可以看作一个实际步骤,不过是重复的步骤。再如将一个篮子4芝诺追赶法的启示

察可使我们避免以下错误。

4.1为抽象而抽象的错误

竭”设想中的“日取其半”,在最初的几天是可行的,属于实际步骤,但在很多天以后就不可行了。一般情况下没有人能够将一毫米的“棰”(假设它还能叫做棰的话)“日取其半”。再小的“棰”根本就不可能存在,更不用说“日取其半”了。因此,不能实际操作的“日取其半”就属于虚拟步骤。在龟兔赛跑中兔子分别跑到全程中点、A点、B点、C点等前几个步骤,都是可以实际存在的,属于实际步骤,但是当后来每个步骤跑不了一步,甚至每个步骤跑不了十分之一步或更少的时候,这之后的步骤就不是独立

存在的,就属于虚拟步骤了。同时,这种在时间和

抽象_÷具体三个环节,即先由具体过渡到抽象,再环节不完整,就会得出错误的结论,甚至无法得出结论;如果抽象的环节不完整,必然无法再过渡到具体的环节,导致为抽象而抽象的错误。例如,需解决的问题是,兔子能否在日落前从A点跑到口点?如果不利用抽象这个工具,就只能让兔子把这个路程跑完了才能得出结论。用抽象的方法,就要:首先是弄清楚问题,即问题的具体化;然后进行“日落前”的时间抽象(例如三个小时)、“从A点跑到B点”的空间抽象(例如二十公里)、和兔子跑得快慢的速度抽象(例如每小时十五公里,——这是联系时间和空间的重要的中间环节),结果是兔子能够在三个小时内跑完二十公里,该结果是个抽象

空间上逐渐趋近于无穷小的虚拟步骤进行到一定程度必然陷于时空停滞,因此龟兔赛跑实际上被人为中止了,芝诺的证明也就失去了意义。对像这样的虚拟步骤的思考往往会坠入到“无限”的陷阱中而得出错误的结论。

4.3混淆了步骤无限和时间无限的概念

而这些无限的步骤却只需要有限的时扩

4740

科学技术与工程

9卷

言,兔子经过无限这样的步骤也不能追上乌龟,但

不能说兔子经过无限的时间也不能追上乌龟,不能

因此就得出兔子永远追不上乌龟的结论。无限的

步骤不一定要用无限的时间,芝诺就是因为在这一

点上没有分清楚,把无限的步骤和无限的时间当作了一回事而妄下了兔子永远追不上乌龟的论断。这种把两个概念混淆的错误在人们思考问题尤其

是运动问题时是常见的。

4.4没有将经验方法与推理方法相结合

推理方法容易钻死胡同,常识或经验可以为推理指出一个方向。当然,常识或经验用在推理上不一定总是对的,但经验的事实却可以作为可靠的参考。根据经验人们都知道,在本文中兔子是肯定可以追上乌龟的,如果芝诺稍微考虑一下曾经验过的事实,就不至于得出错误的结论。在一些实际计算中,常识或经验还可以作为检验答案正确与否的标准。既可以直接检验,也可以用反推的方法检验。例如,计算得出粮食亩产数千斤甚至上万斤,根据经验可以直接判断该结果肯定是错的。再如笔者曾看到一则报道,某市现在平均每天销售汽车达六千辆,乍一看这个数据似乎没有问题,但是经过反推计算出的全年销售量竟然比全市的总人口多出将近一倍,根据常识就可以断定这是绝不可能的,这个数据肯定是错的。可见,将常识或经验方法与推理方法相结合,有助于提高认识的准确性和可

靠性。

到此为止我们所看到的也只是芝诺“阿基里万 

方数据即在于:由于思维方法(即抽象方法)的错误而导致的分析过程(即抽象)的中断,就是说芝诺仅仅把龟兔赛跑的问题考虑了一半就认为已经得出了结论。

但是作为辩证法的创始人,又是历史上第一个提出空间可无限分割的问题的哲学家旧J,芝诺决不仅仅是否认实际存在的运动。当他排斥感性的运动时,他承认了思维的运动,因为运动本身就是一切存在者的辨证法睢】。芝诺可以说是从未想到过要否认运动,他指出了运动的观念里即包含有矛盾聆J。运动不仅反映了空间的连续性,更反映了时间的本质。对于时间的维度、方向、前进的方式、存在的形式等几个方面问题的研究,至今未彻底解决,仍存在许多争论。其中芝诺悖论反映了时间和运动之间的矛盾,康德悖论反映了自然时间和理念

时间的矛盾,麦克塔伽悖论则反映了自然时间和生

活时间的矛盾[5],三者都启发了人类的许多思考。因此作为历史上最早提出时间悖论的哲学家,芝诺“阿基里斯”悖论更多显现出来的是辩证法,他曾经把时空的诸规定提到意识前面,并且在意识里揭露出它们的矛盾。康德的“理性矛盾”比起芝诺这里所业已完成的并没有超出多远[2】。由此可见,芝诺辩证法的精神也是我们应该学习的。

参考文献

I策勒尔,E著,翁绍军,译.古希腊哲学史纲.济南:山东人民出版社。1992:55

2黑格尔,著。贺麟,王太庆.译.哲学史讲演录(第一卷).北京:

商务印书馆,1959:272—293

3亚里士多德,著,张竹明,译.物理学.北京:商务印书馆,1982:

