阿基米德螺线

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范文一:阿基米德螺线浅析

阿基米德螺线浅析

作者:姜荣 200911181013 环境学院09级 黄鲁霞 200911181004 环境学院09级 荣镭 200911181017 环境学院09级

摘要:

本文就自然界中阿基米德螺线的存在,探讨了它的产生、原理、性质。并对阿基米德螺线在生活中的应用进行了说明。 关键词:阿基米德螺线 产生 原理 性质 应用 Abstract:

This paper mainly discuss the cause, the principium and the habitude of Archimedes spiral because of its existence in nature. In addition, we make some introductions to its application in our daily life. Key words: Archimedes spiral cause principium habitude application 引言:

阿基米德与阿基米德螺线

Archimedes(阿基米德)是古希腊数学家、力学家。 他在数学、物理方面都有极高的成就。

公元前287年,阿基米德出生于西西里岛(Sicilia)的叙拉古(Syracuse)(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族,与叙拉古的赫农王有亲戚关系,家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家,学识渊博,为人谦逊。他十一岁时,借助与王室的关系,被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城,跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习,他以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因

此他算是亚历山大学派的成员。

阿基米德在亚历山大学习和生活了许多年,曾跟很多学者密切交往。他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。在他学习天文学时,发明了用水利推动的星球仪,并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。

公元前212年,古罗马军队攻陷叙拉古,正在聚精会神研究科学问题的阿基米德,不幸被蛮横的罗马士兵杀死,终年七十五岁。阿基米德的遗体葬在西西里岛,墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形,以纪念他在几何学上的卓越贡献。

据说为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,它发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。阿基米德在《论螺线》一书中明确了螺线的定义,以及对螺线的面积的计算方法。 一、自然界中的阿基米德螺线现象 1.1神奇的蜘蛛网

蜘蛛是地球上古老的节肢动物之一。它们的生活历程

可以追溯到2亿年以前,并且至今仍然保存着一个庞大的家

族。蜘蛛网是由部分种类的蜘蛛吐丝所编成的网状物,用以 捕获昆虫、小型脊椎动物等作食物,或用以结巢居住。蜘蛛 网堪称蜘蛛巧夺天工的杰作,经过上亿年的演化,现在的蜘 蛛网不仅有不可比拟的强度和韧性还具精美的几何图形。

其中蜘蛛丝的捕食丝是由外向网心开始铺设有黏性的

捕食螺线所铺设的捕食螺线其间的距离是相等的。就是本文所 说的阿基米德螺线。 1.2扑火的飞蛾

在亿万年前,没有人造火光 ,飞蛾完全靠天然光源日光 、月光 或星光指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远 ,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位臵的前进方向与光线的夹角都是一个固定值。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的阿基米德螺线。 1.3太极图

国学中的阴阳具有多重含义,是一类特殊矛盾。从黄赤交角

造成的四季光照度变化中可以看出太极图中的曲线是两条阿基米德螺线。

四季的阴阳无限等分变化图

在四季的阴阳无限等分变化图中,以圆心为极点,以极点到夏至的方向为极轴的正方向建立极坐标系,则阴、阳的大小ρ与时间θ之间有数据对应关系。

显然,这是两条阿基米德螺线。 二、模型的建立

2.1阿基米德螺线(亦称等速螺线)是指当一点P沿动射线OP

以等速率运动的同时,这射线又以等角速度绕点O旋转,则点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。从物理的角度来说,阿基米德螺线是匀速直线运动和匀速圆周运动的合成,其图形如下:

阿基米德螺线的一般方程中是:

a

在极坐标体系中,阿基米德螺线的方程是:

= aθ (a=const)

即在坐标中,阿基米德螺线上的点距原点的距离与从极轴OX转过的角度成正比例。阿基米德螺线的螺距是一个常数2πa,(即当△θ=2π时,△r=2πa)。其证明是:

r=aθ, r’=a(θ+2π) 则 △r=r’-r=2πa。

所以要判定一个螺旋图形是否为阿基米德螺线,就可以看其在平面内是否符合r = aθ的等式。

2.2阿基米德螺线规

阿基米德螺线在理论研究上或是在实际应用中都是十分重要的。我们在教学这一内容时,为了使学生对此曲线的特性有深刻的直观印象,设计了能绘制这一曲线的教具一一阿基米德螺线演示规。

设动点开始运动时离定点 O的距离为0,即初始位臵是

M0(0,0),M

在l上的运动速度v,l绕O点转动的角速度为,经过

时间t,转过角度,动点到达的位臵为M(,) 则有vt0……………………(1) 及

t……………………(2)

0vt0v

由(1)(2)消去t得



,设

v

a(0)则有0a0

这就是阿基米德螺线的极坐标方程。 若

M1(1,1)

,M2(2,2)是螺线

0a

上的任意两点,则由

10a1,20a2可得21a(21)。这表明,当动点沿阿基

米德螺线图线移动时,它的极半径的改变量21与极角的改变量

21成正比的,因此阿基米德螺线也可看成是动点的极半径改变量

与它的极角改变量成正比的点的轨迹。阿基米德螺线演示规就是根据这一特性来制作的。 三、阿基米德螺线的性质 3.1

若点(,)在曲线

a

上,则点(,)在曲线

a

上,则这两支曲线关于线对称。特别是(图1)当

2

时,阿基

米德螺线

a

可以画出关于的对称部分。

2

3.2若1a,则有n1a(2n(图(nZ).因而

) (nZ)

,即n112na

2)过极点O的每一条射线都被阿基米德螺线截成了

无穷多个线段,从第二个线段起,每个线段长度都是2a。 3.3若

a

,令



a



,则有

a

。从而(图3)一般的阿

基米德螺线都可由过极点的、有相同系数的螺线截得。 四、阿基米德螺线的应用 4.1蜗壳入口

旋流器蜗壳是将液流的直线运动变为圆周运动的转换器。既要使悬浮液顺畅地进入旋流状态,又要使进入旋流状态的过渡沿程损失小,要求旋流器蜗壳内壁曲线连接光滑而没有拐点,曲率中心在同一侧,这样沿程损失能量小.旋流器的效率高。阿基米德螺线多被用于蜗壳入口,被运用于此有其独特的意义。 4.1.1蜗壳入口部分的低压力耗散

由水力学得知,局部水头损失h一般表述为:

式中:为局部水头损失系数;为流速;g为重力加速度。 4.1.2阿基米德螺线入口蜗壳的水头损失 蜗壳结构以极坐标形式表示为阿基米德螺线

a

为极坐标半径,为极角,为由A点计算之所对应的极角;a

为参数

对图2的结构,当则方程4变为

(R1/2)

2

时,

R1,于是有R12a,故有aR1/2,

式中:R1为曲率半径;

2

现在,我们来计算阿基米德螺线入口阻力系数。将曲线AB相

对应的圆心角等分成n个角度,每一个记作,则每一个圆心角所对应的极半径可以根据公式求出:

(R1/2)(2n)

式中:

/n

,n为相对应的极半径的的个数。因此可求出曲

线AB的平均半径R0:

R0

1

n

1

R(1nn

i1

/2n)

将R0代人4(3),即可求出曲线AB的阻力系数的近似值。 4.1.3切线入口与阿基米德螺线入口的阻力系数大小比较 假如

/2,R1180mm

入口高度H

100mm

3.5

1000.1310.163

180

1/2

2/2



0.1518

如果是阿基米德螺线入口,假定将等分成10份代人公式6中,其平均极半径为

R0

180

122/21/2

1(1)()0.1443104040

由此可见,在此条件下采用阿基米德螺线入口,将降低入口阻力。 4.2阿基米德螺线蜗杆的车削

4.2.1已知参数:(如图2所示) 蜗杆型式:阿基米德螺线(ZA蜗杆) 法向模数 mn齿形角

20

0.8;头数z=3

51140

'

''

; 导程角

00.11

齿项圆直径d128.1

f1

左旋,轴向齿距公差f为0.01;

px

齿形误差f为0.016. ‘、 4.2.2计算结果如下 蜗杆端面模数:mx蜗杆轴向齿距:px蜗杆直径系数:

蜗杆分圆直径:d1mxq26.5088 蜗杆顶圆直径:d126.50882h128.1

00.11

mncos

0.8033

mx2.5236

q

DxZtg

33

蜗杆齿顶高:h10.7956

蜗杆根圆直径:d

蜗杆齿根高:f1d12(h1C)25.2389 hf1h1C0.9563

C0.2mx0.1607

所以:蜗杆齿全高:h1.7519

Sx1.2618

X0.7956tg200.2896

2X0.5792

1.26180.5792

0.6826蜗杆轴向齿厚:

所以取ZA蜗杆车刀头部宽度为0.6826

前角5~2。 00.05,如图3所示。取刀具

当刀具使用一段时间后刀刃变钝,需进行修磨计算。由于刀具前角不是很大,修磨计算可省略。

通过使用该刀具,原来一天车3~4个,现在工效提高2~3倍,该刀具可进行多次重磨,耐用度提高,并且因刀具采用了大拐弯及中间弹簧圆柱销等缓冲结构,具有抗冲击及消振的作用,增强

了刀具在切削过程中的稳定性,提高了零件的精度及光洁度; 因而在加工蜗杆类零件而又没有专用机床时该方法有一定的参考价值。

4.3三爪卡盘自动定心原理

车床的基本工作原理是,使被加工的工件随同车床主轴一起旋转,操作者操纵刀架而移动刀具去切削工件,从而获得预期的工件形状。卡盘本身半固装于主轴,同时用它的几个可调节爪夹住工件。三爪卡盘三个相互联动的卡爪,能同时

等距离地向心(或离心)移动。在卡棒料(圆柱状坯件)或六方料(六棱柱状坯件)时,能使工件轴线与机床主轴轴线自动重合,因此它有自动定心的特点。

兰爪卡盘的主要结构如图,外壳上互成120角,开有三条透槽,三个卡爪可在其中做径向移动。卡爪的背面制有牙纹,卡爪以此牙纹与内部一圆盘咬合。圆盐正面上制有一条平面螺纹,其形状是阿基米德螺线工人师付称为“盘肠扣”。卡爪牙纹形状也是相应的阿基米德螺线,因此可以咬合。

如果保持外壳不动,从外面用扳手旋转小伞形轮,则带动大伞形轮绕卡盘轴线(即机床主轴轴线)转动,这时大伞形轮正面的阿基米德

螺线也要转动。这样,与之咬合的卡爪,

一方面受平面螺纹(阿基米德螺线)的推动,另一方面又受到不动外壳上槽口的限制,所以只能做径向移动。

现在需要说明的是,扳动小伞齿轮时为什么三个卡爪的径向位移总是相等的?这要从阿基米螺线的方程说起。因为

rr()k

所以:

dr

dk

于是

rr()r()k

这就是说,不论在螺线上的什么位臵,当点回的极角有一个增量△时,极径的增量总是它(△)的k倍。在卡盘上;扳动伞齿一个角度,等于使各个卡爪都得到相同的极角增量

△,所以它们的径向位移也必是相等的。由此可知,三爪卡盘上三个卡爪的径向等距移动,这个特点是由于圆盘上的阿基米德螺线的基本性质而造成的。就是说,三爪卡盘自动定心的原理是阿基米螺线的特性所致。

