爱因斯坦场方程

爱因斯坦场方程

【范文精选】爱因斯坦场方程

【范文大全】爱因斯坦场方程

【专家解析】爱因斯坦场方程

【优秀范文】爱因斯坦场方程

范文一:爱因斯坦方程

表达形式

表达形式1:E0=M0C

上式中的m0为物体的静止质量,m0c为物体的静止能量.中学物理教材中所讲的质能方程含义与此表达式相同,通常简写为

E=MC.

表达形式2:E=MC

随运动速度增大而增大的量.mc为物体运动时的能量,即物体的静止能量和动能之和. 表达形式3:ΔE=ΔMC

上式中的Δm通常为物体静止质量的变化,即质量亏损.ΔE为物体静止能量的变化.实际上这种表达形式是表达形式1的微分形式.这种表达形式最常用,也是学生最容易产生误解的表达形式.

折叠编辑本段学术概念

物体的静止能量

物体的静止能量是它的总内能,包括分子运动的动能、分子间相互作用的势能、使原子与原子结合在一起的化学能、原子内使原子核和电子结合在一起的电磁能,以及原子核内质子、中子的结合能…….物体静止能量的揭示是相对论最重要的推论之一,它指出,静止粒子内部仍然存在着运动.一定质量的粒子具有一定的内部运动能量,反过来,带有一定内部运动能量的粒子就表现出有一定的惯性质量.在基本粒子转化过程中,有可能把粒子内部蕴藏着的全部静止能量释放出来,变为可以利用的动能.例如,当π介子衰变为两个光子时,由于光子的静止质量为零而没有静止能量,所以,π介子内部蕴藏着的全部静止能量

质量和能量的联系

在经典力学中,质量和能量之间是相互独立、没有关系的,但在相对论力学中,能量和质量只不过是物体力学性质的两个不同方面而已.这样,在相对论中质量这一概念的外延就被大大地扩展了.爱因斯坦指出:"如果有一物体以辐射形式放出能量ΔE,那么它的质量就要减少ΔE/c.至于物体所失去的能量是否恰好变成辐射能,在这里显然是无关紧要的,于是我们被引到了这样一个更加普遍的结论上来.物体的质量是它所含能量的量度."他还指出:"这个结果有着特殊的理论重要性,因为在这个结果中,物体系的惯性质量和能量以同一种东西的姿态出现……,我们无论如何也不可能明确地区分体系的'真实'质量和'表现'质量.把任何惯性质量理解为能量的一种储藏,看来要自然得多."这样,原来在经典力学中彼此独立的质量守恒和能量守恒定律结合起来,成了统一的"质能守恒定律",它充分反映了物质和运动的统一性. 质能方程说明,质量和能量是不可分割而联系着的.一方面,任何物质系统既可用质量m来标志它的数量,也可用能量E来标志它的数量;另一方面,一个系统的能量减少时,其质量也相应减少,另一个系统接受而增加了能量时,其质量也相应地增加.

质量亏损与质量守恒

当一组粒子构成复合物体时,由于各粒子之间有相互作用能以及有相对运动的动能,因而,当物体整体静止时,它的总能量一般不等于所有粒子的静止能量之和,即E0≠∑mioc,其中mi0为第i个粒子的静止质量.两者之差称为物体的结合能:ΔE=∑mioc-E0.与此对应,物体的静止质量M0=E0/c亦不等于组成它的各粒子的静止质量之和,两者之差称为质量亏损:Δm=∑mio-M0.质量亏损与结合能之间有关系:ΔE=Δmc.

由于在中学物理教材中,对此式的解释较浅,因此,有些学生就误认为,核反应过程中,质量不再守恒,且少掉的质量转化为能量了.

我们知道,质量的转换与守恒是物体系统运动过程中的最基本规律.通常情况下,质量守恒是在低速条件下的静止质量守恒,在高速情况下,静止质量与运动质量相互转化,总质量仍然守恒.如在电子光子簇现象中,当一个高能电子或光子进入原子序数较高的物质中,在很

短距离内就可以产生许多电子和光子.在这个级联过程中,粒子的静止质量与运动质量相互转化.但在级联前后,总质量保持守恒.又如光的辐射过程是辐射系统的内能转变为辐射能的过程,辐射系统质量的相应减少,不过表示它的一部分质量转化为光子的质量而已

范文二:爱因斯坦场方程的一类新解

黝 

数学物理学报 

2 1 ,0 3:8  9  0 03 A() 4 5 2 5

h t : a tms p a .n tp/ ca . m.c   / wi c

爱因斯坦场方程 的一类新解 

沈 明 孙庆 有   

f 浙江大学数学科学研究中心  杭州 3 0 2 ) 1 0 7 

摘要: 作者构造了真空爱因斯坦场方程的一类新解, 并给出了两个具体的例子, 其中一个例子是  时间周期解 , 而时间周期解和循环宇宙有着密切的关 系. 作者证 明了这一类新解不是 Mik w k no si   的, 并且与其它已有的解有本质上的不同. 作者期望这种解可以在现代宇宙学和广义相对论中 

有 所应 用 .  

关键词:爱 因斯坦场方程; Ri n   e n曲率张量 ;奇点;时间周期; We l ma   y 标量.  

M R( 0 0 2 0 )主题分类: 3   中图分类号: 7 . ; 1 . 文献标识码:   8C 01 52 O4 21 4   A 文章编号: 0 33 9 (0  0 —8 —9 10 —9 82 1 )3540   0

1 介 绍   

在 广义相对 论和宇 宙学 中,爱 因斯 坦场方程 是一个 基本方程 ,因而求 出它 的精 确解是 非  常重要且有 意义的.目前 ,对于 爱因斯坦场 方程 ,除了著 名的 S h azc i cw rshl d解 _ 和 Ker 1   J r 解  L 之外 ,还有很 多有意 义的结果 [ 6  2 J 3 ] -. 尽管寻 找爱 因斯坦场 方程的精确解 是十分有 意义 的, 是众所周 知,求解爱 因斯坦场 方  但 程是非 常困难 的,因为它是 一个 关 于 L rnz n度规 g ( ,' ,,, ) o eti a     /=0 12 3 的二阶 非线性 双  / 曲型偏微 分方程 .一个 好的坐 标变 换可 以简化方程使 得方程容 易求解 ,因此若要求 解爱 因斯  坦 场方程 ,关键 的一步就是 选择适 当的坐 标系.在文 献 『 中, K n 7 1 o g和 Lu提 出 了如 下形  i

式 的度规 

] ,  

(.) 1   2

收 稿 日期 :2 0 —20 ; 订 日期 : 0 91 -7 0 81 —8 修 2 0 —12  

E mal s e mig 5 6 6 .o q s n ms j d .n — i h n n 0 1 @1 3c m; yu @c   ue uc   : z 通 讯 作者 

No   . 3

沈 明等:爱 因斯 坦 场方 程 的一类新 解 

55 8 

则度 规 ( ) L rnz n的.通 过 Bi c i g 是 o eti   a a h 恒等 式, K n n o g和 Lu猜 想爱 因斯 坦场方 程解  i 的一 般形式 为 下面三 种类 型 

( )    

0 O    

u p   

( )    全

, ,, l -- _

I_ __ _ __ _ __ _ II l、 , ,, , .. . .. . .. . .. .. . 。.

() 1  I

一 / ,  

、\ 

U  

U  

0  

p  q  

0   0   0  

U 

" 

p  0  

0  0  

或者 

" 

p  0  

q  0  

p 

0  

O  

g  0  

p   0  

0  

p  0  

0   O   O 

O  

、● ●●● J

\ l ● ● ● ● . 、\  

( )    全

、、 ●  ● ●● ●/

 

(   Ⅲ)

在文 献 [ 9 中, Kog和 Lu关 于 时间周 期解取 得 了一些 新 的结 果 .在本 文 中,我 们  8 ] - n i 根据 Ko g和 Lu的方 法构 造 了真 空爱 因斯坦 场方 程的一 类新 的精确 解 .我 们说 明了这类解  n i 不是 Mik w k 的 ,并且 在本 质上 不 同于其 它 已有 的解 .此 外 ,根据 这类 解 的通 式 我们给 出  n o si 了两个例 子 ,这两 个例 子 的 R e n i ma n曲率张 量在 时 间轴 上 的某些 点上趋 近于 无穷 ,但 是它 

们 的 Re n i ma n曲率 张量 的模 长为零 .  

2 一 类 新 解   

我们考虑 下面 的真 空爱 因斯坦 场方 程 

G  R  一  _ R = o q    

(.) 21  

或者等 价地 

R “ = 0    ,

(.  22 )

c 曲率 张量 , R是 标  c 其 中 g (, 一 01 23 是一 个未 知的 L rnza      ,, ,) oe tin度 规 , R 是 Ri i     量 曲率 , G 是 爱 因斯 坦 张量 .     在坐 标 (, Y 下 ,根 据类 型 ( 我们考 虑下 面形 式的度 规  £  , ,  ) I )

d 。 (td ,yd )   ) d ,yd )  s : d,zd ,z( ( xd , T g  

这里 

(.  23 )

( )  9 =  

(.   24 )

56 8 

报 

V l0   0_ A 3

其 中 “ P是关于 tX Y的光滑 函数, ,  , ,,  

是关于 t 的光 滑函数 .通过 简单的计 算,得到  ,   (.) 2   5

全dtg ) 一 2  e(   : vk.  

