阿基米德球体

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范文一:从阿基米德推导球体积公式的思想方法得到的启示

第17卷第4期2004年12月JOURNALOFHAINANNORMALUNIVERSITY(NATURALSCIENCE)海南师范学院学报(自然科学版)Vol.17 No.4Dec.2004文章编号:1671-8747(2004)04-0324-05

从阿基米德推导球体积公式的

思想方法得到的启示

祝玉兰,项 昭,曾小平

(贵州师范大学数学与计算机科学系,贵州贵阳550001)

摘 要:认为阿基米德推导球体积公式的思想方法独特,应该从中得到一些启示:论的学习;注重敏锐的观察力的培养;;业化的适度融合.

关键词:学科整合;思维定势;中图分类号G,十分注重理论与实践的紧密结合.他的所有成就几乎都是在理论产生的同时便应用于实践,或在实践的同时产生严密的科学理论,所以阿基米德堪称是把技术实践和严密科学理论相结合的典范.他在物理上卓有成就,譬如《论杠杆》和《论平板的平衡》等著作;他同时也是整个数学史上最伟大的数学家之一,其几何著作堪称古希腊数学的顶峰.从他推导球体积公式的思想方法,我们或许能窥见一斑.

阿基米德推导球体积公式的思想方法是先利用力学中的杠杆平衡原理得出球体积公式,然后运用几何方法加以论证.

阿基米德发现球体积公式的思想 把球体和锥体分成很

多窄的平行的条或薄的平行的层,并且(思想上)把这些片挂

在杠杆的一端,使它平衡于容积和重心已知的一个柱体.

阿基米德发现球体积公式的具体方法和过程如下:如图

(1),矩形(长为宽的两倍)、三角形和圆(半径为r)围绕BT轴

旋转,得旋转体(圆柱体、圆锥体积和球体);然后,从这三个立

体上切下与A相距x、厚Δx的竖立的薄片(并且假定它们是平

行体),并把所得锥体和球体的薄片平移到T点(AB=AT=

2r),把所得圆柱体薄片放到原来的圆柱体的重心处.当Δx很图1 陈基米德发现球体积公式示意图小时,就得到:

πrxΔx-πx2△x,球体薄片的体积=πx(2r-x)Δx=2

πr2Δx,柱体薄片的体积=4

2锥体薄片的体积=πxΔx.

2πrxΔx-经观察可知,球体薄片的体积+锥体薄片的体积=πx(2r-x)Δx+πxΔx=2

22πxΔx+πxΔx=2πrxΔx.

收稿日期:2003-09-08

作者简介:祝玉兰(1979-),女,河北保定人,贵州师范大学硕士研究生,研究方向为数学教育研究.

第4期   祝玉兰等:从阿基米德推导球体积公式的思想方法得到的启示

2325消去πxΔx项,把BT视为支点为A的杠杆,则所有球体和锥体薄片的力矩为

πr2xΔx(假定柱体、4ρg锥体、球体取材相同,其中ρ为同种材料的密度,g为自由落体加速度),

πrxΔx2r=4ρπr2xΔx.而柱体薄片的以2r为力臂的力矩也为ρg2g

利用杠杆平衡原理,可把球体和锥体的所有切得的薄片都挂在距A点2r的T处,从而有等式

ρπx(2r-x)Δx+πx2Δx)2r=4ρπr2xΔx.g(g

两边对x求和得

x∈[0,2r]2ρ(π()ΔπΔx)2r=gx2r-xx+x∑

2πx∑+2rx∈[0,2r]∑πrxΔx,4ρg

x∈[0,2r]2故

也即2rx∈[0,2r]∑πx(2r-x)Δx+2rx∈[0,2r]x∈[0,2r]2πx∑Δx=2π()2rxΔx.∑

球体体积×2r+锥体体积×2r=柱体体积×r,

3故球体积公式==r.2r3

论证思想 在此论证过程中,阿基米德除了

出色地运用欧几里德等人的定理和结论,运用了穷竭法,体,.

:如图

2(a),,再如图2(b)作它们的

轴截面.设CD为球的旋转轴,直径为AB,且AB=

图2 阿基米德论证球体积示意图2r.正方形EFGH表示外切圆柱的截面将半径OC

进行n等分(设每等份的长为h),通过各分点作平行于底面的截面,从而可将半球划分n个截段,再作每个截段的外接和内接圆柱.根据相交弦定理易知

2A1D1=CD1×DD1=h(2r-h)=h(2n-1)h,

2A2D2=CD2×D1D2=2h(2r-2h)=2h(2n-2)h,

2AO=CO×OD=nh×nh=nh(2n-n)h.

化简上式则得

3V圆柱ABCHπr2===222V外接圆柱体积和π(A1D12+A2D22+…+AO2)h2n(1+2+…+n)-(1+2+…+n)

32=

2V圆柱ABCH同理可证=>,(n-1)(4n-1)V内接圆柱体积和2

即V内接圆柱体积和

外接圆柱与内接圆柱的差为最下一层的小圆柱ABBnAn,使n愈来愈小,体积的差可以小于任何给定的量,即这些圆柱“穷竭”了球体.在这里,阿基米德用归谬法证明了V圆柱ABGH=V.归谬法是间接证法,它不含明确的极限步骤,而是证明了对任意的有限项,V圆柱既不能2球

大于V球,也不能小于V球,从而只能有相等的关系.22

从以上推导过程我们可以看出,此方法的巧妙离不开阿基米德敏锐的观察力和理论与实践密切联系的思维方式,以及深厚而广博的知识功底.笔者认为,我们应该从以上的思想方法

326海南师范学院学报(自然科学版)         2004年中得到一些学习或是教学或是科研的启示:

1)要注重基础理论的学习

阿基米德能够用物理数学方法获得球体积公式,不仅说明他有深厚的数学功底,物理学上也有很深的造诣.同样,在解决实际问题的过程中,我们所涉及到的问题往往也是具综合性、复杂性的,甚至还会涉及到多个学科领域的问题.如果我们理论基础狭窄,没有广博的知识,在解决问题时就会由于知识贫乏而感到束手无策.尤其是对于许多新兴的边缘学科而言,由于这类学科往往是由两三门以上的学科相互渗透和相互联系发展起来的,因此需要更为广博的理论基础.虽然各门学科的工作者通过共同协作,取长补短,可以克服许多困难,但是要使这种协作成为可能,并发挥更大的效果,科学工作者之间必须有共同的语言,彼此对别人的专业有所了解;否则,不同专业的障碍仍然无法克服.现代科技的发展,要求我们必须对某一学科有深入的研究,有坚实的理论基础,同时又要求我们必须对有关的邻近学科的基本原理和主要的研究成果与方法有相当的理解.只有处理好“深度”与“广度”的结合,认真刻苦,实事求是,虚心求教,勇于探索,才能够较快地打好理论基础.

2)要培养敏锐的观察力

观察力主要表现在能迅速抓住事物的本质实,.,运用思维方法辨认形式、,.思维通常都要从观察对象开始,并结合.因此,观察法是数学思维过程中必需的和第一位的方法.观察不是单纯地去看,单纯地看可能会视而不见;观察是有意识知觉的高级形式,它与有意注意结合在一起,与思维相联系.

如上述的球体积推导过程,阿基米德是先从力学的角度来观察、看待问题,然后推导出球体积公式的.他观察(如图(1))到把线段AB和AT(=AB)视为一根支点在A的杠杆,把平面截

22球和圆锥所得的截面πOK和πOL移到T点,由此推出杠杆平衡时有

(πOM2)OA=(πOK2)AB+(πOL2)AB.