此外,阿基米螺线的螺距(即当2时的i值)是一个常数2k。因此可以继续旋转伞形齿轮,从而使卡爪可能在很大幅度内运动。如果换成别种螺线,螺距不是常数,卡爪将因其背面的牙纹无法适应改变着的螺距而卡住。所以只有阿基米德螺载才适于做三爪卡盘的平面螺纹。

4.4美学价值

数学具有美学价值。我们知道数学是对现实世界数量关系、空间形式、结构等的刻划。现实世界拥有许多美的因素, 所以数学拥有美就不奇怪了。罗素说过“数学, 如果正确地看它, 不但拥有真理, 而且也具有至高的美”,“哪里有数, 哪里就有美”。可是数学的美学价值却一直为人们所忽视。承认数学的美学价值, 不论对于数学研究或是数学教育, 都具有重要的意义。对于数学研究者来说, 数学的美学价值使研究数学成为一种美的追求。对数学教育者来说, 学习数学过程, 同时应是感受美、欣赏美、理解美的过程, 提高学生的审美能力, 这极大地有利于数学的学习。

阿基米德螺线的美学价值

4.4.1对象美

用匀速转动和匀速直线运动合成定义成的曲线= aθ被称为阿基米德螺线。其中第一圈所围面积为

应的极径为2a1(2a)23,第一圈未极角2,所对1

3,为半径的圆的面积, 等于第一个圆的面积的。

阿基米德螺线的美妙之处在于它经许多变换仍为自身。对如此美妙的性质, 阿基米德配了一句深刻的哲学名言 “虽经沧桑, 我仍将以故我出现”。

4.4.2方法美

阿基米德力学方法。这是一种生动而优美的数学方法, 这种创造性的方法是阿基米德根据力学的重心、 杠杆平衡等原理去解决一些几何问题。例如他利用杠杆原理确定了球的体积。

4.4.3和谐美:和谐不但表现在规律上,也表现在对称上

4.4.4简单美:符号、概念:精炼的简单、公式:数学符号刻画数学现象中相互关系的等式。

【参考文献】

[1] 王明华 杨继绪. 阿基米德螺线的性质与应用.

[2] 赵郁岚 周康毅. 阿基米德螺线蜗杆的车削

[3] 张晓贵 王子苓. 浅谈数学的美学价值

[4] 张学成 朱晓春 郭学亮 薄磊.旋流器的蜗壳设计理论与计算. Coal Preparation Technology.2008.2 第一期

[5] 赵郁岚 周康毅. 阿基米德螺线蜗杆的车削

[6] 府钰 颜尔达. 阿基米德螺线演示规的制作. 苏州教育学院.1990.3

[7] 《解析几何》理数教学参考资料 几种常用曲线在机械中的应用实例

[8] 刘振军 飞出一条螺线

[9] 迟华基 张启明 阴阳变化与太极图

[10] 胡海 神奇的蜘蛛网

[11] 王永炎 张启明 赵宜军 太极图反映了自然界最基本的周期运动— — — 简谐振动

原文地址:http://fanwen.wenku1.com/article/8524526.html
阿基米德螺线浅析

作者:姜荣 200911181013 环境学院09级 黄鲁霞 200911181004 环境学院09级 荣镭 200911181017 环境学院09级

摘要:

本文就自然界中阿基米德螺线的存在,探讨了它的产生、原理、性质。并对阿基米德螺线在生活中的应用进行了说明。 关键词:阿基米德螺线 产生 原理 性质 应用 Abstract:

This paper mainly discuss the cause, the principium and the habitude of Archimedes spiral because of its existence in nature. In addition, we make some introductions to its application in our daily life. Key words: Archimedes spiral cause principium habitude application 引言:

阿基米德与阿基米德螺线

Archimedes(阿基米德)是古希腊数学家、力学家。 他在数学、物理方面都有极高的成就。

公元前287年,阿基米德出生于西西里岛(Sicilia)的叙拉古(Syracuse)(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族,与叙拉古的赫农王有亲戚关系,家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家,学识渊博,为人谦逊。他十一岁时,借助与王室的关系,被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城,跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习,他以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因

此他算是亚历山大学派的成员。

阿基米德在亚历山大学习和生活了许多年,曾跟很多学者密切交往。他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。在他学习天文学时,发明了用水利推动的星球仪,并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。

公元前212年,古罗马军队攻陷叙拉古,正在聚精会神研究科学问题的阿基米德,不幸被蛮横的罗马士兵杀死,终年七十五岁。阿基米德的遗体葬在西西里岛,墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形,以纪念他在几何学上的卓越贡献。

据说为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,它发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。阿基米德在《论螺线》一书中明确了螺线的定义,以及对螺线的面积的计算方法。 一、自然界中的阿基米德螺线现象 1.1神奇的蜘蛛网

蜘蛛是地球上古老的节肢动物之一。它们的生活历程

可以追溯到2亿年以前,并且至今仍然保存着一个庞大的家

族。蜘蛛网是由部分种类的蜘蛛吐丝所编成的网状物,用以 捕获昆虫、小型脊椎动物等作食物,或用以结巢居住。蜘蛛 网堪称蜘蛛巧夺天工的杰作,经过上亿年的演化,现在的蜘 蛛网不仅有不可比拟的强度和韧性还具精美的几何图形。

其中蜘蛛丝的捕食丝是由外向网心开始铺设有黏性的

捕食螺线所铺设的捕食螺线其间的距离是相等的。就是本文所 说的阿基米德螺线。 1.2扑火的飞蛾

在亿万年前,没有人造火光 ,飞蛾完全靠天然光源日光 、月光 或星光指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远 ,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位臵的前进方向与光线的夹角都是一个固定值。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的阿基米德螺线。 1.3太极图

国学中的阴阳具有多重含义,是一类特殊矛盾。从黄赤交角

造成的四季光照度变化中可以看出太极图中的曲线是两条阿基米德螺线。

四季的阴阳无限等分变化图

在四季的阴阳无限等分变化图中,以圆心为极点,以极点到夏至的方向为极轴的正方向建立极坐标系,则阴、阳的大小ρ与时间θ之间有数据对应关系。

显然,这是两条阿基米德螺线。 二、模型的建立

2.1阿基米德螺线(亦称等速螺线)是指当一点P沿动射线OP

以等速率运动的同时,这射线又以等角速度绕点O旋转,则点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。从物理的角度来说,阿基米德螺线是匀速直线运动和匀速圆周运动的合成,其图形如下:

阿基米德螺线的一般方程中是:

a

在极坐标体系中,阿基米德螺线的方程是:

= aθ (a=const)

即在坐标中,阿基米德螺线上的点距原点的距离与从极轴OX转过的角度成正比例。阿基米德螺线的螺距是一个常数2πa,(即当△θ=2π时,△r=2πa)。其证明是:

r=aθ, r’=a(θ+2π) 则 △r=r’-r=2πa。

所以要判定一个螺旋图形是否为阿基米德螺线,就可以看其在平面内是否符合r = aθ的等式。

2.2阿基米德螺线规

阿基米德螺线在理论研究上或是在实际应用中都是十分重要的。我们在教学这一内容时,为了使学生对此曲线的特性有深刻的直观印象,设计了能绘制这一曲线的教具一一阿基米德螺线演示规。

设动点开始运动时离定点 O的距离为0,即初始位臵是

M0(0,0),M

在l上的运动速度v,l绕O点转动的角速度为,经过

时间t,转过角度,动点到达的位臵为M(,) 则有vt0……………………(1) 及

t……………………(2)

0vt0v

由(1)(2)消去t得



,设

v

a(0)则有0a0

这就是阿基米德螺线的极坐标方程。 若

M1(1,1)

,M2(2,2)是螺线

0a

上的任意两点,则由

10a1,20a2可得21a(21)。这表明,当动点沿阿基

米德螺线图线移动时,它的极半径的改变量21与极角的改变量

21成正比的,因此阿基米德螺线也可看成是动点的极半径改变量

与它的极角改变量成正比的点的轨迹。阿基米德螺线演示规就是根据这一特性来制作的。 三、阿基米德螺线的性质 3.1

若点(,)在曲线

a

上,则点(,)在曲线

a

上,则这两支曲线关于线对称。特别是(图1)当

2

时,阿基

米德螺线

a

可以画出关于的对称部分。

2

3.2若1a,则有n1a(2n(图(nZ).因而

) (nZ)

,即n112na

2)过极点O的每一条射线都被阿基米德螺线截成了

无穷多个线段,从第二个线段起,每个线段长度都是2a。 3.3若

a

,令



a



,则有

a

。从而(图3)一般的阿

基米德螺线都可由过极点的、有相同系数的螺线截得。 四、阿基米德螺线的应用 4.1蜗壳入口

旋流器蜗壳是将液流的直线运动变为圆周运动的转换器。既要使悬浮液顺畅地进入旋流状态,又要使进入旋流状态的过渡沿程损失小,要求旋流器蜗壳内壁曲线连接光滑而没有拐点,曲率中心在同一侧,这样沿程损失能量小.旋流器的效率高。阿基米德螺线多被用于蜗壳入口,被运用于此有其独特的意义。 4.1.1蜗壳入口部分的低压力耗散

由水力学得知,局部水头损失h一般表述为:

式中:为局部水头损失系数;为流速;g为重力加速度。 4.1.2阿基米德螺线入口蜗壳的水头损失 蜗壳结构以极坐标形式表示为阿基米德螺线

a

为极坐标半径,为极角,为由A点计算之所对应的极角;a

为参数

对图2的结构,当则方程4变为

(R1/2)

2

时,

R1,于是有R12a,故有aR1/2,

式中:R1为曲率半径;

2

现在,我们来计算阿基米德螺线入口阻力系数。将曲线AB相

对应的圆心角等分成n个角度,每一个记作,则每一个圆心角所对应的极半径可以根据公式求出:

(R1/2)(2n)

式中:

/n

,n为相对应的极半径的的个数。因此可求出曲

线AB的平均半径R0:

R0

1

n

1

R(1nn

i1

/2n)

将R0代人4(3),即可求出曲线AB的阻力系数的近似值。 4.1.3切线入口与阿基米德螺线入口的阻力系数大小比较 假如

/2,R1180mm

入口高度H

100mm

3.5

1000.1310.163

180

1/2

2/2



0.1518

如果是阿基米德螺线入口,假定将等分成10份代人公式6中,其平均极半径为

R0

180

122/21/2

1(1)()0.1443104040

由此可见,在此条件下采用阿基米德螺线入口,将降低入口阻力。 4.2阿基米德螺线蜗杆的车削

4.2.1已知参数:(如图2所示) 蜗杆型式:阿基米德螺线(ZA蜗杆) 法向模数 mn齿形角

20

0.8;头数z=3

51140

'