因此,通过 (.) 可知度规 (. 是 L rnz n的. 12 式 24 ) oeti a   根据文 献 [. 8 假设  ] V=Vk  

且 

(.   2) 6

P= k +    

,  

(.  27 )

其 中  是 关于 tY的任意光滑 函数 .将 (.) (. 代 入 (.) ,通 过计算 ,我们得到  , 26 和 27 ) 23 式 R 3R1, 2R1, 2 —0 0, 1R1, 3R 3 ,  

R 2  2

2 k zt V k

(.   28 )

- —

ku x

— —

— —

k z

 2 x   4V kk   -  3k k + V V y k + 2 k k V x t x x y y

— — — — —

— —

Vk    ̄x

f.) 29    。

且 

R2 2= R3 . 3 

(.0 21 )  

由  

R2 一 R3 = 0. 2 3  

我 们解得 

札= 2 ‰ 一2 y   V k— k  +  一   +q  

(.1 21)  

其 中 q是关 于 t Y的积分 函数 . 和   为 了简化计算 ,我们取 

q = 0  .

(.2 21 )  

则 (. ) 21 式简化为  1

“ = 2Vk t一 2   一 k -    4 - 一  .  

(. ) 21   3

假设 

嘭 =W, 。  

(. ) 21   4

其 中 “ 是 关于 t   的任 意函数 .因此 (. ) 21 式变为  3

札= 2 k V t一 2   一 k。+  。

. 

(. ) 21   5

=c (   ns +  。 h )

=c ( . 。s ) o h  

把 (. 一2 )(. ) (.7 代入 (. 式 ,我们得 到  2 )(. ,21 和 21) 6 7 5 2) 2

R f , 1 Rn = 0 1 R0 , 9 n  

(. ) 21   6

其 中 a 。  及 b ( 是两 个积分 函数.不失一般性 ,取 bt =0 则 (.6 式简化 为  一 ( ) =6≠ )   ( ) , 21 )

(. ) 21   7

(.8 21)  

N. o3  

沈 明等 :爱 因斯 坦场方 程 的一类 新解 

57 8 

自然成立 . 由以上讨论 ,我 们得 到如 下 的定理 .  

定理 1 在坐 标 ( XY 下 ,真 空爱 因斯坦 场方 程 (.) t ,, ,  ) 21 有下 面 的解 

(. ) 21   9

其 中 

(. ) 2 0  2

。  

而 k—ktX 和 W —w( 是 任意 的光滑 函数 , ( ) , t )  

由 (.7 式 给 出  21 )

3 解 的 几 何分 析 

我们在本 节 中得 到 了 L rnz n度规 (.9 的 R e n oe ti a 21 ) i ma n曲率张 量和 We l y 标量 .进一步  地 ,我们还 比较 了 (.9 和 其它 解 ,特 别是 和 S h azc i 21 ) c w rshl 以及 Ker d解 r 解之 间 的区别 .从  0   0   而得 出结论 (. ) 一个 新 的解 . 21 是 9   通 过直 接计 算 ,可 以得到 (. ) 21 的相应 R e n 9 i ma n曲率 张量 为 

0   0   0  

R 8 = 0 V 8 ≠ 0 0  r 0 0     ,     2 2 o  3 3

Ro o  22

(.) 31  

(.) 32   (.) 3   3

叫cs(   (t oh叫 / )

  叫 n—w r a)  

— — — —   — — 一  

R0 0   33

叫cs (J 0 ( t oh  / ) n—wa) f 』   叫 r  

— — — — —   — — 一  

其 Re n i ma n曲率 张量 的模长 为 

J l   i    : 0 ( J  =0 l 23. l : RJ R RIA 1  ,  , , ,,)  

(.) 3   4

(.) (.) 32 及 33 式表 明解 (. ) 21 不是渐 进 平坦 的,且非均 匀 的.根据 最近 的 WMAP数据 显示  9

宇 宙 中存 在各 项异性 信 息 [J我 们得到 的这 个时 空也 许能在 宇宙 中有新 的应 用 . 1, o   在广义相 对论 中, y 标量  0… , 是用来描 述 四维 时空 曲率 的. N wma — e rs  We l ,  4 在 e nP noe

形式 中,它 们是 Wel 量  y张 十个独 立 自由度 的表 现.根据 Seee 在文 献 [ ] zkrs 1 中的物  1 理解 释 , o和  3 别代 表进 入 的和离 开 的纵 向辐射 项 ; 皿1   分   和  4分 别代表 进入 的和离  开 的横 向辐射 项 ; 1   I r 2是 C uo o lmb项 ,代 表 了单极 引力 的来源 .通过 G T NS  I的程  R E OR I 序 ,可得到度 规 (. ) Wel 21 的 9 y 标量 为 

0= 0  

f .) 35 

一2  

尼+ k x  一  xk

v ̄vk  , 2

(.) 36  

4。 G k   k +2 +

+W    +

(.) 37  

58 8 

学 物

理 学

报 

VI0  03 _. A

。 = 

1 (2  ̄ kk 3 z2 23k 2 ~ ‰ 2   一 k x3   2   + x 2一     2 x+ + —z  x 2 叫 2   k  

2v +vy: 2 一 vy 2 t 一     ̄ ̄ v  

2 32 +k ) ~  2 2     ,  

() 3  . 8

4 = 

1 4 kVv+2 t2 2Vu V +w 2叫  ( +2yVy4 k Vk y k + 2   V u V - -  ̄+2 2     y  - k

v ̄  2 2 一Vy  2 t 2  ̄t vy  +  3Vy     V V) v+ V~ 一 Vy.  

() 3  . 9

注 意到 曲率张量 是 内蕴的 ,从 (. 一3 ) 得 出 L rnz n度规 (. ) 32 (. 式 ) 3 oeti a 22 不是通 过其 它  0 复杂 的坐标变换得 来 的 Mik w k 度规,并且 这个 时空也不 同于 S h azc i n o si cw rshl d时空和 K r er   时空 [] 我们通过 如下表格进 行更详 细地 比较. 1. 2  

表 1 S h rshl   c wa zc i d解、 Ke r解以及本文所得解之

间的区别  r

注记 1 在表 格 l中仅列 出 了不 为零 的 R e n i ma n曲率张量 和 Wel y 标量.   注记 2 通过类 似的 比较 , 我们得到这个 时空也不 同于其它 时空, 例如 ,G d l S e 宇宙 [    。

T u— U abN T时空 f. r时空 f】   4 Oi j 1 等. 4

4 例子   

(.) 41  

,  

(.) 42  

(.) 43  

NO3 .  

而 

沈 明等 :爱 因斯 坦场 方程 的一 类新解 

59 8 

] =   p  +Y 22 7o 2 x ( £ —x t o e 2  

— —  

‘  )

) x( [ x (2 ) +ep ) 1一ep一   】  

2 x_+)h)  e(2詈。羞 p  c(  s ]  (x ; x   s(  7=p +)e(2 )h) o e一    p + i羞 2 x 2+ - 一 n告   2

卵    2

2 

叩    3

3 

 

(.) 44 

=  

一  

=  

一  

e 

/  \

e 

,L

X 

X 

p 

p   

2  

2  

一  

2  

2  

一  

通过 (.) ,易得  25 式

+ 

2 、 l, 一  

十 

2 、 J一     t

叩d卵 =44( +)h ) 全e  一2x 6 拿o(  t ) xe一 c  ( tp   s罟

性质 1 在解 (.) 42 中,变量 t 时 间坐标  是 证 由 (.) 的第 一个等 式可 知  44 式

(.   45 )

叩:e  。 2p 。  ( x

当 X≠0时,经过计 算 可得 

ro   7 1 /o 1   0

= 一

)e(1e(x>. +p) x-2 。 x詈 -p2)   [ ]

4 24 x ( 2 2   ) Ol ( )   x t e p - x + 4 c s   <0   1

() 4  . 6

(.) 47 

1 1 70 

O  

]   1   ]   70 7l 72 0 o 0 ql O  ]   72 0

0   0  

0  

卵2   2

44p + c )0 x ( 拿o( > 2x t   e s羞   h

4 4p6+)s羞<.    (x  c   )0 2x-28。 (     e h

(.) 48 

]   1 l ]   7 o 7o  7 2 o 0

卵O  1

O   0  

= 一

0  

0  

O  

72   ]2

] 2 70  

0   ]   73 3

() 4  . 9

0  

0  

0  

当  =0时 , ( )     的行 列式 等于零 . 因此 z=0是 由 (.) 42 式所 描述 的时 空的退化 奇 点.   根据 文 献 『 ] 1 中事件视 界 的定义 ,可知 X=0不 是事件 视界 .由上 述讨 论可 知变量 t 时间  5 是 坐 标. 一     I  

性质 2 对于 任意 固定 的 Y∈ , t 0时有   

当 一

兄ooJ 。 , l00l 。  22     。   R 33 _ C 证 将 (.) 41 代入 (.) 和 (. 式 ,可 得  32 式 33 )

2   y  

(.0 41 )  

 

50 9 

物 理

学 报 

、 l0   厂, A o3

 

(. ) 41   2

因此 ,当 t 0 易得  一 ,

R oo  _÷O   22J _ 0

(. ) 41   3 (. ) 41   4

R00 -÷。   33l r 。

证 毕.  

I  

注意 到 (. 式 ,我们得 到  3) 4

l l l 垒R巧 Rl  

f 0 ( J z ,,,) =     , =0 123  , ,

上式说 明 t =0不是时 空 (.) 4 的物理奇 点,而是 由于坐标选取 不 当产生 的奇 点. 以后 我们  2

会 继续深入 研究这 一 问题 .  

