阿基米德螺线

阿基米德螺线

【范文精选】阿基米德螺线

【范文大全】阿基米德螺线

【专家解析】阿基米德螺线

【优秀范文】阿基米德螺线

范文一:阿基米德螺旋线

阿基米德螺旋线的标准极坐标方程为

ρ=at+P0

式中:

a—阿基米德螺旋线系数,mm/°,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量; t—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;

ρo—当t=0°时的极径,mm。

实例

一个具有阿基米德螺旋线的凸轮,点P1至点P2为第一段阿基米德螺旋线,点P3至点P4为第二段阿基米德螺旋线。

1.绘图

1)作圆C1和C2

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“圆”按钮,选立即菜单中1:圆心_半径,提示圆心点时,输0,0(回车),提示输入半径时,输10(回车)作出R=10的圆C1,提示输入半径时,输12(回车)作出R=12的圆C2,按鼠标右键结束。

因为图形尺寸太小,为了看得更清楚,可将显示的图形放大至屏幕大小。单击屏幕上方常用工具栏中的“动态缩放”按钮,按住鼠标左键,从屏幕下方向上方推动光标时,图形随之放大。

2)作点P1至点P2之间的阿基米德螺旋线

作图前必需先算出这段阿基米德螺旋线条数a和当极角t=0°时的极径ρo。(1)计算点P1和点P2之间的阿基米德螺旋线系数a

P1点的极径为10,P2点的极径为12,P1至P2点转过90°,每转过1度时极径的增大量就是a,故该段的阿基米德螺旋线系数为

a=(12-10)÷90=0.02222mm/°

(2)计算当极角t=0°(即X轴正向)时的极径P0

P1点(极角为180°)时的极径P180=10mm,极角每减小1度时极径减小a=0.02222mm/°,当极角减小至t=0°时的极径为P0,计算如下P0=10-180°×a=10-180°×0.02222=6mm

(3)起始角和终止角

由图8-1中可以直接看出,这段阿基米德螺旋线的起始角为180°,终止角为270°。

(4)绘图

单击“高级曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“公式曲线”按钮,弹出如图8-2所示的公式曲线对话框,根据图形已知数据特点,应选极坐标系,用光标单击极坐标系前面的小白圆,出现一小黑点,单位选角度,参变量名仍用t表标极角的角度,起始值即起始角输180,终止值即终止角输270,公式名可输P1 —P2公式输为P=0.0222222*t+6单击“预显”公式曲线对话框中出现P1至P2两点间的这段阿基米德螺旋线。如图8-2所示,单击“确定”按钮,移动光标时这条绿色的阿基米德螺旋线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),在P1至P2点之间作出了一条白色阿基米德螺旋线。

3)作点P3至点P4之间的另一段阿基米德螺旋线

(1)计算点P1至点P2之间的阿基米德螺旋线系数a

P3点的极径为12,P4点的极径为15,P3点至P4点之间转过45°,故P3点至P4点间的阿基米德螺旋线系数为

a=(15-12)÷45=0.0666666mm/°

(2)计算极角t=0°时的极径P0

P3点(极角t=45°)的极径P45=12mm,极角每减小1度时极径减小a=0.0666666mm/°,当极角减小至t=0°时的极径为P0,计算如下

P0=12-45°×a=12-45°×0.0666666=9mm

(3)起始角和终止角

由图中可以直接看出P3至P4点这段阿基米德螺旋线的起始角为45°,终止角为90°。

(4)绘图

单击“高级曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“公式曲线”按钮,弹出如图所示的公式曲线对话框,选极坐标系,单位选角度,参变量为t,起始值输45,终止值输90,公式名输P3_P3,公式输为P=0.0666666*t+9单击“预显”按钮,公式曲线对话框中出现P3至 P4两点间这段阿基米德螺旋线,如图8-3所示,单击“确定”按钮,移动光标时这条绿色的阿基米德螺旋线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),在P3点至P4点之间作出一条白色阿基米德螺旋线。

4)作直线L1

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“直线”按钮,选立即菜单中1:角度线4:角度改输90,提示第一点时,输0,-13(回车),向上移动光标时拉出一条与Y轴重合的绿线,拉绿线至P4点以上时,单击鼠标左键作出白色直线L1。

(5)作圆C1至直线L1上交点处R=1的过滤圆

单击“曲线编辑”按钮,在弹出的功能工具栏中单击“过滤”按钮,选立即菜单1:圆角3:半径改为1,提示拾取第一条曲线时,光标点击直线L1变红色,提示拾取第二条曲线时,点击圆C1圆周,作出R=1的白色过渡圆弧。

2.裁剪

单击“曲线编辑”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“裁剪”按钮,提示拾取裁剪曲线时,光标点击多余线段,会逐段剪除,有时裁剪不顺利,不希望剪除的线段会随剪除的部分一起消失,这时可用标准工具栏中的“取消操作”按钮来恢复不该消失的线段,然后重新调整裁剪顺序就会得到满意的结果。

3.公式曲线对话框中“存储”、“提取”及“删除”按钮的用法

单击“存储”按钮时,提问存储当前公式吗?单击“是”,就把当前公式存储起来以备需要时使用。当需要使用已存储过的公式时,单击“提取”按钮,就显示出一系列已存储过的公式,单击“确定”按钮,公式曲线对话框消失,一条绿色曲线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车)曲线定位到坐标轴上,颜色变为白色。当需要删除某个已存储的公式时,单击“删除”按钮,立刻显示出一系列已存储的公式,单击要删除的公式,弹出对话框提问删除此公式吗?单击“是”按钮,该公式就被删除。

已知函数方程式的曲线

图中的P1与P2两点间为已知其函数方程式的曲线,该曲线的方程式为Y=12.5×3.1416×(X/50)3.521

1)绘图

1)作点P1与点P2之间的函数方程曲线

单击“公式曲线”按钮,在弹出如图8-5所示的公式曲线对话框中,选直角坐标系,单位选角度,参变量名改输X,起始值输0,终止值输50,公式名输 FCH,第一个公式X(t)=X,第二个公式Y(t)=12.5*3.1416*(X/50)3.521,输完公式后单击“预显”按钮时,显出该段方程曲线如图8-5中左上角所示,单击“存储”按钮,提问存储当前公式吗?单击“是”按钮,该方程被存好,单击“确定”按钮时,对话框消失,移动光标时一条绿色的该方程曲线随着移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),该曲线变白色定位到坐标轴的适当位置上。

2)绘图C1

单击“圆”按钮,选立即菜单1:圆心_半径,提示输入圆心点时,输0,10(回车),提示输入半径时,输10(回车)绘出圆C1,单击鼠标右键结束。

3)绘直线L1、L3及L5

用角度线(0°)作出直线L3,再将L3平移两次而得直线L1及L5。

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏中单击“直线”按钮,选立即菜单中1:角度线 4:角度改输0,提示第一点时,输-15,-15(回车),右移光标时拉出一条绿色直线,提示第二点(切点)或长度时,输70(回车)作出一条白色直线L3。

将直线L3平移后作L1和L5,选立即菜单中1:平行线2:偏移方式:3单向,提示拾取直线时,移光标单击直线L3变红色,向上移动光标时,出现一条绿色的直线L3向上移动,提示输入距离或点时,输25(回车)作出一条L3的平行线L1,再向上移动光标时,又出现一条绿色的直线向上移动,提示输入距离或点时,输54.27(回车)作出L3的另一条平行线L5。

4)绘直线L2及L4

用直线L3绕一输点转90°而得直线L2和L4。选立即菜单1:角度线2:直线夹角3:到线上4:角度输90,提示拾取直线时,移动光标单击直线L3变红色,提示第一点时,输-15,-15(回车),向上移动光标时拉出一条绿色直线,提示拾取直线时,移光标单击直线L1时,作出白色直线L2,继续提示输入第一点时,输55,-15(回车),向上移动光标从点 55,-15处向上拉出一条绿色直线,提示拾取曲线时,移光标单击直线L5绘出白色直线L4

2)裁剪

裁剪去多余线段,就得到图形。

原文地址:http://fanwen.wenku1.com/article/8524526.html

范文二:阿基米德螺旋线

8.1阿基米德螺旋线

阿基米德螺旋线的标准极坐标方程为

ρ=at+P0

式中:

a—阿基米德螺旋线系数,mm/°,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量; t—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;

ρo—当t=0°时的极径,mm。

实例

图8-1为一个具有阿基米德螺旋线的凸轮,点P1至点P2为第一段阿基米德螺旋线,点P3至点P4为第二段阿基米德螺旋线。

1.绘图

1)作圆C1和C2

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“圆”按钮,选立即菜单中1:圆心_半径,提示圆心点时,输0,0(回车),提示输入半径时,输10(回车)作出R=10的圆C1,提示输入半径时,输12(回车)作出R=12的圆C2,按鼠标右键结束。

因为图形尺寸太小,为了看得更清楚,可将显示的图形放大至屏幕大小。单击屏幕上方常用工具栏中的“动态缩放”按钮,按住鼠标左键,从屏幕下方向上方推动光标时,图形随之放大。

2)作点P1至点P2之间的阿基米德螺旋线

作图前必需先算出这段阿基米德螺旋线条数a和当极角t=0°时的极径ρo。

(1)计算点P1和点P2之间的阿基米德螺旋线系数a

P1点的极径为10,P2点的极径为12,P1至P2点转过90°,每转过1度时极径的增大量就是a,故该段的阿基米德螺旋线系数为

a=(12-10)÷90=0.02222mm/°

(2)计算当极角t=0°(即X轴正向)时的极径P0

P1点(极角为180°)时的极径P180=10mm,极角每减小1度时极径减小a=0.02222mm/°,当极角减小至t=0°时的极径为P0,计算如下P0=10-180°×a=10-180°×0.02222=6mm

(3)起始角和终止角

由图8-1中可以直接看出,这段阿基米德螺旋线的起始角为180°,终止角为270°。

(4)绘图

单击“高级曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“公式曲线”按钮,弹出如图8-2所示的公式曲线对话框,根据图形已知数据特点,应选极坐标系,用光标单击极坐标系前面的小白圆,出现一小黑点,单位选角度,参变量名仍用t表标极角的角度,起始值即起始角输180,终止值即终止角输270,公式名可输P1—P2公式输为P=0.0222222*t+6单击“预显”公式曲线对话框中出现P1至P2两点间的这段阿基米德螺旋线。如图8-2所示,单击“确定”按钮,移动光标时这条绿色的阿基米德螺旋线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),在P1至P2点之间作出了一条白色阿基米德螺旋线。

3)作点P3至点P4之间的另一段阿基米德螺旋线

(1)计算点P1至点P2之间的阿基米德螺旋线系数a

P3点的极径为12,P4点的极径为15,P3点至P4点之间转过45°,故P3点至P4点间的阿基米德螺旋线系数为

a=(15-12)÷45=0.0666666mm/°

(2)计算极角t=0°时的极径P0

P3点(极角t=45°)的极径P45=12mm,极角每减小1度时极径减小a=0.0666666mm/°,当极角减小至t=0°时的极径为P0,计算如下

P0=12-45°×a=12-45°×0.0666666=9mm

(3)起始角和终止角

由图8-1中可以直接看出P3至P4点这段阿基米德螺旋线的起始角为45°,终止角为90°。

(4)绘图

单击“高级曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“公式曲线”按钮,弹出如图所示的公式曲线对话框,选极坐标系,单位选角度,参变量为t,起始值输45,终止值输90,公式名输P3_P3,公式输为P=0.0666666*t+9单击“预显”按钮,公式曲线对话框中出现P3至P4两点间这段阿基米德螺旋线,如图8-3所示,单击“确定”按钮,移动光标时这条绿色的阿基米德螺旋线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),在P3点至P4点之间作出一条白色阿基米德螺旋线。

4)作直线L1

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“直线”按钮,选立即菜单中1:角度线4:角度改输90,提示第一点时,输0,-13(回车),向上移动光标时拉出一条与Y轴重合的绿线,拉绿线至P4点以上时,单击鼠标左键作出白色直线L1。

(5)作圆C1至直线L1上交点处R=1的过滤圆

单击“曲线编辑”按钮,在弹出的功能工具栏中单击“过滤”按钮,选立即菜单1:圆角3:半径改为1,提示拾取第一条曲线时,光标点击直线L1变红色,提示拾取第二条曲线时,点击圆C1圆周,作出R=1的白色过渡圆弧。

2.裁剪

单击“曲线编辑”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“裁剪”按钮,提示拾取裁剪曲线时,光标点击多余线段,会逐段剪除,有时裁剪不顺利,不希望剪除的线段会随剪除的部分一起消失,这时可用标准工具栏中的“取消操作”按钮来恢复不该消失的线段,然后重新调整裁剪顺序就会得到满意的结果。

3.公式曲线对话框中“存储”、“提取”及“删除”按钮的用法

单击“存储”按钮时,提问存储当前公式吗?单击“是”,就把当前公式存储起来以备需要时使用。当需要使用已存储过的公式时,单击“提取”按钮,就显示出一系列已存储过的公式,单击“确定”按钮,公式曲线对话框消失,一条绿色曲线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车)曲线定位到坐标轴上,颜色变为白色。当需要删除某个已存储的公式时,单击“删