''

; 导程角

00.11

齿项圆直径d128.1

f1

左旋,轴向齿距公差f为0.01;

px

齿形误差f为0.016. ‘、 4.2.2计算结果如下 蜗杆端面模数:mx蜗杆轴向齿距:px蜗杆直径系数:

蜗杆分圆直径:d1mxq26.5088 蜗杆顶圆直径:d126.50882h128.1

00.11

mncos

0.8033

mx2.5236

q

DxZtg

33

蜗杆齿顶高:h10.7956

蜗杆根圆直径:d

蜗杆齿根高:f1d12(h1C)25.2389 hf1h1C0.9563

C0.2mx0.1607

所以:蜗杆齿全高:h1.7519

Sx1.2618

X0.7956tg200.2896

2X0.5792

1.26180.5792

0.6826蜗杆轴向齿厚:

所以取ZA蜗杆车刀头部宽度为0.6826

前角5~2。 00.05,如图3所示。取刀具

当刀具使用一段时间后刀刃变钝,需进行修磨计算。由于刀具前角不是很大,修磨计算可省略。

通过使用该刀具,原来一天车3~4个,现在工效提高2~3倍,该刀具可进行多次重磨,耐用度提高,并且因刀具采用了大拐弯及中间弹簧圆柱销等缓冲结构,具有抗冲击及消振的作用,增强

了刀具在切削过程中的稳定性,提高了零件的精度及光洁度; 因而在加工蜗杆类零件而又没有专用机床时该方法有一定的参考价值。

4.3三爪卡盘自动定心原理

车床的基本工作原理是,使被加工的工件随同车床主轴一起旋转,操作者操纵刀架而移动刀具去切削工件,从而获得预期的工件形状。卡盘本身半固装于主轴,同时用它的几个可调节爪夹住工件。三爪卡盘三个相互联动的卡爪,能同时

等距离地向心(或离心)移动。在卡棒料(圆柱状坯件)或六方料(六棱柱状坯件)时,能使工件轴线与机床主轴轴线自动重合,因此它有自动定心的特点。

兰爪卡盘的主要结构如图,外壳上互成120角,开有三条透槽,三个卡爪可在其中做径向移动。卡爪的背面制有牙纹,卡爪以此牙纹与内部一圆盘咬合。圆盐正面上制有一条平面螺纹,其形状是阿基米德螺线工人师付称为“盘肠扣”。卡爪牙纹形状也是相应的阿基米德螺线,因此可以咬合。

如果保持外壳不动,从外面用扳手旋转小伞形轮,则带动大伞形轮绕卡盘轴线(即机床主轴轴线)转动,这时大伞形轮正面的阿基米德

螺线也要转动。这样,与之咬合的卡爪,

一方面受平面螺纹(阿基米德螺线)的推动,另一方面又受到不动外壳上槽口的限制,所以只能做径向移动。

现在需要说明的是,扳动小伞齿轮时为什么三个卡爪的径向位移总是相等的?这要从阿基米螺线的方程说起。因为

rr()k

所以:

dr

dk

于是

rr()r()k

这就是说,不论在螺线上的什么位臵,当点回的极角有一个增量△时,极径的增量总是它(△)的k倍。在卡盘上;扳动伞齿一个角度,等于使各个卡爪都得到相同的极角增量

△,所以它们的径向位移也必是相等的。由此可知,三爪卡盘上三个卡爪的径向等距移动,这个特点是由于圆盘上的阿基米德螺线的基本性质而造成的。就是说,三爪卡盘自动定心的原理是阿基米螺线的特性所致。

此外,阿基米螺线的螺距(即当2时的i值)是一个常数2k。因此可以继续旋转伞形齿轮,从而使卡爪可能在很大幅度内运动。如果换成别种螺线,螺距不是常数,卡爪将因其背面的牙纹无法适应改变着的螺距而卡住。所以只有阿基米德螺载才适于做三爪卡盘的平面螺纹。

4.4美学价值

数学具有美学价值。我们知道数学是对现实世界数量关系、空间形式、结构等的刻划。现实世界拥有许多美的因素, 所以数学拥有美就不奇怪了。罗素说过“数学, 如果正确地看它, 不但拥有真理, 而且也具有至高的美”,“哪里有数, 哪里就有美”。可是数学的美学价值却一直为人们所忽视。承认数学的美学价值, 不论对于数学研究或是数学教育, 都具有重要的意义。对于数学研究者来说, 数学的美学价值使研究数学成为一种美的追求。对数学教育者来说, 学习数学过程, 同时应是感受美、欣赏美、理解美的过程, 提高学生的审美能力, 这极大地有利于数学的学习。

阿基米德螺线的美学价值

4.4.1对象美

用匀速转动和匀速直线运动合成定义成的曲线= aθ被称为阿基米德螺线。其中第一圈所围面积为

应的极径为2a1(2a)23,第一圈未极角2,所对1

3,为半径的圆的面积, 等于第一个圆的面积的。

阿基米德螺线的美妙之处在于它经许多变换仍为自身。对如此美妙的性质, 阿基米德配了一句深刻的哲学名言 “虽经沧桑, 我仍将以故我出现”。

4.4.2方法美

阿基米德力学方法。这是一种生动而优美的数学方法, 这种创造性的方法是阿基米德根据力学的重心、 杠杆平衡等原理去解决一些几何问题。例如他利用杠杆原理确定了球的体积。

4.4.3和谐美:和谐不但表现在规律上,也表现在对称上

4.4.4简单美:符号、概念:精炼的简单、公式:数学符号刻画数学现象中相互关系的等式。

【参考文献】

[1] 王明华 杨继绪. 阿基米德螺线的性质与应用.

[2] 赵郁岚 周康毅. 阿基米德螺线蜗杆的车削

[3] 张晓贵 王子苓. 浅谈数学的美学价值

[4] 张学成 朱晓春 郭学亮 薄磊.旋流器的蜗壳设计理论与计算. Coal Preparation Technology.2008.2 第一期

[5] 赵郁岚 周康毅. 阿基米德螺线蜗杆的车削

[6] 府钰 颜尔达. 阿基米德螺线演示规的制作. 苏州教育学院.1990.3

[7] 《解析几何》理数教学参考资料 几种常用曲线在机械中的应用实例

[8] 刘振军 飞出一条螺线

[9] 迟华基 张启明 阴阳变化与太极图

[10] 胡海 神奇的蜘蛛网

[11] 王永炎 张启明 赵宜军 太极图反映了自然界最基本的周期运动— — — 简谐振动

范文二:阿基米德螺线和三等分角

阿基米德螺线和三等分角

数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代,阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论,于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。(最早发现等角螺线的其实是阿基米德的老师柯农,在他死后阿基米德继承了他的工作。)

什么是阿基米德螺线呢?想象有一根可以绕着一点转动的长杆,有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是 ρ = aθ。

阿基米德螺线生活中随处可见。在早期的留声机中,电机带动转盘上的唱片匀速转动,沿着一条直线轨道匀速向外圈移动的唱头在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺线。同理,由匀速盘香机生产出来的盘状蚊香也是阿基米德螺线的形状。等螺距的螺钉从钉头方向看去也是阿基米德螺线。就连缝纫机中也有阿基米德螺线出没,一般的机械缝纫机中有一个凸轮,手轮旋转的时候用来带动缝纫针头直线运动,这个凸轮的轮廓就是把阿基米德螺线的一部分经过对称得到的。

一个很有趣的事情是,在阿基米德螺线的配合下,尺规就能完成三等分一个任意角θ。步骤如下:

1、将θ角的一边与极轴重合,顶点与原点O重合2、延长角的另一边与阿基米德螺线交于A3、尺规三等分OA得到三等分点B’、C’4、分别以OB’、OC’为半径,O为圆心画圆交螺线于B、C5、根据 ρ=aθ 容易证得OB、OC三等分θ

当然,只利用尺规是无法画出阿基米德螺线的,所以我们大可不必担心关于尺规三等分任意角不可能的证明就此被推倒。

渐开线和机械齿轮

另一种有名的螺线叫做渐开线。当一根绳沿着另一曲线绕上或脱下时,它描出一条渐伸线。许多曲线都有自己的渐开线,把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上,拉开绳子的一端并拉直,使绳子与圆周始终相切,绳子端点的轨迹就是圆的渐开线。

与阿基米德螺线相比,渐开线在日常生活中出场的机会似乎要少一点,但仔细寻找还是能发现它的踪迹,例如棕榈等一些植物叶尖的轮廓就是渐开线。其实它还在机械设备中发挥着重要的作用,机械设备用于传动的齿轮中,就活跃着渐开线的身影。早在 1694 年,法国学者就讨论了把渐开线作为齿轮齿形的可能性。 1765 年,欧拉对相啮合的一对齿轮齿形曲线的曲率半径和曲率中心位置的关系进行了计算,认为渐开线相当适合作为齿轮的齿形。与其他齿形相比,渐开线齿形具有传动平稳、两轮中心距允许有一定的安装误差等等优点。目前工业中渐开线齿轮被广泛应用,占到世界齿轮市场的 90% 以上。

渐开线齿轮

伯努利和大自然都爱等角螺线

下面出场的是螺线家族中名气最大的——等角螺线。它的名字来源于一个著名的数学问题:试找出一条曲线,在任意点处的矢径与切线的夹角为定值。这一问题最终于 1683 年被笛卡尔解决。使用一点简单的微积分和笛卡尔的坐标系,我们很容易就能知道等角曲线的极坐标方程:ρ = e aθ 。由于在方程中出现了指数函数,这一螺线也被称为对数螺线。

等角螺线还与一道著名的趣味物理题有关:三只小狗分别从一个等边三角形的三点出发,以相同的速度相互追逐,当它们在三角形中心相遇时,所画出的轨迹就是等角螺线。一个很少被注意的有趣现象是,他们将在有限时间内相遇,但是相遇之前已经围着中心绕了无数圈!