一 2 

一x  

下面 我们讨论 在坐标 ( , z 下时空 (. 的零 曲线和光锥 .固定  和 z 得 到  t  ,) , 42 ) ,

一  

一  旦

2x (   p  e

) x( +ep 

+t pX  c (捌 . 2  (22O羞   xe _ +)s )   2 x h

在 ( ) t 一图上 考虑零 曲线的定 义为  ,

旦二 护  

二 

一  e

2(  兰 e  x p

通过上 式求得 

)x ) e( 。d+tpx c(d = +p [ x 2]22 (22s 一 甜 。 e(1 p z) xx +)h      詈 - 一 )t 2 - 。羞 e )

d t= 0  , d  t _  

dZ 

(. ) 41   5

因此 ,零 曲线和光锥 的示意 图可参 见图 1  

O  

图 1 零 曲线与光锥 

对 于任意 固定的 t   , ∈ 通过 (.) 得到 t 切 面为  42 式 一

=e(x ;  ) 一p2+) x 2 (   -  +

(. ) 41   6

No3 .  

沈 明等 :爱 因斯坦 场方 程 的一类 新解 

51 9 

f ( 一  / , 伽) e      

{(= -  s /S n) e/ i Ct £ l n O   

【   ) i 一/“   ( =s e    ,   n  .

此 时,我 们得 到 真空爱 因斯 坦场 方程 (.) 21 的解为 

(.7 41 )  

,J●加●~ ●0  ,-●●●  ●l  ,●●●● I\ ● - - 、

( )   钆  =

~   0  ~  

1  

2  

(. ) 41   8

0  

0  

O  

其 中 

~  

0  

~  

0  

0  

2 sn2  i  

而 

O  

1一 sn4 i  

 

、 、● ●● ●● ●/

似+   

3  

 

2 i C S i  cs ( C S/ i。 )  n O s t oh y O  s t s n n  

— — — — —   — — 一 ,  

彻  

 

s   +s 。  n (  s/ i t i n i zs hy ot s   1 n i c n  

(・9 41)  

 

’  

西2= 一sn x 一 /i t 2 i  e   “ 

而3= 一sn x   / t 3 i  e   .  

通过 (.) ,易得  25 式

西 d而)一 】 兰 耋    e : 兰 _     t (  兰 兰 兽    

类似 地 ,可 以证 明  性质 3 在解 (. )中,变 量 t 时 间坐标 . 41 8 为   通过性 质 3及 (.9 式 ,可 知如下 的 L rnz n度规  41 ) o eti a

.  

(。 4) .  2

d  (td ,yd ) “)出,xd ,z s d,x d ,z(  ( d ,yd ) O  

(.1 42)  

是真 空爱 因斯坦 场方 程 (. 21 )的时 间周期解 .时 间周期解 和 循环 宇宙 [ ] 1 有着 密切 的联 系. 6  

这个 时 空的其 它性质 和例 1类似 ,在这 里就 不再赘 述 了.  

5 总结   

本文 中,我 们找到 了真 空爱 因斯坦 场 方程 的 一类新 解 (.0, 22 ) 并给 出 了两个有 意义 的例  子 .我们得 到这类 解 的 Wel y 标量 除 了  0外其余 的都 不为 零 .根 据 (.0, 以构造 出真 空  22)可 爱 因斯坦场 方 程的很 多解 .在这篇 文 章 中我 们仅 给 出 了两个 例子 ,它们 的 Re n i ma n曲率在  时 间坐标上 趋近 于无 穷 ,但其 R e n i ma n曲率 张量 的模 长为零 .以后 我们 要构造 真 空爱 因斯  坦场 方程 的其 它类型 的解 ,期 望 其 Ri n e n曲率 张量 的模 长在 时间坐标 为有 限值 时趋近 于  ma

无穷 .  

52 9 

报 

n  M  m 

V 10   o. A 3

考 文

献 

f1S h r c dK. e  a r vtt nfl ie  sn u ke  ahd r ntish nt e re izP e s  1 cwaz Mi  0b rd s a iai seden sma e p n tsn c  e  senc e  h oi.St  ru s   g o Ei

Ak d W i s 91 ,1   a  s ,1 6 89

f1Ke r P Grvtain I edo  pn igmasa ne a l f le r i l  p ca  tis 2  r  . a i t a 矗 l  f s inn   s sa  x mpeo  g bac l s e il R  i o a a ay merc.Ph sRe   y  v

Le t 9 3,11:2 7 3   t ,1 6 3  2 8

f1Big   . eetd S lto so 

n ti’ Fil  u to s 3 e k J S lce   ou in  fEisens ed Eq a in :Th i Roe i  n rlReaii   n   sr -     er l n Ge ea  ltvt a d A to    y

ph sc . I  Eis en’  ed y is n n t i s Fil Equ to  a  Th i Ph sc lI pl a in , Le t r   a ins nd er y ia  m i to s c c u e Nots n e i Ph s 5 . y , 40 

Be ln:Sp i e ,2 0 ri r ng r 0 0:1 2   -1 6

f_Ha i g S W , l sG    Th   a g   c l  t u t r  f p c —i .Ca rd e 4 wk n     E l   F R  e L r eS ae S r c u e o   a e tme i S mb ig :Ca rd e Un v riy mb ig   ie st  

P r s ,1 7   es 9 3

『1S e h n  5 tp a iH Kr me    a r D,Ma Calm  c l u M,e  l E at S lt n   fEisensFed Eq ain sc n   ta  x c  ou i so  nti ’ il  u to s(e o d o  

eio ) C mbi eMoo rp so   te t a P yi . C mbig:C mbig  nvr t  rs, d i . a r g  n ga h  nMahmai l hs s a r e a r eU i sy P e   tn d c  c d d ei s

2 03 0  

『1李慧玲,蔡敏, 6 林榕,杨树政,齐德江 . 对稳态 NUT— r— wma KerNe n黑洞的量子隧穿特征的研究.数学物理学报 ,   2 0 , S 6:15   1 6 0 8 2 A() 1 0 1 5  

f Ko gD  Lu K F Ti — eidcslto so h  n ti’ f l q ain .aXi : 8 810 v   7 1 n   X, i    . mep r i ou in  f eEisensi de u t s r v 0 0 .10 2 o t  e o  

『1Ko g D X, i  F, h n M Ti — e i d cs l to s f h   n t i ’ f l  q a in  I a Xi : 8 74 8   8   n     L u K  S e   mep r i o u in     eEi se n s ed e u t sI . r v 0 0 .9 1 o ot   i o

『1Ko gD  Lu K F, h n M . mep r dcu ies.aXi:0 0 .0 6 9  n   X, i    S

e  Ti — ei i nv re r v 8 90 4  o  

i1H n h w G e a. h e—e r lisnmi o a ea i t p   rb W MA ) b ev t n : e eau e 0 is a   , t 1 T r y a  kn o   c w v  ns r yp o e(     e wi r oo P o sr ai s T mp rt r  o

a ay i. r v sr— h 0 0 4 1 n lss a xi:atop / 6 3 5 

S e e e  z k r s P.Th   a t t o lc m pa s   a h Ph s 9 5 e Gr via i na   o s .J M t   y ,1 6  6:1 8  1 9   37 31 Cha dr e ha   .The M a he n a k rS s   t matc lThe y o   a k Ho e .N e Yo k:Oxf r   ia  or   f Bl c   l s w  r o d Uni e s t   e s 9 3 v r iy Pr s ,1 8   G6 lK.An e m pl  fa w  y   f c s o o i a   o uton ofEi s e n’  e d e ua i n   fg a i t o   Re   de    xa e o   ne t pe o   o m l g c ls l i     n t i sf l   q t o s o   r v a i n i v M od Ph s 9 9,11:4 -4 0   y ,1 4 47 5   or  .A  l s   ft m e m a hi   ol i ns wi h a c m pa t v c m   o e iA c a s o   i — c ne s uto   t     o c   a uu c r .Ph   v Le t 20 5 ys Re   t , 0 ,95:0 1   21 01 W a d R  .Ge r lRe a i iy、Chi a o l  M ne a   l t v t c g  Lo do n n:The Uni e s t       v r iy ofChiag   e s 98   c o Pr s ,1 4

Co ih  S n h P Qu n u b u c   n   o mi e a1 h sRe   e t 2 0 ,1 0 6 3 2 r i c A, i g   . a t m  o n e a d c s c r c l .P y   v L t , 0 8 0 :1 1 0  

A  l s of N e Sol i C as     w  ut ons t   he Ei t i s Fi l Equa i   o t   ns e n’  e d  t ons  

S e   n   S n Qig o   h n Mig u   n y u

( e t     te t a S i cs Z  ̄ a g U i ri   n z o   1 0 Z C

ia C n e o Mah mai l ce e, h in   nv s y Ha g h u 3  2   hn ) rf c  n e t 0  

A bs r c :I  hi p pe hea t o sc n t u tane ca so o u i n  o t ev c m   nsen s t a t n t s a rt   u h r  o s r c    w l s  f l to st  h   a uu Ei t i     s i l   q a ins nd gv   wo it r si   xa fed e u to ,a   ie t  n e e tng e m p e  n l i g a tm e pe i di  o u i n wh c  s l si cud n     i ~ ro c s l to   ih i  r lt d t   h  o p c s o o y ea e  o t el o   o m lg .T h   ut o ss w ha  h sca so  o to sa en tM i k w s , ea h r ho t tt i  l s  fs uli n   r  o   n o ki  

a   se ta l   fe n   r m   t r s a etm e . O I   a   x c   h t t e e s l to s c n b   nd e s n ily di r t fo o he   p c -i s i l c n e pe t t a   h s  o u i n   a   e e a le  o m o e n c s o o y a   e e a ea i iy . pp id t   d r   o m l g   nd g n r l l tv t   r

K e wor :Ei t i sfed e ua i n ; e a   u v t et ns ; n u a iy; me p rod c  y  ds nsen’  l   q to s Rim nn c r a ur  e or Si g l rt Ti — e i i ; i

W e  c l r yls a a .  