同时,阿基米德发现,类似关系式适用于水平平面在任何地方截得的截面.他认为:因为圆柱、球和圆锥都是被截面充满了的,所以如果把球和圆锥的重心移到T点,圆柱的重心留在原处,那么根据杠杆平衡的条件,它们的体积之间有下列关系

V柱・AC=(V球+V锥)AT=(V球+V锥)2AC,

32πr.由V锥=V柱和V锥=π(2r)2r,可得V球=33

从而再用上了杠杆原理和穷竭法,便使问题得以顺利解决.由此可见,观察在理解问题、发现问题、解决问题的方向上,有着极其重要的作用.

由于人们所处的地位、知识结构、实践经验的不同,人们观察和思考问题的角度也有别,所采用的解决问题的方法也就不同.因此,对问题的某些方面或某个特点,若从某一个角度来看,我们会觉得困难重重,但从另一个角度看,问题解决起来可能易如反掌.比如,中国古代数学家刘徽试图通过分别求三个外棋体积的方法来推导球体积公式,未果;而祖冲之父子站在刘徽的肩上,从整体上来求三个外棋的体积,最终得到球体积公式的推导方法.

3)要正确处理思维定势的辨证关系

一般认为,思维定势是主体认识活动的一种状态,是人们受已有的知识、经验、观念的影响,在解决新问题时所具有的倾向性和心理准备.思维定势是在主体认识活动中过去获得的经验和已有的知识的影响下形成的,因此思维定势具有方向性.当主体运用已有的认识结构去同化认识对象,进而在头脑中加工、酿造、积淀、巩固原有的认知结构时,就促进了新问题的解决,

第4期   祝玉兰等:从阿基米德推导球体积公式的思想方法得到的启示327此称为思维定势的正向作用;相反,片面地、错误地运用了已有的知识和经验,阻碍了问题解决和新知识的获取,就称为思维定势的负向作用.思维定势在人类社会进步中扮演了极为重要的角色.一般来说,思维定势的正向作用有利于常规思考,它使思考者在思考同类问题或相似问题的时候,能省去许多摸索和试探的步骤,可以提高思考的质量和效率,有助于知识的积累;再就思考者的感受方面来说,还能起到一种使思考者在思考过程中感到驾轻就熟、轻松愉快的作用.但思维定势的负向作用又会阻碍创新思维的发展,给科技进步带来负面影响.总而言之,我们的知识和经验在给予我们极大帮助的同时,也经常成为我们进一步发挥创造力的最大敌人.“思维定势的正向作用”是提高效率的保证,破除“思维定势的负向作用”是进一步提高效率的保证,这就是思维定势的“正向作用”与“负向作用”的辨证关系.阿基米德推导球体积公式的思想方法充分体现了这一辨证思想:利用物理学上的思维定势的正向作用,却又突破了思维定势的负向作用(本学科的问题只能用本学科的知识来解决),将物理方法和数学方法结合起来解决数学问题.

对某个领域里的同类事物或问题,我们观察和思考的多了,,它对新认识的获得起了很大的妨碍作用,,,这对我们了解和利用事物的本质,生深远的影响.因此,,主动地创造条件,有一定的借鉴意义.那么我们?,如求灯(,后测量液体的体积即可);第二是将复杂的问题转化成熟悉的问题,如破碎三角形玻璃修补的问题(利用不平行的两条直线必相交于一点的知识解答);第三是将自己生疏的问题转化成熟悉的问题,如阿基米德推导球体体积公式的方法(将数学问题转化为数学物理问题).

4)要做到学科整合和高度专业化的适度融合

在上述推导球体积公式过程中,阿基米基德根据力学原理建立数学关系,再对数学关系式做出新的物理解释,从中发现三种几何体体积的内在关联,这是经典的数学建模方法.它将物理与数学融为一炉,构建数学物理模型,与刘徽的“牟合方盖”实有异曲同工之妙,是科学史上勇于创新、学科整合的典范.

阿基米德深受希腊传统影响,严格区分物理论证和数学论证,认为力学方法仅是用于发现数学原理而不是严格的几何证明.阿基米德对几何命题的严格论证深受西方数学史家的赞扬,认为他的证明工作比后来的牛顿、莱布尼兹的证明要严密可靠得多.可见,对某些未知事物的探索和研究,单靠简单的逻辑推理、单一学科理论已不能解决问题,常规的实验更是无从做起,这时就要凭借广泛的知识面,以形象思维为突破口,使认识有一个质的飞跃.我们需要对不同的问题、理念、知识、社会、心灵、思维方式及多方面的资源进行整合,因为这种整合能解决各种结构性冲突,并将内外各种资源实现最优化,是建立在兼容基础上的壮大和最优.例如,牛顿将古希腊的亚里士多德的演绎逻辑思维方法,与近代培根强调的归纳法进行整合,既看到了两人的长处,又看到其各自的偏颇和错误,还将分析与综合思维结合起来,终于成了在爱因斯坦之前几百年中最伟大的科学巨匠;牛顿通过想象,整合了开普勒的天体运行三定律、伽利略的物体垂直定律和水平运动定律,从而创造了堪称经典的力学体系,引发了以蒸汽机为代表的技术革命;麦克斯韦通过想象,整合了法拉第的电磁感应理论和拉格朗日-哈密顿的数学方法,创造了更加完善的电磁理论,从而引起了以发电机、电动机为标志的技术革命;狄拉克通过想象,整合了爱因斯坦的相对论和薛定谔方程,引起了以原子能技术和电子计算机技术为标志的技术革命.原来人们认为宏观世界与微观世界是两个完全不同的世界,但到了21世纪,物理学家却不得不将这两种看来截然不同的世界放到一起来思考,因为它们之间看来存在那么多的相

328海南师范学院学报(自然科学版)         2004年同点以及强烈的关联.诸如此类的问题,越来越显示出整合的魅力.所以爱因斯坦说“:找出已知装备的新组合的人,就是新发现”“,复合作用似乎是创造型思维的本质特征”.可见,学科整合有待加强.当然,高度专业化也不容忽视,我们要做到学科整合和高度专业化的适度融合.

随着人们思考问题的逐渐深入和涉及问题领域的日趋扩大,固有的思维方式也应随之发生变化.因此,我们不仅需要充分了解和掌握基础理论,注重敏锐观察力的培养,利用思维定势的正面效应,克服其负面效应,做到学科整合和高度专业化的适度融合与协调发展.要有严格的逻辑思维本领,大胆思辩的创造性能力;要在实践中发现新的事实、增加感性材料,并对这些材料有一定的批判能力和想象能力,同时要敢于把问题指向人们认识或实践的新领域;要不断优化知识积累,坚持辨证思维,密切理论和实践与可能性和可行性这两把思维科学中的双刃剑.

参考文献:

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indeducingthespherevolumeformula

ZHUYu2lan,XIANGZhao,ZENGXiao2ping

(DepartmentofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalUniversity,Guiyang550001,China)Abstract:ItisopinedthatthemethodusedbyArchimedestodeducethespherevolumeformulaisspecial,fromwhichweshouldgetsomeinspiration,namely,attentionshouldbepaidtolearningbasictheoriesandcultivatingacuteob2servation,toproperlyhandlingthedialecticrelationshipofroutinethoughtandtostrivingatthemoderateintegrationofdis2ciplinaryconformityandhighprofessionality.