除”按钮,立刻显示出一系列已存储的公式,单击要删除的公式,弹出对话框提问删除此公式吗?单击“是”按钮,该公式就被删除。

8.2已知函数方程式的曲线

图8-4中的P1与P2两点间为已知其函数方程式的曲线,该曲线的方程式为Y=12.5×3.1416×(X/50)3.521

1)绘图

1)作点P1与点P2之间的函数方程曲线

单击“公式曲线”按钮,在弹出如图8-5所示的公式曲线对话框中,选直角坐标系,单位选角度,参变量名改输X,起始值输0,终止值输50,公式名输FCH,第一个公式X(t)=X,第二个公式Y(t)=12.5*3.1416*(X/50)3.521,输完公式后单击“预显”按钮时,显出该段方程曲线如图8-5中左上角所示,单击“存储”按钮,提问存储当前公式吗?单击“是”按钮,该方程被存好,单击“确定”按钮时,对话框消失,移动光标时一条绿色的该方程曲线随着移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),该曲线变白色定位到坐标轴的适当位置上。

2)绘图C1

单击“圆”按钮,选立即菜单1:圆心_半径,提示输入圆心点时,输0,10(回车),提示输入半径时,输10(回车)绘出圆C1,单击鼠标右键结束。

3)绘直线L1、L3及L5

用角度线(0°)作出直线L3,再将L3平移两次而得直线L1及L5。

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏中单击“直线”按钮,选立即菜单中1:角度线 4:角度改输0,提示第一点时,输-15,-15(回车),右移光标时拉出一条绿色直线,提示第二点(切点)或长度时,输70(回车)作出一条白色直线L3。

将直线L3平移后作L1和L5,选立即菜单中1:平行线2:偏移方式:3单向,提示拾取直线时,移光标单击直线L3变红色,向上移动光标时,出现一条绿色的直线L3向上移动,提示输入距离或点时,输25(回车)作出一条L3的平行线L1,再向上移动光标时,又出现一条绿色的直线向上移动,提示输入距离或点时,输54.27(回车)作出L3的另一条平行线L5。

4)绘直线L2及L4

用直线L3绕一输点转90°而得直线L2和L4。选立即菜单1:角度线2:直线夹角3:到线上4:角度输90,提示拾取直线时,移动光标单击直线L3变红色,提示第一点时,输-15,-15(回车),向上移动光标时拉出一条绿色直线,提示拾取直线时,移光标单击直线L1时,作出白色直线L2,继续提示输入第一点时,输55,-15(回车),向上移动光标从点55,-15处向上拉出一条绿色直线,提示拾取曲线时,移光标单击直线L5绘出白色直线L4

2)裁剪

裁剪去多余线段,就得到图8-4的图形。

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/A355D806843AD948.html

范文三:阿基米德螺旋线

阿基米德螺旋线

阿基米德螺旋线的标准极坐标方程为

ρ=at+P0

式中:

a—阿基米德螺旋线系数,mm/°,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量; t—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;

ρo—当t=0°时的极径,mm。

实例

一个具有阿基米德螺旋线的凸轮,点P1至点P2为第一段阿基米德螺旋线,点P3至点P4为第二段阿基米德螺旋线。

1.绘图

1)作圆C1和C2

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“圆”按钮,选立即菜单中1:圆心_半径,提示圆心点时,输0,0(回车),提示输入半径时,输10(回车)作出R=10的圆C1,提示输入半径时,输12(回车)作出R=12的圆C2,按鼠标右键结束。

因为图形尺寸太小,为了看得更清楚,可将显示的图形放大至屏幕大小。单击屏幕上方常用工具栏中的“动态缩放”按钮,按住鼠标左键,从屏幕下方向上方推动光标时,图形随之放大。

2)作点P1至点P2之间的阿基米德螺旋线

作图前必需先算出这段阿基米德螺旋线条数a和当极角t=0°时的极径ρo。

(1)计算点P1和点P2之间的阿基米德螺旋线系数a

P1点的极径为10,P2点的极径为12,P1至P2点转过90°,每转过1度时极径的增大量就是a,故该段的阿基米德螺旋线系数为

a=(12-10)÷90=0.02222mm/°

(2)计算当极角t=0°(即X轴正向)时的极径P0

P1点(极角为180°)时的极径P180=10mm,极角每减小1度时极径减小a=0.02222mm/°,当极角减小至t=0°时的极径为P0,计算如下P0=10-180°×a=10-180°×0.02222=6mm

(3)起始角和终止角

由图8-1中可以直接看出,这段阿基米德螺旋线的起始角为180°,终止角为270°。

(4)绘图

单击“高级曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“公式曲线”按钮,弹出如图8-2所示的公式曲线对话框,根据图形已知数据特点,应选极坐标系,用光标单击极坐标系前面的小白圆,出现一小黑点,单位选角度,参变量名仍用t表标极角的角度,起始值即起始角输180,终止值即终止角输270,公式名可输P1 —P2公式输为P=0.0222222*t+6单击“预显”公式曲线对话框中出现P1至P2两点间的这段阿基米德螺旋线。如图8-2所示,单击“确定”按钮,移动光标时这条绿色的阿基米德螺旋线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),在P1至P2点之间作出了一条白色阿基米德螺旋线。

3)作点P3至点P4之间的另一段阿基米德螺旋线

(1)计算点P1至点P2之间的阿基米德螺旋线系数a

P3点的极径为12,P4点的极径为15,P3点至P4点之间转过45°,故P3点至P4点间的阿基米德螺旋线系数为

a=(15-12)÷45=0.0666666mm/°

(2)计算极角t=0°时的极径P0

P3点(极角t=45°)的极径P45=12mm,极角每减小1度时极径减小a=0.0666666mm/°,当极角减小至t=0°时的极径为P0,计算如下

P0=12-45°×a=12-45°×0.0666666=9mm

(3)起始角和终止角

由图中可以直接看出P3至P4点这段阿基米德螺旋线的起始角为45°,终止角为90°。

======================================================================

(4)绘图

单击“高级曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“公式曲线”按钮,弹出如图所示的公式曲线对话框,选极坐标系,单位选角度,参变量为t,起始值输45,终止值输90,公式名输P3_P3,公式输为P=0.0666666*t+9单击“预显”按钮,公式曲线对话框中出现P3至 P4两点间这段阿基米德螺旋线,如图8-3所示,单击“确定”按钮,移动光标时这条绿色的阿基米德螺旋线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),在P3点至P4点之间作出一条白色阿基米德螺旋线。

4)作直线L1

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“直线”按钮,选立即菜单中1:角度线4:角度改输90,提示第一点时,输0,-13(回车),向上移动光标时拉出一条与Y轴重合的绿线,拉绿线至P4点以上时,单击鼠标左键作出白色直线L1。

(5)作圆C1至直线L1上交点处R=1的过滤圆

单击“曲线编辑”按钮,在弹出的功能工具栏中单击“过滤”按钮,选立即菜单1:圆角3:

半径改为1,提示拾取第一条曲线时,光标点击直线L1变红色,提示拾取第二条曲线时,点击圆C1圆周,作出R=1的白色过渡圆弧。

2.裁剪

单击“曲线编辑”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“裁剪”按钮,提示拾取裁剪曲线时,光标点击多余线段,会逐段剪除,有时裁剪不顺利,不希望剪除的线段会随剪除的部分一起消失,这时可用标准工具栏中的“取消操作”按钮来恢复不该消失的线段,然后重新调整裁剪顺序就会得到满意的结果。

3.公式曲线对话框中“存储”、“提取”及“删除”按钮的用法

单击“存储”按钮时,提问存储当前公式吗?单击“是”,就把当前公式存储起来以备需要时使用。当需要使用已存储过的公式时,单击“提取”按钮,就显示出一系列已存储过的公式,单击“确定”按钮,公式曲线对话框消失,一条绿色曲线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车)曲线定位到坐标轴上,颜色变为白色。当需要删除某个已存储的公式时,单击“删除”按钮,立刻显示出一系列已存储的公式,单击要删除的公式,弹出对话框提问删除此公式吗?单击“是”按钮,该公式就被删除。

已知函数方程式的曲线

图中的P1与P2两点间为已知其函数方程式的曲线,该曲线的方程式为Y=12.5×3.1416×(X/50)3.521

1)绘图

1)作点P1与点P2之间的函数方程曲线

单击“公式曲线”按钮,在弹出如图8-5所示的公式曲线对话框中,选直角坐标系,单位选角度,参变量名改输X,起始值输0,终止值输50,公式名输 FCH,第一个公式X(t)=X,第二个公式Y(t)=12.5*3.1416*(X/50)3.521,输完公式后单击“预显”按钮时,显出该段

方程曲线如图8-5中左上角所示,单击“存储”按钮,提问存储当前公式吗?单击“是”按钮,该方程被存好,单击“确定”按钮时,对话框消失,移动光标时一条绿色的该方程曲线随着移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),该曲线变白色定位到坐标轴的适当位置上。

2)绘图C1

单击“圆”按钮,选立即菜单1:圆心_半径,提示输入圆心点时,输0,10(回车),提示输入半径时,输10(回车)绘出圆C1,单击鼠标右键结束。

3)绘直线L1、L3及L5

用角度线(0°)作出直线L3,再将L3平移两次而得直线L1及L5。

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏中单击“直线”按钮,选立即菜单中1:角度线 4:角度改输0,提示第一点时,输-15,-15(回车),右移光标时拉出一条绿色直线,提示第二点(切点)或长度时,输70(回车)作出一条白色直线L3。

将直线L3平移后作L1和L5,选立即菜单中1:平行线2:偏移方式:3单向,提示拾取直线时,移光标单击直线L3变红色,向上移动光标时,出现一条绿色的直线L3向上移动,提示输入距离或点时,输25(回车)作出一条L3的平行线L1,再向上移动光标时,又出现一条绿色的直线向上移动,提示输入距离或点时,输54.27(回车)作出L3的另一条平行线L5。

4)绘直线L2及L4

用直线L3绕一输点转90°而得直线L2和L4。选立即菜单1:角度线2:直线夹角3:到线上4:角度输90,提示拾取直线时,移动光标单击直线L3变红色,提示第一点时,输-15,-15(回车),向上移动光标时拉出一条绿色直线,提示拾取直线时,移光标单击直线L1时,作出白色直线L2,继续提示输入第一点时,输55,-15(回车),向上移动光标从点 55,-15处向上拉出一条绿色直线,提示拾取曲线时,移光标单击直线L5绘出白色直线L4

2)裁剪

裁剪去多余线段,就得到图形

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/31D0351D73BB7601.html

范文四:阿基米德螺线

浅谈阿基米德螺线

北京师范大学环境学院

郭惠媛(200911181021)姜畔(200911181023)

摘要:

本文从生活中有趣的自然现象出发,介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用,浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点,并以蚊香为例,建模,证明了阿基米德螺线应用的广泛性。

关键词:

阿基米德螺线、极坐标、自然界实例,生活中应用

引言

很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是,为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前,没有人造火光,飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说,阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子:时钟上的指针在作匀速转动,假如有一只小虫子从时钟的中心,沿指针作匀速爬动,那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线(如图3)。

1.阿基米德螺线简介

1.1阿基米德简介及螺线的发现

阿基米德 Archimedes(约公元前287~前212),古希腊伟大的数学家、力学家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄.11岁时去埃及,到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都” 的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习,以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因此他算是亚历山大学派的成员。 公元前240年,阿基米德由埃及回到故乡叙拉古,并担任了国王的顾问.从此开始了对科学的全面探索,在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果,成为古

希腊最伟大的科学家之一.后人对阿基米德给以极高的评价,常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。

据说,阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的.柯农死后,阿基米德继续研究,又发现许多重要性质,因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了.

1.2阿基米德螺线的定义及方程 1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义

阿基米德螺线,亦称“等速螺线”。螺线是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩或扩展的曲线,阿基米德螺线是一种二维螺线。在《论螺线》中,阿基米德给出了如下定义:当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时,这射线又以等角速度绕点O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r=aθ。这种螺线的每条臂的距离永远相等于2πa。

1.2.2阿基米德螺线定义的不合理之处

当我们在纸上用笔沿着一盘阿基米德螺线形状的蚊香进行描绘时,可以或快或慢或暂停又继续地去画完这条螺旋线,是不会有“等速率” ﹑“等角速度”感觉的。实际上阿基米德螺线是动点“旋转”与“直线”两种运动同步、按比例合成的轨迹线。“同步”意味着“旋转”与“直线”两种运动步调一致。即:你动我动,你快我快,你慢我慢,你停我停。“同步”可以包含“旋转”与“直线”两种运动的“等速度”,而“等速度”决不能等同“同步”!因为“同步”容许速度的同步变化,而“等速度”则不允许速度变化。

在螺旋线中,螺距(通常用S表示)是一重要参数,它表示动点绕中心回转一周时,沿直线方向移动的距离。“螺旋比”(简称“旋比”—用ix表示 )即:螺距与一周(360度或2π)的比, ix=S/360度(角度制)或 ix=S/2π(弧度制);任意回转角度下,动点相应运动的直线距离(L)等于该回转角度与“旋比”的乘积。L=ixα(角度制),或 L=ixθ(弧度制)。阿基米德螺线极坐标方程式 r = aθ 中的“a”既是螺线比“ix”;”r” 既是“L”。因为阿基米德螺线的螺线比为常数,一周永远等于360度或2π,所以螺距永远相等,即螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。根据螺距永远相等的特性,我们可将这类螺线称为“等距螺线”或“等旋比螺线”。而不能称之为“等速螺线”。

1.3阿基米德螺线的方程

极坐标系:在数学中,极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示

阿基米德螺旋线的标准极坐标方程: r(θ)= a+ b(θ)

式中:

b—阿基米德螺旋线系数,mm/°,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量; θ—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;

a—当θ=0°时的极径,mm。

改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线,一条θ>0,另一条θ

在极坐标系与平面直角坐标系(笛卡尔坐标系)间转换:

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值

由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标

在x=0的情况下:若y为正数,则θ=90°(π/2radians);若y为负,则θ=270°(3π/2radians).