M R(0 0 S betClsic t n 8C 2 0 ) u jc  a s ai : 3   i f o

范文三:爱因斯坦引力场方程

爱因斯坦引力场方程

根据等效原理和广义协变原理,只要把狭义相对论中的物理规律写成广义协变的形式,就可以得到除引力以外的在引力场中的物理定律。要作到这一点只需要把定律中的普通微分改写为协变微分就可以了。无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程可以这样得到。在狭义相对论中,质量为m的自由粒子或光子,分别沿闵可夫斯基时空中的类时直线或类光直线运动。将这些运动方程写成协变形式,就分别得到黎曼时空中的类时或类光测地线方程,即无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程。物质场的方程也可以这样得到。例如将狭义相对论中的克莱因—戈登方程(Klein-Gordon equation)写成广义协变形式,就得到在引力场中的标量场方程。

在狭义相对论中,存在一系列的守恒方程。将这些守恒方程中的普通散度改为协变散度,就得到在引力场中相应的守恒方程。例如,这样可以得到能量动量守恒在引力场中的形式为:T0。这里T就是能量动量张量。但是,这种方式不可能得到引力定律本身,也不可能得到同曲率有关的效应。例如,不可能得到测地线偏离方程中同曲率有关的项,也不可能得到在引力场中自旋粒子的自旋同曲率的耦合项等等。与曲率有关的物理效应何时出现,只能作具体的分析。

1915年,爱因斯坦几乎和希耳伯特(Hilbert David,1862~1943)同时在得到了完整的引力场方程:R18G其中G 是牛顿引力常数G=6.670×10-8cm3/(g·s2)。gR4T,2c

方程左边是描述引力场的时空几何量,右边是作为引力场源的物质能量动量张量。显然,这个方程反映了爱因斯坦的马赫原理的思想。爱因斯坦提出这个场方程的基本思路大致可以这样来概括:考察牛顿引力理论的泊松方程:2

是引力源的质量密度。在相对论中,应该推广为引力源的能量动量张量,则推广为度规张量g。因此,引力场方程应该是度规的二阶偏微分方程。进而,爱因斯坦发现4G它是引力势的二阶偏微分方程,,2cR1满足同样的守恒律。这便导致了他写下具有上述特点的正确的引力场方g同T2

R0.程。 在真空中,这个方程简化为:1917年,爱因斯坦在对宇宙进行考察时,引进

18GgRg2T,不久之后,他本人放2c

弃了这一项。但是近年来,不少物理学家认为项的引进是有必要的。 了宇宙常数Λ项,将方程修改为:R

4、广义相对论的实验验证

在建立广义相对论时,爱因斯坦曾提出三种检验:光谱线的引力红移;内行星轨道近日点的进动;以及太阳引起的光线偏折。引力红移事实上只检验了等效原理,光线偏折和近日点进动涉及的是球对称静态引力场,以及其中光线或行星的运动。而厄缶实验则是爱因斯坦等效原理建立的前提条件。

4、1 厄缶实验

引力质量同惯性质量的等价是爱因斯坦提出等效原理的实验基础,也是整个广义相对论最重要的实验依据。这个等价性早在牛顿时

代就有实验证明,19世纪末,厄缶以109的精度证明了这一点。近年来,验证这个等价性的实验精度又有提高。在牛顿理论中,牛顿第二定律的惯性质量mi同引力定律的引力质量mg是否相等,并没有本质的意义。如果一物体的mi与mg不相等,那么在引力作用下,它的-加速度g同当地引力常数g之间就有下面的关系:gmg

mig,比值mg/mi不同的物体,将

有不同的加速度g。然而,自伽利略的时代起,人们就发现,对于不同的物体,这个比值都是一样的。惠更斯、牛顿等人都进行过这类实验。

-1889年,厄缶精确地证明了,对于各种物质,比值mg/mi的差别不大于109。厄缶在一

横杆的两端各挂木制的A和铂制的B两个重量相差不大的重物,杆的中点悬在一细金属丝上。如果g是地球引力常数,是地球自转引起的离心加速度的垂直分量,lA和lB是两个重物的有效杆臂长,那么当平衡时,由于A、B的重量相差不大,因而横杆略为倾斜以满足lA(mgAgmiAg)lB(mgBgmiBg),同时,在厄缶进行实验的纬度上,地球自转引起的离心加速度有一可观的水平分量gS,会使得横杆受到一个水平转矩:

TlAmiAgSlBmiBgS,消去lB,又由于gZ远小于g可以略去,因而得到:

miAmiBTlAgSmgAmgAmgB 

-这样,只要二者mi/mg的比值不同,就会扭转悬挂横杆的细金属丝。但是,厄缶在109的精

度上没有测出这种扭转。

鉴于这一实验的精确度直接影响广义相对论理论的可靠性,以后几十年来,人们对这一实验的兴趣有增无减。1960~1966年,狄克(Robert Henry,Dicke,1916~)等人为提高厄缶实验的精度,把厄缶的扭秤横杆改成三角形水平框架,又把石英悬丝表面蒸镀铝膜以避免静电干扰,并将整个装置置于真空容器中,使实验的精度推进了两个数量级,达到(1.3

-±1.0)×1011。1972年,前苏联的布拉金斯基(Braginsky)和班诺夫(Panov)对厄缶实

验又做了重大的改进。他们采用电场中的振荡法,旋转由激光反光光斑记录在胶片上,使实

-验结果又在狄克的基础上提高了两个数量级,即9×1013。

4、2 水星近日点的进动

牛顿力学已经受住了两个世纪的考验,随着时间的推移,牛顿力学的成功事例在不断地增多。1705年哈雷(Edmund Halley,1656~1742)用牛顿力学计算出在1531年、1607年和1688年看到的大彗星实际上是同一颗,这就是后人所称的哈雷彗星。克雷洛(Alxis Claude Clairaut,1713~1765)在仔细地研究了哈雷的报告后,又根据牛顿力学考虑了木星与土星对彗星轨道的影响,预言人们将在1758年圣诞节观测到这颗彗星,果然它如期而至。19世纪40年代,法国的勒威耶(Urbain Jean Jeseph Leverrier,1811~1877)、英国的亚当斯(John Couch Adems,1819~1892)分别对天王星的轨道摄动进行计算而导致了海王星的发现,这是牛顿力学的又一次辉煌的胜利。

虽然牛顿力学获得了巨大成功,但人们也发现有一个现象它是不能解释的。从1859年起,勒威烈就开始观测众星的微小摄动,他发规水星的近日点每百年的进动大约比牛顿引力

理论计算值多出40弧秒。1845年,他断言水星的反常运动是受到一颗尚未发现的行星的影响,他称这颗行星为“火神星”,但是始终未能从观测中发现这颗火神星。1882年.美国天文学家纽科姆(Simon Newcomb,1835~1909)对水星的进动又做了更加详细的计算。计算结果表明,水星近日点的进动应为43″/百年。但后来的解释都没有获得成功。

1915年,爱因斯坦的广义相对论建立后,史瓦西(Karl Sahwarzschild,1873~1916)很快地找到了球对称引力场情况下的引力场方程解,后来被称为史瓦西解(或史瓦西度规)。爱因斯坦认为太阳的引力场适用于史瓦西解,考虑到中心质量使它周围的时空发生“弯曲”,检验粒子每公转一周,近心点的进动量为: 6GM c2a(1)

对水星来说,G为万有引力常数,M为太阳的质量,c为光速,a是水星轨道的半长轴,ε是偏心率。用史瓦西度规来描述太阳引力场,把行星当作检验粒子,就可算出太阳系中水星轨道每百年进动的理论值为43.03弧秒,而观测值为43.11±0.45弧秒。比较理论值和观测值可以明确看到:广义相对论在解释牛顿理论所不能说明的水星剩余进动方面是相当成功的。这一结果不但解决了牛顿引力理论多年的悬案,而且为广义相对论提供了有力的证据,它成为验证广义相对论的三大有名的实验判据之一。

4、3 光线的引力场弯曲

19世纪初,有人利用牛顿的引力理论,计算出光通过太阳的表面时,大约应该有0.85弧秒的弯曲,这是按重物在太阳附近平抛关系算出来的结果。1911年6月,爱因斯坦在《引力对光线传播的影响》一文中,也预言了光线经过太阳附近的弯曲效应。然而这种弯曲不是出自于引力的“力”作用。而是由于引力的空间弯曲效应引起的,所以它应与牛顿引力的光线弯曲作用有所不同。按广义相对论的空间引力弯曲理论计算,光在太阳的史瓦西场中,其运动将遵守测地线方程。当光粒子经过太阳表面时,一个远离太阳这一引力中心的观测者所观测到的偏转角应为4GM,其中G为万有引力常量,c2cr0

为光在真空中的速度,r0r0是光线路径到太阳质量中心的最近距

离。理论的计算结果应为1″..75,相当于按牛顿引力理论计算值

的2

倍。在提出这一预言的同时,爱因斯坦还提出了观测方法:“由于在日全食时,可以看到太阳附近天空的恒星,理论的这

一结果可以同经验进行比较。”他希望天文学家们对这一结果进

行实地考察。

爱丁顿(Eddington A.S,1882~1944)对广义相对论的热

情很快地使他的密友、同事、皇家天文学会的戴孙(Frank Dyson)