Keywords:disciplinaryintegration;routinethought;outerchess

范文二:阿基米德的故事

阿基米德的故事:

1、阿基米德公元前287年出生在意大利的西西里岛。阿基米德从小有良好的家庭教养,11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称"智慧之都"的名城里,阿基米德博阅群书,汲取了许多的知识。后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者,据说他确立了力学的杠杆定理之后,曾发出豪言壮语:『给我一个立足点,我就可以移动这个地球!』,被誉为『力学之父』。

2、国王让金匠做了一顶新的纯金王冠。但他怀疑金匠在金冠中掺假了。可是,做好的王冠无论从重量上、外形上都看不出问题。国王把这个难题交给了阿基米德。

阿基米德日思夜想。一天,他去澡堂洗澡,当他慢慢坐进澡堂时,水从盆边溢了出来,他望着溢出来的水,突然大叫一声:“我知道了!”竟然一丝不挂地跑回家中。原来他想出办法了。

阿基米德把金王冠放进一个装满水的缸中,一些水溢出来了。他取了王冠,把水装满,再将一块同王冠一样重的金子放进水里,又有一些水溢出来。他把两次的水加以比较,发现第一次溢出的水多于第二次。于是他断定金冠中掺了银了。经过一翻试验,他算出银子的重量。当他宣布他的发现时,金匠目瞪口呆。 这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王。阿基米德从中发现了一条原理:即物体在液体中减轻的重量,等于他所排出液体的重量。这条原理后人以阿基米德的名字命名。一直到现代,人们还在利用这个原理测定船舶载重量等。

3、公元前212年罗马军队攻入叙拉古,并闯入阿基米德的住宅,看见一位老人在地上埋头作几何图形,士兵将图踩坏。阿基米德怒斥士兵:『不要弄坏我的图!』士兵拔出短剑,刺死了这位旷世绝伦的大科学家,阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。

4、一个关于测皇冠是否为纯金的故事吧。每种物质的密度都不一样,那个做皇冠的人用一种合金材料制成了的皇冠,国王怀疑金匠偷了金子可是又不能证明,最后阿基米德利用物体在液体中排开液体的重力等于物理所受的浮力,最后算出了皇冠的密度比纯金的密度小,金匠确实偷了金子,而是用其他的金属掺杂在金子里制成了皇冠。因为这个原理是阿基米德发现的,所以后来把这个原理叫做阿基米德原理。

范文三:2015阿基米德

2015阿基米德

1.我国的航母正按计划进行各项科研试验和训练,如图所示是中国航母训练时的图片,当飞机飞回航母后( )

A.航母将浮起一些,所受浮力减小 B.航母将沉下一些,所受浮力增大 C.航母将沉下一些,所受浮力减小 D.航母始终漂浮,所受浮力不变 2.关于物体受到的浮力,下列说法正确的是( ) A.漂浮在水面上的物体比沉在水底的物体受到的浮力大 B.物体的密度越大,受到的浮力越大

C.浸没在水中的物体,随着深度的增加受到的浮力逐渐增大 D.物体排开的水的重力越大,受到的浮力越大

3.一艘轮船在海上遭遇风暴沉没,它从开始下沉到完全没入水中前,所受到的浮力的变化情况是( )

A.增大 B.不变 C.减小 D.无法判断

4.重100N的水可以产生的最大浮力为( ) A.一定小于100N B.一定大于100N C.一定等于100N D.可以大于100N 5.(2014福建福州)将重6N的物体浸没在装满水的杯中,溢出了4N的水,物体受到的浮力是( ) A.10N B.6N C.4N D.2N

6.两个物体分别挂在弹簧测力计上,将它们同时浸没到水中,发现两个弹簧测力计的示数的减小值相同。由此可以判断 A.两个物体一定处在液体中相同深度 B.在空气中,弹簧测力计示数是相同的 C.在水中时,弹簧测力计示数是相同的 D.两物体受的浮力一定相同

7.如图所示,质量相同,而形状不同的甲、乙两实心物体,分别静止在水面以下1米和2米深处,由此可以判定( )

A.甲物体受到的浮力大于乙物体受到的浮力 B.甲物体受到的浮力等于乙物体受到的浮力 C.甲物体受到的浮力小于乙物体受到的浮力 D.甲物体的密度比乙物体小

8.如图所示:A为木块,B为铝片,C为铁球,而且VA=VB=VC,把它们都浸没在水中,则它们受到的浮力FA、FB、FC之间的关系是:

A.FA > FB > FC B. FA FB = FC 9.(2014湖南郴州)小英同学在探究“浮力的大小等于什么”时,做了如图所示的实验,四步实验中弹簧测力计的示数分别为

F1、F2、F3、F4,下列等式正确的是( )

A.F浮=F2-F1 B.F浮=F4-F3 C.F浮=F2-F3 D.F浮=F2-F4

10.2011年7月,我国研制的深海载人潜水器“蛟龙号”成功下潜至5188米水深处,这标志着中国已进入全球“载人深潜技术”先进国家行列.“蛟龙号”潜水器浸没后,在下潜过程中受到海水的压强和浮力的变化情况是( ) A.压强和浮力都不变 B.压强不变,浮力增大

C.压强增大,浮力不变 D.压强增大,浮力增大

11.如图所示,体积相等的三个小球静止在水中,关于它们受到的浮力的大小关系正确的是( )

A.FA>FB>FC B.FA<FB<FC C.FA>FB=FC D.FA<FB=FC

12.如将一只盛有水的薄塑料袋,用细线扎紧袋口,用弹簧测力计测得其重力为9N,再将这个装水的塑料袋浸入水中,当弹簧测力计示数为7N时,袋内水面与袋外水面相比较( )

A.塑料袋内水面比袋外水面高 B.塑料袋内水面比袋外水面低 C.塑料袋内水面与袋外水面相平

D.塑料袋内水面与袋外水面高低无法判断 13.把一个锥体浸没在水中(如图),分底面朝下和底面朝上两种浸法.问两种情况下

锥体受到水的压力差的大小是( )

A.底面朝下大 B.底面朝上大 C.两种一样大

D.一样大,都是零

14.如图甲所示,长方体金属块在细绳竖直向上拉力作用下从水中开始一直竖直向上做匀速直线运动,上升到离水面一定的高度处。图乙是绳子拉力F随时间t变化的图像,取g=10N/Kg。根据图像信息,下列判断正确的是( )

A.该金属块重力的大小为34N

B.浸没在水中的金属块受到的浮力大小是20N

C.在t1至t2时间段金属块在水中受到的浮力逐渐增大

33

D.该金属块的密度是3.4×10kg/m

15.关于浮沉条件的应用,下列说法中正确的是( )

A.密度计在各种不同的液体中测密度时所受浮力的大小与液体的密度有关 B.潜水艇上浮的过程中浮力变大

C.密度计上标有刻度,其刻度示数从下到上是逐渐变大的 D.气象台用的探测气球里所充的气体的密度小于空气的密度

16.如图所示,在三个相同的容器中分别盛有甲、乙、丙三种液体;将三个完全相同的铜球,分别沉入容器底部,当铜球静止时,容器底部受到铜球的压力大小关系是

F乙F甲F丙,则液体密度相比较( )

A.甲的最小 B.乙的最小 C.丙的最小 D.一样大

17.如下图所示,质地均匀的长方体木块,第一次如甲图所示直立浮在水面上,第二次

如乙图所示横浮在水面上,则下列有关说法正确的是 ( )

A.第二次浸入水中的体积变大了 B.第二次浸入水中的体积变小了

C.第二次浸入水中的体积与第一次相同 D.第二次受到的浮力比较大

18.向一个质量可以忽略不计的塑料瓶中装入某液体后密闭,把它分别放在盛有密度为ρ甲、ρ乙两种液体的容器中,所受浮力分别为F甲、F乙,如图所示,下列判断正确的是:

A.ρ甲>ρ乙 F甲>F乙 B.ρ甲<ρ乙 F甲>F乙 C.ρ甲>ρ乙 F甲=F乙 D.ρ甲<ρ乙 F甲=F乙

19.如图,把一块橡皮泥捏成碗状,它可以漂浮在盛有水的烧杯中。如果将橡皮泥揉成团,它会沉入水底。比较上述两种情况,则下列说法中正确的是:

A.橡皮泥漂浮时受到的重力比它沉底时受到的重力小 B.橡皮泥漂浮时受到的浮力比它沉底时受到的浮力大 C.橡皮泥沉底时排开水的体积比它漂浮时排开水的体积大 D.橡皮泥沉底时受到的浮力等于它的重力 20.下列说法中正确的是 ()

A.物体浸没在水中越深,受的浮力越大 B.密度较大的物体在水中受的浮力大 C.重的物体受的浮力小

D.同体积的铁块和木块浸没在水中受的浮力一样大

21.小张看到鸡蛋浮在盐水面上,如图所示,他沿杯璧缓慢加入清水使鸡蛋下沉。在此过程中,鸡蛋受到的浮力F随时间t的变化图像可能是下图中的()

A B C D 22.如图所示,体积相同、形状各异的铅球、铁板和铝块,浸没在水中不同深度的地方,则()

A.铝块受的浮力大,因为它浸入液体中的深度最深 B.铅球受的浮力大,因为它的密度最大 C.铅球、铁板和铝块受到的浮力一样大 D.铁板受的浮力大,因为它的面积最大

23.如图所示,一个充气的气球下面挂了一个金属块,把它放入水中某处恰能静止。如果把金属块及气球的位置轻轻向上移一些,则金属块及气球()

A.仍能静止 B.向下运动 C.向上运动 D.上下晃动 24.将适量的橡皮泥捏黏在铅笔的一端(能使铅笔竖直浮在液体中),这就制成了一个很有用的土仪器.将它分别放到盛有不同液体的杯中,静止时的情景如图所示. 对于这个土仪器所运用的知识或用途,下列说法中不正确的是()

A.运用了二力平衡的知识 B.可以测出液体密度的大小

C.可以比较不同液体密度的大小 D.运用了物体的漂浮条件 25.(2014广西南宁)某实验小组在“探究浮力的大小与液体的密度和物体排开液体的

(1). (2)分析对比第1、2和3三次实验数据,得出结论一:当物体排开液体的体积相同时,液体密度越大,物体所受的浮力就越________.

(3)分析对比第________三次的实验数据,得出结论二:当液体密度相同时,物体排开液体的体积越大,物体所受的浮力就越大. (4)综合结论一和结论二,得出探究结论:________________________________越大,物体受到的浮力就越大.

(5)小明联想到质量等于密度与体积的乘积,由此推想:物体排开液体的________越

大,所受的浮力就越大. (6)小燕又联想到物体的________与________成正比,深入分析处理数据后,可以得出进一步的结论:浸在液体中的物体所受浮力的大小等于它排开的液体所受的重力.

26.(7分)如图甲是“探究浮力大小”的实验过程示意图.

(1)实验步骤C和D可以探究浮力大小与 的关系,步骤B和 可以测出物块浸没在水中时受到的浮力F浮,步骤A和 可以测出物块排开的水所受重力G排;比较F浮与G排,可以得到浮力的大小跟物体排开的水所受重力的关系.

(2)图乙是物块缓慢浸入水中时,弹簧测力计示数F随浸入深度h变化的关系图象.分析图象,可得关于浮力大小的初步结论

①物块浸没前, ,物块所受的浮力越大; ②物块浸没后,所受的浮力大小与 无关.

3

(3)此物块的密度是 g/cm. 27.(5分)如图所示,为测量某种液体的密度,小华用弹簧测力计、量筒、小石块和细线进行了如下操作: a、将小石块浸没在待测液体中,记下弹簧测力计示数F1和量筒中液面对应的刻度V1;

b、读出量筒中待测液体的体积V2;

c、将小石块用细线悬吊在弹簧测力计下,记下测力计示数F2. (1)使用弹簧测力计前,应检查指针是否指在 .

(2)为了较准确地测量液体的密度,图中合理的操作顺序应为

(填对应字母代号)

(3)小石块浸没在待测液体中时,排开液体的重为G= . (4)待测液体的密度可表示为ρ液= .

(5)小华还算出了小石块的密度,其表达式为ρ石= .

28.在“阿基米德解开王冠之谜”的故事中,若王冠的重为4.9N,浸没在水中称时,测力计示数为4.5N.则:

(1)王冠浸没在水中受到的浮力是多少?王冠的体积是多少?

(2)通过计算说明王冠是否是纯金制成的?(ρ金=19.3×103kg/m3)

29.2011年7月26日6时12分,我国首台自主设计、自主集成的、体积约为80m3的深海载人潜水器“蛟龙号”首次下潜至5038.5m,顺利完成本次5000m级海底试验主要任务,这就意味着“蛟龙号”可以到达全球超过70%的海底,可以完成多种复杂任务,包括

通过摄像、照相对海底资源进行勘查,执行水下设备定点布放,海底电缆和管道检测等任务.“蛟龙号”下潜到5000m深处时,求:(已知海水的密度为1.03×103kg/m3,g取10N/kg)

(1)潜水器受到的海水的压强; (2)潜水器所受的浮力.

30.如图所示,一质量为270g的长方体金属块沉入容器底部,此时水的深度为50cm,它所受到的浮力为1N(g =10/kg)。求:

(1)该金属块底部受到的水的压强是多少? (2)该金属块的体积是多少? (3)该金属块的密度是多少?

3332

31.一个密度为0.6×10kg/m的木块,体积为0.02 m,用绳子系在底面积为1000cm的柱形容器底,使木块完全没入水中,如图所示。求:(1)此时木块所受的浮力是多少?(2)绳子的拉力是多少?(3)剪断绳子,木块静止后,容器底所受压强改变了多少?

2

32.底面积为400cm的圆柱形容器内装有适量的水,将其竖直放在水平桌面上,把边长为10cm的正方体木块A放入水后,再在木块A的上方放一物体B,物体B恰好没入水中,如图1—5—11(a)所示.已知物体B的密度为6×10kg/m.质量为0.6kg.(取g=10N/kg)

3

3

(a) (b) 求:(1)木块A的密度.

(2)若将B放入水中,如图(b)所示,求水对容器底部压强的变化. 33.如图所示,质量为1.2kg的木块浮在水面上静止不动,求:

(1)这时木块受到的浮力是多大? (2)此时木块浸在水中的体积为多少?

-33

(3)该木块体积是2×10m,要使木块刚好浸没在水中,至少需要多大的力向下压木块?