等角螺线

等角螺线具有许多有趣的数学性质,著名数学家雅各布·伯努利就是等角螺线的一个狂热粉丝。他对等角螺线进行了许多研究,发现等角曲线在反演、求渐屈线、求垂足曲线、等比例放大等等变换后仍然是原先的等角曲线。对于这些性质伯努利感到十分惊讶,决定把等角曲线作为自己的墓志铭,还加上了一句话“Eadem mutata resurgo.”这句话有各种不同的翻译版本,大意是“纵然改变,仍然故我”(也有一些版本的翻译类似“改变之后,我将原地复活”)。但是滑稽的是为他雕刻墓碑的工匠也许是文化水平不高,也许就是嫌麻烦,最后给墓碑上雕刻的图竟是毫不相关的阿基米德螺线。伯努利若九泉有知,怕是要死不瞑目了。

等角对数螺线的除了伯努利还有大自然。可能是由于它等角的特性,等角螺线是自然界中最常见的螺线。向日葵的和其他一些植物的种子在花盘上排列出的曲线就是等角曲线,这样每颗种子受到周围其他种子所分泌生长素的抑制作用可以达到最小,同时当它们长大时可以保持形状不变。蕨类植物和其他一些植物的嫩叶也蜷曲成对数曲线的形状。

向日葵的花盘,能看出等角螺线吗

对数曲线形状的嫩芽

除了植物界,动物界也有不少等角螺线。鹦鹉螺的螺壳曲线就是等角螺线,这是由于鹦鹉螺在生长时内圈与外圈分泌石灰质的量总为一定值造成的,同理鹰嘴和鲨鱼的背鳍也是对数螺线的形状。法国博物学家,《昆虫记》作者 让-亨利•法布尔曾经注意到,蜘蛛结出的网上也有对数螺线出没,对此他兴趣大发,在《蜘蛛的一生》中增加了专门的一篇,讨论对数螺线的数学性质和它对自然界的影响。甚至“对数螺线”这个名字就是法布尔叫响的。另外人们发现,飞蛾扑火与老鹰盘旋也都是沿着对数螺线的轨迹移动。

但是和接下来的银河系相比,以上的例子都“弱爆了”。天文学家观测发现,涡旋状星云的旋臂形状与等角螺线十分相似,银河系的四大旋臂就是倾斜度为 12° 的等角螺线。

其他的螺线

除此之外,数学家们还找出了各种奇形怪状的非主流螺线,例如极坐标方程 r 2 = θ 描述的连锁螺线,它不是常见的一支,而是对称的两支。更为怪异的是欧拉螺线,它有两个中心,埃舍尔的一副作品就是以此为主题的。

欧拉曲线

数学界是如此地热爱螺线,以至于衡量一个数学家是否足够牛逼的简单的方法就是看看是否存在以他命名的螺线。那死理性派又为什么对螺线情有独钟呢?这就正像法布尔总结的那样:“几何,以及面积的和谐支配着一切。”螺线背后精准优雅的规律,无疑让一代又一代的人为之痴迷。

参考资料

【1】马丁•加德纳,《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》

【2】 用数学注释的花园

【3】赵文敏, 等角螺线及其他

【4】职业农夫, 生物中的数学---是生物因为数学而有趣?还是数学因为生物而有趣?

【5】维基百科, 螺线 等相关词条

系列作品之 _ 秋水迥波

作品名称: 秋水迥波 作品编号:GS-01-01创作时间:2012-02材质:3D打印尼龙 秋水迥波是系列灯具产品中的第一款。我们也付出了最多的心血来创作它,从最初的单层次变化到最终的三级递归曲线变化,从普通的曲面表现到独特的极小曲面表现,从结构的多层嵌套到最终形态的一体成型,前后经历了11次程序的推敲与完善。

所有这些对灯具不断的完善的动力都来自对马远水图的新的认知。

此图为马远的原作《秋水迥波》

当我们将《秋水迥波》分为近中远景时便会发现:画面中近景和中景虚实相映,产生了一种空间上的起伏感。水纹由左下方向右上方延伸,特别是两只空中飞鸟的连线,更是加强了这种趋势感。而沿着光影,圈出的弧线,又将向右上方延伸的动势往回拉,从而平衡了画面。 画面中的元素有点,有曲线,有大面,有小面,交织在一起便是波光粼粼的湖水,徐徐瑟瑟的秋风,还有洒在湖面上斑驳的阳光。

我们似乎找到了马远让画面变得如此生动的奥秘,但是我们却又陷入了他的另一个视觉游戏——水波向右上方流动趋势的背后,是一串串几乎反向流动的曲线所造就的,而且两个方向的曲线营造出了第三方向的视觉感受。 作品局部欣赏

范文三:阿基米德螺线讲解

浅谈阿基米德螺线

摘要:

本文从生活中有趣的自然现象出发,介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用,浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点,并以蚊香为例,建模,证明了阿基米德螺线应用的广泛性。

关键词:

阿基米德螺线、极坐标、自然界实例,生活中应用

引言

很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是,为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前,没有人造火光,飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说,阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子:时钟上的指针在作匀速转动,假如有一只小虫子从时钟的中心,沿指针作匀速爬动,那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线(如图3)。

1.阿基米德螺线简介

1.1阿基米德简介及螺线的发现

阿基米德 Archimedes(约公元前287~前212),古希腊伟大的数学家、力学家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄.11岁时去埃及,到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都” 的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习,以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因此他算是亚历山大学派的成员。 公元前240年,阿基米德由埃及回到故乡叙拉古,并担任了国王的顾问.从此开始了对科学的全面探索,在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果,成为古希腊最伟大的科学家之一.后人对阿基米德给以极高的评价,常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。

据说,阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的.柯农死后,阿基米德继续研究,又发现许多重要性质,因而这种螺线就以阿

基米德的名字命名了.

1.2阿基米德螺线的定义及方程

1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义

阿基米德螺线,亦称“等速螺线”。螺线是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩或扩展的曲线,阿基米德螺线是一种二维螺线。在《论螺线》中,阿基米德给出了如下定义:当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时,这射线又以等角速度绕点O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r=aθ。这种螺线的每条臂的距离永远相等于2πa。

1.2.2阿基米德螺线定义的不合理之处

当我们在纸上用笔沿着一盘阿基米德螺线形状的蚊香进行描绘时,可以或快或慢或暂停又继续地去画完这条螺旋线,是不会有“等速率” ﹑“等角速度”感觉的。实际上阿基米德螺线是动点“旋转”与“直线”两种运动同步、按比例合成的轨迹线。“同步”意味着“旋转”与“直线”两种运动步调一致。即:你动我动,你快我快,你慢我慢,你停我停。“同步”可以包含“旋转”与“直线”两种运动的“等速度”,而“等速度”决不能等同“同步”!因为“同步”容许速度的同步变化,而“等速度”则不允许速度变化。

在螺旋线中,螺距(通常用S表示)是一重要参数,它表示动点绕中心回转一周时,沿直线方向移动的距离。“螺旋比”(简称“旋比”—用ix表示 )即:螺距与一周(360度或2π)的比, ix=S/360度(角度制)或 ix=S/2π(弧度制);任意回转角度下,动点相应运动的直线距离(L)等于该回转角度与“旋比”的乘积。L=ixα(角度制),或 L=ixθ(弧度制)。阿基米德螺线极坐标方程式 r = aθ 中的“a”既是螺线比“ix”;”r” 既是“L”。因为阿基米德螺线的螺线比为常数,一周永远等于360度或2π,所以螺距永远相等,即螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。根据螺距永远相等的特性,我们可将这类螺线称为“等距螺线”或“等旋比螺线”。而不能称之为“等速螺线”。

1.3阿基米德螺线的方程

极坐标系:在数学中,极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示

阿基米德螺旋线的标准极坐标方程: r(θ)= a+ b(θ)

式中:

b—阿基米德螺旋线系数,mm/°,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量; θ—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;

a—当θ=0°时的极径,mm。

改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线,一条θ>0,另一条θ

在极坐标系与平面直角坐标系(笛卡尔坐标系)间转换:

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值

由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标

在x=0的情况下:若y为正数,则θ=90°(π/2radians);若y为负,则θ=270°(3π/2radians).

1.4阿基米德螺线的画法

1.4.1阿基米德螺线的几何画法

以适当长度(OA)为半径,画一圆O;作一射线OA;作一点P于射线OA上;模拟点A沿圆O移动,点P沿射线OA移动;画出点P的轨迹;隐藏圆O、射线OA&点P;即可得到螺线(如图4)

1.4.2阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线,如图4,用一根线缠在一个线轴上,在其游离端绑上一小环,把线轴按在一张纸上,并在小环内套一支铅笔,用铅笔拉紧线,并保持线在拉紧状态,然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹,就得到了阿基米德螺线。

2.自然界中的阿基米德螺线

2.1自然界中的多种多样的螺线

在浩瀚的自然界中,在千姿百态的生命体上发现了不少螺旋。如原生动物门中的砂盘虫;软体动物门中梯螺科中的尖高旋螺,凤螺科中的沟纹笛螺,明螺科中的明螺,又如塔螺科的爪哇拟塔螺、奇异宽肩螺、笋螺科的拟笋螺等大多数螺类,它们的外壳曲线都呈现出各种螺旋状;在植物中,则有紫藤、茑萝、牵牛花等缠绕的茎形成的曲线,烟草螺旋状排列的叶片,丝瓜、葫芦的触须,向日葵籽在盘中排列形成的曲线;甚至构成生命的主要物质——蛋白质、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋结构,如人类遗传基因(DNA)中的双螺旋结构。其中,自然界中的砂盘虫化石,蛇盘绕起来形成的曲线等都可以构成阿基米德螺线。

2.2自然界中螺线广泛存在的原因

拟螺线之所以在生命体中广泛存在,是由于螺线的若干优良性质所确定。而这些优良性质直接或间接地使生命体在生存斗争中获得最佳效果。由于在柱面内过柱面上两点的各种曲线中螺线长度最短,对于茑萝、紫藤、牵牛花等攀缘植物而言,如何用最少的材料、最低的能耗,使其茎或藤延伸到光照充足的地方是至

关重要的。而在各种曲线中,螺线就起到省材、节约能量消耗的作用,在相同的空间中使其叶子获取较多的阳光,这对植物光合作用尤为重要,像烟草等植物轮状叶序就是利用形成的螺旋面能在狭小的空间中(其他植物的夹缝中)获得最大的光照面积,以利于光合作用。形成螺线状的某些物体还有一种物理性质,即像弹簧一样具有弹性(或伸缩性)。在植物中丝瓜、葫芦等茎上的拟圆柱螺线状的触须利用这个性质,能使其牢固地附着其他植物或物体上。即使有外力或风的作用,由于螺线状触须的伸缩性,使得纤细的触须不易被拉断,并且当外力(或风)消失后,保证其茎叶又能恢复到原来的位置。螺旋线对于生活在水中的大多数螺类软体动物也是十分有意义的。观察螺类在水中的运动方式,通常是背负着外壳前进,壳体直径粗大的部分在前,螺尖在后。当水流方向与运动方向相反时,水流沿着壳体螺线由直径大的部分旋转到直径小的部分直到螺尖。水速将大大减小,这样位于壳体后水的静压力将大于壳体前端的静压力。在前后压力差的作用下,壳体将会自动向前运动。这样一来,来自水流的阻力经锥状螺线的转化变为前进的动力。除此而外,分布在螺类外壳上的螺线像一条肋筋,大大增加了壳体的强度,也分散了作用在壳体上的水压。