1.4阿基米德螺线的画法

1.4.1阿基米德螺线的几何画法

以适当长度(OA)为半径,画一圆O;作一射线OA;作一点P于射线OA上;模拟点A沿圆O移动,点P沿射线OA移动;画出点P的轨迹;隐藏圆O、射线OA&点P;即可得到螺线(如图4)

1.4.2阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线,如图4,用一根线缠在一个线轴上,在其游离端绑上一小环,把线轴按在一张纸上,并在小环内套一支铅笔,用铅笔拉紧线,并保持线在拉紧状态,然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹,就得到了阿基米德螺线。

2.自然界中的阿基米德螺线

2.1自然界中的多种多样的螺线

在浩瀚的自然界中,在千姿百态的生命体上发现了不少螺旋。如原生动物门中的砂盘虫;软体动物门中梯螺科中的尖高旋螺,凤螺科中的沟纹笛螺,明螺科中的明螺,又如塔螺科的爪哇拟塔螺、奇异宽肩螺、笋螺科的拟笋螺等大多数螺类,它们的外壳曲线都呈现出各种螺旋状;在植物中,则有紫藤、茑萝、牵牛花等缠绕的茎形成的曲线,烟草螺旋状排列的叶片,丝瓜、葫芦的触须,向日葵籽在盘中排列形成的曲线;甚至构成生命的主要物质——蛋白质、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋结构,如人类遗传基因(DNA)中的双螺旋结构。其中,自然界中的砂盘虫化石,蛇盘绕起来形成的曲线等都可以构成阿基米德螺线。

2.2自然界中螺线广泛存在的原因

拟螺线之所以在生命体中广泛存在,是由于螺线的若干优良性质所确定。而这些优良性质直接或间接地使生命体在生存斗争中获得最佳效果。由于在柱面内过柱面上两点的各种曲线中螺线长度最短,对于茑萝、紫藤、牵牛花等攀缘植物而言,如何用最少的材料、最低的能耗,使其茎或藤延伸到光照充足的地方是至关重要的。而在各种曲线中,螺线就起到省材、节约能量消耗的作用,在相同的空间中使其叶子获取较多的阳光,这对植物光合作用尤为重要,像烟草等植物轮状叶序就是利用形成的螺旋面能在狭小的空间中(其他植物的夹缝中)获得最大的光照面积,以利于光合作用。形成螺线状的某些物体还有一种物理性质,即像弹簧一样具有弹性(或伸缩性)。在植物中丝瓜、葫芦等茎上的拟圆柱螺线状的触须利用这个性质,能使其牢固地附着其他植物或物体上。即使有外力或风的作用,由于螺线状触须的伸缩性,使得纤细的触须不易被拉断,并且当外力(或风)消失后,保证其茎叶又能恢复到原来的位置。螺旋线对于生活在水中的大多数螺类软体动物也是十分有意义的。观察螺类在水中的运动方式,通常是背负着外壳前进,壳体直径粗大的部分在前,螺尖在后。当水流方向与运动方向相反时,水流沿着壳体螺线由直径大的部分旋转到直径小的部分直到螺尖。水速将大大减小,这样位于壳体后水的静压力将大于壳体前端的静压力。在前后压力差的作用下,壳体将会自动向前运动。这样一来,来自水流的阻力经锥状螺线的转化变为前进的动力。除此而外,分布在螺类外壳上的螺线像一条肋筋,大大增加了壳体的强度,也分散了作用在壳体上的水压。

3.阿基米德螺线在实际生活中的应用

3.1最初的应用:螺旋扬水器

为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,阿基米德发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。 阿基米德螺旋是一个装在木制圆筒里的巨大螺旋状物(在一个圆柱体上螺旋状地绕上中空的管子),把它倾斜放置,下端浸入水中,随着圆柱体的旋转,水便沿螺旋管被提升上来,从上端流出。这样,就可以把水从一个水平面提升到另一个水平面,对田地进行灌溉。“阿基米德螺旋”扬水机至今仍在埃及等地使用。

3.2工程上应用:阿基米德螺旋泵

阿基米德螺旋泵的工作原理是当电动机带动泵轴转动时,螺杆一方面绕本身的轴线旋转,另一方面它又沿衬套内表面滚动,于是形成泵的密封腔室。螺杆每转一周,密封腔内的液体向前推进一个螺距,随着螺杆的连续转动,液体螺旋形方式从一个密封腔压向另一个密封腔,最后挤出泵体。螺杆泵是一种新型的输送液体的机械,具有结构简单、工作安全可靠、使用维修方便、出液连续均匀、压力稳定等优点。

3.3日常生活的应用:蚊香的几何特征

将一单盘蚊香光滑面朝上,放置一水平面上,自上俯视,会观察到的蚊香平面图。将这条曲线单独绘制出来,并加上一定的标志,得到了蚊香香条曲线图(如图6示)。点O为直线AB与曲线AB若干交点中位于最中间的一个交点。曲线OA实际上是单盘蚊香的香条外侧边线。观察不同厂牌蚊香的实物,会发现其对应的OA曲线上,接近点的一段(图中以OP表示),也就是所谓“太极头”部位的曲线,在

形状上各有不同,但对于剩下的一大段曲线PA,则具有这样的特征:曲线PA E任取一点Q,假使点Q可在曲线PA上移动,则点Q越接近点A,点Q与点O的直线距离(以r表示)越大;而且,每移动一定角度(以0表示),增加的值与该角度成正比。用学语言描述曲线QA的上述特征,可表示为:

△φ=k△θ,或φ=k△θ+C-----(1)

式(1)中,k和C均为恒定常数,若以点O为极点,建立极坐标,则选择适当方位的极轴,可以将式(1)转移为:

φ=kθ,θ∈[0,α]------(2)

式(2)中a为点A,即香条末端对应的极角。式(2)所描述的曲线一单擞蚊香香条外侧边线.实际上正是“阿基米德螺线”。

需要说明的是,式(2)所描述的只是蚊香“太极头”之外的香条曲线方程,由于不同厂牌蚊香的“太极头”没有统一固定的形状,所以无法对其作出确切的描述。同时,由于“太极头”一段香条的长度极短,因而其形状对蚊香香条长度的影响事实上也可以忽略不计。

结论:

通过对阿基米德螺线这种特殊的螺线的研究,我们对螺线,极坐标等概念的理解更加深入。阿基米德应用理论解决实践问题的思想让我们明白学以致用的重要性。启示:自然界中各种看似平常的现象都隐藏着不寻常的道理,只有不断发掘,我们才能获得新知。

参考文献:

[1] 石磊,生命中的螺旋,世界环境 , 2005,(2) : 24~ 25.

[2].陈文喻 代数三角混合曲线理论及应用. 浙江大学数学系硕士毕业论文, 2006

[3] 孙崇敏,蚊香的几何特征及香条长度的测量,中华卫生杀虫药械, 2003,9(1)

[4] 姚建武,螺线与生物体上的拟螺线,SCIENCE , 2004,56(4)

[5] 王永炎,张启明,赵易军,太极图反映了自然界最基本的周期运动:简谐运动,自然 , 2009,31(2) 69~72

[6] 温书香,中华学生百科全书-世界科技史话,北京燕山出版社, 2006

参考网站:

维基百科,科技中国,CNKI概念知识源库,科学网,百度百科,雅虎知识堂

8.1阿基米德螺旋线

阿基米德螺旋线的标准极坐标方程为

ρ=at+P0

式中:

a—阿基米德螺旋线系数,mm/°,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量; t—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;

ρo—当t=0°时的极径,mm。

实例

图8-1为一个具有阿基米德螺旋线的凸轮,点P1至点P2为第一段阿基米德螺旋线,点P3至点P4为第二段阿基米德螺旋线。

1.绘图

1)作圆C1和C2

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“圆”按钮,选立即菜单中1:圆心_半径,提示圆心点时,输0,0(回车),提示输入半径时,输10(回车)作出R=10的圆C1,提示输入半径时,输12(回车)作出R=12的圆C2,按鼠标右键结束。

因为图形尺寸太小,为了看得更清楚,可将显示的图形放大至屏幕大小。单击屏幕上方常用工具栏中的“动态缩放”按钮,按住鼠标左键,从屏幕下方向上方推动光标时,图形随之放大。

2)作点P1至点P2之间的阿基米德螺旋线

作图前必需先算出这段阿基米德螺旋线条数a和当极角t=0°时的极径ρo。

(1)计算点P1和点P2之间的阿基米德螺旋线系数a

P1点的极径为10,P2点的极径为12,P1至P2点转过90°,每转过1度时极径的增大量就是a,故该段的阿基米德螺旋线系数为

a=(12-10)÷90=0.02222mm/°

(2)计算当极角t=0°(即X轴正向)时的极径P0

P1点(极角为180°)时的极径P180=10mm,极角每减小1度时极径减小a=0.02222mm/°,当极角减小至t=0°时的极径为P0,计算如下P0=10-180°×a=10-180°×0.02222=6mm

(3)起始角和终止角

由图8-1中可以直接看出,这段阿基米德螺旋线的起始角为180°,终止角为270°。

(4)绘图

单击“高级曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“公式曲线”按钮,弹出如图8-2所示的公式曲线对话框,根据图形已知数据特点,应选极坐标系,用光标单击极坐标系前面的小白圆,出现一小黑点,单位选角度,参变量名仍用t表标极角的角度,起始值即起始角输180,终止值即终止角输270,公式名可输P1—P2公式输为P=0.0222222*t+6单击“预显”公式曲线对话框中出现P1至P2两点间的这段阿基米德螺旋线。如图8-2所示,单击“确定”按钮,移动光标时这条绿色的阿基米德螺旋线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),在P1至P2点之间作出了一条白色阿基米德螺旋线。

3)作点P3至点P4之间的另一段阿基米德螺旋线

(1)计算点P1至点P2之间的阿基米德螺旋线系数a

P3点的极径为12,P4点的极径为15,P3点至P4点之间转过45°,故P3点至P4点间的阿基米德螺旋线系数为

a=(15-12)÷45=0.0666666mm/°

(2)计算极角t=0°时的极径P0

P3点(极角t=45°)的极径P45=12mm,极角每减小1度时极径减小

a=0.0666666mm/°,当极角减小至t=0°时的极径为P0,计算如下

P0=12-45°×a=12-45°×0.0666666=9mm

(3)起始角和终止角

由图8-1中可以直接看出P3至P4点这段阿基米德螺旋线的起始角为45°,终止角为90°。

(4)绘图

单击“高级曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“公式曲线”按钮,弹出如图所示的公式曲线对话框,选极坐标系,单位选角度,参变量为t,起始值输45,终止值输90,公式名输P3_P3,公式输为P=0.0666666*t+9单击“预显”按钮,公式曲线对话框中出现P3至P4两点间这段阿基米德螺旋线,如图8-3所示,单击“确定”按钮,移动光标时这条绿色的阿基米德螺旋线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),在P3点至P4点之间作出一条白色阿基米德螺旋线。

4)作直线L1

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“直线”按钮,选立即菜单中1:角度线4:角度改输90,提示第一点时,输0,-13(回车),向上移动光标时拉出一条与Y轴重合的绿线,拉绿线至P4点以上时,单击鼠标左键作出白色直线L1。

(5)作圆C1至直线L1上交点处R=1的过滤圆

单击“曲线编辑”按钮,在弹出的功能工具栏中单击“过滤”按钮,选立即菜单1:圆角3:半径改为1,提示拾取第一条曲线时,光标点击直线L1变红色,提示拾取第二条曲线时,点击圆C1圆周,作出R=1的白色过渡圆弧。

2.裁剪

单击“曲线编辑”按钮,在弹出的功能工具栏菜单中单击“裁剪”按钮,提示拾取裁剪曲线时,光标点击多余线段,会逐段剪除,有时裁剪不顺利,不希望剪除的线段会随剪除的部分一起消失,这时可用标准工具栏中的“取消操作”按钮来恢复不该消失的线段,然后重新调整裁剪顺序就会得到满意的结果。

3.公式曲线对话框中“存储”、“提取”及“删除”按钮的用法

单击“存储”按钮时,提问存储当前公式吗?单击“是”,就把当前公式存储起来以备需要时使用。当需要使用已存储过的公式时,单击“提取”按钮,就显示出一系列已存储过的公式,单击“确定”按钮,公式曲线对话框消失,一条绿色曲线随光标移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车)曲线定位到坐标轴上,颜色变为白色。当需要删除某个已存储的公式时,单击“删除”按钮,立刻显示出一系列已存储的公式,单击要删除的公式,弹出对话框提问删除此公式吗?单击“是”按钮,该公式就被删除。