参考答案 1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.B 8.C 9.C 10.C 11.D 12.A 13.C 14.B 15.D 16.A 17.C 18.D 19.B 20.D 21.D 22.C 23.C 24.B 25.(1)0.28 (2)大 (3)2、4和5 (4)物体排开液体的体积和液体的密度 (5)质量 (6)重力 质量 26.(1)排开的液体体积;D;E;(2)①物体排开的液体体积越大;②浸没的深度;(3)2.5;

27.(1)0刻度线;(2)c、a、b;(3)ρ

Vg;(4);(5)

28.(1)0.4N 4.08×105m3 (2)王冠不是纯金制成的 29.(1)5.15×107Pa (2)8.24×105N 30.(1)pgh510Pa (2

3

(3

31.1)此时木块所受的浮力是200N (2)绳子的拉力是80N;

(3)剪断绳子,木块静止后,容器底所受压强改变了800Pa。 32.A物体密度为0.5×10kg/m.液体对容器底压强减少了125Pa. 33.(1)12N;(2)1.2×10m;(3)8N

-333

3

范文四:阿基米德的圆

阿基米德没有最终撬动,但他已经撬动你我的心。

——题记

公元前270年,非同寻常的一年。你,数学之神,伟大的阿基米德出生了。

你从小善于思考,喜好辩论,凭着王室贵族的身份,游历埃及,有求学于亚历山大利亚。“给我一个支点,我就能撬动地球。”这是狂言,也是实言。仅凭一人之力将巨大的木船推入水中,你从此名声鹊起。你所经各国都千方百计要留下你。但你最终拒绝了种种诱惑,回到祖国,

或许为了考验你,上天让你降生在了西西里岛的叙拉古王国。由于处于罗马和迦太基这两个死敌之间,你的祖国常年战乱连连,动荡不安。但你没有退缩,没有逃避。你用你的智慧,和强的的敌人抗衡:光的折射,使敌舰葬身火海:水的浮力,使敌船粉身碎骨;杠杆的力量,将愤怒的石头抛向敌军!( 书村网 www.mcqyy.com )

可是,罗马人的锋芒不是你一个人可以抵挡的。最终,罗马的战车驶进了国家的大门。或许知道自己末日降至,你在房间里潜心研究、推算,连罗马士兵闯进家门还不知道。当那个士兵踏乱你摆在地上的圆形时,你生气的喊了一句:“喂,别碰我的圆。”这个野蛮的士兵无法忍受你的态度,恼怒成羞的拔出罪恶的剑,深深的刺进你的胸膛。于是,你那颗炙热的心从此停止了跳动。

后记:

名字写在沙上,会被流水冲走:名字刻石上,会被时间腐蚀;但阿基米德的名字是烙在人们的心中,永远不会被忘却!

范文五:阿基米德原

第二节 阿基米德原

学习目标

1. 经历探究浮力的大小跟排开液体所受重力懂得关系的实验过程。做到会操作、会记录、会分析、会论证。 2. 能复述阿基米德原理并书写其数学表达式。 3. 能应用公式F浮=G排和F浮=ρ

gV排计算简单的浮力问题。

学习重点:经历探究浮力的大小跟排开液体所受重力懂得关系的实验过程,概括、归纳出阿基米德原理。 学习难点:阿基米德原理的应用 学习方法:实验探究法、

教学用具:石块、水、溢水杯、弹簧测力计 学习过程: 一、复习巩固 1、浮力的定义? 2、称重法求浮力的公式? 3、决定浮力大小的因素有哪些?

4、物体的体积与密度相乘等于物体的__________,而物体的重力大小与它的质量成 二、创设情境

阿基米德鉴别皇冠真假的故事

三、自主学习,合作探究 四、交流展示 探究点一:阿基米德原理

活动一:通过教材图10.2–1的操作,试试看,当饮料罐浸入水中更深、排开的水更多时,浮力是否更大? 结合以上分析:易拉罐浸入水中更多,排开的水的体积更______ ,所受浮力会______ ,而物体受到的浮力与______ 和______ 有关,而排开的液体体积和液体的密度的乘积是______ 。而液体的______ 与其质量成正比。 猜想:物体所受浮力可能等于液体的______ 。

活动二:探究物体的浮力大小与排开液体重力有什么定量关系?

1、如何测出物体所受的浮力? 2、如何测出排开的液体的重力? 观看视频 探究实验:

(1)器材:弹簧测力计、细线、圆柱体(金属块)、溢水杯、小桶、水 (2)步骤:

①用弹簧测力计测出圆柱体的重力G物;②用弹簧测力计测出空小桶的重力G③将圆柱体浸没入盛满水的溢水杯中,记下弹簧测力计的示数F拉;

④用弹簧测力计测出盛水小桶的总重力G(3)记录实验数据:

(4)归纳总结结论:

桶+水;⑤计算出圆柱体受到的浮力

F浮和排出水的重力G排。

阿基米德原理:浸在液体中的物体受到 的浮力,其大小等于它 所受的重力 ;公式表达为: 。 问题3:推导理解公式 F

=G排= 。 适用于

1、影响浮力大小的因素: 、 。 (注:与物体密度、物体体积无关。)

2、单位: 3、关于v典型例题

阿基米德原理法---利用F浮=G排求解浮力.

例1. 一个重为2.5N的物体,放入盛满水的杯中,从杯中溢出0.5N的水,则物体受到水的浮力为________N. 针对练习

1.质量为0.3kg的物体全部浸没在盛满水的容器中,溢出的水是100g,那么物体所受到的浮力是______N.(g=10N/Kg)

2.一个物体的质量为0.5kg,放入盛有水的容器(中水未满),溢出水0.1kg,则物体受到的浮力为( ) A 小于1N B 等于1N C 大于1N D 无法确定

阅读课本的例题,看课本上是怎样解答浮力问题的,重点看一下解题过程,理解每一个解题步骤.看完后合上课本,自己解答下列例题.

阿基米德原理法-----利用公式F浮=ρ

:(1)完全浸没:v排 v物(2)未完全浸没:v排 v物

gV排计算浮力.

例2.边长为10cm的一个立方体铜块,浸没在水中,受到的浮力是多少?如果立方体铜块处于更深的位置,浮力又是多少?如果把这个铜块压扁再让它浸没在水中,所受的浮力会不会发生变化?如果把它浸没在酒精中,它受到的浮力变大还是变小?

从这个例题中我们可以得出:物体浸没在液体中受到的浮力只与____________和________有关.与物体的__________和物体在液体中的_________无关. 运用公式F浮=ρ

gV排分析浮力的变化.

例3.水球运动员把漂在水面上的水球慢慢压入水下0.5m的过程中,水球受到的浮力变化情况是( ) A 逐渐增大 B 逐渐减小 C 始终不变 D 先增大后不变

思路引导:运动员把水球慢慢压入水下的过程中,水球在水中的体积逐渐______,排开水的体积逐渐______,

所以水球受到的浮力逐渐_______,当水球全部浸入水中后,排开水的体积不再改变,所以受到的浮力_______.故选_____. 五、达标检测

1.一个物体的体积为60cm,当其体积的一半浸没在水中时,受到的浮力是_________N;当其全部浸没在水中时,所受到的浮力是________N.

2.一个铁球先后浸没在盐水、水、酒精中,受到的浮力分别是F1、F2、F3,则三者的大小关系是_______________. 3.一个圆柱形物体悬浮在密度为1.2×10kg/m的盐水中,已知圆柱体的横截面积为10cm,高为15cm,物体上表面到液面的距离为5cm,物体受到的浮力多大?(g=10N/kg)

4.质量为5.4kg的实心铝球,若将它浸没在水中,则铝球受到的浮力是多大?(g=10N/kg) (ρ铝=2.7×10kg/m)

5.浸没在水中的乒乓球露出水面之前,受到的浮力( ) A 不变 B 变小 C 变大 D 先变小后变大 6.关于物体受到水的浮力,下面说法中正确的是( )

A 漂在水面上的物体比沉在水底的物体受到的浮力大B 没入水中的物体在水中的位置越深受到的浮力越大 C 物体排开水的体积越大受到的浮力越大 D 物体的密度越大受到的浮力越小

7.跳水运动员离开跳台后,从接触水面到全部浸入水中,他受到的浮力将_______;在他全部浸入水中下沉的过程中,受到的浮力将________.

8.一个物体受到的重力是10N,将其全部浸没在水中时,所排开的水受到的重力为20N,此时它受到的浮力是_______N.