3.阿基米德螺线在实际生活中的应用

3.1最初的应用:螺旋扬水器

为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,阿基米德发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。 阿基米德螺旋是一个装在木制圆筒里的巨大螺旋状物(在一个圆柱体上螺旋状地绕上中空的管子),把它倾斜放置,下端浸入水中,随着圆柱体的旋转,水便沿螺旋管被提升上来,从上端流出。这样,就可以把水从一个水平面提升到另一个水平面,对田地进行灌溉。“阿基米德螺旋”扬水机至今仍在埃及等地使用。

3.2工程上应用:阿基米德螺旋泵

阿基米德螺旋泵的工作原理是当电动机带动泵轴转动时,螺杆一方面绕本身的轴线旋转,另一方面它又沿衬套内表面滚动,于是形成泵的密封腔室。螺杆每转一周,密封腔内的液体向前推进一个螺距,随着螺杆的连续转动,液体螺旋形方式从一个密封腔压向另一个密封腔,最后挤出泵体。螺杆泵是一种新型的输送液体的机械,具有结构简单、工作安全可靠、使用维修方便、出液连续均匀、压力稳定等优点。

3.3日常生活的应用:蚊香的几何特征

将一单盘蚊香光滑面朝上,放置一水平面上,自上俯视,会观察到的蚊香平面图。将这条曲线单独绘制出来,并加上一定的标志,得到了蚊香香条曲线图(如图6示)。点O为直线AB与曲线AB若干交点中位于最中间的一个交点。曲线OA实际上是单盘蚊香的香条外侧边线。观察不同厂牌蚊香的实物,会发现其对应的OA曲线上,接近点的一段(图中以OP表示),也就是所谓“太极头”部位的曲线,在形状上各有不同,但对于剩下的一大段曲线PA,则具有这样的特征:曲线PA E任取一点Q,假使点Q可在曲线PA上移动,则点Q越接近点A,点Q与点O的直线距离(以r表示)越大;而且,每移动一定角度(以0表示),增加的值与该角度成正比。用学语言描述曲线QA的上述特征,可表示为:

△φ=k△θ,或φ=k△θ+C-----(1)

式(1)中,k和C均为恒定常数,若以点O为极点,建立极坐标,则选择适当方位的极轴,可以将式(1)转移为:

φ=kθ,θ∈[0,α]------(2)

式(2)中a为点A,即香条末端对应的极角。式(2)所描述的曲线一单擞蚊香香条外侧边线.实际上正是“阿基米德螺线”。

需要说明的是,式(2)所描述的只是蚊香“太极头”之外的香条曲线方程,由于不同厂牌蚊香的“太极头”没有统一固定的形状,所以无法对其作出确切的描述。同时,由于“太极头”一段香条的长度极短,因而其形状对蚊香香条长度的影响事实上也可以忽略不计。

结论:

通过对阿基米德螺线这种特殊的螺线的研究,我们对螺线,极坐标等概念的理解更加深入。阿基米德应用理论解决实践问题的思想让我们明白学以致用的重要性。启示:自然界中各种看似平常的现象都隐藏着不寻常的道理,只有不断发掘,我们才能获得新知。

参考文献:

[1] 石磊,生命中的螺旋,世界环境 , 2005,(2) : 24~ 25.

[2].陈文喻 代数三角混合曲线理论及应用. 浙江大学数学系硕士毕业论文, 2006

[3] 孙崇敏,蚊香的几何特征及香条长度的测量,中华卫生杀虫药械, 2003,9(1)

[4] 姚建武,螺线与生物体上的拟螺线,SCIENCE , 2004,56(4)

[5] 王永炎,张启明,赵易军,太极图反映了自然界最基本的周期运动:简谐运动,自然 , 2009,31(2) 69~72

[6] 温书香,中华学生百科全书-世界科技史话,北京燕山出版社, 2006

参考网站:

维基百科,科技中国,CNKI概念知识源库,科学网,百度百科,雅虎知识堂

范文四:浅谈阿基米德螺线

浅谈阿基米德螺线

北京师范大学环境学院

郭惠媛(200911181021)姜畔(200911181023)

摘要:

本文从生活中有趣的自然现象出发,介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用,浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点,并以蚊香为例,建模,证明了阿基米德螺线应用的广泛性。

关键词:

阿基米德螺线、极坐标、自然界实例,生活中应用

引言

很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是,为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前,没有人造火光,飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说,阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子:时钟上的指针在作匀速转动,假如有一只小虫子从时钟的中心,沿指针作匀速爬动,那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线(如图3)。

1.阿基米德螺线简介

1.1阿基米德简介及螺线的发现

阿基米德 Archimedes(约公元前287~前212),古希腊伟大的数学家、力学家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄.11岁时去埃及,到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都” 的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习,以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因此他算是亚历山大学派的成员。 公元前240年,阿基米德由埃及回到故乡叙拉古,并担任了国王的顾问.从此开始了对科学的全面探索,在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果,成为古希腊最伟大的科学家之一.后人对阿基米德给以极高的评价,常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。

据说,阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的.柯农死后,阿基米德继续研究,又发现许多重要性质,因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了.

1.2阿基米德螺线的定义及方程

1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义

阿基米德螺线,亦称“等速螺线”。螺线是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩或扩展的曲线,阿基米德螺线是一种二维螺线。在《论螺线》中,阿基米德给出了如下定义:当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时,这射线又以等角速度绕点O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r=aθ。这种螺线的每条臂的距离永远相等于2πa。

1.2.2阿基米德螺线定义的不合理之处

当我们在纸上用笔沿着一盘阿基米德螺线形状的蚊香进行描绘时,可以或快或慢或暂停又继续地去画完这条螺旋线,是不会有“等速率” ﹑“等角速度”感觉的。实际上阿基米德螺线是动点“旋转”与“直线”两种运动同步、按比例合成的轨迹线。“同步”意味着“旋转”与“直线”两种运动步调一致。即:你动我动,你快我快,你慢我慢,你停我停。“同步”可以包含“旋转”与“直线”两种运动的“等速度”,而“等速度”决不能等同“同步”!因为“同步”容许速度的同步变化,而“等速度”则不允许速度变化。

在螺旋线中,螺距(通常用S表示)是一重要参数,它表示动点绕中心回转一周时,沿直线方向移动的距离。“螺旋比”(简称“旋比”—用ix表示 )即:螺距与一周(360度或2π)的比, ix=S/360度(角度制)或 ix=S/2π(弧度制);任意回转角度下,动点相应运动的直线距离(L)等于该回转角度与“旋比”的乘积。L=ixα(角度制),或 L=ixθ(弧度制)。阿基米德螺线极坐标方程式 r = aθ 中的“a”既是螺线比“ix”;”r” 既是“L”。因为阿基米德螺线的螺线比为常数,一周永远等于360度或2π,所以螺距永远相等,即螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。根据螺距永远相等的特性,我们可将这类螺线称为“等距螺线”或“等旋比螺线”。而不能称之为“等速螺线”。

1.3阿基米德螺线的方程

极坐标系:在数学中,极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示

阿基米德螺旋线的标准极坐标方程: r(θ)= a+ b(θ)

式中:

b—阿基米德螺旋线系数,mm/°,表示每旋转1度时极径的增加(或减小)量; θ—极角,单位为度,表示阿基米德螺旋线转过的总度数;

a—当θ=0°时的极径,mm。

改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线,一条θ>0,另一条θ

在极坐标系与平面直角坐标系(笛卡尔坐标系)间转换:

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值

由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标

在x=0的情况下:若y为正数,则θ=90°(π/2radians);若y为负,则θ=270°(3π/2radians).

1.4阿基米德螺线的画法

1.4.1阿基米德螺线的几何画法

以适当长度(OA)为半径,画一圆O;作一射线OA;作一点P于射线OA上;模拟点A沿圆O移动,点P沿射线OA移动;画出点P的轨迹;隐藏圆O、射线OA&点P;即可得到螺线(如图4)

1.4.2阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线,如图4,用一根线缠在一个线轴上,在其游离端绑上一小环,把线轴按在一张纸上,并在小环内套一支铅笔,用铅笔拉紧线,并保持线在拉紧状态,然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹,就得到了阿基米德螺线。

2.自然界中的阿基米德螺线

2.1自然界中的多种多样的螺线

在浩瀚的自然界中,在千姿百态的生命体上发现了不少螺旋。如原生动物门中的砂盘虫;软体动物门中梯螺科中的尖高旋螺,凤螺科中的沟纹笛螺,明螺科中的明螺,又如塔螺科的爪哇拟塔螺、奇异宽肩螺、笋螺科的拟笋螺等大多数螺类,它们的外壳曲线都呈现出各种螺旋状;在植物中,则有紫藤、茑萝、牵牛花等缠绕的茎形成的曲线,烟草螺旋状排列的叶片,丝瓜、葫芦的触须,向日葵籽在盘中排列形成的曲线;甚至构成生命的主要物质——蛋白质、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋结构,如人类遗传基因(DNA)中的双螺旋结构。其中,自然界中的砂盘虫化石,蛇盘绕起来形成的曲线等都可以构成阿基米德螺线。

2.2自然界中螺线广泛存在的原因

拟螺线之所以在生命体中广泛存在,是由于螺线的若干优良性质所确定。而

这些优良性质直接或间接地使生命体在生存斗争中获得最佳效果。由于在柱面内过柱面上两点的各种曲线中螺线长度最短,对于茑萝、紫藤、牵牛花等攀缘植物而言,如何用最少的材料、最低的能耗,使其茎或藤延伸到光照充足的地方是至关重要的。而在各种曲线中,螺线就起到省材、节约能量消耗的作用,在相同的空间中使其叶子获取较多的阳光,这对植物光合作用尤为重要,像烟草等植物轮状叶序就是利用形成的螺旋面能在狭小的空间中(其他植物的夹缝中)获得最大的光照面积,以利于光合作用。形成螺线状的某些物体还有一种物理性质,即像弹簧一样具有弹性(或伸缩性)。在植物中丝瓜、葫芦等茎上的拟圆柱螺线状的触须利用这个性质,能使其牢固地附着其他植物或物体上。即使有外力或风的作用,由于螺线状触须的伸缩性,使得纤细的触须不易被拉断,并且当外力(或风)消失后,保证其茎叶又能恢复到原来的位置。螺旋线对于生活在水中的大多数螺类软体动物也是十分有意义的。观察螺类在水中的运动方式,通常是背负着外壳前进,壳体直径粗大的部分在前,螺尖在后。当水流方向与运动方向相反时,水流沿着壳体螺线由直径大的部分旋转到直径小的部分直到螺尖。水速将大大减小,这样位于壳体后水的静压力将大于壳体前端的静压力。在前后压力差的作用下,壳体将会自动向前运动。这样一来,来自水流的阻力经锥状螺线的转化变为前进的动力。除此而外,分布在螺类外壳上的螺线像一条肋筋,大大增加了壳体的强度,也分散了作用在壳体上的水压。