受到感染,他们为1919年日食间的考察积极筹划。1919年5月

29日,恰好有一次日食发生。英国皇家学会和皇家天文学会联

合派出了两支考察队,分别由爱丁顿与克劳姆林

(C.D.Crommelin)教授带领,分赴几内亚湾的普林西比岛

与巴西的索布腊尔两地进行观测。经过分析与比较,两支考察

队的观测结果分别是α=1″.61±0″.30和α=1″.98±0″.12。理论的预期值基本上与观测值相符。11月6日,英国皇家学会和皇家天文学会联合举行了发布会,发布这次远征队的考察结果。戴孙爵士第一个发言说:“认真研究过这些底片之后,我要说,底片肯定了爱因斯

坦的预言。”大会主席J.J.汤姆逊认为“这是牛顿时代以来,所取得的关于引力论的最重要的成果,它已不是发现一个外围的岛屿,而是找到了整个科学思想的新大陆,„„这个结果是人类思想的最伟大的成就之一。”

60年代末,由于射电天文学的发展,使人们有可能用高于光学观测的精度来测量太阳引起的射电信号的偏折,1973年,光学测量所得偏转角同理论值之比为0.95±0.11,1975年已达到约1±0.01。近年来,又进行了掠过太阳的雷达回波时间延迟的检验,并准备进行绕地轨道上陀螺仪进动的实验。此外,广义相对论关于引力波的预言,相对论天体物理和宇宙学关于中子星的预言,关于宇宙膨胀导致红移的预言,以及关于微波背景辐射的预言等等都分别得到天文观测的支持或证实。

范文四:爱因斯坦引力场方程

狭义相对论用以定量描述引力、时空和物质的统一性的方程。在宇宙学研究中具有重要作用。但一个场力一程的解不能反映宇宙的多样性,也不可作为宇宙有限无限性的唯一判据。由于在广义相对论中,物体的速度与质量有直接关系,所以速度会影响引力。

分享到...

内容

1.爱因斯坦场方程: R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv (Rμν-(1/2)gμνR=8GπTμν/(c*c*c*c) -gμν)

联网查看图片[方程写法]

说明:这是一个二阶张量方程,R_uv为里契张量表示了空间的弯曲状况。T_uv为能量-动量张量,表示了物质分布和运动状况。g_uv为度规,κ为系数,可由低速的牛顿理论来确定。

联网查看图片[方程说明]

解的形式是:ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2 式中A,B,C,D为度规g_uv分量。 考虑能量-动量张量T_uv的解比较复杂。最简单的就是让T_uv等于0,对于真空静止球对称外部的情况,则有施瓦西外解。如果是该球体内部的情况,或者是考虑球体轴对称的旋转,就稍微复杂一点。还有更复杂的星云内部或外部的情况,星云内部的星球还要运动、转动等。这些因素都要影响到星云内部的曲面空间。

2.含宇宙常数项的场方程: R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv 此处的Λ是宇宙常数,其物理意义是宇宙真空场。Λ*g_uv为宇宙项。 如果从数学上理解的话,则上面的场方程也可解出下面的形式: ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2 式中A,B,C,D为度规g_uv分量。 这里的ds就是表达空间弯曲程度的一小段距离。同时因为4维空间与时间有关,ds随时间也会变化。这时,如果没有宇宙项,ds随时间是增大的,宇宙就是膨胀的。如果加了宇宙项,选取适当的Λ值,ds不随时间变化,宇宙就是稳定的。 如果从物理意义上理解的话,把宇宙项移到式右边,则是: R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv-Λ*g_uv Λ项为负值,起到了斥力的作用,即宇宙真空场与普通物质场之间存在着斥力。宇宙项和通常物质场的引力作用起到了平衡的作用,所以可得到稳定的宇宙解。

由来

1905年爱因斯坦发表狭义相对论后,他开始着眼于如何将引力纳入狭义相对论框架的思考。以一个处在自由落体状态的观察者 的理想实验为出发点,他从1907年开始了长达八年的对引力的相对性理论的探索。在历经多次弯路和错误之后,他于1915年11 月在普鲁士科学院上作了发言,其内容正是著名的爱因斯坦引力场方程。这个方程式的左边表达的是时空的弯曲情况,而右边则表达的是物质及其运动。“物质告诉时空怎么弯曲。时空告诉物质怎么运动。”(惠勒语)它把时间、空间和物质、运动这四个自然界最基本的物理量联系了起来,具有非常重要的意义。爱因斯坦的引力场方程是一个二阶非线性偏微分方程组,数学上想要求得方程的解是一件非常困难的事。爱因斯坦运用了很多 近似方法,从引力场方程得出了很多最初的预言。

性质

场方程为非线性的

爱因斯坦场方程的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说,电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系(亦即两个解的线性叠加仍然是一个解)。另个例子是量子力学中的薛定谔方程,对于概率波函数也是线性的。

对应原理

透过弱场近似以及慢速近似,可以从爱因斯坦场方程退化为牛顿重力定律。事实上,场方程中的比例常数是经过这两个近似,以跟牛顿重力理论做连结后所得出。

* 词条由网民创作并享有版权,请保护版权归属

范文五:爱因斯坦智能方程

D(x0x)E(y0y)

F0. 22

D(x0x)E(y0y)

F0表示过两个切点当(x0,y0)圆外时, x0xy0y

22x0xy0y

的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为ykxb,再利用相切条件求b,必有两条切线.

(2)已知圆x2y2r2.

2

①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr;

②斜率为k

的圆的切线方程为ykxxacosx2y2

92.椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsin

x2y2

93.椭圆221(ab0)焦半径公式

ab

a2a2

PF1e(x),PF2e(x).

cc

94.椭圆的的内外部

x2y2

(1)点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部

abx2y2

(2)点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部

ab

95. 椭圆的切线方程

22

x0y0

21. 2ab22x0y0

1. a2b2

xxyyx2y2

(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

abab

x2y2

(2)过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

ab

x0xy0y

21. a2b

x2y2

(3)椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是

ab

A2a2B2b2c2.

x2y2

96.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式

aba2a2

PF1|e(x)|,PF2|e(x)|.

cc

97.双曲线的内外部

x2y2

(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部

abx2y2

(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部

ab

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

22x0y0

1. a2b222x0y0

21. 2

ab

x2y2x2y2b

(1)若双曲线方程为221渐近线方程:220yx.

aabab

xyx2y2b

(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

abaab

x2y2x2y2

(3)若双曲线与221有公共渐近线,可设为22(0,焦点在x

abab

轴上,0,焦点在y轴上).

99. 双曲线的切线方程

xxyyx2y2

(1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

abab

x2y2

(2)过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

ab

x0xy0y

21. a2b

x2y2

C0相切的条件是 (3)双曲线221(a0,b0)与直线AxBy

ab

A2a2B2b2c2.

100. 抛物线y22px的焦半径公式

p

抛物线y22px(p0)焦半径CFx0.

2

pp

过焦点弦长CDx1x2x1x2p.

22

2y2

101.抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)或 P(x,y),其中

2p

y22px.

b24acb2

(a0)的图象是抛物线:102.二次函数yaxbxca(x)(1)顶

2a4a

b4acb2b4acb21,);,);点坐标为((2)焦点的坐标为((3)准线方程是2a4a2a4a

4acb21y.

4a

2

103.抛物线的内外部

(1)点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的内部y22px(p0). 点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0). 点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). 104. 抛物线的切线方程

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(1)抛物线y22px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0).

(2)过抛物线y22px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0). (3)抛物线y22px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB22AC.

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

x2y2

21,其中kmax{a2,b2}.当(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2

akbk

kmin{a2,b2}时,表示椭圆; 当min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB

AB|x1x2||y1y2|(弦端点

A(x1,y1),B(x2,y2),由方程

ykxb2

消去y得到axbxc0,0,为直线

F(x,y)0

AB的倾斜角,k为直线的斜率).

107.圆锥曲线的两类对称问题

(1)曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0. (2)曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F(x

2A(AxByC)2B(AxByC)

,y)0. 2222

ABAB

2

108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线Ax2BxyCy2DxEyF0,用x0x代x,用y0y代y2,用

x0yxy0xxyy代xy,用0代x,用0代y即得方程 222

xyxy0xxyy

Ax0xB0Cy0yD0E0F0,曲线的切线,切点弦,中点

222

弦,弦中点方程均是此方程得到.

109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.

110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.

111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直.

112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直;

(3)转化为线与另一线的射影垂直;

(4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a.

(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0 ),a∥b存在实数λ使a=λb.



P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.



AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.



推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB,



或对空间任一定点O,有序实数对x,y,使OPOMxMAyMB.



119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,满足OPxOAyOBzOC(xyzk),则当k1时,对于空间任一点O,总有P、A、B、C四点共面;当k1时,若O平面ABC,则P、A、B、C四点共面;若O平面ABC,则P、A、B、C四点不共

面.

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby.



A、B、 C、D 四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC 

OD(1xy)OAxOByOC(O平面ABC).

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.

推论 设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实



数x,y,z,使OPxOAyOBzOC.

121.射影公式

'

已知向量AB=a和轴l,e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A,作B

'

点在l上的射影B,则

''

AB|AB|cos〈a,e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算

设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)则 (1)a+b=(a1b1,a2b2,a3b3); (2)a-b=(a1b1,a2b2,a3b3); (3)λa=(a1,a2,a3) (λ∈R);

(4)a·b=a1b1a2b2a3b3; 123.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 124.空间的线线平行或垂直



ABOBOA= (x2x1,y2y1,z2z1).

rr

设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则

x1x2

rrrrrr

aPbab(b0)y1y2;

zz

21

rrrr

abab0x1x2y1y2z1z20.

125.夹角公式

设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 cos〈a,b〉

.

22222

推论 (a1b1a2b2a3b3)2(a1a2a3)(b12b2b3),此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中, AC与BD所成的角为,则

|(AB2CD2)(BC2DA2)|

cos.