9.不同材料制成的相同体积的三个小球,放入同种液体中,最后静止时如图所示,则它们受到的浮力的大小关系是( )

A F甲=F乙=F丙 B F甲

10.用弹簧测力计测得一石块重5N,将石块全部浸没在水中,测力计的示数为3N,则

物体受到的浮力为______N,石块排开水的体积为________m,石块的体积为_________m,石块的密度是_________kg/m;若将这个石块浸没在密度为0.8×10kg/m的液体中,它受到的浮力是_______N,此时弹簧测力计的读数是_______N.(g=10N/kg)

课后反思:

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

3

范文六:阿基米德故事

【故事】

注:关于阿基米德故事的真实性,现今已无法考证。

浮力原理的发现

关于浮力原理,有这样一个的传说。

据说,在一次,希耶隆二世制造了一顶金王冠,但是,他总是怀疑金匠偷了他的金,在王冠中掺了银。于是,他请来阿基米德鉴定,条件是不许弄坏王冠。当时,人们并不知道不同的物质有不同的比重,阿基米德冥思苦想了好多天,也没有好的办法。有一天,他去洗澡,刚躺进盛满温水的浴盆时,水便漫溢出来,而他则感到自己的身体在微微上浮。于是他忽然想到,相同重量的物体,由于体积的不同,排出的水量也不同„„他不再洗澡,从浴盆中跳出来,一丝不挂地从大街上跑回家。当他的仆人气喘吁吁地追回家时,阿基米德已经在作实验;他把王冠放到盛满水的盆中,量出溢出的水,又把同样重量的纯金放到盛满水的盆中,但溢出的水比刚才溢出的少,于是,他得出金匠在王冠中掺了银子。由此,他发现了浮力原理,并在名著《论浮体》记载了这个原理,人们今天称之为阿基米德原理。

关于杠杆原理的故事——“给我一个支点,我能撬动地球”

在埃及公元前一千五百年前左右,就有人用杠杆来抬起重物,不过人们不知道它的道理。阿基米德潜心研究了这个现象并发现了杠杆原理。

在阿基米德发现杠杆原理之前,是没有人能够解释的。当时,有的哲学家在谈到这个问题的时候,一口咬定说,这是

国王说:

阿基米德离开国王后,就利用杠杆和滑轮的原理,设计、制造了一套巧妙的机械。把一切都准备好后,阿基米德请国王来观看大船下水。他把一根粗绳的末端交给国王,让国王轻轻拉一下。顿时,那艘大船慢慢移动起来,顺利地滑下了水里,国王和大臣们看到这样的奇迹,好象看耍魔术一样,惊奇不已!于是,国王信服了阿基米德,并向全国发出布告:

叙拉古保卫战

在阿基米德晚年时,罗马军队入侵叙拉古,阿基米德指导同胞们制造了很多攻击和防御的作战武器。当侵略军首领马塞勒塞率众攻城时,他设计的投石机把敌人打得哭爹喊娘。他制造的铁爪式起重机,能将敌船提起并倒转„„

另一个难以置信的传说是,他曾率领叙拉古人民手持凹面镜,将阳光聚焦在罗马军队的木制战舰上,使它们焚烧起来。罗马士兵在这频频的打击中已经心惊胆战,草木皆兵,一见到有绳索或木头从城里扔出,他们就惊呼“阿基米德来了”,随之抱头鼠窜。

罗马军队被阻入城外达三年之久。最终,于公元前212年,罗马人趁叙拉古城防务稍有松懈,大举进攻闯入了城市。此时,75岁的阿基米德正在潜心研究一道深奥的数学题,一个罗马士兵闯入,用脚践踏了他所画的图形,阿基米德愤怒地与之争论,残暴无知的士兵举刀一挥,一位璀璨的科学巨星就此陨落了。

【坟墓】

阿基米德之死,罗马将军马塞勒斯甚为悲痛,除严肃处理这个士兵外,还寻找阿基米德的亲属,给予抚恤并表示敬意,又给阿基米德立墓,聊表景仰之忱.在碑上刻着球内切于圆柱的图形,以资纪念,因阿基米德发现球的体积及表面积,都是外切圆柱体体积及表面积的 2/3.他生前曾流露过要刻此图形在墓上的愿望.

后来事过境迁,叙拉古人竟不知珍惜这非凡的纪念物.100多年之后(公元前75年),罗马著名的政治家和作家西塞罗(Mar-cus Tullius Cicero,公元前106—前43年)在西西里担任财务官,有心去凭吊这座伟人的墓,然而当地居民竟否认它的存在.众人借助镰刀辟开小径,发现一座高出杂树不多的小圆柱,上面刻着的球和圆柱图案赫然在目,这久已被遗忘的寂寂孤坟终于被找到了.墓志铭仍依稀可见,大约有一半已被风雨腐蚀.又两千年多年过去了,随着时光的流逝,这座墓也消失得无影无踪.现在有一个人工凿砌的石窟,宽约十余米,内壁

长满青苔,被说成是阿基米德之墓,但却无任何能证明其真实性的标志,而且“发现真正墓地”的消息时有所闻,令人难辨真伪.

【影响及评价】

阿基米德是数学家与力学家的伟大学者,并且享有“流体静力学之父”的美称。他通过大量实验发现了杠杆原理,又用几何演泽方法推出许多杠杆命题,并给出严格的证明,其中就有著名的

他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就,特别是在几何学方面.他的数学思想中蕴涵着微积分的思想,他所缺的是没有极限概念,但其思想实质却伸展到17世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去,预告了微积分的诞生。

正因为他的杰出贡献,美国的E.T.贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的:任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中,必定会包括阿基米德,而另外两人通常是艾萨克·牛顿和卡尔·弗里德里希·高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较,或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较,还应首推阿基米德。

除了艾萨克·牛顿和阿尔伯特·爱因斯坦,再没有一个人象阿基米德那样为人类的进步做出过这样大的贡献。即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”,文艺复兴时期的达·芬奇和伽利略·伽利雷等人都拿他来做自己的楷模。

范文七:阿基米德的死

人和人之间讲友情,有趣的是,数与数之间也有相类似的关系,数学家把一对存在特殊关系的数称为“亲和数”。常言道,知音难觅,寻找亲和数更使数学家绞尽了脑汁。亲和数是数论王国中的一朵小花,它有漫长的发现历史和美丽动人的传说。

亲和数是一种古老的数。

遥远的古代,人们发现某些自然数之间有特殊的关系:如果两个数a和b,a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。

据说,毕达哥拉斯(Pythagoras, 希腊文Πυθαγόρας,约前580年—前500年)的一个门徒向他提出这样一个问题:“我结交朋友时,存在着数的作用吗?”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答:“朋友是你的灵魂的倩影,要象220和284一样亲密。”又说“什么叫朋友?就象这两个数,一个是你,另一个是我。”后来,毕氏学派宣传说:人之间讲友谊,数之间也有“相亲相爱”。从此,把220和284叫做“亲和数”或者叫“朋友数”或叫“相亲数”。这就是关于“亲和数”这个名称来源的传说。220和284是人类最早发现,又是最小的一对亲和数

首先发现220与284就是一对亲和数,在以后的1500年间,世界上有很多数学家致力于探寻亲和数,面对茫茫数海,无疑是大海捞针,虽经一代又一代人的穷思苦想,有些人甚至为此耗尽毕生心血,却始终没有收获。公元九世纪,伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则,因为他的公式比较繁杂,难以实际操作,再加上难以辨别真假,故它并没有给人们带来惊喜,或者走出困境。数学家们仍然没有找到第二对亲和数。直到费尔马(P.de Fermat,1601-1665)才发现了另一对亲和数:17296和18416。