8.2已知函数方程式的曲线

图8-4中的P1与P2两点间为已知其函数方程式的曲线,该曲线的方程式为Y=12.5×3.1416×(X/50)3.521

1)绘图

1)作点P1与点P2之间的函数方程曲线

单击“公式曲线”按钮,在弹出如图8-5所示的公式曲线对话框中,选直角坐标系,单位选角度,参变量名改输X,起始值输0,终止值输50,公式名输FCH,第一个公式X(t)=X,第二个公式Y(t)=12.5*3.1416*(X/50)3.521,输完公式后单击“预显”按钮时,显出该段方程曲线如图8-5中左上角所示,单击“存储”按钮,提问存储当前公式吗?单击“是”按钮,该方程被存好,单击“确定”按钮时,对话框消失,移动光标时一条绿色的该方程曲线随着移动,提示曲线定位点时,输0,0(回车),该曲线变白色定位到坐标轴的适当位置上。

2)绘图C1

单击“圆”按钮,选立即菜单1:圆心_半径,提示输入圆心点时,输0,10(回车),提

示输入半径时,输10(回车)绘出圆C1,单击鼠标右键结束。

3)绘直线L1、L3及L5

用角度线(0°)作出直线L3,再将L3平移两次而得直线L1及L5。

单击“基本曲线”按钮,在弹出的功能工具栏中单击“直线”按钮,选立即菜单中1:角度线 4:角度改输0,提示第一点时,输-15,-15(回车),右移光标时拉出一条绿色直线,提示第二点(切点)或长度时,输70(回车)作出一条白色直线L3。

将直线L3平移后作L1和L5,选立即菜单中1:平行线2:偏移方式:3单向,提示拾取直线时,移光标单击直线L3变红色,向上移动光标时,出现一条绿色的直线L3向上移动,提示输入距离或点时,输25(回车)作出一条L3的平行线L1,再向上移动光标时,又出现一条绿色的直线向上移动,提示输入距离或点时,输54.27(回车)作出L3的另一条平行线L5。

4)绘直线L2及L4

用直线L3绕一输点转90°而得直线L2和L4。选立即菜单1:角度线2:直线夹角3:到线上4:角度输90,提示拾取直线时,移动光标单击直线L3变红色,提示第一点时,输-15,-15(回车),向上移动光标时拉出一条绿色直线,提示拾取直线时,移光标单击直线L1时,作出白色直线L2,继续提示输入第一点时,输55,-15(回车),向上移动光标从点55,-15处向上拉出一条绿色直线,提示拾取曲线时,移光标单击直线L5绘出白色直线L4

2)裁剪

裁剪去多余线段,就得到图8-4的图形。

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/E478DB965FADF9AC.html

范文五:阿基米德螺旋曲线算法

// ysstme ehaderfi esl

#ncliude sh

#inlude

/ R/C4The adref le

#incliue "drc4itplmh"

s.rutctp lyoong{

horstx av, yvla;l}

;

defi#e n R(00200)

opylongs uqrae[ =

]

-{,R R,

-R- ,R,R,

R,R,

-R, -R,

-R

;}

po

ygon trlainlge[] {=

-,R ,0

, 0R,0, R

,

-, R0

};

#efidn POLYGeNSOZIEf(iuger) (sizof(fegurie/si)zoefpolyg(no))

vo

id ErorMressgae(hsrotError Code;)vo

d idaw(ropygonl fi*ugre,un signe dszei;)

viodm ina(voi *d, oivd*)

{

hostr E rorrodeC;

printf(Po"yglonMa kinr wgti ha OC2l saer\nn\";)

/

/Ini taiizel

ErrrCooe d lo=adc_roretioc_nilef"co(_1tro.1tcb,

1," // t able #1 ;si used b ydeaflut

.10 1,0. , // sc la efatcor0

.0 , // orttainoin d egeers,co nteurcolcwike

s.0, 0.00) //; ofseft ni btis

f(iErorCrdoe){

print("foCrreciton filelo adign eror:r") ;

ErroreMsages(rrorCoEde;)

rteur;n

}

ErroCrdo =elo adprog_rmafil_(eRT"4D2Ch.xe";)

ifErr(roode) C{pr

ntif"Prog(ram fliel aoding error ":);

ErorrMsesge(ErraroCoed;

)reutn;

r}

setl_searm_oed();0 // CO2m de soleectde

es_standty(1b0*8, 0 // ahlf o tfh stenadbyp reod in 1/8i mirocseocds

n);8 / /p uselwi tdhi 1n/ m8ircoesoncsd

//T iinmg, elayda dn spede prseets

testa_trli_st()1;

estlaser__itimg(100,n / ha/f oflt h elsae rsinal gpreoid50

5,,0 / /pu le siwthsd f sogianl LAsSRE a1d LnSER2

A); 0 / /imtebas ; 0 ecorrepsndso t o1 micosecondr./

O/hetrwis,ethe ime btae sis 18 microse/ocnd.ss

ets_cnaernd_eaysl(52, / /j mu pdley ina1 mic0osercons

10, d / m/rk daelya ni 0 1mcrioescnosd

5; ) //p lyoog nelad yni10 micrsecoonsds

t_lesaer_edlay(1s00 , // l sae onr elay dnimic roscondes100);

/ l/ser aff doeayl i micnorescndos

et_sjmups_eepd1(00.0)0; / /ujp mpese dinb ts ier mplliseciodns

se_tamrk_spede25(0.);0 // makinr spegedin ibs tpr emilliecsndos

setend__fol_sit);

(eecxue_tislt1)(;

// rawD

drwa(sqaue, rPLOGYNSIZEO(qusrae);)

rdwatri(aglne,PO YGLOSINZ(Etriagnl))e;

/

/F iisnh

rpntfi("Finihsed- rpsesany k e tyo etminaret ");while

(k!bht()i ;)(v

od)geicth()

p;rnti(f\n");"

erutrn;}

// radw

/

/// D secrpition:/

/

/ Fu/cntin "dora" wtrnasersfth sepcifeei dfiurge t tohe RCT and 4niokve

/s/ hte TC4Rto ma k rhtt aifuge,rwhen teht ranfes is rinfshied ".radw "wats

/i / s loang a sth eamrikgno fa prev ousiyl tanrferre fidgueri fsnishedib fore

//e i tstrastto trans er fteh secifipedfig reu

//.

//

// aPamreet r M enani

/g

/// igurf e oPniertt aopol gonya rayr

// T he

firs tleeemt no fhat tarar spyciefesit e fhist roclaiotn

/ / fomrwhe r teehf igur will eebm aredkun iltt e lasht olcaiotn,//

w hihcis pecsfiedi b yhe last atrayrel ment.e/

// / sze i Aounmtof poygoln shte oplgynoar rya contains

/ / nI asec "szei"e qulas ,0 ht efuctionni mmdeiatel yetrruns

// iwhout drtawig a lnni.

e/

/// C omemnt

/ / his fTuntcinod monstretaset e uhagseo a sifglen list. Usignl sit1 onyl//

eanm tsha touyca nu tliie thz espcaeof b tohl sis,twhich euqla s0080 etniesr

// t tolay.l/

/// NTOE

// Mak sere uhatt"s iz"e si msllera hta n0800.

oid vrdwapol(gony f*iuge,ru sngnie dizs)e{

unisgedn hors tbusy ,p ostiion

;usinngde i;

if(

siz) e

{do

{ge_statts(ub&usy, po&stiino);

} whle(ibsu)y;

//O lny u,s liets1 w,hich cn halodup to 8000e nriets

se_sttra_tilts1);

j(upm_ba(fsiuger->xalv, fguir->eyval)

fo;r( = 0i ,fiuger+; i +

mrka_bs(figaur-ex>av, filureg>y-val;)s

et_edno__flist()

e;excue_ltsti();

}1

}

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/C14CC52DAC98ED2A.html

范文六:阿基米德螺线浅析

阿基米德螺线浅析

作者:姜荣 200911181013 环境学院09级 黄鲁霞 200911181004 环境学院09级 荣镭 200911181017 环境学院09级

摘要:

本文就自然界中阿基米德螺线的存在,探讨了它的产生、原理、性质。并对阿基米德螺线在生活中的应用进行了说明。 关键词:阿基米德螺线 产生 原理 性质 应用 Abstract:

This paper mainly discuss the cause, the principium and the habitude of Archimedes spiral because of its existence in nature. In addition, we make some introductions to its application in our daily life. Key words: Archimedes spiral cause principium habitude application 引言:

阿基米德与阿基米德螺线

Archimedes(阿基米德)是古希腊数学家、力学家。 他在数学、物理方面都有极高的成就。

公元前287年,阿基米德出生于西西里岛(Sicilia)的叙拉古(Syracuse)(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族,与叙拉古的赫农王有亲戚关系,家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家,学识渊博,为人谦逊。他十一岁时,借助与王室的关系,被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城,跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习,他以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因

此他算是亚历山大学派的成员。

阿基米德在亚历山大学习和生活了许多年,曾跟很多学者密切交往。他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。在他学习天文学时,发明了用水利推动的星球仪,并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。

公元前212年,古罗马军队攻陷叙拉古,正在聚精会神研究科学问题的阿基米德,不幸被蛮横的罗马士兵杀死,终年七十五岁。阿基米德的遗体葬在西西里岛,墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形,以纪念他在几何学上的卓越贡献。

据说为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,它发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。阿基米德在《论螺线》一书中明确了螺线的定义,以及对螺线的面积的计算方法。 一、自然界中的阿基米德螺线现象 1.1神奇的蜘蛛网

蜘蛛是地球上古老的节肢动物之一。它们的生活历程

可以追溯到2亿年以前,并且至今仍然保存着一个庞大的家

族。蜘蛛网是由部分种类的蜘蛛吐丝所编成的网状物,用以 捕获昆虫、小型脊椎动物等作食物,或用以结巢居住。蜘蛛 网堪称蜘蛛巧夺天工的杰作,经过上亿年的演化,现在的蜘 蛛网不仅有不可比拟的强度和韧性还具精美的几何图形。

其中蜘蛛丝的捕食丝是由外向网心开始铺设有黏性的

捕食螺线所铺设的捕食螺线其间的距离是相等的。就是本文所 说的阿基米德螺线。 1.2扑火的飞蛾

在亿万年前,没有人造火光 ,飞蛾完全靠天然光源日光 、月光 或星光指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远 ,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位臵的前进方向与光线的夹角都是一个固定值。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的阿基米德螺线。 1.3太极图

国学中的阴阳具有多重含义,是一类特殊矛盾。从黄赤交角

造成的四季光照度变化中可以看出太极图中的曲线是两条阿基米德螺线。

四季的阴阳无限等分变化图

在四季的阴阳无限等分变化图中,以圆心为极点,以极点到夏至的方向为极轴的正方向建立极坐标系,则阴、阳的大小ρ与时间θ之间有数据对应关系。

显然,这是两条阿基米德螺线。 二、模型的建立

2.1阿基米德螺线(亦称等速螺线)是指当一点P沿动射线OP

以等速率运动的同时,这射线又以等角速度绕点O旋转,则点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。从物理的角度来说,阿基米德螺线是匀速直线运动和匀速圆周运动的合成,其图形如下:

阿基米德螺线的一般方程中是:

a

在极坐标体系中,阿基米德螺线的方程是:

= aθ (a=const)

即在坐标中,阿基米德螺线上的点距原点的距离与从极轴OX转过的角度成正比例。阿基米德螺线的螺距是一个常数2πa,(即当△θ=2π时,△r=2πa)。其证明是:

r=aθ, r’=a(θ+2π) 则 △r=r’-r=2πa。

所以要判定一个螺旋图形是否为阿基米德螺线,就可以看其在平面内是否符合r = aθ的等式。

2.2阿基米德螺线规

阿基米德螺线在理论研究上或是在实际应用中都是十分重要的。我们在教学这一内容时,为了使学生对此曲线的特性有深刻的直观印象,设计了能绘制这一曲线的教具一一阿基米德螺线演示规。

设动点开始运动时离定点 O的距离为0,即初始位臵是

M0(0,0),M

在l上的运动速度v,l绕O点转动的角速度为,经过

时间t,转过角度,动点到达的位臵为M(,) 则有vt0……………………(1) 及

t……………………(2)

0vt0v

由(1)(2)消去t得



,设

v

a(0)则有0a0

这就是阿基米德螺线的极坐标方程。 若

M1(1,1)

,M2(2,2)是螺线

0a

上的任意两点,则由

10a1,20a2可得21a(21)。这表明,当动点沿阿基

米德螺线图线移动时,它的极半径的改变量21与极角的改变量

21成正比的,因此阿基米德螺线也可看成是动点的极半径改变量

与它的极角改变量成正比的点的轨迹。阿基米德螺线演示规就是根据这一特性来制作的。 三、阿基米德螺线的性质 3.1

若点(,)在曲线

a

上,则点(,)在曲线

a

上,则这两支曲线关于线对称。特别是(图1)当

2

时,阿基

米德螺线

a

可以画出关于的对称部分。

2

3.2若1a,则有n1a(2n(图(nZ).因而

) (nZ)