2ACBD

rr

cos|cosa,b|

rr

|ab|

=

|a||b|roo

b所成角,a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)(其中(090)为异面直线a,

128.直线AB与平面所成角

ABm

(m为平面的法向量). arcsin|AB||m|

129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABC的两个内角,则

127.异面直线所成角

sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特别地,当ACB90时,有

sin21sin22sin2.

130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面

''

成的角分别是1、2,A、B为ABO的两个内角,则

tan21tan22(sin2A'sin2B')tan2.

特别地,当AOB90时,有

sin21sin22sin2. 131.二面角l的平面角



mnmn

arccos或arccos(m,n为平面,的法向量).

|m||n||m||n|

132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线,且BC⊥AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为1,AB与AC所成的角为2,AO与AC所成的角为.则coscos1cos2.

133. 三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ,则有sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos ;

|12|180(12)(当且仅当90时等号成立).

134.空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 135.点Q到直线l距离



d

A,B=|AB|.

h(点P在直线l上,直线l的方向向量a=PA,向量

b=PQ).

136.异面直线间的距离



|CDn|

(l1,l2是两异面直线,其公垂向量为n,C、D分别是l1,l2上任一点,d为d

|n||ABn|(n为平面的法向量,AB是经过面的一条斜线,A). d

|n|

l1,l2间的距离).

137.点B到平面的距离

138.异面直线上两点距离公式

d

ddEAA'F).

(两条异面直线a、b所成的角为θ,其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两

'

点E、F,AEm,AFn,EFd). 139.三个向量和的平方公式

'

2222 (abc)abc2ab2bc2ca

222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a

140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3,夹角分

别为1、2、3,则有

2

l2l12l2l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

S'

S.

cos

(平面多边形及其射影的面积分别是S、S,它们所在平面所成锐二面角的为). 142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则

①S斜棱柱侧c1l. ②V斜棱柱S1l.

143.作截面的依据

三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.

145.欧拉定理(欧拉公式)

VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

(1)E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形,则面数F与棱数E的关系:E

'

1

nF; 2

1

mV. 2

(2)若每个顶点引出的棱数为m,则顶点数V与棱数E的关系:E146.球的半径是R,则

4

R3, 3

2

其表面积S4R.

其体积V

147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a

148.柱体、锥体的体积

,

. 1

V柱体Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高).

31

V锥体Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高).

3

149.分类计数原理(加法原理) Nm1m2mn. 150.分步计数原理(乘法原理) Nm1m2mn. 151.排列数公式

m

=n(n1)(nm1)=An

n!*

.(n,m∈N,且mn).

(nm)!

注:规定0!1.

152.排列恒等式

mm1

(1)An; (nm1)An

nm

An1; nmmm1

(3)AnnAn1;

(2)An

m

nn1n(4)nAnAnA1n; mmm1(5)An. 1AnmAn

(6) 1!22!33!nn!(n1)!1. 153.组合数公式

C

mn=

Anmn(n1)(nm1)n!*

==(n∈N,mN,且mn). m

12mm!(nm)!Am

154.组合数的两个性质

mnm

(1)Cn=Cn ; mm1m(2) Cn+Cn=Cn1. 0注:规定Cn1.

155.组合恒等式

nm1m1

Cn; mnmm

Cn(2)Cn1; nmnm1m

(3)CnCn1;

m

(1)Cn

m

(4)

C

r0rr

n

rn

=2;

n

rr1

(5)CCrr1Crr2CnCn1. 012rn(6)CnCnCnCnCn2n. 135024(7)CnCnCnCnCnCn2n1. 123n (8)Cn2Cn3CnnCnn2n1. r0r110rrr(9)CmCnCmCnCmCnCmn. 021222n2n(10)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

156.排列数与组合数的关系

mm

. Anm!Cn

157.单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”

m1①某(特)元必在某位有An1种;②某(特)元不在某位有AnAn1(补集思想)

m

m1

1m1m1m1An1An1(着眼位置)An1Am1An1(着眼元素)种.

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)

kmk

①定位紧贴:k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种.

nk1k②浮动紧贴:n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak种.注:此类问题

常用捆绑法;

③插空:两组元素分别有k、h个(kh1),把它们合在一起来作全排列,k个的一

hk组互不能挨近的所有排列数有AhAh1种.

(3)两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?

nAmn1

当nm1时,无解;当nm1时,有nCm1种排法.

An

n

(4)两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个,各组元素分别相同的排列数为Cmn.

158.分配问题

(1)(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人,各得n件,其分配方法数共有NCmnCmnnCmn2nC2nCn

n

n

n

n

n

(mn)!

. m

(n!)

(2)(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆,其分配方法数共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCn

. Nm

m!m!(n!)

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人,物件必须被分完,分别得到n1,n2,„,nm件,且n1,n2,„,nm这m个数彼此不相等,则

nmn1n2

其分配方法数共有NCpCpCnm!n1...m

p!m!

.

n1!n2!...nm!

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人,物件必须被分完,分别得到n1,n2,„,nm件,且n1,n2,„,nm这m个数中分别有a、

p!m!

.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)

(5)(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1,n2,„,nm件无记号的m堆,且n1,n2,„,nm这m个数彼此不相等,则其分配方法数

p!

有N.

n1!n2!...nm!(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1,n2,„,nm件无记号的m堆,且n1,n2,„,nm这m个数中分别有a、b、c、„个相等,

p!

则其分配方法数有N.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)

(7)(限定分组有归属问题)将相异的p(pn1+n2++nm)个物体分给甲、乙、丙,„„

b、c、„个相等,则其分配方法数有N

等m个人,物体必须被分完,如果指定甲得n1件,乙得n2件,丙得n3件,„时,则无论n1,

nmn1n2

CpCpCnm!n1...m

n2,„,nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2

NCpCpCnn1...m

p!

.

n1!n2!...nm!

159.“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

f(n)n![

1111(1)n]. 2!3!4!n!

推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为

1234

f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!

(1)C(np)!(1)C(nm)!

p

p

m

m

mm

1234pmCmCmCmCmpCmmCm

n![11224(1)p(1)m].

AnAnAnAnAnAn

160.不定方程x1+x2++xnm的解的个数

(1)方程x1+x2++xnm(n,mN)的正整数解有Cn1个.

m1

(2) 方程x1+x2++xnm(n,mN)的非负整数解有 Cnm1个.

(3) 方程x1+x2++xnm(n,mN)满足条件xik(kN,2in1)的非负整数解有Cm1(n2)(k1)个.

(4) 方程x1+x2++xnm(n,mN)满足条件xik(kN,2in1)的正整数解有Cn1C1Cn1C2Cn1(1)n2Cn2Cn1个.

nm1n2mnk2n2mn2k3n2m1(n2)k

161.二项式定理

0n1n12n22rnrrnn

(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb ;



n1

n1

二项展开式的通项公式

rnrr

1,2,n). Tr1Cnab(r0,

162.等可能性事件的概率

P(A)

m

. n

163.互斥事件A,B分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B).

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1+A2+„+An)=P(A1)+P(A2)+„+P(An). 165.独立事件A,B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·„· An)=P(A1)· P(A2)·„· P(An). 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kk

Pn(k)CnP(1P)nk.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1)P,2,); i0(i1(2)P1P21. 169.数学期望

Ex1P1x2P2xnPn

170.数学期望的性质

(1)E(ab)aE()b. (2)若~B(n,p),则Enp.

(3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qk1p,则E

171.方差 1. p

Dx1Ep1x2Ep2xnEpn

172.标准差 222

=D.

173.方差的性质

(1)Daba2D;

(2)若~B(n,p),则Dnp(1p).

(3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qk1p,则Dq. p2

174.方差与期望的关系

DE2E.

175.正态分布密度函数 2

f

xx226,x,,式中的实数μ,(>0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.

176.标准正态分布密度函数

xf

x2,x,. 2177.对于N(,),取值小于x的概率

xFx. 

Px1x0x2Pxx2Pxx1 2

Fx2Fx1

xx12. 

178.回归直线方程

nnxiyixiyinxybi1

ni1n2yabx,其中22. xxiii1i1a179.相关系数 rx

yii

n x

yiin|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

0n(1)limq1n不存在|q|1q1|q|1或q1.

0(kt)aknkak1nk1a0at(2)lim(kt). nbntbnt1bbtt10k

不存在 (kt)

(3)Slima11qn

1q

xx0na11q(S无穷等比数列aq (|q|1)的和). n11181. 函数的极限定理 xx0limf(x)alimf(x)limf(x)a. xx0

182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x),g(x),h(x)在点x0的附近满足:

(1)g(x)f(x)h(x);

(2)limg(x)a,limh(x)a(常数), xx0xx0

则limf(x)a. xx0

本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立.

183.几个常用极限

10,liman0(|a|1); nnn

11(2)limxx0,lim. xx0xx0xx0(1)lim

184.两个重要的极限

(1)limsinx1; x0x

x1(2)lim1e(e=2.718281845„). xx

185.函数极限的四则运算法则

若limf(x)a,limg(x)b,则 xx0xx0

(1)limfxgxab; xx0

xx0(2)limfxgxab;

(3)limxx0fxab0. gxb

n186.数列极限的四则运算法则 若limana,limbnb,则 n

(1)limanbnab; n

n(2)limanbnab;

(3)limanab0 nbbn

nnn(4)limcanlimclimanca( c是常数).