距离第一对亲和数诞生2500多年以后,历史的车轮转到十七世纪,1636年,法国“业余数学家之王”费尔马找到第二对亲和数17296和18416,重新点燃寻找亲和数的火炬,在黑暗中找到光明。两年之后,“解析几何之父”——法国数学家笛卡尔(René Descartes)于1638年3月31日也宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584。费马和笛卡尔在两年的时间里,打破了二千多年的沉寂,激起了数学界重新寻找亲和数的波涛。

在十七世纪以后的岁月,许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列,他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆。可是,无情的事实使他们省悟到,已经陷入了一座数学迷宫,不可能出现法国人的辉煌了。

正当数学家们真的感到绝望的时候,平地又起了一声惊雷。1747年,年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布:他找到了30对亲和数,后

来又扩展到60对,不仅列出了亲和数的数表,而且还公布了全部运算过程。

欧拉

欧拉采用了新的方法,将亲和数划分为五种类型加以讨论。欧拉超人的数学思维,解开了令人止步2500多年的难题,使数学家拍案叫绝。 时间又过了120年,到了1867年,意大利有一个爱动脑筋,勤于计算的16岁中学生白格黑尼,竟然发现数学大师欧拉的疏漏——让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了。这戏剧性的发现使数学家如痴如醉。 麦达其和叶维勒汇

在以后的半个世纪的时间里,人们在前人的基础上,不断更新方法,陆陆续续又找到了许多对亲和数。到了1923年,数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得,发表了1095对亲和数,其中最大的数有25位。同年,另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数。 在找到的这些亲和数中,人们发现,亲和数发现的个数越来越少,数位越来越大。同时,数学家还发现,若一对亲和数的数值越大,则这两个

数之比越接近于1,这是亲和数所具有的规律吗?人们企盼着最终的结论。

电子计算机诞生以后,结束了笔算寻找亲和数的历史。有人在计算机上对所有100万以下的数逐一进行了检验,总共找到了42对亲和数,发现10万以下数中仅有13对亲和数。但因计算机功能与数学方法的不够,目前还没有重大突破,但是,寻找亲和数未来正等待着不畏艰辛的数学家和计算机专家,同时,发现新的亲和数的捷报也正等待着不畏艰辛的数学家和计算机专家。

人们还发现每一对奇亲和数中都有3,5,7作为素因数。1968年波尔.布拉得利(P.Bratley)和约翰.迈凯(J.Mckay)提出:所有奇亲和数都是能够被3整除的。1988年巴蒂亚托(S.Battiato)和博霍(W.Borho)利用电子计算机找到了不能被3整除的奇亲和数,从而推翻了布拉得利的猜想。他找到了15对都不能被3整除的奇亲和数,最小的一对是:a=s*140453*85857199和 b=s*56099*214955207

将各个因数其乘起中来

和s=5^4*7^3*11^3*13^2*17^2*19*61^2*97*107.a=353804384422460183965044607821130625

b=353808169683169683168273495496273894069375.

它们都是36位大数。作为一个未解决的问题,巴蒂亚托等希望有人能找到最小的。另一个问题是是否存在一对奇亲和数中有一个数不能被3整除。

还有一个欧拉提出的问题,是否存在一对亲和数,其中有一个奇数,另一个是偶数?因为现在发现的所有奇偶亲和数要么都是偶数,要么都是奇数。200多年来尚未解决。

编辑本段亲和数的研究

主要有两方面:

(1)寻找新的亲和数。

(2)寻找亲和数的表达公式。

关于后一项工作,早在9世纪,阿拉伯的学者泰比特(TabitibnQorra)就提出了一个构造亲和数的公式:

设 a=3*2^x-1, b=3*2^(x-1)-1,c=9*2^(2x-1)-1,这里x是大于1的自然数,如果a、b、c全是素数的话。那么2^x*ab与2^x*c。便是一对相亲和数。

例如,取x=2,得a=5,b=11,c=71,则2^2*5*11=220和2^2*71=284是一对亲和数。

第二对最小的亲和数(1184,1210)竟然被数学家们遗漏了,直到1886年才由意大利的一位16岁男孩发现。

亲和数还可以推广为若干个数组成的亲和数链,链中的每一个数的真约数之和恰好等于下一个数。如此连续,最后一个数的真约数之和等于第一个数。目前发现的最大的亲和数链由28个数构成,这个链的第一个数是14316。

亲和数列举:

220,284/1184,1210/2620,2924/5020,5564/6232,6368/10744,

10856/12285,14595/

17296,18416/63020,76084/66928,66992/67095,71145/69615,

87633/79750,88730/

100485,124155/122265,139815/122368,123152/141664,153176/142310,168730/

171856,176336/180848,176272/185368,203432/196724,202444/280540,365084/

308620,389924/319550,430402/356408,399592/437456,455344/469028,486178/

503056,514736/522405,525916/600392,669688/609928,686072/624184,691256/

635624,712216/643336,652664/667964,783556/726104,796696/802725,863835/

879712,901424/898216,980984/947835,1125765/9980104,

1043096/9363544,9437056

最长链:

14316 - 19116 - 31704 - 47616 - 83328 - 177792 - 295488 - 629072 - 589786 - 294896 - 358336 - 418904 - 366556 - 274924 - 275444 - 243760 - 376736 - 318028 - 285778 - 152990 - 122410 - 97946 - 48976 - 45946 - 22976 - 22744 - 19916 - 17716 – 14316

《辞海》“学派”词条解为:“一门学问中由于学说师承不同而形成的派别。”这是指传统的“师承性学派”。因师承传授导致门人弟子同治一门学问 而可以形成“师承性学派”,同样,因以某一地域,或某一国家,或某一民族,或某一文明,或某一社会,或某一问题为研究对象而形成具有特色的学术传统的一些学术群体,同样可称为“学派”,或曰“地域性学派”(包括院校性学派),或曰“问题性学派”,例如近代后西方经济

范文八:10-2阿基米德

第十章 浮力

第二节阿基米德原理

课型:新授 主备: 审核: 班级:________ 姓名_______

【教学目标】

知识与技能

1、 知道阿基米德原理,能用文字和公式进行表述。

2、会用阿基米德原理进行浮力大小的计算。

过程与方法

1、经历“浮力大小跟排开液体所受重力大小”的实验探究过程,进一步培养学生描

述现象,归纳规律的能力。

2、在计算过程中,提高学生综合运用知识的能力。

情感、态度与价值观

1、通过观察和实验,使学生树立以观察和实验的方法来研究物理问题的思想培养

学生实事求地是进行实验的科学态度以及与他人交流与合作的精神。

2、通过联系生活实际,使学生体会到物理知识在生活中的价值。

【重点】让学生经历探究浮力的大小跟排开液体所受重力的关系的实验过程,概括、归纳出阿基米德原理

【难点】探究浮力的大小跟排开液体所受重力的关系

【器材准备】烧杯、水、小石块、细线、弹簧测力计、溢水杯、小桶

【学习过程】一、知识回顾:1.什么昰浮力?施力物体、受力物体、方向

2.如何用弹簧测力计测量浮力的大小?

3. 浮力的大小与哪些因素有关,他们之间存在什么样的关系?