,即n112na

2)过极点O的每一条射线都被阿基米德螺线截成了

无穷多个线段,从第二个线段起,每个线段长度都是2a。 3.3若

a

,令



a



,则有

a

。从而(图3)一般的阿

基米德螺线都可由过极点的、有相同系数的螺线截得。 四、阿基米德螺线的应用 4.1蜗壳入口

旋流器蜗壳是将液流的直线运动变为圆周运动的转换器。既要使悬浮液顺畅地进入旋流状态,又要使进入旋流状态的过渡沿程损失小,要求旋流器蜗壳内壁曲线连接光滑而没有拐点,曲率中心在同一侧,这样沿程损失能量小.旋流器的效率高。阿基米德螺线多被用于蜗壳入口,被运用于此有其独特的意义。 4.1.1蜗壳入口部分的低压力耗散

由水力学得知,局部水头损失h一般表述为:

式中:为局部水头损失系数;为流速;g为重力加速度。 4.1.2阿基米德螺线入口蜗壳的水头损失 蜗壳结构以极坐标形式表示为阿基米德螺线

a

为极坐标半径,为极角,为由A点计算之所对应的极角;a

为参数

对图2的结构,当则方程4变为

(R1/2)

2

时,

R1,于是有R12a,故有aR1/2,

式中:R1为曲率半径;

2

现在,我们来计算阿基米德螺线入口阻力系数。将曲线AB相

对应的圆心角等分成n个角度,每一个记作,则每一个圆心角所对应的极半径可以根据公式求出:

(R1/2)(2n)

式中:

/n

,n为相对应的极半径的的个数。因此可求出曲

线AB的平均半径R0:

R0

1

n

1

R(1nn

i1

/2n)

将R0代人4(3),即可求出曲线AB的阻力系数的近似值。 4.1.3切线入口与阿基米德螺线入口的阻力系数大小比较 假如

/2,R1180mm

入口高度H

100mm

3.5

1000.1310.163

180

1/2

2/2



0.1518

如果是阿基米德螺线入口,假定将等分成10份代人公式6中,其平均极半径为

R0

180

122/21/2

1(1)()0.1443104040

由此可见,在此条件下采用阿基米德螺线入口,将降低入口阻力。 4.2阿基米德螺线蜗杆的车削

4.2.1已知参数:(如图2所示) 蜗杆型式:阿基米德螺线(ZA蜗杆) 法向模数 mn齿形角

20

0.8;头数z=3

51140

'

''

; 导程角

00.11

齿项圆直径d128.1

f1

左旋,轴向齿距公差f为0.01;

px

齿形误差f为0.016. ‘、 4.2.2计算结果如下 蜗杆端面模数:mx蜗杆轴向齿距:px蜗杆直径系数:

蜗杆分圆直径:d1mxq26.5088 蜗杆顶圆直径:d126.50882h128.1

00.11

mncos

0.8033

mx2.5236

q

DxZtg

33

蜗杆齿顶高:h10.7956

蜗杆根圆直径:d

蜗杆齿根高:f1d12(h1C)25.2389 hf1h1C0.9563

C0.2mx0.1607

所以:蜗杆齿全高:h1.7519

Sx1.2618

X0.7956tg200.2896

2X0.5792

1.26180.5792

0.6826蜗杆轴向齿厚:

所以取ZA蜗杆车刀头部宽度为0.6826

前角5~2。 00.05,如图3所示。取刀具

当刀具使用一段时间后刀刃变钝,需进行修磨计算。由于刀具前角不是很大,修磨计算可省略。

通过使用该刀具,原来一天车3~4个,现在工效提高2~3倍,该刀具可进行多次重磨,耐用度提高,并且因刀具采用了大拐弯及中间弹簧圆柱销等缓冲结构,具有抗冲击及消振的作用,增强

了刀具在切削过程中的稳定性,提高了零件的精度及光洁度; 因而在加工蜗杆类零件而又没有专用机床时该方法有一定的参考价值。

4.3三爪卡盘自动定心原理

车床的基本工作原理是,使被加工的工件随同车床主轴一起旋转,操作者操纵刀架而移动刀具去切削工件,从而获得预期的工件形状。卡盘本身半固装于主轴,同时用它的几个可调节爪夹住工件。三爪卡盘三个相互联动的卡爪,能同时

等距离地向心(或离心)移动。在卡棒料(圆柱状坯件)或六方料(六棱柱状坯件)时,能使工件轴线与机床主轴轴线自动重合,因此它有自动定心的特点。

兰爪卡盘的主要结构如图,外壳上互成120角,开有三条透槽,三个卡爪可在其中做径向移动。卡爪的背面制有牙纹,卡爪以此牙纹与内部一圆盘咬合。圆盐正面上制有一条平面螺纹,其形状是阿基米德螺线工人师付称为“盘肠扣”。卡爪牙纹形状也是相应的阿基米德螺线,因此可以咬合。

如果保持外壳不动,从外面用扳手旋转小伞形轮,则带动大伞形轮绕卡盘轴线(即机床主轴轴线)转动,这时大伞形轮正面的阿基米德

螺线也要转动。这样,与之咬合的卡爪,

一方面受平面螺纹(阿基米德螺线)的推动,另一方面又受到不动外壳上槽口的限制,所以只能做径向移动。

现在需要说明的是,扳动小伞齿轮时为什么三个卡爪的径向位移总是相等的?这要从阿基米螺线的方程说起。因为

rr()k

所以:

dr

dk

于是

rr()r()k

这就是说,不论在螺线上的什么位臵,当点回的极角有一个增量△时,极径的增量总是它(△)的k倍。在卡盘上;扳动伞齿一个角度,等于使各个卡爪都得到相同的极角增量

△,所以它们的径向位移也必是相等的。由此可知,三爪卡盘上三个卡爪的径向等距移动,这个特点是由于圆盘上的阿基米德螺线的基本性质而造成的。就是说,三爪卡盘自动定心的原理是阿基米螺线的特性所致。

此外,阿基米螺线的螺距(即当2时的i值)是一个常数2k。因此可以继续旋转伞形齿轮,从而使卡爪可能在很大幅度内运动。如果换成别种螺线,螺距不是常数,卡爪将因其背面的牙纹无法适应改变着的螺距而卡住。所以只有阿基米德螺载才适于做三爪卡盘的平面螺纹。

4.4美学价值

数学具有美学价值。我们知道数学是对现实世界数量关系、空间形式、结构等的刻划。现实世界拥有许多美的因素, 所以数学拥有美就不奇怪了。罗素说过“数学, 如果正确地看它, 不但拥有真理, 而且也具有至高的美”,“哪里有数, 哪里就有美”。可是数学的美学价值却一直为人们所忽视。承认数学的美学价值, 不论对于数学研究或是数学教育, 都具有重要的意义。对于数学研究者来说, 数学的美学价值使研究数学成为一种美的追求。对数学教育者来说, 学习数学过程, 同时应是感受美、欣赏美、理解美的过程, 提高学生的审美能力, 这极大地有利于数学的学习。

阿基米德螺线的美学价值

4.4.1对象美

用匀速转动和匀速直线运动合成定义成的曲线= aθ被称为阿基米德螺线。其中第一圈所围面积为

应的极径为2a1(2a)23,第一圈未极角2,所对1

3,为半径的圆的面积, 等于第一个圆的面积的。

阿基米德螺线的美妙之处在于它经许多变换仍为自身。对如此美妙的性质, 阿基米德配了一句深刻的哲学名言 “虽经沧桑, 我仍将以故我出现”。

4.4.2方法美

阿基米德力学方法。这是一种生动而优美的数学方法, 这种创造性的方法是阿基米德根据力学的重心、 杠杆平衡等原理去解决一些几何问题。例如他利用杠杆原理确定了球的体积。

4.4.3和谐美:和谐不但表现在规律上,也表现在对称上

4.4.4简单美:符号、概念:精炼的简单、公式:数学符号刻画数学现象中相互关系的等式。

【参考文献】

[1] 王明华 杨继绪. 阿基米德螺线的性质与应用.

[2] 赵郁岚 周康毅. 阿基米德螺线蜗杆的车削

[3] 张晓贵 王子苓. 浅谈数学的美学价值

[4] 张学成 朱晓春 郭学亮 薄磊.旋流器的蜗壳设计理论与计算. Coal Preparation Technology.2008.2 第一期

[5] 赵郁岚 周康毅. 阿基米德螺线蜗杆的车削

[6] 府钰 颜尔达. 阿基米德螺线演示规的制作. 苏州教育学院.1990.3

[7] 《解析几何》理数教学参考资料 几种常用曲线在机械中的应用实例

[8] 刘振军 飞出一条螺线

[9] 迟华基 张启明 阴阳变化与太极图

[10] 胡海 神奇的蜘蛛网

[11] 王永炎 张启明 赵宜军 太极图反映了自然界最基本的周期运动— — — 简谐振动

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/3AF62513A5D80A36.html

范文七:阿基米德螺旋线研究

阿基米德基体方程:

T=[0,1]

r=10*(1+t)

x=r*cos(t*360)

y=r*sin(t*360)

z=0

应用:比如现在要绘制195mm的最大外径,螺旋间距为10mm

则方程可以书写为:

r=10*(1+18.5*t)

x=r*cos(t*360*19.5)= 10*(1+18.5*t) *cos(t*360*19.5)

y=r*sin(t*360*19.5)= 10*(1+18.5*t) *sin(t*360*19.5)

z=0

同理:比如现在要绘制最大外径135mm,螺旋间距为2mm

则可书写为:

r=2*(1+66.5*t)

x=r*cos(t*360*67.5)= 10*(1+66.5*t) *cos(t*360*67.5)

y=r*sin(t*360*67.5)= 10*(1+66.5*t) *sin(t*360*67.5)

z=0

故而数学通式如下:D,a分别表示最大外径和间距

r=a*(1+()*t)

x=r*cos(t*360*)= a*(1+()*t) *cos(t*360*)

y=r*sin(t*360*)= a*(1+()*t) *sin(t*360*)

z=0

proe通式:

D= /*最大外径*/

a= /*螺旋间距*/

r=a*(1+(D/a-1)*t)

x=r*cos(t*360*D/a) /*[ = a*(1+(D/a-1)*t) *cos(t*360*D/a)]*/

y=r*sin(t*360*D/a) /*[ = a*(1+(D/a-1)*t) *sin(t*360*D/a)]*/如果是反向螺旋的话,y为相反数;或者x为相反数*/

z=0

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/347A45C5CC14212D.html

范文八:阿基米德螺旋线宏程序

真正的阿基米德螺旋线宏程序

#3=10(螺距)

#4=100(最大直径)#5=200(f)

5 To6nM1{$HC

3 &PW0K8h4Q0}%*G

G54G90G00G43H01Z100 M03S2000

Z3

8 H66Z7A0_5# W4 ST%F#&&A%G01Z-2F#5 #100=#3/360

N1#1=#1+#100

#2=#2+1IF[#1GE#4]GOTO2 #101=#1*COS[#2] #102=#1*SIN[#2] G1X#101Y#102

{!4ku4WT

GOTO1

N2G00Z100 M30

6 V3b1B1v}2g%Wm圆弧表面车螺纹

M3S3350T101 #1=30

N1G0G99X#1

W9yVV4+%_{-7h6Zy33 *uFGE:y

Z2.5

G32Z0.F2.5

$ $n(Bg6Y3@3 8M

G3U5.Z-30.R200.F2.5 G2U5.Z-60.R200.F2.5 G1W-5.F2.5

9 {%8m2C%YZyp

G0X60.

Z2.5

7 b08$HZ#B

#1=#1-0.5

IF[#1GE27.5]GOTO1

D#^#VD&H^*y&Vb9

# T0$_QhpG0X100M5

.Z100.