190一t92

4列宁,著,林利,等译校.哲学笔记.北京:中共中央党校出版

社。1990:286--287

5汪天文.时间问题:自然科学的困惑与出路.北京大学学报(哲学

社会科学版),2007;44(4):52—56

5芝诺“阿基里斯”悖论的本质

斯”悖论的一个方面,甚至仅仅是表面。根据黑格尔的“造成困难的永远是思维”的观点及本文关于抽象环节的分析,芝诺“阿基里斯”悖论的本质错误

16期

曲学杰:“阿基里斯”悖论探析

4741

DiscussionandAnalysisofZeno’SSecondParadox

QUXue-jie

(DonsyingVocationalCollege,Dongying,257091,P-RChina)

[Abstract]

RehtedZeno'sSecond

Paradox(Achilles)and

tortoiserabbit

race

story,accordingtoAristotleand

Hegel’SconfutatationtoZeno,theproofofalgebraicandlimitmethod

are

given,the

error

thatshouldavoidispoint-

od

out,such

8,8

abstractingforbeing

abstract,confusingactualstep

andfictitiousstep,confusingstepinfinite

and

timeinfinite,notcombiningexperiencemethodandreasoningmethodeachother,andSO

on.The

essence

ofZeno’S

SecondParadoxisgiven.

[Keywords]

Zeno’Ssecondparadox

Aristotle

Hegel

algebraicmethod

limitmethod

inspira—

tion

essence

(上接第4732页)

参考文献

3结语

UlabyFT,MooreRK,FungAK.Microwaveremote

sensing(I)・

New

York:Addi啪・Wesley

PublishingCompany。1982:9--12,

239—_267

对于空间遥感平台而言,重量、功耗等资源是

2曲兰欣.高灵敏度w波段MMIC辐射计组件.固体电子学研究

宝贵且有限的。与目前常用的超外差式微波辐射发展,1996;16(1):16

计相比,直接检波型微波辐射计系统性能与之相3

RoseTh,CzdmhH.Operating

ManualforRPG・150-90/RPG-

当,但在功耗、重量、体积等方面具有明显的优势,DPl50-90HishSensitivityLW.PRadiometers.http:/www.radiome-更易于被空间平台接纳。本文的研究结果为直接ter-physics.com,2005

检波型星载微波辐射计的研制提供了技术先导,对4关福宏,王闯,田为中,等.直接检波式毫米波接收机研制.红

于陆基平台微波辐射计研制同样具有应用价值。

外与毫米波学报,2007;26(2):125—128

Dual-bandDirectDetectType

MicrowaveRadiometer

LIDan-na.ZHANGSheng-wei

(CenterforSpaceScienceandAppliedResearch。ChineseAcademyofSciences,Beijing100190,P.R.China)

[Abstract]A

dual—banddirectdetectmicrowaveradiometeris

presented.ne

operatingfrequencies

are

18.7

GHzand36.5GHz.andbothfrequenciesaredual—polarizationmode.Theperformance

ofthedual.banddirectde-

tect

microwaveradiometerhadbeentestedandbeencomparedwiththe

dual.superheterodyne

microwaveradiome-

ter.The

resultshowsthatwiththesimilar

performance。the

directdetectmicrowaveradiometerhastheadvantages

ofsmallersize,lowerpowerconsumption

and

lighter

weight,and

itmoresuitableforsatelliteapplications.

[Keywords]direct

detect

dual—band

microwaveradiometer

万 

方数据

"阿基里斯"悖论探析

作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):

曲学杰, QU Xue-jie

东营职业学院,东营,257091

科学技术与工程

SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING2009,9(16)

参考文献(5条)

1.策勒尔 E.翁绍军 古希腊哲学史纲 19922.黑格尔.贺麟.王太庆 哲学史讲演录 19593.亚里士多德.张竹明 物理学 19824.列宁.林利 哲学笔记 1990

5.汪天文 时间问题:自然科学的困惑与出路[期刊论文]-北京大学学报(哲学社会科学版) 2007(04)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kxjsygc200916034.aspx

范文五:阿基里斯悖论的遐想

20160518 阿基里斯悖论的遐想

20160525 增补

永无止境(含糊的概念,不等于发散数列)

收敛数列

微观物理学

数论

数子信号处理

模拟信号不失真(采样频率)

阿基里斯悖论

计算机游戏仿真世界

微观量子不确定性

空间时间非无限可分

波粒两象性

空间时间非无限可分 与 采样频率的关系

微观粒子运动轨迹随观察者而定

观察者属性决定空间时间基值限度

基值以下的空间时间以无意义

微观粒子同时出现在两个地方成为可能。

阿基里斯悖论是微观物理学的反映

因而解释阿基里斯勃论需要引入观察者的概念

b既是现在又是先前。而且这是阿基里斯得以追上乌龟的前提和条件。(微观物理学所认可) 对比印证:在纸上划一条直线(根据阿基里斯勃论是划不出的),随后用80倍的简易显微镜,观察这条直线会发现它是由间隔的点组成,即不是连续的点。可知阿基里斯勃论的条件不成立。

宏观物理学之相对论与微观物理学之量子论,在公式上无法结合,原因可能是连续函数与数字函数的特性的区别使然。

唯物论与相对论对应,唯心论与量子论对应。

观察对象量(精确度)的增加,对观察者的依赖需要减少(唯物论);观察对象量(精确度)的减少,对观察者的依赖增加(唯心论)。

公元前5世纪,芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,设所用的时间为t,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时,他所用的时间为t/100,乌龟仍然前于他1米„„ 芝诺认为,阿基里斯能够继续逼近乌龟,但决不可能追上它。 悖论内容