3.阿基米德螺线在实际生活中的应用

3.1最初的应用:螺旋扬水器

为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,阿基米德发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。 阿基米德螺旋是一个装在木制圆筒里的巨大螺旋状物(在一个圆柱体上螺旋状地绕上中空的管子),把它倾斜放置,下端浸入水中,随着圆柱体的旋转,水便沿螺旋管被提升上来,从上端流出。这样,就可以把水从一个水平面提升到另一个水平面,对田地进行灌溉。“阿基米德螺旋”扬水机至今仍在埃及等地使用。

3.2工程上应用:阿基米德螺旋泵

阿基米德螺旋泵的工作原理是当电动机带动泵轴转动时,螺杆一方面绕本身的轴线旋转,另一方面它又沿衬套内表面滚动,于是形成泵的密封腔室。螺杆每转一周,密封腔内的液体向前推进一个螺距,随着螺杆的连续转动,液体螺旋形方式从一个密封腔压向另一个密封腔,最后挤出泵体。螺杆泵是一种新型的输送液体的机械,具有结构简单、工作安全可靠、使用维修方便、出液连续均匀、压力稳定等优点。

3.3日常生活的应用:蚊香的几何特征

将一单盘蚊香光滑面朝上,放置一水平面上,自上俯视,会观察到的蚊香平面图。将这条曲线单独绘制出来,并加上一定的标志,得到了蚊香香条曲线图(如图6示)。点O为直线AB与曲线AB若干交点中位于最中间的一个交点。曲线OA实际上是单盘蚊香的香条外侧边线。观察不同厂牌蚊香的实物,会发现其对应的OA曲线上,接近点的一段(图中以OP表示),也就是所谓“太极头”部位的曲线,在形状上各有不同,但对于剩下的一大段曲线PA,则具有这样的特征:曲线PA E任取一点Q,假使点Q可在曲线PA上移动,则点Q越接近点A,点Q与点O的直线距离

(以r表示)越大;而且,每移动一定角度(以0表示),增加的值与该角度成正比。用学语言描述曲线QA的上述特征,可表示为:

△φ=k△θ,或φ=k△θ+C-----(1)

式(1)中,k和C均为恒定常数,若以点O为极点,建立极坐标,则选择适当方位的极轴,可以将式(1)转移为:

φ=kθ,θ∈[0,α]------(2)

式(2)中a为点A,即香条末端对应的极角。式(2)所描述的曲线一单擞蚊香香条外侧边线.实际上正是“阿基米德螺线”。

需要说明的是,式(2)所描述的只是蚊香“太极头”之外的香条曲线方程,由于不同厂牌蚊香的“太极头”没有统一固定的形状,所以无法对其作出确切的描述。同时,由于“太极头”一段香条的长度极短,因而其形状对蚊香香条长度的影响事实上也可以忽略不计。

结论:

通过对阿基米德螺线这种特殊的螺线的研究,我们对螺线,极坐标等概念的理解更加深入。阿基米德应用理论解决实践问题的思想让我们明白学以致用的重要性。启示:自然界中各种看似平常的现象都隐藏着不寻常的道理,只有不断发掘,我们才能获得新知。

参考文献:

[1] 石磊,生命中的螺旋,世界环境 , 2005,(2) : 24~ 25.

[2].陈文喻 代数三角混合曲线理论及应用. 浙江大学数学系硕士毕业论文, 2006

[3] 孙崇敏,蚊香的几何特征及香条长度的测量,中华卫生杀虫药械, 2003,9(1)

[4] 姚建武,螺线与生物体上的拟螺线,SCIENCE , 2004,56(4)

[5] 王永炎,张启明,赵易军,太极图反映了自然界最基本的周期运动:简谐运动,自然 , 2009,31(2) 69~72

[6] 温书香,中华学生百科全书-世界科技史话,北京燕山出版社, 2006

参考网站:

维基百科,科技中国,CNKI概念知识源库,科学网,百度百科,雅虎知识堂

范文五:阿基米德螺线的性质与应用

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阿 基 米 德 螺 线 的 性 质 与 应 用

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下 面 我 们来 讨论它 的几

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,

范文六:阿基米德螺线动画matlab程序

%阿基米德螺线的动画

clear all

close all

theta=0:0.1:2*pi;

rho=2;

h=figure;

set(h,'outerposition',get(0,'screensize'));

dot2H=line(0, 0, 'marker', '.', 'color', 'k', 'erase', 'none');

hold on

quanshu=8;

x=0:0.01:rho*quanshu*pi;

y=zeros(1,size(x,2));

zhixianH=plot(x,y,'linewidth',6,'color','r')

axis([-2*quanshu*pi 2*quanshu*pi -2*quanshu*pi 2*quanshu*pi])

hold on

set(zhixianH, 'erase', 'xor');

y=linspace(0,quanshu*pi,500);

x=0:0.01:1;

dot1H=line(0, 0, 'marker', 'o', 'color', 'k', 'erase', 'xor');

dot2H=line(0, 0, 'marker', '.', 'color', 'k', 'erase', 'none','markersize',40); pause

for i=1:length(y)

set(zhixianH,'xdata',rho*quanshu*pi*x*cos(y(i)),'ydata',rho*quanshu*pi*x*sin(y(i)));

set(dot1H,'xdata',rho*y(i)*cos(y(i)),'ydata',rho*y(i)*sin(y(i))); set(dot2H,'xdata',rho*y(i)*cos(y(i)),'ydata',rho*y(i)*sin(y(i)));

line('xdata',rho*y(i)*cos(y(i)),'ydata',rho*y(i)*sin(y(i)), 'color', 'k', 'marker', '.','markersize',40);

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end%阿基米德螺线的动画

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y=linspace(0,quanshu*pi,500);

x=0:0.01:1;

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dot2H=line(0, 0, 'marker', '.', 'color', 'k', 'erase', 'none','markersize',40); pause

for i=1:length(y)

set(zhixianH,'xdata',rho*quanshu*pi*x*cos(y(i)),'ydata',rho*quanshu*pi*x*sin(y(i)));

set(dot1H,'xdata',rho*y(i)*cos(y(i)),'ydata',rho*y(i)*sin(y(i))); set(dot2H,'xdata',rho*y(i)*cos(y(i)),'ydata',rho*y(i)*sin(y(i)));

line('xdata',rho*y(i)*cos(y(i)),'ydata',rho*y(i)*sin(y(i)), 'color', 'k', 'marker', '.','markersize',40);

drawnow

end

范文七:最简单的阿基米德螺线加工程序

最简单的阿基米德螺线加工程序:

阿基米德螺旋线宏程序

#1=0(极径)

#2=0(极角)

#3=10(螺距-极径每360°的增量)

#4=100(螺旋线最大直径)

#5=200(F)

G54G90G00G43H01Z100

M03S2000

Z3

G01Z-2F#5

#100=#3/360

N1#1=#1+#100

#2=#2+1

IF[#1GE#4]GOTO2

#101=#1*COS[#2]

#102=#1*SIN[#2]

G1X#101Y#102

GOTO1

N2G00Z100

M30

这是原来的程序,现在可以用极坐标,更简单。 多交流啊!

追问

用极坐标,更简单。

怎么编写?

回答

用极坐标可免X、Y坐标的计算:

O1000

#1=0(极径)

#2=0(极角)

#3=10(螺距-极径每360°的增量)

#4=50(螺旋线最大极径)

#5=200(F)

G54G90G00G43H01Z100

M03S2000

Z3

G01Z-2F#5

#100=#3/360

G16

N1#1=#1+#100

#2=#2+1(每次循环极角加1度) IF[#1GE#4] GOTO 2

G01X#1Y#2

GOTO 1

N2G15

G00Z100

范文八:阿基米德螺线的定义及公式求解

阿基米德螺线定义及方程求解

一、阿基米德螺线的定义及求解。

1.

阿基米德螺线(等速螺线)的定义:

如图1所示,从点O出发的射线l

,绕点O做等角速度的转动,同时点M沿l作等速直线运动,点M的轨迹叫做阿基米德螺线或等速螺线。

2.等速螺线的极坐标方程求解过程。

如图1,取点O为极点,以l的初始位置为极轴,建立极坐标系。

设M0(ρ0,0)是点M的初始位置,M在l上运动的速度为υ,绕点O转动的角速度为ω,经过时间t后,旋转了θ角,点M到达位置(ρ,θ),根据阿基米德螺线的定义,得

ρ-ρ0=υt, θ=ωt.

这是以时间t为参数的极坐标参数方程,消去参数t,得

υρ-ρ0=ωθ

这就是所求的阿基米德螺线的极坐标方程。

υ

设 =a(a≠0),得ω

ρ=ρ0+aθ.

这是阿基米德螺线的极坐标方程的一般形式,ρ是θ的一次函数。在特殊情况下,当ρ0=0时,阿基米德螺线的方程变为

ρ=aθ.

以上为阿基米德螺线的定义及方程求解。

我的网店里有阿基米德螺线公式应用实例和用CAXA电子图板2005 画阿基米德螺线教程。hbscbh.taobao.com

范文九:阿基米德螺线轮楼梯搬运机的设计

第3 2 卷 第3期

2 0 1 4 年 0 5月

佳 木 斯 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 )

J o u r n a l   o f   J i a m u s i   U n i v e r s i t y( N a t u r a l   S c i e n c e   E d i t i o n )

V0 1 . 3 2   N0 . 3

Ma y   2 01 4

文章编号 : 1 0 0 8 — 1 4 0 2 ( 2 0 1 4 ) 0 3 — 0 4 0 5— 0 3

阿基 米 德 螺 线 轮 楼梯 搬运 机 的设 计①

王玉烁 ,   陈光军 , , 徐 锐 , 赵 海燕 ,   白哲豪

( 佳 木斯大 学机械工程学院 。 黑龙江 佳木斯 1 5 4 0 0 7 )

要 : 针 对居 民楼 步行 楼梯 上 下楼 重物搬 运 困难 的 问题 , 设 计制 作 了家庭 用 阿基 米德 螺线轮

楼 梯搬 运机 . 实现 了重物 的楼梯 搬 运 自动化 , 整机 构 造 简单 , 体 积 和 重 量 适 中, 方便 携 带. 可减轻

居 民上下楼搬 运 重物 的 劳动 强度 , 也 可被 用于各 类服务 公 司的楼梯 搬 运 工作 .

关键词 :   楼 梯搬 运机 ; 阿基 米 德 螺线 ; 平稳运 行

中图分 类号 : T H1 2 2

文 献标 识码 : A

0   引  言

市场上出现的楼梯搬运设 备大体可分为两大  类: 履带式和三脚架式 … , 三脚架式搬运设备重心

跳 跃较 大 , 对搬 运 的物 体会 产 生撞 击 力 , 不 适 用 搬

轮・ 如图  所示・

运精密设备 ; 而履带式搬运设备可实现负载重心的   平稳移动, 但对楼梯有伤害. 英国 S A N O公 司生产  的L i f t k a r 系列楼梯搬运机与加拿大萨瓦瑞亚公司  生产的履带式爬楼车 R o b y 是 目前国外市场上较为

成熟 的楼 梯搬运 设 备 . 但 对 于 家 庭 用 户来 说 , 价 格  过 于 昂贵  .