187.f(x)在x0处的导数(或变化率或微商)

f(x0)yxx0limf(x0x)f(x0)ylim. x0xx0x

188.瞬时速度

s(t)limss(tt)s(t)lim. t0tt0t

189.瞬时加速度

av(t)limvv(tt)v(t)lim. t0tt0t

190.f(x)在(a,b)的导数

dydfyf(xx)f(x)f(x)ylimlim. dxdxx0xx0x

191. 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0),相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).

192.几种常见函数的导数

(1) C0(C为常数).

(2) (xn)'nxn1(nQ).

(3) (sinx)cosx.

(4) (cosx)sinx.

(5) (lnx)11ex;(loga)loga. xx

(6) (ex)ex; (ax)axlna.

(1)(uv)uv.

(2)(uv)uvuv. ''''''193.导数的运算法则

u'u'vuv'

(v0). (3)()vv2

194.复合函数的求导法则

设函数u(x)在点x处有导数ux''(x),函数yf(u)在点x处的对应点U处有

'''导数yu'f'(u),则复合函数yf((x))在点x处有导数,且yx,或写作yuux

fx'((x))f'(u)'(x).

195.常用的近似计算公式(当x充小时) 11x;x1x; 2n

11x; (2)(1x)1x(R); 1x

x(3)e1x; (1)x1

(4)ln(1x)x;

(5)sinxx(x为弧度);

(6)tanxx(x为弧度);

(7)arctanxx(x为弧度)

196.判别f(x0)是极大(小)值的方法

当函数f(x)在点x0处连续时,

(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)是极大值;

(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)是极小值. 197.复数的相等

abicdiac,bd.(a,b,c,dR)

198.复数zabi的模(或绝对值)

|z|=|a

bi|199.复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i; (4)(abi)(cdi)acbdbcad2i(cdi0). 222cdcd

200.复数的乘法的运算律

对于任何z1,z2,z3C,有

交换律:z1z2z2z1.

结合律:(z1z2)z3z1(z2z3).

分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3 .

201.复平面上的两点间的距离公式

d|z1z2|(z1x1y1i,z2x2y2i).

202.向量的垂直 非零复数z1abi,z2cdi对应的向量分别是OZ1,OZ2,则

z OZ1OZ2z1z2的实部为零2为纯虚数|z1z2|2|z1|2|z2|2 z1

|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2 (λ为非零实数).

203.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程axbxc0, 2

①若b4ac0,

则x1,2b2②若b4ac0,则x1x2; 2a

2③若b4ac0,它在实数集R内没有实数根;在复数集C内有且仅有两个共轭

22复数根xb4ac0).

范文六:爱因斯坦与方程的小故事

C  H  U  Z  H  o  N  G  S  H £ N  G  S  H  l   J   l   E  

爱 因斯坦与方程 的小 故事 

宋 子君  

有一次 , 著 名 物 理 学 家 爱 因斯 坦 病 了 ,  

他 的一 位 朋 友 给 他 出 了一 道 题 消 遣 :  

分 ,这 时 时 针 离 1 2 点 有Y 个刻 度 ,  =  

6 0 x , + z@

. 

“ 时钟 上 的针 指 向 1 2 点钟 , 在这个位置  如果把 长针和短 针对调 一下 , 它 们 所 指 示 

1 2  

这 样 就 得 到 了一 个 不 定 方 程 组 :  

6 0 x+  ̄  

= — —— 一 :  

的位 置 还 是 合 理 的 .但 是 在 有 的 时 候 , 比  如6 点钟 , 时针 和分针 就不 能对 调 . 否 则会  出现时针指 1 2 , 而 分 针 指 6, 这 种 情 况 是 不 

可能 的.  

1 2  

6 0 x1  

I / " =一 .  

1 2  

问针 在 什 么 位 置 时 ,时 针 和分 针 可 以 

其 中 和  是不 大于1   1 的正 整 数 或 0 .   让  和  取0 到1 1 的各 种 数 值 时 ,可 以 

对调, 使 得 新 位 置 仍 能 指 示 某 一 实 际 上 可  能 的 时刻 ? ”  

爱 因斯 坦 说 : “ 这 对 于 病 人 确 实 提 了 一 

个 很 有 意 思 的 问 题 ,有 趣 味 而 不 太 容 易 .  

搭配 出1 4 4 组 解 .但 是 当 x = O ,   I = 0 时 是 时 

针、 分针 同时指 向1 2 点; 而x = l l ,   1 : 1 1 时 算 

出y = 6 0 , z = 6 0 是 1 l 点6 0 分 , 即1 2 点 .这 样   =  

只 是消磨不 了多少 时间 , 我 已经 快 解 出来   组 不定 方 程 只有 1 4 3 组解.   了. ” 说 着 他 在 纸 上就 解 起 来 了 .   爱 因斯 坦 画 了个 草 图 .钟 盘 上 共 有 6 0   个 刻度 . 分 针 运 转 的速 度 是 时 针 的 1 2 倍.   设 所 求 的 时 针 的位 置 是  点y 分 ,此 时 

0 ,  = 0 与x = l 1 , X l = l 1 是 同一 组 解 .因 此 , 这 

比 如, 当   =   ,   = 1 时, 解 出 y   5 音,  

11,

分针在离 1 2 点有y 个 刻 度 的位 置 , 时 针 在 离  对调 ;   1 2 点 有  个 刻 度 的地 方 .   当  =2,   时针 走 一点 时 , 分 针要 转 一 圈 , 也 就  是要转6 0 个 刻 度 .如 果 时 针 指 向 点 钟 ,   分针 要转戈 圈, 要 转过 6 0 x 个 刻 度 .现 在 时 

说 明  5 音 分 时 , 两 针 重 合 , 可 以  

3   n 4, 解 出 y=1 5   1 3 5

, 

4 3, 就 ll   L 1 4

35 是2 _ Q , , 1 5   1

1 43

分 与3 点1   1  

针 指 向 点 y 分 , 分针从 1 2 点 起 已 转 过 了  分 两 针 可 以对 调 .   6 0 x + y 个 刻 度 .由 于 时 针 运 转 的速 度 是 分   爱 因 斯 坦 的 朋 友 十 分 钦 佩 他 的 解 题  针 的十二分之一 , 所 以 时 针 转 过 的刻 度 是   能 力 .  

, ——

6 0 x + y d .  

1 2   ’’  

把时针 、 分 针 对 调 以后 , 设 所 指 时刻 为 

( 作者单位 : 江 苏省 常 州 I 外 国语 学校 )  

T   n t e [ 1 i g e n t   ma t h e ma t i c s  

1 ■ 慧数 掌 

范文七:爱因斯坦方程又叫什么

爱因斯坦方程主要是指爱因斯坦在质量和能量之间转换中所发现的质量亏损和质量守恒等关系和定律的应用和引进的方程式。 其表述公式通式为E=mc2。

在经典力学中,质量和能量之间是相互独立、没有关系的,但在相对论力学中,能量和质量只不过是物体力学性质的两个不同方面而已。这样,在相对论中质量这一概念的外延就被大大地扩展了。爱因斯坦指出:“如果有一物体以辐射形式放出能量ΔE,那么它的质量就要减少ΔE/c。至于物体所失去的能量是否恰好变成辐射能,在这里显然是无关紧要的,于是我们被引到了这样一个更加普遍的结论上来。物体的质量是它所含能量的量度”。他还指出:“这个结果有着特殊的理论重要性,因为在这个结果中,物体系的惯性质量和能量以同一种东西的姿态出现……,我们无论如何也不可能明确地区分体系的„真实‟质量和„表现‟质量.把任何惯性质量理解为能量的一种储藏,看来要自然得多”。这样,原来在经典力学中彼此独立的质量守恒和能量守恒定律结合起来,成了统一的“质能守恒定律”,它充分反映了物质和运动的统一性。故而,爱因斯坦方程又被成为质能方程。

范文八:关于爱因斯坦场方程的四种场力球对称解的探讨

关于爱因斯坦场方程的四种场力球对称解的探讨

12 肖军 吴显鼎

1黄河科技学院,河南郑州(450063)

2郑州大学信息工程学院,河南郑州(450052)

E-mail: wuxianding@163.com

摘 要:本文根据爱因斯坦场方程及不变距离,论证了广义相对论中的固有距离实际上就是与两物体非平方反比作用力等效的平方反比作用距离,该距离与两物体的实际作用距离的关系可用度规分量来描述。由于不同场力对应有不同的度规分量,因此必须抛弃时空弯曲假设,应用爱因斯坦场方程才不仅能够得到万有引力公式,而且还可得到电力、核力及弱力的作用公式,这一新观点为建立四种场力的统一理论又开辟一条新途径。

关键词:爱因斯坦场方程 四种场力的统一理论 等效作用距离 作用力

中图分类号:O412.2

1、 引言

爱因斯坦在完成狭义相对论和广义相对论之后,为解释物质的基元结构,曾试图建立一个包括引力场和电磁场的统一场理论,他为此努力了后半生还是未能得到有价值的成果。不过他的工作为包括建立四种作用力的超统一理论指明了方向。由广义相对论理论可知,对于质量分别为M、m两物体,若它们分别位于空间A(a,

a,a)、B(b,b,b)两点,见图1所示,其间的引力作用可以用度规场来描述,对于球对称外引力场度规经过充分化简后,可得到不变距离

2222s2g00c2TbTag11bababasinbsinaba (1) 

[1] 并由爱因斯坦场方程

R0 (2)

可证明,度规分量g00和g11满足[2]

g00g111 (3)

席瓦西尔在牛顿引力近似下由(1)式曾得到

g001

r2GM弱场条件下成立,在r0时因发散不能成立。

度规分量g00的一般形式可写成 2GM (4) c2r图1 不变距离s的几何关系 实际上,这个结果是场方程的近似解,它仅有在

mg00mar2bV (5)