二、交流探究:(一)阿基米德故事的灵感

通过阿基米德的故事,引导学生将物体浸在液体中的体积用物体排开液体的体积代替,使得决定浮力大小的两个因素可以表述为物体排开液体的体积和液体的密度,那么,这两个因素之间有什么联系呢?学生不难想到,这两个物理量的乘积就是物体排开液体的质量。由于浮力的大小跟这两个因素有关,那么浮力的大小自然也跟这两个物理量的乘积----物体排开液体的质量有关。

1、阅读教材53页,阿基米德鉴定王冠小故事,给我们的启示是: 。

2、阅读53页“想想做做”

3、学学生活动一:拧紧矿泉水瓶盖,盖朝下慢慢浸入装满水的溢水杯中。

感觉:受到向上的浮力 。

现象:溢出的水 。

4、结合理论推导:如果排开的液体体积越大,液体的密度越大,则液体的 也就越大。由此我们推想,浮力的大小跟排开液体的 有关。而液体的重力大小跟它的质量成正比,因此,可以进一步推想,浮力的大小跟排开液体所受的 密切相关。

判断正误:(1)物体浸在液体中的体积同它排开的液体的体积相等 ( )

(2)物体排开液体的体积与液体溢出的体积一定相同吗?若不是,在什么时候相同?试

举例说明。

(二)探究浮力的大小跟物体排开液体所受重力的关系下面我们通过实验来研究。

阅读教材54页实验回答下列问题:

(1) 怎样测浮力?

(2) 怎样收集排开的液体?

(3) 怎样测出排开的液体的重力?

(4) 用到的实验器材有哪些?

学生实验,教师引导,学生填写报告册。

实验结果表明,

这就是著名的阿基米德原理。 补充:阿基米德原理不仅适用于液体,也适用于气体。

巩固练习:(学生先独立做,老师公布答案后,师傅与学友交流,师傅给学友讲解,教会学友。)

1.质量为270克的物体全部放入盛满水的杯中溢出的水是100厘米3,那么物体所受的

浮力是____________牛,物体的体积是__________,物体

的密度是___________千克/米3(g取10牛/千克)

2.一个重为2.5N的物体,放入盛满水的杯中,从杯中溢出0.5N的水,则物体受到水的

浮力为________N。

3.质量为0.3kg的物体全部浸没在盛满水的容器中,溢出的水是100g,那么物体所受到

的浮力是多少?

总结归纳:1、师友讨论归纳交流本节课全部的知识点及收获。

2、对表现优秀的师友予以表扬、激励,树立典型。

布置作业:练习册第42页1-6题

课后反思:

范文九:阿基米德的故事

★阿基米德的故事:

1、阿基米德公元前287年出生在意大利的西西里岛。阿基米德从小有良好的家庭教养,11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称

2、国王让金匠做了一顶新的纯金王冠。但他怀疑金匠在金冠中掺假了。可是,做好的王冠无论从重量上、外形上都看不出问题。国王把这个难题交给了阿基米德。

阿基米德日思夜想。一天,他去澡堂洗澡,当他慢慢坐进澡堂时,水从盆边溢了出来,他望着溢出来的水,突然大叫一声:“我知道了!”竟然一丝不挂地跑回家中。原来他想出办法了。

阿基米德把金王冠放进一个装满水的缸中,一些水溢出来了。他取了王冠,把水装满,再将一块同王冠一样重的金子放进水里,又有一些水溢出来。他把两次的水加以比较,发现第一次溢出的水多于第二次。于是他断定金冠中掺了银了。经过一翻试验,他算出银子的重量。当他宣布他的发现时,金匠目瞪口呆。

这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王。阿基米德从中发现了一条原理:即物体在液体中减轻的重量,等于他所排出液体的重量。这条原理后人以阿基米德的名字命名。一直到现代,人们还在利用这个原理测定船舶载重量等。

3、公元前212年罗马军队攻入叙拉古,并闯入阿基米德的住宅,看见一位老人在地上埋头作几何图形,士兵将图踩坏。阿基米德怒斥士兵:『不要弄坏我的图!』士兵拔出短剑,刺死了这位旷世绝伦的大科学家,阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。

范文十:阿基米德的故事

阿基米德的故事

旁白:给我一个支点,我可以撬动整个地球,是谁敢发出这样的豪言壮语呢,他可不是什么天神,也不是人间的大力士,而是著名的科学家阿基米德,阿基米德的思想如同一座声音嘹亮的洪钟,尽管年代久远,岁月更迭,人们仍旧听到他那悠远的,震撼人心的回声。关于阿基米德有很多有趣的故事,下面我们来听听他和王冠的故事。那是在很久很久以前,古希腊的叙拉古王国,国王在镜子面前欢快的唱歌

国王: 可惜我还缺一顶祭神用的王冠,(思考状)对了,传金匠

金匠:国王您好

国王:金匠,我要做一顶纯金的王冠,既要漂亮,又要庄严,这块金子拿去,尽快完成

金匠往外走,边走边笑:哈哈,这么大一块金子

几日后

金匠:国王,您的王冠做好了

国王:哦,呈上来,恩~,不错,大小刚好合适,是不是很精美啊

众大臣鼓掌,赞美:是的,真精致啊,真精致

其中一大臣:谁知道呀,也许不是纯金的呢

国王问金匠:恩~,这个是纯金的吗

金匠:尊敬的国王陛下,这个当然是纯金的,您所有的金子都在这,不信,您称称

称金子,一大臣:禀告陛下,金子和王冠一样重

另一大臣:陛下,如果他拿走金子,掺进银子呢

国王也拿不准主意了:哎,怎样既不毁坏王冠,又能知道有没有掺假 一大臣:陛下,听说阿基米德非常聪明,要不要招他来

国王:恩~,急招阿基米德,

仆人:主人,国王要招你进宫

阿:哦~,我们现在就走

皇宫

阿:陛下必须,这么急招我来有什么事啊

国王:请起,哎,阿基米德,看,这是我新做的皇冠

阿:真漂亮,陛下,您真是独具慧眼

国王:哎,原来我给金匠的是一公斤的黄金,可是我不知道,他有没有偷工减料啊

阿:称一下它的重量不就知道了吗

国王:重量是一样的,你是我国最聪明的臣子,我希望你能想出办法 阿:那就交给我吧

场景加旁白:于是阿基米德开始思考,他称了又称,量又量,连吃饭时都在思考,好几天不洗脸不梳头,连衣服都没换,仆人们只好强拉着他去澡盆洗澡,当他洗澡时他发现

阿:恩,谁怎么溢出来了(思考状)哦~,我知道了,我知道了,(兴奋) 旁白:阿基米德高兴极了,他连衣服都没穿就急急忙忙的跑到了皇宫里 仆人在后追赶:主人,你的衣服,你的衣服

皇宫,阿基米德跑进来,激动的抓住国王的衣服

阿:陛下陛下,我知道了我知道了

国王:快说,你知道什么了

阿:我知道怎么证明皇冠是不是纯金的了,(对仆人)快,快去拿两个杯子(对国王)您再给我一公斤黄金

国王:恩~,来人,金子

东西呈上来,阿基米德演示

阿:首先,我们先把皇冠放在这盆水里面,把溢出来的水放在这个杯子里面(对仆人)快,把水装满

仆人做倒水动作

阿:然后,我们把黄金放在盆里面,把溢出来的水放在这个杯子里面,观察这两个杯子里面的水有什么不同

国王观察:咦,皇冠溢出来的水更多

阿:通过这个实验,看出皇冠的体积比黄金大,说明了皇冠不是纯金造的,皇冠里面掺有其他的物质

国王:哎,原来是这么回事,多么漂亮的皇冠啊,可惜可惜。来人,把金匠拖出去斩了

旁白:这就是著名的阿基米德定律:尽在液体中的物体都会受到向上的浮力,这个浮力的大小等于物体排开的液体的重量。由此可见,物理学不仅存在于物理学家身边,也存在于我们的身边,身边的事物是取之不尽的,对与现实生活联系很紧密的物理学科来说,更是时时会用到的,用身边的事例去解释和总结物理规律,听起来熟悉,接受起来也就容易了。只要时时留意,经常总结,就会不断发现物理现象,丰富我们的学习生活,活跃学习气氛,简化概念和规律