米 德 螺 线轮

设计 了一种适合家庭用的阿基米德螺线轮楼梯  搬运机 , 可替代人力, 实现家庭用户的楼梯重物搬运  工作 自动化. 该机存放方便 , 结构简单 , 造价低廉.

1   总体 结构

家庭 用 阿基 米 德 螺线 轮 楼 梯 搬运 机 由直 流 电

图 1   冢用 网 基 米 德 螺 线 轮 楼 梯 搬 运 机 结 构 图

载物爬 楼梯 时 , 启 动直 流 电机 , 通过 减速器 、 主  动齿轮 、 被动齿 轮 和轮 轴驱动 阿基米德 螺线轮旋转 ,   实现载物爬楼 梯 的功 能 ; 在平地 运行 时 , 关 闭直 流 电  机并 实现 自锁 , 通过脚 轮 的旋转 实现平地运行 .   机、 减速器、 电池 、 主动 齿 轮 、 被 动齿 轮 、 轮轴 、 阿基  米德 螺 线轮 、 脚轮、 底盘、 机 架组 成 . 可 折 叠 的

底 盘

与可伸缩的机架相连 , 直流 电机和电池相连并 固定  在机架 的下端 , 直流电机 的动力输出轴上连接减速

2   阿基米德 螺线轮结构设计

2 . 1   阿基米 德 螺线 轮结 构 设计

器, 减速器动力输 出轴与主动齿轮相连 , 主动齿轮

与被动齿轮相啮合 , 被动齿轮被固定在轮轴上 , 轮  轴被固定在机架上 , 轮轴两 端连有 阿基 米德螺线  轮, 阿基米 德 螺 线 轮 的三 个 叶 片 顶 端 各 有 一 个 脚

主轮工作轮廓采用阿基米德螺线 , 可以利用其  等速螺线性质使楼梯搬运机在上升或下降过程中

①  收稿 日期 : 2 0 1 4— 0 3—0 3   基金项 目: 黑龙江省大学生创新创业训练项 目( 2 0 1 3 1 0 2 2 2 0 6 0 ) ; 黑龙江省教育科学 规划课题 ( G B C I 2 1 1 1 3 0 ) ; 佳木斯 大学教 学研  究专项项 目( J Y L A 2 0 1 2一 o 1 6 ).   作者简 介: 王玉烁 ( 1 9 9 1 一), 男, 山东 日照人 , 佳木斯大学机 械设计制造 及其 自动化专 业 2 0 1 1 级卓越 工程师 班本科生. 通信 作  者: 陈光军 ( 1 9 7 5 一) , 男, 黑龙江佳木斯人 。 工学博 士, 副教授 , 硕士生导师 , 主要从事机 电一体 化和精密切削加工方 面  的研究工作.

第 3期

王 玉烁 , 等: 阿基 米德 螺线轮 楼梯搬 运 机 的设 计

4 0 7

输 出波形: 修正正弦波; 能量转换率 : 9 0 % 以上 ; 低  压保护 : D C 9 V ±0 . 2 V; 过压 保护 : D C 1 5 . 5 V ±0 .   2 V ; 过温保护 : 6 0 ℃± 5 ℃; 尺寸 : 1 6 6 × 9 5 × 5 5 m m.

5   结  论

设计的家用 阿基米德螺线轮楼梯搬运机可以

实 现重物 的楼梯 搬 运 自动 化 , 整 机 构 造 简单 , 体 积  和 重量适 中 , 可放 在 轿 车后备 箱 中 , 方便 携带 . 负载

重 心移动 平稳 , 上下楼运行速度可调节 , 并 可平 地

4 样 机 试 验

对样 机进行 相关 参数 的试 验 测量 . 图 5为样 机

内部结构图. 该搬运机可装人家庭用轿车中运输和  储存 , 如图 6所 示 . 用 直 尺 测 量 家 用 阿基 米 德 螺 线  轮楼梯搬运机的折叠体积与展开尺寸 , 用磅秤称重

搬 运机 重量 , 如表 1 .

表1   家用 阿基 米德螺线轮楼 梯搬运机 尺寸及重量

运行 的. 可减轻居 民上 下楼搬运重物 的劳动强度 ,   也 可被用 于 各类 服务 公 司 的楼 梯 搬运工 作 .

参 考文 献 :

[ 1 ]   周琪. 一种平地 、 爬楼 两用 助行装 置的设计 与工程实现[ D

] .

南京 : 南京理工大学 , 2 0 1 3 .

[ 2 ]   陆丰勤. 多功 能爬 楼梯装 置 的研究及控制 系统 的设 计 [ D ] .

南京 : 南京理工大学 2 0 0 8 .

[ 3 ]   王启平.机械制造工艺学 [ M ] . 哈尔滨 : 哈尔滨 工业大学 出

版社 , 2 o o 5 .

用秒表计时测量搬运机空车和负重状态时上  下 楼梯速 度 ( 2 4级 台 阶 , 中间有一 个转 弯 ) , 记 录 时

间; 测试搬 运机 从 一 楼将 重物 搬 运 至 六 楼 , 记 录 时  间, 如表 2 .   表 2 楼梯 搬 运机 工作 用 时测量

[ 4 ] 孙忠献.电机 技术 与应 用 [ M] .福 建 : 福建 科学技 术 出版

社, 2 0 0 4 .

De s i g n   o f   Ar c h i me d e s   S p i r a l   Wh e e l   S t a i r   Cl i mb i n g   Ma c in h e

WA NG   Y u—s h u o, C HE N  G u a n g一   n, XU   Ru i , ZH AO   Ha i —y a h, B A I   Z h e—h a o   ( C o l e g e   o f   Me c h a n i c a l   E n g i n e e r i n g , J i a mu s i   U n i v e r s i t y , J i a mu s t   1 5 4 0 0 7 , C h i n a )

A b s t r a c t : T o   S O l V e   t h e   p r o b l e m   t h a t   r e s i d e n t s   h a v e   d i f i f c u l t y   i n   c a r r y i n g   h e a v y   o b j e c t s   u p   a n d   d o w n   s t a i r s ,

a   h o me   Ar c h i me d e s   s p i r a l   wh e e l   s t a i r   c l i mb i n g   ma c h i n e   w a s   d e s i g n e d .T h e   ma c h i n e   w i h  t s i mp l e   c o n s t r u c t i o n,

t e m p e r a t e   d i me n s i o n   a n d   c a r r y i n g   c o n v e n i e n c e   m a k e s   s t a i s r   c a r r y i n g   o f   h e a v y   o b j e c t s   a u t o ma t i c .T he   ma c h i n e   C n  a el r i e v e   t h e   r e s i d e n t s   l a b o r   i n t e n s i y

t   o f   c a r r y i n g   h e a y  v o b j e c s t   u p   a n d   d o w n   s t a i r s , nd a   i t   C n  a b e   a p p l i e d   t o   d i v e s r e

s e r v i c e   c o mp a ni e s   f o r   s t a i s  r t r a n s i t i ng .

Ke y   wo r d s :   s t a i r   c l i mb i n g   ma c h i n e ;a r c h i me d e s   s p i r a l   wh e e l ;s i l e n t   r u n n i n g

范文十:阿基米德螺线的插补算法研究

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8 u  一f7 ,

阿 基 米 德 螺 线 的 插 补 算 法 研 究

湖南大学 王 虎 符  王 文 格

摘 要  本文 根据 阿 基 米德 螺线 的参 数 方程 , 出 j一 种 简便 的插 朴 方法 , 立 了相应 的数 学  提   建

模型, 提供 了在 C NC上实 现 的算 法及具 体途 径 . 经过 计算 机仿 真 验证 了该 算法 的正 确性 和 实 时  并 性 . 直 接在 C 可 NC 系统  推广 使用 。

S u   f I er l to   I o ihm  s d on a c m e e   t dy o   nt po a i n A g r t Ba e     r hi d s Spia  rl

A b t a   Bas d    h   r s r ct e on t e pa am e e   quato o   r i e s S r 1. hi  pe   e e sa sm pl  tre in  fA ch m de   pi a t s pa r pr s nt    i e i er l ton m e hod. The or e p nd ng nt po a i   t  c r o s i  m a he a i a   m o l i s t u   a   t   r lz r ton  t m tc l de  s e  p nd he e i e a i

a g r t m    l o ih i CNC y t m    r v d d. s t e c r e t e sa d r a - i e p o e t   ft i a g rt m  n s se i p o i e Al o. h  o r c n s   n   e l t   r p ry o  h   l o ih s m s

i  r fe b   o put   i u ato  Thi  et o   a b   i e t y us d n  NC ys e . sve iid  y c m er sm l i n sm h d c n  e d r c l   e  i C s tm

K e w o d A r hi e e   pia  i e p a i   al o ihm  CN C  yse   y r s: c m d s s r l nt r ol ton g rt s tm

主题词:  匣墨鲞焦坚垫

苎苎 C 系 相  N 统 C 哦幛

直 线 和 圆 弧 是 构 成 土 件 轮 廓 的 基 本 线

条, 因此 太 多 数 数 控 装 置 都 只 具 有 直 线 和 圆  弧 的插 补 功 能 , 在 机 械加 工 中 , 经 常 会 遇  但 还 到 诸 如 螺 线 ( pr1、 开线 (n oLe 、 线  S i )渐 a iv lt) 摆 1

1 插 补 原 理

1 1 僻 基 米 德 螺 线 及 其方 程  .

( oh[) t c o 等非 圆曲线轮廓 , r d 加工这些 曲线 轮

廓 以往 一 般 只 能 用 直线 和 圆 弧 来 拟 台 , 仅

不 精 度 较 差 . 且 偏 程 复 杂 , 率 低 , 用 户 带  而 效 给 来 诸 多 不 便 。现 代计 算 机 数控 ( C) 置 为  CN 装 插 补 算 法 的 软 件 实 现 提 供 了 极 为 有 利 的 条  件 , 得 直接 进 行 非 圆 曲线插 补成 为 可 能 。 使 阿  基 米德 螺线是机械 凸轮设计 的理论 基础 , 常  用来 构 成 凸 轮 等 零 件 的 痹 形 。本 研 究 根 据 阿  基 米 德 螺 线 的 参 数 方 程 . 出 了 一 种 简 便 的  提

插 补 方 法 , 立 了相 应 的数 学模 型 , 供 了在  建 提

当 一 动 点 在 极 坐 标 中沿 极 径 作 匀 速 直 线  运 动 . 极 径 同 时作 匀角 速 度 旋转 运 动 . 动  而 则

点 的 轨 迹 即 阿 基 米 德 螺 线 ( prl o  Si  f a Arhme e ) 如 图 1所 示 . 极 径 的 初 始 点  ci ds , 取

A 在 极轴 上 , 设  点 到 极 点 的 距 离 为  . 从

点 出发 到 曲线 上 任 意 一 点 P( , . 极 坐  p ) 其 标方程 为:

P —  一 口   () 1

式 中

为 常 数

C   NC E实 现 的 算 法 和 具 体 途 径 , 通 过 计 算  并 机仿真 验证 了该算 法的正 确性和实 时性 , 可

直接在 C NC 系统 上 推 广 使 用 。

对 应 的 直角 坐标 参 数 方 程 为 :

p i  s 0 .