关于阿基里斯悖论的一个解释是:阿基里斯的确永远也追不上乌龟。虽然现实中我们知道阿

基里斯超越乌龟非常简单,但是它是如何超过乌龟的在过去却一直存在争论。

现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的,所以总有最为微小的一个时间里,阿基里斯和乌龟共同前进了一个空间单位,从此阿基里斯顺利超过乌龟。

产生原因编辑

芝诺悖论的产生原因,是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后,正常计时仍可以进行,只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。 这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的,运动也不是连续的。

通俗一点讲,我们都知道一条线是由无数个点组成的,但这个“无数个点”并不能说我们无法画出一条线。也就是说就是芝诺偷

换了概念,(1+0.1+0.01+„„)t其实是一个有限的时间,但他认为这个时间是无限大的,只要时间超过(1+0.1+0.01+„„)t 阿基里斯就追上了乌龟。

简单证明

关于阿基里斯追龟的问题,我们可以很简单地证明阿基里斯追上了乌龟。我们设乌龟先前所走过的所有的点属于集合B,乌龟现在所在的点标志为b,乌龟所走过的所有的点是集合A,A由集合B中所有的点加上b点构成。只要是乌龟先前所在的点,都是阿基里斯可以走到的,因而阿基里斯可以走到集合B中所有的点。那么,我们能不能在集合A中找到一个点,它既不属于B,也不是b,回答是不能的。因而如果阿基里斯走过了集合B中所有的点,阿基里斯与b点的距离就已经是0(如果不是0,则应该在阿基里斯与b点之间还会存在着一个点,但这个点并不存在),也就是说,阿基里斯已经追上了乌龟。而按照我们悖论所设定的条件,阿基里斯是可以走到乌龟先前所走过的所有的点的。因而阿基里斯追到了乌龟。但在上面的分析中,我们发现了一个有趣的矛盾,这就是b既属于B又不属于B,也就是说,b既是现在又是先前。而且这是阿基里斯得以追上乌龟的前提和条件。这样的一个有趣的结论,是决不可能为具有形而上学头脑的那些数学家们所接受的。

此悖论假设阿基米斯永远只能到达龟前一个时间段到达的地方,即追上的前一个时间段,此时条件未发生变化,并先承认此时间段两者间仍有差异,然后用不同的时间段进行重复换算,假设条件仍未变化。而在此时间段的下一个口径相同的时间段里,阿基米斯就会追上。 相反观点:这证明是错误的。因为证明假设了阿基里斯可以走一个点,在事实上回避了悖论中无法找第1点问题实质。故此证明和悖论无关,只是把小学应用题用集合论复述了一遍。 推翻悖论

其实,我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识,只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论:阿基里斯在跑了

1000(1+0.1+0.01+„„„„)=1000 (1+1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟。

人们认为数列1+0.1+0.01+„„„„是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。

我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 t(1+0.1+0.01+„„„„)= t (1+1/9)=10t/9

芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟,就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。

由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的,对时间是没有限制的,时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件,阿基里斯就追上了或超过了乌龟。

人们被距离数列1+0.1+0.01+„„„„好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了,没有考虑到时间数列1+0.1+0.

01+„„„„是很容易达到和超过的了。

但是不是所有的数列都能达到,所以,我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线,对于点的个数来说,我们就永远无法穷尽它。

其实,以上的证明是无法推翻这个悖论的。因为这个证明用到了极限这个概念。然而,极限这个概念,正是为了解决阿基里斯悖论而定义出来的一个概念。用这个概念再反证这个悖论很明显是不合理的。

无限的细分并不代表不会从时间1流入时间2,否则你的时钟将永远停留在59分59.9999............秒。

阿基里斯能够继续逼近乌龟,在某一时间点之前无法追上。但永远追不上这一结果并不成立,因为这一悖论只引导去考虑追上之前的距离,而不是追上的这一距离。

悖论正解

悖论隐含的假设就是阿基里斯没有追上龟,为什么呢?阿基里斯的每一段,都是乌龟跑完了,才让阿基里斯才跑的。只是想当然的用了一开始的距离差,而这个距离差为逐段变小。(是否能变成零,就是你说了算了^_^)

而这个趋近过程又想用时间衡量,恰好时间和距离,都可以无限划分。静止也存在这样的接近过程,举个例子:假设乌龟是静止的,让阿基里斯以这样的方式跑。900米,90米,9米,0.9米„„,这样他也追不上乌龟啊,也同样变不成零,因为你的假设就是距离的无限小,这只是在寻找最短的距离。这个就关系到极限了。就像在找最小的物质粒子一样

教学素材:

交叉学科:80倍显微镜(光学原理应用),阿基里斯悖论(数学,哲学),PPT幻灯片课件制做(计算机应用)

主题:理论与应用的关系

通常理论指导实践是一句行话,但此例恰恰相反,是实践(显微镜观察)来指引对理论认识(阿基里斯悖论)的修正。这也是交叉学科的一大特点。

扩展一:

《庄子·内篇·养生主第三》,原文“吾生也有涯,而知也无涯。以有涯随无涯,殆已!已而为知者,殆而已矣!为善无近名,为恶无近刑,缘督以为经,可以保身,可以全生,可以养亲,可以尽年。”