{E19Vv*1$ S}D$CF{:E

M30

现把公司铣矩形的宏程式给大家分享下,个人感觉蛮好用的,

格式:G120 X---Y---D---Z---R---U---V---B--Q--C--F---

X:为长y:为宽

5 ~qL&4$x7b&U%$m%3 d1Nv#5X%HF+

Z:安全高度

R:旋转角度 U:铣的方向

4 M6S%n

V:矩形4角铣个V大小的,避空

F:进给

&@v*+~

D:刀补

B:下刀深度 Q:下刀量

r,u v ,b,c可以不用。

~h$3MW#现在有个问题,用G120时只能是铣外形,当矩形大小一边小于刀的2个直径,可以用它来

挖槽,大于2个刀的直径时,它只在边上铣,不能用于挖槽,因为最后收刀时它会回到中间去,我现在想让它铣大于2个刀具直径的矩形,不铣穿,挖槽加工,

O9017(G120' H.I.J.K. M VOL6 V) #120=#0

k8&GP#9y

#121=#0

$ BY$dCRH

#122=#0

#123=#0 #124=#0 #130=#0

+ {0@08e7#y47Vb5T3 ^%F$u#1m#131=#0 #132=#0

+ EP${3T

#133=#0

#134=#0

L%g0v5S3D

#140=#0

8 W9B81@#~7A0

#141=#0

#142=#0

7 HP7 xv1 Lyv3wE#143=#0

#147=#0

9 4GVR4Lk

u(Nh91z$h}"Mxh

#149=#0 #144=#0

@$G_2#T3nh$P

#145=#0

#146=#0

IF[#19NE#0]GOTO1

3 q@GUw6h5Q+ AM%b3#F&u_K

%XO3^5%OF2h9b%z*Qk36q

#19=#3

V7O#^4W&L{nUF8}$O

N1#103=#3

IF[#22EQ#0]GOTO2

#103=FUP[#22/1.42*200]/100 #3=-#22

N2IF[#23NE#0]GOTO3

vm&dXm~N0D

5 h{0*20b

9R+~E*Q2{

#23=0.8

N3IF[#7NE#0]GOTO8

L3a2%F@1y

BQ+0%k4#7=1

N8IF[ABS[#3]GT#[2000+#7]]GOTO6 #3=#0

4 uT78*Nx&0Xd2d

#103=#0

N6IF[#19LT#[2000+#7]]THEN#19=#0 IF[#19EQ#0]THEN#1=#0

IF[[#3EQ#0]AND[#19EQ#0]]GOTO4 IF[#4NE#0]THEN#144=ADP[#4] IF[#5NE#0]THEN#145=ADP[#5]

5 O+63{5R84B3IF[#6NE#0]THEN#146=ADP[#6] IF[#11NE#0]THEN#141=ADP[#11]

#120=#141-FIX[#141/2]*2(HIJK 1 OR 2) #121=FIX[#141/2]+FIX[#144/2]

X*%YL

O60d0v81B{$Hv

#122=#144-FIX[#144/2]*2

o#yu1}B*Dx3

#122=#122+#145-FIX[#145/2]*2

#123=FIX[#145/2]+FIX[#146/2] #124=#146-FIX[#146/2]*2

#130=FUP[#141/2]

5N9${2uA5

#131=#130+FUP[#144/2]

#132=FUP[#144/2]+FUP[#145/2] #133=FUP[#145/2]+FUP[#146/2] #134=FUP[#146/2]

3yN$$AR&O

#140=FIX[#141/2]

#149=#141-FIX[#141/2]*2+#144-FIX[#144/2]*2 #142=FIX[#144/2]+FIX[#145/2]

#143=#145-FIX[#145/2]*2+#146-FIX[#146/2]*2

c!_0%nTF*N_#147=FIX[#146/2]

#120=#120*#19*2-#130*#3-#140*#1

#121=#121*#19*2-#131*#3-#149*#1

@xZy#122=#122*#19*2-#132*#3-#142*#1

#123=#123*#19*2-#133*#3-#143*#1

_L0q#4wR408x

#124=#124*#19*2-#134*#3-#147*#1

N4IF[#9NE#0]GOTO5

#1{&25A

X14{7#9=100

N5#101=#24/2 #102=#25/2

n2#x4#Cc*d

Z38C#Y0*V*o11#105=#4001

7Y?61Xm8v!q3Z

#106=#4003

@63 p81xx#Z2@1S

#107=#102*#23

#108=#102-#107 #109=#101-#103 #110=#102-#103

B8{+ #KR6q2o*UN1YB#112=0

#113=0

$ d0m5 o1Q&Y595?0Bo2M

2 Eo^$N&A{-1V

IF[#2EQ#0]GOTO12

IF[#17NE#0]GOTO10 #17=10.

1gxC5Cv

N10IF[#2GT#17]GOTO11

#17=#2

N11#117=#17

#111=#17/[#24+#25-#103*4]/4*[#24-#103*2] #111=FIX[#111*100] #111=#111/100

9 BF6hPE7+ M" ~5^*+ %Ao1#9~*hX9Hq1Py*u9KP43x$o

#113=FIX[#2/#117] N12#127=#26-#8

IF[#18NE#0]GOTO13

u5O2&vyE

#18=0

N13IF[#101GT#107]GOTO14

NEN+Q6+~

#3000=1

N14IF[#21NE#0]GOTO100 G91M3

G00Z-#127

G01G41D#7X-#107Y-#108F#9 G03X#107Y-#107R#107Z-#8 IF[#2NE#0]GOTO20

" CO03h6X%a2 QL7@0SNL&g9Wu1EHb%@77_8UX#

N15#117=0#111=0

yK2@J*C7TU

u}u%O18U&pC%T(

N20DO1

G01X[#109-#120]Z-#111 IF[#141EQ#0]GOTO22 IF[#141EQ1.]GOTO21 G03Y[#19*2]R#19

5 z!ZD4 v

IF[#1EQ#0]GOTO23

G01X-#1

" M6C1Q+u

T2~2UT4Gv8o*C%FC

GOTO23

N21IF[#1EQ#0]GOTO26Y-#1

N26G03X[#19*2]R#19 GOTO23

Q%O_51n#4B9y

%_*B8P3So&DR3

N22IF[#103EQ#0]GOTO23 G03X#103Y#103R#3

N23G01Y[2*#110-#121]Z-[#117/2-#111*2]

IF[#144EQ#0]GOTO25 IF[#144EQ1.]GOTO24 IF[#1EQ#0]GOTO27

Agg0*P

X#1

N27G03Y[#19*2]R#19 GOTO30

N24G03X-[#19*2]R#19 IF[#1EQ#0]GOTO30

%TY8y1Yu1p

G01Y-#1

GOTO30

T2 ~7+y&D9

N25IF[#103EQ#0]GOTO30

G03X-#103Y#103R#3

N30G01X-[2*#109-#122]Z-[#111*2]IF[#145EQ#0]GOTO32 IF[#145EQ1.]GOTO31

#6Hy0LF5Yv6n@%2

G03Y-[#19*2]R#19

IF[#1EQ#0]GOTO33

H&&Tqk

G01X#1 GOTO33

P#b6o2W8u5N31IF[#1EQ#0]GOTO36

Y#1

N36G03X-[#19*2]R#19

" XLd$A6Sq

&D^6G1^P4u9

N32IF[#103EQ#0]GOTO33 G03X-#103Y-#103R#3 N33G01Y-[2*#110-#123]Z-[#117/2-#111*2] IF[#146EQ#0]GOTO35

E#_4~h+M+Bk@A9$V#M+4 *KG1y3AB0qC9Pdm*5m&~g+b~F:

IF[#146EQ1.]GOTO34

@*3QmqIF[#1EQ#0]GOTO37 X-#1

N37G03Y-[#19*2]R#19

@1%U90SN

GOTO40

X#GwY6xMn

N34G03X[#19*2]R#19 IF[#1EQ#0]GOTO40

%&S8p&a$q

u+8d$L$Yb3G01Y#1

GOTO40

+*o+ &hv6~uQN35IF[#103EQ#0]GOTO40

G03X#103Y-#103R#3

c*14n(@5 8E"v7~1L2V

N40G01X[#109-#124]Z-#111 #112=#112+1.

IF[#111EQ0]GOTO42

7 y8v9x5wIF[#113EQ#112]GOTO41

3 K6U}DC8#W*A

IF[#113LE#112]GOTO15

END1

N41IF[#2EQ#113*#17]GOTO15

#111=[#2-#113*#17]/[#24+#25-#103*4]*[#24-#103*2]/4 #111=FIX[#111*100]

9 ~2Bm*g3hB8h8E

Z%N&S&b

#111=#111/100

#117=#2-#113*#17 GOTO20

N42G03X#107Y#107R#107 G01G40X-#107Y#108

}4h#+~^6 Gk9m#3VE

G00Z[#26+#2]

IF[#18EQ#0]GOTO43G69

N43G#105G#106

4 ~4n+NLqx

d+U3Q#G05u9&b~

IF[#21EQ#0]GOTO110

N100(HORIKOMI UPPER) (G21) G91M3 G68R#18

+ W0*0S

G00Z-#127

s2u3OZ5oD5

G01G42D#7X#107Y-#108F#9 G02X-#107Y-#107R#107Z-#8

IF[#2NE#0]GOTO102 N101#117=0

8b37y8K&qT

* 7m%~*wL3*{OY

N102DO2

G01X[-#109+#120]Z-#111 IF[#141EQ#0]GOTO122 IF[#141EQ1.]GOTO121 G02Y[#19*2]R#19 IF[#1EQ#0]GOTO103 G01X#1 GOTO103

N121IF[#1EQ#0]GOTO126 Y-#1

N126G02X-[#19*2]R#19

3#o$TS2^K

GOTO103

N122IF[#103EQ#0]GOTO103

0 qa$Gvm1 G02X-#103Y#103R#3

N103G01Y[2*#110-#121]Z-[#117/2-#111*2]

9 Q4AC9N

IF[#144EQ#0]GOTO125

IF[#144EQ1.]GOTO124 IF[#1EQ#0]GOTO127

LW7 ZHG$

F$40Nb12{+YXZ2

X-#1

%p+Gu7k%47n

5 @3k2w7n4Om

N127G02Y[#19*2]R#19

* n$}%ho%%OU

GOTO104

N124G02X[#19*2]R#19 IF[#1EQ#0]GOTO104 G01Y-#1

{7g&w%^UB+O

p3P:Q5wb8&p4n

7YS9DC1GOTO104

N125IF[#103EQ#0]GOTO104

5 TTWx"dF4O~+

B3AXh*

G02X#103Y#103R#3

N104G01X[2*#109-#122]Z-[#111*2]IF[#145EQ#0]GOTO132

#9y39}8 h&yVd#32%SbKT*

IF[#145EQ1.]GOTO131

G02Y-[#19*2]R#19 IF[#1EQ#0]GOTO105G01X-1

+T/VX#M%NV8O3u80o8B%G5{W9g

GOTO105

N131IF[#1EQ#0]GOTO136 Y#1

N136G02X[#19*2]R#19 GOTO105

" %Dd)*v2q6N132IF[#103EQ#0]GOTO105 G02X#103Y-#103R#3

?$n7Z7R+U9u$L no

0E68H7q2?9w

N105G01Y[-2*#110+#123]Z-[#117/2-#111*2]

IF[#146EQ#0]GOTO135 IF[#146EQ1.]GOTO134

%VN+_28p^&D^7

IF[#1EQ#0]GOTO137

~57}+ Pn8$_

X#1

N137G02Y-[#19*2]R#19 GOTO106

N134G02X-[#19*2]R#19

T1{S+Z4m2G

" 5g2dA}2IF[#1EQ#0]GOTO106 G01Y#1

1 S0~2{O3{53nGOTO106

N135IF[#103EQ#0]GOTO106

# dC6#P!p1G02X-#103Y-#103R#3

N106G01X[-#109+#124]Z-#111

#112=#112+1.

0 ZUq4v

pD6B%@5 Rn9C

IF[#111EQ0]GOTO108

IF[#113EQ#112]GOTO107

Zgq$6R&Ae*~

IF[#113LE#112]GOTO101

END2

$ u"M15qg

&D&S~$B&}

N107IF[#2EQ#113*#17]GOTO101

#111=[#2-#113*#17]/[#24+#25-#103*4]*[#24-#103*2]/4 #111=FIX[#111*100]

Ub0bN@69LT1T8^b

$ hg7FT

#111=#111/100 #117=#2-#113*#17

6 q*+Hq9%g5w

GOTO102

N108G02X-#107Y#107R#107 G01G40X#107Y#108 G00Z[#26+#2] IF[#18EQ#0]GOTO109 G69

" n7X&@2M*V%~GN109G#105G#106 N110M99

_$XP30Np3_

G{#h&V$R3F8PH

M30

%

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/7ADE65BEF71CC108.html

范文九:浅谈阿基米德螺线

浅谈阿基米德螺线

北京师范大学环境学院

郭惠媛(200911181021)姜畔(200911181023)

摘要:

本文从生活中有趣的自然现象出发,介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用,浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点,并以蚊香为例,建模,证明了阿基米德螺线应用的广泛性。

关键词:

阿基米德螺线、极坐标、自然界实例,生活中应用

引言

很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是,为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前,没有人造火光,飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说,阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子:时钟上的指针在作匀速转动,假如有一只小虫子从时钟的中心,沿指针作匀速爬动,那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线(如图3)。

1.阿基米德螺线简介

1.1阿基米德简介及螺线的发现

阿基米德 Archimedes(约公元前287~前212),古希腊伟大的数学家、力学家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄.11岁时去埃及,到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都” 的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习,以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因此他算是亚历山大学派的成员。 公元前240年,阿基米德由埃及回到故乡叙拉古,并担任了国王的顾问.从此开始了对科学的全面探索,在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果,成为古希腊最伟大的科学家之一.后人对阿基米德给以极高的评价,常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。

据说,阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的.柯农死后,阿基米德继续研究,又发现许多重要性质,因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了.