组合 机床 与 自动化加 工技 木

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为 S和  上 的对 应 点 必 须 保 持  趋 近

于 n2当 卢 /. ≤ / 2时 . 补 圆 弧 s 修  插 , 正 P卢 ; > , 2时 , 变半 径 圆 弧 插 补 , 按

并 输 出进 给脉 冲 。

2 插 补 算 法

。㈤   P( x

, y

2 1 确 定 插 补 对 象  . 由下 式 确 定 :

co s   =

毒 带  ㈩

“ +

() 8

卢 ≤  2时 ,O ≥ 0 即  “ / C印 . +

≥0

口 > / 2时 ,o p 0 即  cs < ,

< 0

囝 1

螺线 长 AP=

12 . 曲 线 辅 助 分 析

Fl  “ — +

则 F  可 作 为 插 补 圆 弧  亦 或 插 补 螺 线 z的  判 别 函数 .   ≥ 0   F < 0

2 2 圆 弧 5 补  . 插

如 图 1 以直 角 坐 标 系 y 轴 上 点 B( ,   , 0 )

为 起 点 作 半 径 为 n的 辅 助 圆 , 圆弧 上 有 一 点  Q( , ) 足 =0 显 然 Q 与 P 相 对 应 . “  满 , 且石  一 ( . 弧 长 =B _硷 圆 Q=n . 与 极 径 的 变 化   并 △ =“ p  相 等 。 这样 , 有

+ 一  一 Ⅱ   ( ) 3

插 补 圆 弧  插 补 螺线 z

圆弧  的 插 补

在 各 种 资 料 上 均 有 介 绍 .   在 此 不 必 详 述 , 偏 差 判别 函数 为 : 其

F2一 “  + 扩 一 d   () 9

亦 即

I 一 “ ai ' snb

在插补 时, 修 正 F、 除   “或  外 , 要 修 正  还

{一。      。

据 式 ( ] ( J ( ) 则  1 、2 、4 ,

‘ 4

F. 即  ,

F2 0 A ≥ , v进 给 , 一 ( —  ) Fl Fl   F2 O △ < , “进 给 , 1 ( —  ) F 一 Fl

2 3 姆 线  插 补  .

1舄…一n 一   一sp一   s  i 0

舅一。          一 。一 一 i

( 6

据 1 3节 所 述 , 线  的 插 补 可 近 似 为  . 螺

变 半 径 () 弧插 补 , 面讨 论 P的变 化 及 其  P圆 下

对 插 补 参 数 的影 响 ,

掣 : :一 Y 一       uz

说 明螺 线 在 P 点 的 切 线 r与 百垂 直 。

当 r与 x 轴 垂 直 时 , 与 x 轴 平 行 ,

d  y

一 0

一 。 c  =

在  <  和 y v的情 况 下 , 线 的 延  ) 螺 伸 方 向会 发 生 改 变 ,

L 3 插 补 方 法

据 1 2节 的 分 析 结 果 . 与 Q 作  . P

l 6年 第 l 99

图 2   9

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表 l d

p 5。   。

n n   5 o u 5   S 0 ¨ u   7 0

O S0   0 0 55   5 0 5B   2

0 00   0 0 O5   O 0 0   】 0 0】 0 5  0 20   0

0 6  5 7 0 4  5 5 0 21 5   0 9l 4

0 3 58

0 59   7 0 08 6

o 5     0 7 U r   Sl 0

0 5   8 0 o o   g o 0 5  9 O l 0  0 0 1 5  O 0 l 0  l u

0 5  4 6 0 1  4  6

0 6  3 9

0 0 25

0 30; 1   0  0 35   0 40   0 0  0 45   0 50   0

0    61 3

0    61 4 0 5l   1 0 06 5

0 1  3 j

02 0 5

0】 2 7

00 2 7

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0 6 59

】 8 1   2

c 0 s

圆弧 插 补 △  进 给 时 ,

△ 一 s   : 二   m

出=  +  詈I

吉( “)    +【   I

夸S 口

S 2( + I  ) = V “   当 ‘ >n时 ,> 1 此 时 ,   , 令

—   一 d

p — + 1

厂 夏 ]

t 补 的 偏 差 函 数  插

F3= 5 P  +  一  ( O  1)

< 时 , +  或 +  方 向进 给 { 沿   ≥ 时 ,   或一

沿一  方 向进 给 。   另 外 , 弧插 补 时 还 要 修 正  , 圆 即

P P + 1 F3 F3— 2 + 1 — , 一 P

螺 线 插 补 时 , 修 正 F。j或 Y外 , 必 须 修  除 、 还

正 F

△ 进 给 , l F 一 “ F— l

+ △ 进 给 , l F F —  + “

图 3

△ y进 给 ,   F +  F一 1

因 为 △ =S 的 修 正 见 图 2 当 圆 弧 插  p ,   ,

补 △  进 给 时 ,

1  O

阿 基 米 德 螺 绂 的 插 补 程 序 框 图如 图 3  。

( 转 第 7页 ) 下

组 合 机 床 与 自动 化 加 工 技 术

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击 . 出 国 内 , 向 世 界  杀 走

型 巨人 ” 外 . 强 制 造 工 艺 人 员 的 培 训 . 之 加 把  工程 研 究 中心 和 重 点骨 干 企 业 的 技 术 开 发 中  心作 为 获 得新 技 术 、 产 品 的源 泉 这 样 在 全  新 行 业 便 可 同 时 形成 一 个 以 市 场 为 龙 头 、 究  研 与 开发 为核 心 的 新 的 生产 组织 体 系

( ) 有 一 个 合 理 的产 业结 构  2要 当 前 , 合 机 床 行 业 大 中 型 企 业 包 袱 沉  组 重 , 力 不 强  小型 企 业 又缺 少 高智 能 、 活 高技  术人 才 . 利 于 行业 总 体 实 力 的 强 化和 发挥 。 不

因 此 , 合 机 床行 业 应 按 本 行 业 的 特 点 进 行  组 产 业 结 构 调 整 和 改 造 。 要 形 成一 批专 业化 的

“ 型 巨 人 ” 实 现 重 点 骨 干 企 业 和 “ 型 巨  小 . 小

( ) 有 一 个 推 动 组 合 机 床 行 业 发 展 的  4要

大 环境

诚 然 , 车 尤 其 轿 车 工 业 的 大 发 展 是 组  汽 合机 床行 业 发 展 的 巨大 牵 动 力 , 是 , 但 要想 使  汽 车 工业 大 发展 更 有效 地带 动组 合 机 床行 业

的发 展 . 家 还 应 制 定 相 应 的 政 策 如 适 当 限  国 制 ~般 组 合 机 床 的 进 口, 国 产 组 合 机 床 不  对 能一 味 不信 任 而 成线 、 厂 从 国外 购 置 。 制  成 要 定 政策 , 励 选 用 国产 组 合 机 床  鼓 对 新 开 发 的 组 合 机 床 先进 品种 和 为 轿 车

人 ” 结 合 , 业 与研 究 院 所 及 高 校 的 结 合 。 的 企   重 点 骨 干 企 业 逐 渐 向集 团 化 方 向 发 展 , 团  集

核 心 企 业 利 用 集 团 的 优 势 将 自 己改 造 成 为

“ 头在 内、 间在外” 两 中 的轻 型 企 业 结 构 。 合  组 机 床 行 业 如 能 形 成 三 四个 企 业 集 团 , 产 品  其

在 国 内 市 场 的 占 有 率 有 希 望 达 到 7  以上 , 0   并 可带 动 全行 业 的 发 展 。

( ) 有 一 个 完 善 的研 究 开发 体 系  3要

支 柱 产 业 所 提 供 的 关 键 工 艺 装

备 , 议 国 家  建 能 在 拨 出 资 金 进 行 攻 关 和 开 发 的 同 时 , 在  能 财政 上采 取低 息 或 贴 息 贷 款和 减 免税 赋 的 扶

持措 施 。

组 合 机 床 与 通 用 机 床 的 区 别 是 . 是 属  它

于专 用、 门化机 床 , “ 体裁衣” 品 , 专 是 量 产 是

次性 设计生产的实用型商品。 因此 , 究 开  研

发 工 作 量 大 , 共 性 基 础 技 术 及 关 键 技 术 有  其

组 合 机 床 尤 其 数 控 柔 性 组 合 机 床 属 高 新  技术产 品, 又是 单 个 小批 生 产 的产 品 , 对 产  相 品 价 格 也 贵 。 不 仅 制 造 厂 家 需 要 大 量 高 智 力

其特 殊 性 。这 就 要 求 在 行 业 内部 组 成 一 个 各  有 不 同 侧 重 点 的 完 善 的 研 究 开 发 体 系 . 体  具

是 : 取 国 家 支持 组 建 一 个 面 向全 国 、 向行  争 面 业 的 国 家 级 组 合 机 床 工 程 研 究 中 心 . 主 要  其 任 务 是 承 担 共 性 基 础 技 术 研 究 、 大 科 技 攻  重

人才、 高投资 的设备和 高的管理 水平 , 而且用

户 厂 也 需 较 高 的购 置 费 用 和 高 技 术 素 质 的 操  作维修人员 。 因此 , 采 用 国产 组 合 机 床 的用  对 户 , 家也 应 制 定 相 应 的 贷 款 、 收 、 旧等  国 税 折 诸多优惠和鼓励政策 。

( 文 19 本 9 5年 1 0月 2 0日收到 )

( 辑 编 王 绍钰 )

关 以及 重 大 科 技 成 果 的商 品化 、 程化 研 究 。 工   在 重 点 骨 干 企 业 内组 建 重 点 承 担 本 企 业 新 产  品开 发 的 技 术 开 发 中心 。 多 中 小型 企业 , 众 除  形成若干具有高智力人才、 高投 资设 备 的“ 小

( 接 第 1 上 0页 )

s 补 真结  插仿及 果

笔 者 根 据 前 述 算 法 , 计 算 机 上 进 行 了  在 仿 真  设 定 9—5 0 a 4 0 从 A 点 开 始 插  0 0 ,= 5 ,

补 , 录 动 点 坐 标 , 果 如表 1  记 结 。

盏 蒙   插运   善  , 补算 <且

( 本文 19 年 7月 2 95 1日收到)   ( 编辑 张学)

验 算  x+y一 +aac       r g÷ . 真结  t 仿

1 6年 第 1 99