基层分析“吾生也有涯,而知也无涯。以有涯随无涯,殆已!”中的“知也无涯”并未指明是发散数列,故全句结论不成立。

深度分析“吾生也有涯”是对观察者特点的说明,有涯无涯的对比可看作观察精度远低于察观对象的精度,因此观察者的判断是有局限性的。与后文“已而为知者,殆而已矣!”前后论述连贯。重点是观察者属性对精度的影响,而不是数列发散还是收敛的问题。

扩展二:

观自在菩萨,行深般若波罗蜜多时(对微观世界的观察),照见五蕴皆空,度一切苦厄。舍利

子,色不异空,空不异色;

色即是空,空即是色。(有也不确定,无也不确定)受、想、行、识,亦复如是。舍利子,是诸法空相,不生不灭,不垢不净,不增不减,是故空中无色,无受、想、行、识;无眼、耳、鼻、舌、身、意;无色、声、香、味、触、法;无眼界,乃至无意识界;无无明,亦无无明尽;乃至无老死,亦无老死尽。无苦、集、灭、道,无智亦无得,以无所得故。菩提萨陲,依般若波罗蜜多故,心无挂碍,无挂碍故,无有恐怖,远离颠倒梦想,究竟涅槃。三世诸佛,依般若波罗蜜多故,得阿耨多罗三藐三菩提。故知般若波罗蜜多,是大神咒,是大明咒,是无上咒,是无等等咒,能除一切苦,真实不虚。故说般若波罗密多咒,即说咒曰:“揭谛、揭谛,波罗揭谛,波罗僧揭谛,菩提萨婆诃。”

范文六:芝诺悖论——阿基里斯与乌龟

芝诺悖论——阿基里斯与乌龟

悖论是有趣的,而且是数学的一个非常重要的部分.它突出地表明,在陈述

或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么地重要.在数学中,我们常常试

图使数学思想覆盖尽可能多的方面,例如我们试图概括一个概念以使它能够用于

更多的对象.概括无疑是重要的,但它也可能导致危险.我们务必谨慎从事.一

些悖论就说明了这种危险的存在.

公元前5世纪,芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名

的悖论:他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑,并让乌龟在阿基里斯前头

1000米开始.假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍.当比赛开始的时候,阿基里

斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米.当阿基里斯跑了下一个100米时,

乌龟依然前于他10米.

芝诺辩解说,阿基里斯能够继续逼近乌龟,但他决不可能追上它.那么芝诺

的理由正确吗?如果阿基里斯追上了乌龟,那么他是在赛程的哪一点追上呢?

(见附录“阿基里斯与乌龟”的解答)

欧布利德悖论与芝诺悖论

希腊哲学家欧布利德断言,一个人绝不可能有一堆沙.他的见解是:一粒沙

不能构成一堆沙,如果在一粒沙上加上一粒沙它们也不能构成一堆.如果你没有

一堆沙,那么即使给你加上一粒沙,也同样没有一堆,从而你永远不会有一堆沙.

依着同样的思路,芝诺把眼光瞄在线段上.他断言,如果点是没有大小的,

那么加上另一个点依然不会有大小.这样人们就绝不可能得到一个有大小的物体,因为这些物体是由点结合而成的.接着他进一步推断说,如果一个点有大小,那

么一条线段就必然有无限的长度,因为它是由无穷数量的点所

芝诺的悖论

芝诺是古希腊著名的数学家和哲学家,他曾提出过三个著名的诡辩,其中最具迷惑性的一个是"阿基里斯追不上乌龟",大意如下:阿基里斯是希腊神话里跑得最快的人,但如果在他前面有一只乌龟(正从A点向前爬) ,他永远也追不上这只乌龟,理由如下:他要追上乌龟,必须要经过乌龟出发的地方(A点) ,但是在他追到这个地方的时候,乌龟又向前爬了一段距离,到了B点,他要追上乌龟,又必须经过B点,但当他追到B点的时候,乌龟又爬到了C点,他追到C点的时候,乌龟又到了D点 ......

阿基里斯永远也追不上乌龟!!!

这只是一个诡辩,当然是错误的,但你知道问题出在哪儿吗?

意想不到的老虎

公主: 父亲,你是国王.我可以和迈克结婚吗?

国王: 我亲爱的,如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎,你就可以和他结婚.

迈克必需顺次序开门,从一号门开始.他事先不知道哪个房间里有老虎,

只有开了那扇门才知道.这只老虎将是料想不到的.

迈克看着这些门对自己说---

迈克: 如果我打开了四个空房间的门,我就知道老虎在第五个房间.可是,国王说我事先不

可能知道它在哪里.所以老虎不可能在第五个房间里,五被排除了,所以老虎必然在

其余的四个房间之一,那么在我开了三个空房间以后,又怎么样了?老虎必然在第

四个房间里。可是,这样它就不是料想不到的了.所以四也被排除了,按同样的道

理,迈克证明了老虎不能在第三、第二和第一个房间。

迈克: 哪个门后也不可能有老虎.如果有,它就不是料想不到的了,这不符合国王的允诺,

国王总是遵守诺言的。

那到底问题在哪儿呢?

人口爆炸

M: 近来,我们听到很多关于地球上人口增长多么快的讨论了。

M: 宁尼夫人不同意这种说法。她认为世界上的人口正在减少,

很快的,每个人都会有更多的空间。

M: 她的观点是---

每个人生来都有父母双亲。这父母二人中每一个又有一父

一母。这就有四个祖父母辈的人。每个祖父或祖母又有父母二

人,所以就有八个曾祖父母。你每往上数一辈,祖宗的数目就

会增加一倍。

如果你回到20代以前,你就会有1048576个祖宗。

把这个道理应用到今天每个活着的人身上,那么20代以前的

人口会是现在的一百多万倍!