1.2阿基米德螺线的定义及方程

1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义

阿基米德螺线,亦称“等速螺线”。螺线是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩或扩展的曲线,阿基米德螺线是一种二维螺线。在《论螺线》中,阿基米德给出了如下定义:当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时,这射线又以等角速度绕点O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r=aθ。这种螺线的每条臂的距离永远相等于2πa。

1.2.2阿基米德螺线定义的不合理之处

当我们在纸上用笔沿着一盘阿基米德螺线形状的蚊香进行描绘时,可以或快或慢或暂停又继续地去画完这条螺旋线,是不会有“等速率” ﹑“等角速度”感觉的。实际上阿基米德螺线是动点“旋转”与“直线”两种运动同步、按比例合成的轨迹线。“同步”意味着“旋转”与“直线”两种运动步调一致。即:你动我动,你快我快,你慢我慢,你停我停。“同步”可以包含“旋转”与“直线”两种运动的“等速度”,而“等速度”决不能等同“同步”!因为“同步”容许速度的同步变化,而“等速度”则不允许速度变化。

在螺旋线中,螺距(通常用S表示)是一重要参数,它表示动点绕中心回转一周时,沿直线方向移动的距离。“螺旋比”(简称“旋比”—用ix表示 )即:螺距与一周(360度或2π)的比, ix=S/360度(角度制)或 ix=S/2π(弧度制);任意回转角度下,动点相应运动的直线距离(L)等于该回转角度与“旋比”的乘积。L=ixα(角度制),或 L=ixθ(弧度制)。阿基米德螺线极坐标方程式 r = aθ 中的“a”既是螺线比“ix”;”r” 既是“L”。因为阿基米德螺线的螺线比为常数,一周永远等于360度或2π,所以螺距永远相等,即螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。根据螺距永远相等的特性,我们可将这类螺线称为“等距螺线”或“等旋比螺线”。而不能称之为“等速螺线”。

1.3阿基米德螺线的方程

极坐标系:在数学中,极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示

阿基米德螺旋线的标准极坐标方程: r(θ)= a+ b(θ)

式中:

b—阿基米德螺旋线系数,mm/°,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量; θ—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;

a—当θ=0°时的极径,mm。

改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线,一条θ>0,另一条θ

在极坐标系与平面直角坐标系(笛卡尔坐标系)间转换:

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值

显然是错误的——这是圆的参数方程!

由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标

在x=0的情况下:若y为正数,则θ=90°(π/2radians);若y为负,则θ=270°(3π/2radians).

1.4阿基米德螺线的画法

1.4.1阿基米德螺线的几何画法

以适当长度(OA)为半径,画一圆O;作一射线OA;作一点P于射线OA上;模拟点A沿圆O移动,点P沿射线OA移动;画出点P的轨迹;隐藏圆O、射线OA&点P;即可得到螺线(如图4)

1.4.2阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线,如图4,用一根线缠在一个线轴上,在其游离端绑上一小环,把线轴按在一张纸上,并在小环内套一支铅笔,用铅笔拉紧线,并保持线在拉紧状态,然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹,就得到了阿基米德螺线。

2.自然界中的阿基米德螺线

2.1自然界中的多种多样的螺线

在浩瀚的自然界中,在千姿百态的生命体上发现了不少螺旋。如原生动物门中的砂盘虫;软体动物门中梯螺科中的尖高旋螺,凤螺科中的沟纹笛螺,明螺科中的明螺,又如塔螺科的爪哇拟塔螺、奇异宽肩螺、笋螺科的拟笋螺等大多数螺类,它们的外壳曲线都呈现出各种螺旋状;在植物中,则有紫藤、茑萝、牵牛花等缠绕的茎形成的曲线,烟草螺旋状排列的叶片,丝瓜、葫芦的触须,向日葵籽在盘中排列形成的曲线;甚至构成生命的主要物质——蛋白质、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋结构,如人类遗传基因(DNA)中的双螺旋结构。其中,自然界中的砂盘虫化石,蛇盘绕起来形成的曲线等都可以构成阿基米德螺线。

2.2自然界中螺线广泛存在的原因

拟螺线之所以在生命体中广泛存在,是由于螺线的若干优良性质所确定。而这些优良性质直接或间接地使生命体在生存斗争中获得最佳效果。由于在柱面内过柱面上两点的各种曲线中螺线长度最短,对于茑萝、紫藤、牵牛花等攀缘植物而言,如何用最少的材料、最低的能耗,使其茎或藤延伸到光照充足的地方是至关重要的。而在各种曲线中,螺线就起到省材、节约能量消耗的作用,在相同的空间中使其叶子获取较多的阳光,这对植物光合作用尤为重要,像烟草等植物轮状叶序就是利用形成的螺旋面能在狭小的空间中(其他植物的夹缝中)获得最大的光照面积,以利于光合作用。形成螺线状的某些物体还有一种物理性质,即像弹簧一样具有弹性(或伸缩性)。在植物中丝瓜、葫芦等茎上的拟圆柱螺线状的触须利用这个性质,能使其牢固地附着其他植物或物体上。即使有外力或风的作用,由于螺线状触须的伸缩性,使得纤细的触须不易被拉断,并且当外力(或风)消失后,保证其茎叶又能恢复到原来的位置。螺旋线对于生活在水中的大多数螺类软体动物也是十分有意义的。观察螺类在水中的运动方式,通常是背负着外壳前进,壳体直径粗大的部分在前,螺尖在后。当水流方向与运动方向相反时,水流沿着壳体螺线由直径大的部分旋转到直径小的部分直到螺尖。水速将大大减小,这样位于壳体后水的静压力将大于壳体前端的静压力。在前后压力差的作用下,壳体将会自动向前运动。这样一来,来自水流的阻力经锥状螺线的转化变为前进的动力。除此而外,分布在螺类外壳上的螺线像一条肋筋,大大增加了壳体的强度,也分散了作用在壳体上的水压。

3.阿基米德螺线在实际生活中的应用

3.1最初的应用:螺旋扬水器

为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,阿基米德发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。 阿基米德螺旋是一个装在木制圆筒里的巨大螺旋状物(在一个圆柱体上螺旋状地绕上中空的管子),把它倾斜放置,下端浸入水中,随着圆柱体的旋转,水便沿螺旋管被提升上来,从上端流出。这样,就可以把水从一个水平面提升到另一个水平面,对田地进行灌溉。“阿基米德螺旋”扬水机至今仍在埃及等地使用。

3.2工程上应用:阿基米德螺旋泵

阿基米德螺旋泵的工作原理是当电动机带动泵轴转动时,螺杆一方面绕本身的轴线旋转,另一方面它又沿衬套内表面滚动,于是形成泵的密封腔室。螺杆每转一周,密封腔内的液体向前推进一个螺距,随着螺杆的连续转动,液体螺旋形方式从一个密封腔压向另一个密封腔,最后挤出泵体。螺杆泵是一种新型的输送液体的机械,具有结构简单、工作安全可靠、使用维修方便、出液连续均匀、压力稳定等优点。

3.3日常生活的应用:蚊香的几何特征

将一单盘蚊香光滑面朝上,放置一水平面上,自上俯视,会观察到的蚊香平面图。将这条曲线单独绘制出来,并加上一定的标志,得到了蚊香香条曲线图(如图6示)。点O为直线AB与曲线AB若干交点中位于最中间的一个交点。曲线OA实际上是单盘蚊香的香条外侧边线。观察不同厂牌蚊香的实物,会发现其对应的OA曲线上,接近点的一段(图中以OP表示),也就是所谓“太极头”部位的曲线,在形状上各有不同,但对于剩下的一大段曲线PA,则具有这样的特征:曲线PA E

任取一点Q,假使点Q可在曲线PA上移动,则点Q越接近点A,点Q与点O的直线距离(以r表示)越大;而且,每移动一定角度(以0表示),增加的值与该角度成正比。用学语言描述曲线QA的上述特征,可表示为:

△φ=k△θ,或φ=k△θ+C-----(1)

式(1)中,k和C均为恒定常数,若以点O为极点,建立极坐标,则选择适当方位的极轴,可以将式(1)转移为:

φ=kθ,θ∈[0,α]------(2)

式(2)中a为点A,即香条末端对应的极角。式(2)所描述的曲线一单擞蚊香香条外侧边线.实际上正是“阿基米德螺线”。

需要说明的是,式(2)所描述的只是蚊香“太极头”之外的香条曲线方程,由于不同厂牌蚊香的“太极头”没有统一固定的形状,所以无法对其作出确切的描述。同时,由于“太极头”一段香条的长度极短,因而其形状对蚊香香条长度的影响事实上也可以忽略不计。

结论:

通过对阿基米德螺线这种特殊的螺线的研究,我们对螺线,极坐标等概念的理解更加深入。阿基米德应用理论解决实践问题的思想让我们明白学以致用的重要性。启示:自然界中各种看似平常的现象都隐藏着不寻常的道理,只有不断发掘,我们才能获得新知。

参考文献:

[1] 石磊,生命中的螺旋,世界环境 , 2005,(2) : 24~ 25.

[2].陈文喻 代数三角混合曲线理论及应用. 浙江大学数学系硕士毕业论文, 2006

[3] 孙崇敏,蚊香的几何特征及香条长度的测量,中华卫生杀虫药械, 2003,9(1)

[4] 姚建武,螺线与生物体上的拟螺线,SCIENCE , 2004,56(4)

[5] 王永炎,张启明,赵易军,太极图反映了自然界最基本的周期运动:简谐运动,自然 , 2009,31(2) 69~72

[6] 温书香,中华学生百科全书-世界科技史话,北京燕山出版社, 2006

参考网站:

维基百科,科技中国,CNKI概念知识源库,科学网,百度百科,雅虎知识堂

阿基米德螺线(阿基米德曲线) ,亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时,这射线有以等角速度绕点O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。其首次由阿基米德在著作《论螺线》中给出了定义

它的极坐标方程为:r = aθ

这种螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。

笛卡尔坐标方程式为:

r=10*(1+t)

x=r*cos(t*360)

y=r*sin(t*360)

z=0

1应用

应用

为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,它发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。...除了杠杆系统外,值得一提的

还有举重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等被称作“阿基米德螺旋”的扬水机至今仍在埃及等地使用。

一些喷淋冷却塔所用的螺旋喷嘴喷出喷淋液的运动轨迹也为阿基米德螺线

解釋一下,這個就不加密了!

範例說明︰漸開線參數方程式

已知條件︰依附平面(即要繪制曲線的平面)、X方向、圓心、基圓半徑

步驟︰

1.繪制 Z方向的直線 -> 點和方向 -> 圓心 & 依附平面, 長度=基圓半徑

2.繪制 ZX 平面 -> 經過二直線 -> X方向 及 Z方向

3.繪制 Y 方向 -> 點和方向 -> 圓心 & ZX平面, 長度=不拘

4.繪制 YZ 平面 -> 經過二直線 -> Y方向 及 Z方向

5.建立漸開線參數方程 X = R*cos(u) - R*u*Sin(u) -> R 為基圓半徑, u為角度

以 fog 建立,因為 fog 是依0~1參數計算的,所以要將 u 化成 u=90deg*u (做 90 deg 的漸開線)否則只會計算 0deg~1deg 而已

所以 X = R * cos(90deg*u) - R *(u*PI/2) * sin(90deg*u)

6.同理建立漸開線參數方程 Y = R*sin(u) + R*u*cos(u) -->

Y = R * sin(90deg*u) + R *(u*PI/2) * cos(90deg*u)

7.使用平行曲線,選 Z 方向的直線為要平行的曲線,依附平面為 XZ 平面,使用剛建立的 X fog 即得 X 曲線

8.使用平行曲線,選 Z 方向的直線為要平行的曲線,依附平面為 YZ 平面,使用剛建立的 Y fog 即得 Y 曲線

9.Combine X曲線及Y曲線

10.將 Combine 完成的曲線投影到先前的依附平面即可

ps. 說明中的名稱皆是自訂的代名,為表示如何使用 X, Y 的參數方程式搭配使用,實際使用上不必如此,若是依 AVI 中的架構,後續可自行完成 PowerCopy or UDF 以方便日後直接使用不必每次都經過如此繁雜的手續,如同自已建立一漸開線的指令一般!

如此方程式的問題算是真正的解決了!