宁尼夫人的说法肯定不对,可是她的推理哪儿出了错呢?

第三章 数学与哲学

第一节 数学与哲学随想

数学的领域在扩大。哲学的地盘在缩小。哲学曾经把整个宇宙作为自己的研究对象。那时,它是包罗万象的,数学只不过是算术和几何而已。

17世纪,自然科学的大发展使哲学退出了一系列研究领域,哲学的中心问题从“世界是什么样的”变成“人怎样认识世界”。这个时候,数学扩大了自己的领域,它开始研究运动与变化。

今天,数学在向一切学科渗透,它的研究对象是一切抽象结构——所有可能的关系与形式。可是西方现代哲学此时却把注意力限于意义的分析,把问题缩小到“人能说出些什么”。

哲学应当是人类认识世界的先导,哲学关心的首先应当是科学的未知领域。 哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前,哲学家谈论元素在化学家研究元素之前,哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前。

一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论过的对象时,哲学沉默了。它倾听科学的发现,准备提出新的问题。

哲学,在某种意义上是望远镜。当旅行者到达一个地方时,他不再用望远镜观察这个地方了,而是把它用于观察前方。

数学则相反,它是最容易进入成熟的科学,获得了足够丰富事实的科学,能够提出规律性的假设的科学。它好像是显微镜,只有把对象拿到手中,甚至切成薄片,经过处理,才能用显微镜观察它。

哲学从一门学科退出,意味着这门学科的诞生。数学渗入一门学科,甚至控制一门学科,意味着这门学科达到成熟的阶段。

哲学的地盘缩小,数学的领域扩大,这是科学发展的结果,是人类智慧的胜利。 但是,宇宙的奥秘无穷。向前看,望远镜的视野不受任何限制。新的学科将不断涌现,而在它们出现之前,哲学有许多事可做。面对着浩渺的宇宙,面对着人类的种种困难问题,哲学已经放弃的和数学已经占领的,都不过是沧海一粟。

哲学在任何具体学科领域都无法与该学科一争高下,但是它可以从事任何具体学

科无法完成的工作,它为学科的诞生准备条件。

数学在任何具体学科领域都有可能出色地工作,但是它离开具体学科之后无法作出贡献。它必须利用具体学科为它创造条件。

模糊的哲学与精确的数学——人类的望远镜与显微镜。

范文七:浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟

浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟

公元前5世纪,芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论:他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑,并让乌龟在阿基

里斯前头1000米开始.假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10

倍.当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍

然前于他100米.当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟依

然前于他10米.芝诺辩解说,阿基里斯能够继续逼近乌龟,

但他决不可能追上它。

此问题可用数学知识表示为;如图设阿基里斯处在A点,乌龟处在B点,A,B点相距X,阿基里斯以速度V前进,则乌龟以速度1∕10V前进,若阿基里斯前进了X,则乌龟前进了1/10X,若阿基里斯前进了1/10X,则乌龟前进了1/10ˆ2X,就这样无限的进行下去,

B

乌龟前进的路程可表示为S=1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆnX,而阿基里斯前进的路程为S’=X+1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆ(n-1)X, 所以二者之差S’—S= X—1/10ˆnX,乌龟与阿基里斯相距1/10ˆnX,当n为无穷大时,S’—S≈X, 1/10ˆnX≈0,但是1/10ˆnX总是一个大于0的数,因此阿基里斯是追不上乌龟的.

然而如果我们深思这个问题我们会发现,当n为无穷大时,1/10ˆnX会越来越小,通过这段路程的时间会趋于0.

对于宏观上分析,显然我们可以得出当1/10ˆnX≈0时,阿基里斯与乌龟所占的空间要比1/10ˆnX大得多,我们说阿基里斯没有追上乌龟这是不科学的。对于微观上分析,我们将阿基里斯与乌龟分别看成两个质点,设为A,B,而质点是没有体积的,这样讨论就不会产生宏观上的不科学的观点。若A,B是质点,我们显然可以得到A是永远追不上B的。但在牛顿的经典物理学中,我们可以知道若A比B的速度快,经过有限时间后,A是一定会追上B的,因此这个问题是不可以用牛顿的经典物理学来分析的,经典物理学有两个假设: 其一是假定时间和空间是绝对的,长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关,物质间相互作用的传递是瞬时到达的;其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。也就是在经典物理学中时间和空间都是连续的,因此我们可以以时间不是连续的观点来讨论这

个问题。若时空不是连续的,即量子性的,则时间和空间必存在一个最小量,设其分别为T0,P0,当A,B相距距离为P0时,而空间不可比P0小,因此B点不可能再前进比P0更小的路程,设A的速度是B的m倍,B前进P0所需时间为T0,当B每前进一个T0的时间,A,B间的距离将缩小(mv-v)T0=(m-1)vT0, 又因为总存在一个N(N为正整数),使得 N(m-1)vT0>=P0,即经过NT0的时间后A,B间距为N(m-1)vT0—P0<=0,此时A就追上了 B,这与现实是相符的。

范文八:图城:互联网不应该存在“阿基里斯悖论”

图城:互联网不应该存在“阿基里斯悖论” 互联网的环境是怎样的?想必用波诡云谲四个字概括都不足以表达出它的无常与不常。图城科技虽然年轻,但主创人员几乎都在互联网行业中摸爬滚打数十年,籍此针对互联网怪象予以一记重拳——推出“图城便民生活平台”。

信息传递便捷高速是互联网的一大特点,也正是因为这个原因。互联网行业先驱开拓者,颤颤巍巍摸索前行,围观者大多按兵不动。倘若前者尝到一点甜头,后者则蜂拥而上,纷纷效仿,大有长江后浪推前浪的架势。小米起初的饥饿营销亦是如此,做强了自己,也拯救了一批效仿者,如今小米自身陷入瓶颈,效仿者纷纷“潜水”。倘若前者死在沙滩上,围观者要么不予置评,另寻下家,要么自己改革前行,前行路上不忘喃喃细语一番。总之,借鉴已然成为一种美德。 诺基亚的悲情谢幕;后乔布斯的苹果差评如潮;如日中天的“二当家”三星已现亏损;微软被迫投资却屡屡受挫;谷歌成也科技,败也科技......究其上述症结:不思变、盲目借鉴。以静态观察相对的静止互联网,只能一时获利,变数随时都会改变互联网世界的格局。 图城便民生活平台凭其立意于民,运营后台更是变量思维集中地,且不论产品的自身市场空间,就其产品生命周期、延续性、延展性,以动制动才是便民平台的生命力精髓。

匆匆那年,我们与互联网萍水相逢。来年匆匆,我们与互联网藕断丝连?我们不生产网络,我们只是网络的搬运工。

范文九:芝诺悖论”悖在哪里?

芝诺悖论”悖在哪里?

一个朋友是大学里的哲学老师,前两天打电话说,我的博客里没什么哲学专业可以看的文章,所以,今天专门写一篇。在“唯物辩证法”的教科书中,都会讲到古希腊时期的诡辩术,其中以“芝诺悖论”最为著名。

“芝诺”是一个人名,古希腊时代的人物。一般教科书都不称他为哲学家,而称之为“诡辩论者”。“芝诺悖论”有好几个,最著名的是“飞矢不动”和“阿基利斯追不上乌龟”。先简单解释一下。

“飞矢不动”中的“矢”指的是弓箭中的箭。正常的射箭,任何人都知道,只要箭离了弦,就能飞出去,经过一段空间运动后,到达另一个位置。但是,芝诺说,按照他的解释,射出去的箭是不动的,因此是不能够到达另一个位置的。他解释说,如果我们截取“飞矢”的每一个瞬间,它在空中都是“静止”的。既然每一个瞬间都是静止的,所有的瞬间加起来也应该是静止的,所以,“飞矢”是“不动”的。

“阿基利斯追不上乌龟”中的“阿基利斯”也是一个古希腊人物,也就是“特洛伊战争”中那个著名的希腊将领。传说中,阿基利斯武艺高强,而且奔跑速度极快,似乎还得过古代奥林匹克运动会的桂冠(待查)。这个悖论有一个假设的前提,就是说,阿基利斯与乌龟赛跑,如果让乌龟先跑一步,阿基利斯就永远追不上乌龟。芝诺的解释是这样的。假设乌龟先跑出了一米,阿基利斯要追上乌龟,就必须先到达半米的地方。但是,当阿基利斯到达半米的时候,乌龟与阿基利斯的距离不是半米,而是半米再加一点,比方说是0.6米。如此推论循环下去,只要乌龟不停下脚步,阿基利斯便永远只能更接近乌龟,而不能追上或超过乌龟。

“芝诺悖论”之所以被称之为“悖论”,他自己也被后世称为“诡辩论者”,是因为他的悖论完全违反常理,但是,人们又不知道如何才能反驳他。我在高中时期的哲学课上,第一次接触了“芝诺悖论”。后来大学里的哲学课,老师又讲了一遍。我的大学专业是理工科。本科毕业后,我又学了第二个本科专业,学的是哲学,发的文凭是“法学”学士(我也不知道为何如此奇怪),算是改革开放以后,第一批获得“双学士”的人。在我第二学士学位的学习过程中,哲学老师再次提到“芝诺悖论”,也就是说,在我的学校学习生涯中,先后三次听老师介绍“芝诺悖论”,但是,没有一个老师告诉我,“芝诺悖论”为何是错的。我曾经为此专门咨询过老师,都没有获得满意的答案。第二学士学位毕业的时候,我自己选择了一个毕业论文的题目,《古希腊辩证法史》。洋洋洒洒写了5万多字。大概是以量取胜的原因,论文答辩时,老师没有提出任何问题,获得全班唯一一个“优”。当年我在毕业论文里,专门有一节,解释了“芝诺悖论”为何是错的,错在什么地方。估计是因为哲学系的老师们不太听得懂我的解释,或者没把握判断我的解释是否正确,所以让我顺利过关。这篇毕业论文的稿子,随着多次搬家已经找不到了,因此,今天把握我当年对于“芝诺悖论”的解释重新写出来。