1,建立part文件,进入Generative shape design工作台;

2,使用f(x)命令(‘智能’工具栏)建立齿轮各个基本参数,如模数,齿数等;

3,使用fog命令(‘智能’工具栏)创建渐开线参数方程,具体创建步骤如下:

—》点击fog—》输入规则名称(可选,为了便于区分各个特征元素,建议输入便于自己确认的名称),点击确认

—》在窗口右上角形式参数框中输入一个长度参数X,一个角度参数t

—》在左上角编辑框中输入X与t之间函数关系(渐开线参数方程X坐标项,注意,参数 t 的取值范围限定在[0-1],如果想要扩大取值范围,只需在 t 之前加乘一 个系数,在方程输入中注意单位制的统一以及运算表达方式符合软件要求,我想这对大家应该不是问题),输入完成后点击确认

—》重复以上3个步骤,再建立渐开线Y坐标项参数方程,最后在模型树上关系项中你便可以看到两个你新建的fog(规则)

4,建立上面两个fog的目的在于能够实现在平面中得到两个坐标项X,Y分别关于参数t的曲线,要实现这一目的可以采用‘wireframe’工具栏中的‘parallel’命令,具体步骤如下: —》从原点沿Z轴建立一条长度等于之前你所设定的参数t的最大值的直线段L,作为产生两个坐标项X,Y关于t的曲线的基准线(注意,一定要相等,不然得到的曲线便会变形) —》在ZX平面上建立X的曲线:点击‘parallel’ 命令进入定义窗口,CURVE项选择直线L,SUPPORT项选择ZX平面,然后点击‘LAW’ 按钮,进入

LAW DEFINITION窗口,在LAW TYPE四个选项中选择ADAVANCED项,然后LAW ELEMENT项选择之前建立的关于X的一个,点击关闭,然后点击确认,便可以得到在ZX平面内X关于Z的曲线,这里的Z就相当于参数方程中的参数t

—》重复上面的2个步骤,得到YZ平面内Y坐标项的曲线

5,要得到在XY平面内的渐开线曲线只需合并之前创建的两条曲线,再将得到的空间曲线投影到XY平面(通过上面的操作,我想大家对这种‘合并—投影’产生所要曲线的原理稍微思索一下就可明白),操作步骤如下:

—》点击combine命令(‘wireframe’工具栏)进入定义窗口,

CURVE1,CURVE2两项分别选择之前得到的两条曲线,点击确认即可得到XY平面内的一段渐开线曲线,曲线的长度由直线段L的长度决定决定

6,得到渐开线曲线之后的工作便是建立齿廓了,然后在形成曲面,再得到实体,这些工作我就不多说了。

后续:

第二步建立参数的目的在于实现参数化控制,即,完成了建模之后可以通过更改参数得到不同的齿轮,要实现这一目的需要在建立各种特征元素几何尺寸时采用‘编辑方程式’的模式控制,在尺寸输入框中点击右键即可找到该模式,CATIA中右键的使用十分重要,在一些定义窗口中某些项目的元素选择如果不能通过使用左键在建模窗口中实现,这时点击右键的作用便体现了,例如,X,Y,Z轴的选择。

齿轮建模的关键点便是渐开线的创建,而上面所述方法中曲线创建的核心思路便是合并曲线再投影,原理也很简单,想想空间螺旋线沿轴向投影到平面之后形成圆的道理。

讲的比较细,可能对比较熟练的人来说算得上繁琐了,但考虑到新入门的朋友能更方便的操作,能够更快的熟悉这个软件,从流畅的操作中体验到建模的乐趣,从而更加坚实自己学习的兴趣和信心,所以还是选择讲的细致点。

软件中各种命令的使用需要不断的练习和摸索才能逐渐的熟练以及明白它实现定义的几何元素的原理。

希望对大家有所帮助,写得比较多,难免有些纰漏,请大家指正!

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/4F383923D41E2EAA.html

范文十:阿基米德螺线讲解

浅谈阿基米德螺线

摘要:

本文从生活中有趣的自然现象出发,介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用,浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点,并以蚊香为例,建模,证明了阿基米德螺线应用的广泛性。

关键词:

阿基米德螺线、极坐标、自然界实例,生活中应用

引言

很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是,为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前,没有人造火光,飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说,阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子:时钟上的指针在作匀速转动,假如有一只小虫子从时钟的中心,沿指针作匀速爬动,那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线(如图3)。

1.阿基米德螺线简介

1.1阿基米德简介及螺线的发现

阿基米德 Archimedes(约公元前287~前212),古希腊伟大的数学家、力学家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄.11岁时去埃及,到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都” 的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习,以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因此他算是亚历山大学派的成员。 公元前240年,阿基米德由埃及回到故乡叙拉古,并担任了国王的顾问.从此开始了对科学的全面探索,在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果,成为古希腊最伟大的科学家之一.后人对阿基米德给以极高的评价,常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。

据说,阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的.柯农死后,阿基米德继续研究,又发现许多重要性质,因而这种螺线就以阿

基米德的名字命名了.

1.2阿基米德螺线的定义及方程

1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义

阿基米德螺线,亦称“等速螺线”。螺线是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩或扩展的曲线,阿基米德螺线是一种二维螺线。在《论螺线》中,阿基米德给出了如下定义:当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时,这射线又以等角速度绕点O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r=aθ。这种螺线的每条臂的距离永远相等于2πa。

1.2.2阿基米德螺线定义的不合理之处

当我们在纸上用笔沿着一盘阿基米德螺线形状的蚊香进行描绘时,可以或快或慢或暂停又继续地去画完这条螺旋线,是不会有“等速率” ﹑“等角速度”感觉的。实际上阿基米德螺线是动点“旋转”与“直线”两种运动同步、按比例合成的轨迹线。“同步”意味着“旋转”与“直线”两种运动步调一致。即:你动我动,你快我快,你慢我慢,你停我停。“同步”可以包含“旋转”与“直线”两种运动的“等速度”,而“等速度”决不能等同“同步”!因为“同步”容许速度的同步变化,而“等速度”则不允许速度变化。

在螺旋线中,螺距(通常用S表示)是一重要参数,它表示动点绕中心回转一周时,沿直线方向移动的距离。“螺旋比”(简称“旋比”—用ix表示 )即:螺距与一周(360度或2π)的比, ix=S/360度(角度制)或 ix=S/2π(弧度制);任意回转角度下,动点相应运动的直线距离(L)等于该回转角度与“旋比”的乘积。L=ixα(角度制),或 L=ixθ(弧度制)。阿基米德螺线极坐标方程式 r = aθ 中的“a”既是螺线比“ix”;”r” 既是“L”。因为阿基米德螺线的螺线比为常数,一周永远等于360度或2π,所以螺距永远相等,即螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。根据螺距永远相等的特性,我们可将这类螺线称为“等距螺线”或“等旋比螺线”。而不能称之为“等速螺线”。

1.3阿基米德螺线的方程

极坐标系:在数学中,极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示

阿基米德螺旋线的标准极坐标方程: r(θ)= a+ b(θ)

式中:

b—阿基米德螺旋线系数,mm/°,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量; θ—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;

a—当θ=0°时的极径,mm。

改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线,一条θ>0,另一条θ

在极坐标系与平面直角坐标系(笛卡尔坐标系)间转换:

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值

由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标

在x=0的情况下:若y为正数,则θ=90°(π/2radians);若y为负,则θ=270°(3π/2radians).

1.4阿基米德螺线的画法

1.4.1阿基米德螺线的几何画法

以适当长度(OA)为半径,画一圆O;作一射线OA;作一点P于射线OA上;模拟点A沿圆O移动,点P沿射线OA移动;画出点P的轨迹;隐藏圆O、射线OA&点P;即可得到螺线(如图4)

1.4.2阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线,如图4,用一根线缠在一个线轴上,在其游离端绑上一小环,把线轴按在一张纸上,并在小环内套一支铅笔,用铅笔拉紧线,并保持线在拉紧状态,然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹,就得到了阿基米德螺线。

2.自然界中的阿基米德螺线

2.1自然界中的多种多样的螺线

在浩瀚的自然界中,在千姿百态的生命体上发现了不少螺旋。如原生动物门中的砂盘虫;软体动物门中梯螺科中的尖高旋螺,凤螺科中的沟纹笛螺,明螺科中的明螺,又如塔螺科的爪哇拟塔螺、奇异宽肩螺、笋螺科的拟笋螺等大多数螺类,它们的外壳曲线都呈现出各种螺旋状;在植物中,则有紫藤、茑萝、牵牛花等缠绕的茎形成的曲线,烟草螺旋状排列的叶片,丝瓜、葫芦的触须,向日葵籽在盘中排列形成的曲线;甚至构成生命的主要物质——蛋白质、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋结构,如人类遗传基因(DNA)中的双螺旋结构。其中,自然界中的砂盘虫化石,蛇盘绕起来形成的曲线等都可以构成阿基米德螺线。

2.2自然界中螺线广泛存在的原因

拟螺线之所以在生命体中广泛存在,是由于螺线的若干优良性质所确定。而这些优良性质直接或间接地使生命体在生存斗争中获得最佳效果。由于在柱面内过柱面上两点的各种曲线中螺线长度最短,对于茑萝、紫藤、牵牛花等攀缘植物而言,如何用最少的材料、最低的能耗,使其茎或藤延伸到光照充足的地方是至

关重要的。而在各种曲线中,螺线就起到省材、节约能量消耗的作用,在相同的空间中使其叶子获取较多的阳光,这对植物光合作用尤为重要,像烟草等植物轮状叶序就是利用形成的螺旋面能在狭小的空间中(其他植物的夹缝中)获得最大的光照面积,以利于光合作用。形成螺线状的某些物体还有一种物理性质,即像弹簧一样具有弹性(或伸缩性)。在植物中丝瓜、葫芦等茎上的拟圆柱螺线状的触须利用这个性质,能使其牢固地附着其他植物或物体上。即使有外力或风的作用,由于螺线状触须的伸缩性,使得纤细的触须不易被拉断,并且当外力(或风)消失后,保证其茎叶又能恢复到原来的位置。螺旋线对于生活在水中的大多数螺类软体动物也是十分有意义的。观察螺类在水中的运动方式,通常是背负着外壳前进,壳体直径粗大的部分在前,螺尖在后。当水流方向与运动方向相反时,水流沿着壳体螺线由直径大的部分旋转到直径小的部分直到螺尖。水速将大大减小,这样位于壳体后水的静压力将大于壳体前端的静压力。在前后压力差的作用下,壳体将会自动向前运动。这样一来,来自水流的阻力经锥状螺线的转化变为前进的动力。除此而外,分布在螺类外壳上的螺线像一条肋筋,大大增加了壳体的强度,也分散了作用在壳体上的水压。

3.阿基米德螺线在实际生活中的应用

3.1最初的应用:螺旋扬水器

为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,阿基米德发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。 阿基米德螺旋是一个装在木制圆筒里的巨大螺旋状物(在一个圆柱体上螺旋状地绕上中空的管子),把它倾斜放置,下端浸入水中,随着圆柱体的旋转,水便沿螺旋管被提升上来,从上端流出。这样,就可以把水从一个水平面提升到另一个水平面,对田地进行灌溉。“阿基米德螺旋”扬水机至今仍在埃及等地使用。

3.2工程上应用:阿基米德螺旋泵

阿基米德螺旋泵的工作原理是当电动机带动泵轴转动时,螺杆一方面绕本身的轴线旋转,另一方面它又沿衬套内表面滚动,于是形成泵的密封腔室。螺杆每转一周,密封腔内的液体向前推进一个螺距,随着螺杆的连续转动,液体螺旋形方式从一个密封腔压向另一个密封腔,最后挤出泵体。螺杆泵是一种新型的输送液体的机械,具有结构简单、工作安全可靠、使用维修方便、出液连续均匀、压力稳定等优点。

3.3日常生活的应用:蚊香的几何特征

将一单盘蚊香光滑面朝上,放置一水平面上,自上俯视,会观察到的蚊香平面图。将这条曲线单独绘制出来,并加上一定的标志,得到了蚊香香条曲线图(如图6示)。点O为直线AB与曲线AB若干交点中位于最中间的一个交点。曲线OA实际上是单盘蚊香的香条外侧边线。观察不同厂牌蚊香的实物,会发现其对应的OA曲线上,接近点的一段(图中以OP表示),也就是所谓“太极头”部位的曲线,在形状上各有不同,但对于剩下的一大段曲线PA,则具有这样的特征:曲线PA E任取一点Q,假使点Q可在曲线PA上移动,则点Q越接近点A,点Q与点O的直线距离(以r表示)越大;而且,每移动一定角度(以0表示),增加的值与该角度成正比。用学语言描述曲线QA的上述特征,可表示为:

△φ=k△θ,或φ=k△θ+C-----(1)

式(1)中,k和C均为恒定常数,若以点O为极点,建立极坐标,则选择适当方位的极轴,可以将式(1)转移为:

φ=kθ,θ∈[0,α]------(2)

式(2)中a为点A,即香条末端对应的极角。式(2)所描述的曲线一单擞蚊香香条外侧边线.实际上正是“阿基米德螺线”。

需要说明的是,式(2)所描述的只是蚊香“太极头”之外的香条曲线方程,由于不同厂牌蚊香的“太极头”没有统一固定的形状,所以无法对其作出确切的描述。同时,由于“太极头”一段香条的长度极短,因而其形状对蚊香香条长度的影响事实上也可以忽略不计。

结论:

通过对阿基米德螺线这种特殊的螺线的研究,我们对螺线,极坐标等概念的理解更加深入。阿基米德应用理论解决实践问题的思想让我们明白学以致用的重要性。启示:自然界中各种看似平常的现象都隐藏着不寻常的道理,只有不断发掘,我们才能获得新知。

参考文献:

[1] 石磊,生命中的螺旋,世界环境 , 2005,(2) : 24~ 25.

[2].陈文喻 代数三角混合曲线理论及应用. 浙江大学数学系硕士毕业论文, 2006

[3] 孙崇敏,蚊香的几何特征及香条长度的测量,中华卫生杀虫药械, 2003,9(1)

[4] 姚建武,螺线与生物体上的拟螺线,SCIENCE , 2004,56(4)

[5] 王永炎,张启明,赵易军,太极图反映了自然界最基本的周期运动:简谐运动,自然 , 2009,31(2) 69~72

[6] 温书香,中华学生百科全书-世界科技史话,北京燕山出版社, 2006

参考网站:

维基百科,科技中国,CNKI概念知识源库,科学网,百度百科,雅虎知识堂

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/9AC77D09BD0FE286.html