“飞矢不动”这个悖论最关键的地方,是所谓“瞬间”。理论上的物理学“瞬间”意思是时间长短为零。而在实际中,时间长短永远不可能为零。只要学过大学的高等数学,理解这个概念就非常容易。高等数学的一个基本运算手段就是牛顿、莱布尼茨创立的“微积分学”。微积分学分成微分和积分两部分。所谓“微分”就是把一个事物无限量地细分,“积分”就是将细分后的片断加起来。在微积分中有一个重要的概念叫做“无穷小”,数学符号写作“dx”。无穷小的概念是:趋近于零,但不等于零。简单来说,“芝诺悖论”的错误就在于,他将无穷小彻底等同于零。无穷小等于零之后,再怎么相加、累积,最终的结果当然都是零,所以得出推论“飞矢”是“不动”的。但是,真正的概念是无穷小只是趋近于零,无穷个“趋近于零”的无穷小相加、累积之后,就会有一个确切的值。没读过高等数学的人,对于这番解释不知是否理解。

我们可以说,“芝诺悖论”在古希腊出现之后,经历了2000年左右,才由牛顿、莱布尼茨等人的微积分学找到了真正错误所在。然而,由于学科分工的关系,从事人文科学研究的学者,越来越远离自然科学,因此,在人文科学的课堂上,老师们根本不知道解决这个问题的钥

匙在哪里。在我哲学专业的论文答辩过程中,每次答辩有三个人同时进场,每人半小时左右。其中一位同学讲的是“宇宙大爆炸”理论对现代哲学的影响。等他照本宣科地念完论文后,答辩老师说:“这位同学,我不是刁难你,而是真的想搞清一个问题,你能不能告诉我,什么是大爆炸理论?我真的不知道。”我的这位同学立即面红耳赤,答不上来。因为,他的论文完全是抄的,抄也没抄懂。这样的哲学老师,这样的学生,难怪大学里的哲学课那么无聊。也就难怪我在毕业论文中的这番解释,老师们一个都提不出问题,因为他们真的不懂。

其实,对于“芝诺悖论”,不懂微积分等高等数学也没关系,只要以现实的态度理解“瞬间”这个概念就行。假设芝诺所说的“瞬间”可以用照相机拍下来,只要曝光及快门速度正确,每一张照片里,飞行的箭似乎“确实”是“不动”的。但是,这正是造成我们错觉的所在。不管照相机多么先进,不管高速摄影快门速度多块,现实之中,它永远不可能是零,它肯定有一个确定的时间段。而在这个时间段里,箭肯定移动了一个距离。照片中的箭之所以看起来是静止的,是因为移动的距离太小,即使有所模糊,肉眼也可以忽略不计。

“瞬间”作为一个纯理论概念,在理论中可以假设时间段为零,但是,这种理论的假设永远不可能在现实中出现。微积分理论之所以叫高等数学,确实是因为它比传统数学更接近现实。很多理论工作者容易在现实之中犯错误,大概就是因为没有搞清楚理论与现实的差距,有的时候,一个细微的差别,可以造成理论与现实的天壤之别,使两者之间判若云泥。一个关于“瞬间”的概念,它既是自然科学问题,也是人文科学问题。它同样也是所谓“本体论”的方法问题。如果将这个问题继续引申,它会涉及到宗教、哲学、科学等领域在发生论上的根本性问题,这里就不多罗嗦了。

对于“阿基利斯追不上乌龟”这个悖论,从理论上说,芝诺只做了“微分”,而没有做“积分”,也就是说,他的工作只做了一半。而且,他还偷换了概念。在前面提到的无穷小“dx”里,芝诺在乌龟那里只部分强调了“不等于零”的概念,而在阿基利斯那里只部分强调了“趋近于零”的概念。换句话说,芝诺在同一个问题中,采取了两个不同的标准,得出悖论就很正常的。而这种不同的标准,其实是一个概念的两个方面。

其实,“芝诺悖论”的这个隐蔽手段也经常出现在现实之中,比方说“自由”。从一个侧面说,人的自由似乎是绝对的,是所谓“天赋人权”,但是在另一个方面,任何自由都必然要受到限制的。我们在讨论问题的时候,如果仅仅只是强调“自由”的一个侧面,就会得出不同的结果。如果在同一个问题上转换“自由”概念的不同侧面,就会造成自相矛盾。

最后在讲一下“芝诺悖论”产生的社会背景。古希腊号称是民主的起源。但是,古希腊的民主是有很大局限的。它基本上是奴隶主之间的民主,奴隶主与奴隶之间根本没有民主。城市平民可以参与这种民主,参与的程度也受到局限。由大批的奴隶们供养的奴隶主们,有很多空闲的时间可以在元老院里高谈阔论,针锋相对。然而,元老院里的争论大多都是为了各自利益的争论,而缺乏全体利益的最高目标,因此,争论、辩论只求胜利而不择手段。正是在这种状况下,出现了类似芝诺之类的人物,他们专门教授“辩论术”,也是一种适应市场需要的行为。包括苏格拉底也干过这一行。教授“辩论术”的人员很多,芝诺将所谓“辩论术”变成了“诡辩术”。当然,这种社会需求的出现,也促进了以赫拉克利特为代表的古代辩证法的形成。这种古代辩证法思想,在中国大致可以用“中庸之道”来类比。

古希腊的这种纯粹为了辩论而培养“辩才”的传统,到了今天就是美国各学校里大量存在的“辩论队”。前几年,中国也赶起了这个时髦,国内几所著名大学纷纷组成“辩论队”,参加亚洲地区“大专辩论赛”。中国大学生的成绩还不错。其实要说起来,辩论的这个传统并非西方独有,春秋战国时期,中国就有“白马非马”的哲学诡辩,只不过中国没有特别突出它而已。但是,这并不影响中国人的辩论才能。

范文十:阿基里斯与龟

阿基里斯与龟

在《西方哲学史》中所提到的斯多亚学派中,有位名叫芝诺的哲人曾经通过一个很有意思的故事来阐述他的哲学理念,那个故事就是现在被当做经典数学悖论之一的阿基里斯追龟。阿基里斯与乌龟赛跑,阿基里斯的速度是乌龟的50倍,而乌龟的起点则在阿基里斯之前。对于这样一场赛跑的结果,芝诺认为阿基里斯是永远不能超越乌龟的。他是这样来论证自己的观点的。因为阿基里斯在比赛开始时就落后于乌龟一段距离,为了追赶乌龟,他必须先到达比赛开始时乌龟所处的位置,也就是跑出他与乌龟相距的这段距离,这显然需要花费一定的时间。等到他到达原先乌龟所处的位置时,乌龟已经跑出了它在刚才阿基里斯用于到达它原先所处位置所花时间内可以跑的距离。这个距离可能相当的短,但必定是在原先位置的前方的。接着,阿基里斯为了追赶乌龟,又必须先到达乌龟跑到的新位置,每次到达乌龟的那个位置时,乌龟必定已经离开那个位置,到了一个更前方的位置。这样看来,阿基里斯每次只是在跑乌龟曾跑过的路,因此永远也无法超越乌龟。

我记得第一次听到这种理论是在一年前的马哲课上,今天又在书里跟它相遇。马哲课时老师只是向我们讲述了这样一个故事,而书上也只是站在芝诺的立场上解释了他提出这种理论的原因,并将它定义为一种逻辑悖论,但并没有详细分析它的矛盾点出在哪里。而且在此之前,我也没有看过任何针对于这一理论而提出解答的资料,这样也好,在没有任何先入为主的思想导向下,正好可以得出一些真正属于我自己的东西。

我们看到这一种理论时,首先在直觉上觉得它是荒谬的,然而细想之下,又一时无法得出一套完备的理论驳斥它。甚至照着它的思维想下去,也会觉得他所说的不无道理。我们首先会认为它很荒谬的原因是,以我们传统的数学思维去想,假设阿基里斯的速度是10米每秒,乌龟的速度是0.2米每秒,他们之间相距10米的距离,那么在第2秒的时候,阿基里斯就早已超越了乌龟。而按照芝诺的思维方式来,当阿基里斯跑出10米到达乌龟先前位置时,他花费了1秒钟,在这1秒内,乌龟则向前移动了0.2米,于是阿基里斯又要花0.02秒的时间去缩短这0.2米的差距,但0.02秒内,乌龟又向前移动了,尽管距离很短,但较前面那一点仍是向前了。如果他们之间的距离不是10米,而是一个很大很大的距离,这种推理可能可以更直观一些,但最后必定依旧会出现这样的结果。看到这里,就很容易发现问题的所在了,大概很多人会立刻联想到数学上的极限理论。前一种思维当中,我们是按照生活中对于赛跑的习惯思维,用不连续的数字,把时间分割成了若干不连续的点,并观察每个点上事件所呈现的状态。而芝诺则是在一个时间完全连续的,不加以分割的情况下,却把空间上的点分割了。稍微做一下计算,就会发现在上述假设条件下,芝诺的方式,是永远无法到达第2秒的,因为每次阿基里斯用于追赶乌龟在他之前跑出的那段距离的时间,会以1/50为成绩递减,最后无限趋向于0。在这种无限趋向的前提下,时间也可近似地看作静止。而时间与空间虽然是两个不同的概念,但它们是不能单独分割开来思考的。时间如果静止,那么空间上也必然停止了移动。再将最早的假设条件无限缩小,假设阿基里斯在比赛开始时与乌龟之间的距离不是我们可以切实感知的距离,而是一种无限趋向于0的距离,那么这场比赛从一开始,

时间和空间上都趋向于静止了,双方都处于无限接近不移动的状态,阿基里斯当然无法跨越那个无限接近于0的距离,也就永远无法赢乌龟。

至此,我对于这个悖论的理解,就阐述完毕了。当然,这种理解是基于把极限理论假设为真理的前提下产生的。然而阿基里斯与龟这个故事给我带来的启发却不仅仅局限于逻辑或者数学这些方面上。依旧回到西方哲学史上,当初芝诺提出这一理论是为了给他的老师巴门尼德的关于“变化是逻辑上不可能”的学说进行辩护,是为了证明巴门尼德的结论是正确的所使用的论据或者手段。

我不是一个哲学系的学生,对于哲学的理解可能很肤浅。但我倒是很赞同“哲学的答案常常显得或者是不重要的,或者是没道理的”。如果只是为了深究一个答案,论证对错,哲学就可能显得很不靠谱,甚至根本没有存在的必要了。因此,在思考阿基里斯与龟这个问题的时候,我一直在提醒自己,答案并不是我的目的,证明对错更不是我的目的,因为现在的我,对于自己的思维体系依旧没有一个清晰的认识,我可能连自己的思维方式是否正确这个问题都无法得出一个令自己信服的答案的。所以接下去,要对自己的思索进行思索,而这种思索需要依靠对于其他命题的思索。我相信在对于一个哲学问题的论证过程当中,往往会迸发出一些很美丽的思想火花,这些思想火花于己于人都是很宝贵的财富。另外,在一个问题得到了答案之后,对于答案背后蕴藏的更深层次的东西的猜想,又会触发新的思想。这实在是一种很美妙的感觉啊。

By momo