其中a(r)是任意函数;b是待定常量;V是场的作用势能;m是被作用物体的质量。本文在(2)式场方程的基础上,借助于(5)式,不仅能够导出不存在原点发散的万有引力作用公式,还能导出电场力、弱力及核力作用公式。

2、场方程的的四种场力解的导出

2.1、万有引力

由于图1中A、B两物体间的作用距离r为

222r2bababasinbsinaba (6) 

所以,(1)式又可写成形式为

22 (7) s2g00c2TbTag111

bar2l2TbTa2

式中

l2g111bar2 (8)

在广义相对论中把l称为固有距离,但没有给出其物理意义。其实,所谓的固有距离l实际上就是与两物体间引力等效的平方反比作用距离。当我们把球坐标系的原点位置选在A点位置上时,因 2

bar (9)

[3]由(8)式知,引力的平方反比等效作用距离l与真实作用距离r有关系式

l2g11r2 (10)

从(10)式易看出,如果g111,两物体间的真实作用距离r是不等于两物体间的平方反比等效作用距离l。因此,对于相距为r的两物体间的非平方反比关系的引力作用公式应与作用距离为l的平方反比关系的作用公式等价,即有

GMmGMmGMmFV(r)2r0rgr0 (11) 000lg11r2r2

其中V(r)是引力作用势能;r0r/r。

若令 

uR/r (12)

由(11)式易得到标量方程

VGMmg00 (13) uR

其中度规分量g00只有满足

g00euRV (14) GMm

由(13)式才能够得到存在有与作用距离r成反比解的方程是

GMmVeu (15) uR

由此方程易得到万有引力的作用势能是

V

相应的万有引力作用公式是 GMmuGMmR/ruee (16) Rr

RGMmFV(1)eR/rr0 (17) rr2

很明显,Veu,其中就是牛顿引力势,并满足方程

u42228G Ru

牛顿的万有引力公式是(17)式在取R0时的结果,而席瓦西尔导出的万有引力公式则是2rR时的近似结果。

2.2、电场力、弱力及核力

类似上述方法也可以导出电场力、弱力及核力作用公式。对于电场力,其作用势能V是满足

Vg00kQqr0 (18) r2

式中k1/40。依据uR/r假设,(18)式也可写成形式为

VkQqg00 (19) uR

若令电场力的度规分量g00满足

g00eu

就可得到 RV (20) kQq

kQqVeu (21) uR

由此方程可解得电场力的作用势是

VkQqukQqR/ruee (22) Rr

相应的电场作用力公式是

kQqFV1R/reR/r

2r0 (23) r

根据影响粒子衰变的弱力作用强度,在弱力最大作用距离rm空间内,即当rrm时,空间介电常数0可能是1,如果是这样,由(21)式可知这个弱力作用势能V是满足

VeuVmeum

uQquQq11duC (24) 4Rum4rrm如果令积分常量CVmem,即可得到弱力作用势能

VQqrQqr(1)eu(1)eR/r (25) 4rrm4rrm

相应的弱力作用公式是

QqFV1R/rR/rmeR/rr0 (26) 4r2

同理,对于核力,若令其作用势能V满足

cVg002r0 (27) r

也可得到

Vcg00 (28) uR

如果再令式中核力的度规分量g00满足

g00eu1/u

就能够得到 R112V (29) cu

cu1/uVe (30) uR

由此方程可解得核力的作用势能

Vcu1/ucueeR/rr/R (31) Rr

相应的核力公式是

cFV1R/rr/ReR/rr/R

2r0 (32) r

3、讨论

不难看出,前面导出的引力、电力、弱力及核力在r0时若不出现无穷大奇点。R就不能为零。有一种结果能够满足R不为零的要求,就是假设R与两作用物体的质量M、m有关系式

RGMm (33) cc2

式中M和m分别是两作用物体的质量;=h/2;h是普朗克(Planck)常数; c是光速; G是牛顿万有引力常数;Mm/(Mm)是折合质量。在下述两种情形,(33)式还可简化为

G(Mm)/c2,当Mc/G时;R (34) /c当Mc/G时。

把(16)式代入(14)式可得到用于描述物质引力场的度规分量

g00(1R/r)eR/r (35)

34)式知,RG(Mm)/c2。于是,对于rR情形,(35)式可进一步简化为

g0012R/r12G(Mm)/c2r (36)

这正是席瓦西尔在牛顿引力近似下得到的结果。同理,也可得到用于描述电场的度规分量是

g00[1/cr]e/cr (37)

用于描述弱力场的度规分量是

g00[1Rr(1)]eR/r (38) 4krrm

用于描述核力场的度规分量是

g001R/rr/ReR/rr/R (39)

很明显,用于描述四种场力的度规分量g00是不同的,因而作用规律也是各不相同, 其中万有引力和电场力是长程力,它们的强度相差1037倍,作用力随作用距离r变化关系曲线如图2所示。与牛顿引力定律和库仑定律不同的是存在有一个零作用力的有限不为零的作用距离r0,并有r0R,在作用距离r由大于

R到小于R时,作用力变号,也就是说原来

为引力的变成了斥力,原来为斥力的变成了引

力,这是牛顿引力定律和库仑定律所没有的特

性。事实上,这一特性早已被实验所证实。我

们知道,电子和质子之间是吸引力作用,可是

在对氢、重氢和离化氦的精细结构测量所显 图2 引力及电力的F~r关系曲线 示的能级位移可知,对于靠得较近的电子与质

子之间存在有弱的斥力作用。另外,在晶格中

运动的两个靠得较近的电子间存在有吸引作

用,在这种吸引力的作用下,两个电子能够形

成电子“库珀对”,这些实验结果都能够支持

前面导出的电场力公式成立。弱力和核力是

短程力,这两种力与长程力不同,它们会随 图3 核力的F~r关系曲线 作用距离的增大很快趋于零,图3是由(32)

式绘制的核力随作用距离r变化关系曲线。很明显,核力也存在有一个零作用力有限不为零的作用距离r0,并有r0=0.618R,在核力作用距离r由大于0.618R到小于0.618R时,作用力变号。核力的这种转换在核物理实验中已被证实[4]。

4、结论

综上可知,四种场力的实际作用力FV(r)并非是与作用距离r间严格满足平方

反比关系,它可以用一个严格满足平方反比关系的等效作用距离l来描述。若用数学表述,就有

V(r)Kr20 (40) l

l和r间的关系可用黎曼几何中的度规张量联系,由爱因斯坦场方程可证明l和r间有(10)式关系。度规张量的分量g001仅仅是说明引力不严格遵循平方反比定律,其偏离程度是用黎曼几何中的度规张量g00来体现。在黎曼空间中g00一般不是常量,因而可用它来描述非平方反比关系的场力,只有当g001时,场力才是严格与作用距离r平方成反比。

参考文献

[1] J.韦伯,广义相对论与引力波,科学出版社,1979,p52。

[2] 俞允强,广义相对论引论,北京大学出版社,1985,p88。

[3] 肖军.统一场及动体电磁理论.哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,2008,p25。

[4] 杨纯斌、蔡勖,夸克与轻子物理——原理导引,华中师范大学出版社,2000,p12。

Discussion on spherically symmetric solution of the four

field force of Einstein field equations

Xiao Jun1 Wu Xianding2

1 Huanghe S&T College,Zhengzhou, PRC, (450063)

2 Zhengzhou University information engineering,Zhengzhou,PRC, (450052)

E-mail:xj5107@163.com wuxianding@163.com

Abstract

Based on Einstein′s equation and the invariant distance theory, the natural distance in general relativity actually was the equivalent inverse square operation distance which came from the un-inverse square interaction force in two objects was have been demonstrated in the article. The relationship from the equivalent inverse square operation distance and the actual distance can be depicted by the metric component. Because different field force is correspondence with different metric component, the Bending of space-time suppose should be discarded. Based on this prerequisite, the improved universal gravitation, also the formula of Electric field force, nuclear force and weak force can be gained from Einstein′s field equation. This new viewpoint show us a new way of the unified theory of that four field forces.

Keywords: Einstein field equations unified field theory the equivalent role distance role force

范文九:爱因斯坦场方程-维基百科,自由的百科全书

爱因斯坦场方程 - 维基百科,自由的百科全书

显示↓关闭↑字词转换说明

字词转换是中文维基的一项自动转换,目的是通过计算机程序自动消除繁简、地区词等不同用字模式的差异,以达到阅读方便。字词转换包括全局转换和手动转换,本说明所使用的标题转换和全文转换技术,都属于手动转换。

如果您想对我们的字词转换系统提出一些改进建议,或者提交应用面更广的转换(中文维基百科全站乃至MediaWiki软件),或者报告转换系统的错误,请前往Wikipedia:字词转换请求或候选发表您的意见。广义相对论

入门

数学形式 显示▼隐藏▲基础概念

狭义相对论

等效原理

世界线 · 黎曼几何

显示▼隐藏▲现象

开普勒问题 · 引力时间延迟

参考系拖拽 · 测地线效应

引力透镜效应 · 重力波

黑洞 · 视界 · 引力奇点

显示▼隐藏▲方程

线性化重力

参数化后牛顿形式(PPN)

爱因斯坦场方程

弗里德曼方程

显示▼隐藏▲进阶理论

卡鲁扎-克莱因理论

量子引力

显示▼隐藏▲爱因斯坦场方程的解

史瓦西 · Kasner · 克尔

克尔-纽曼 · 雷斯勒-诺斯特朗姆

米尔恩 · 罗伯逊-沃尔克

显示▼隐藏▲科学家

爱因斯坦 - 闵可夫斯基 - 爱丁顿

勒梅特 - 史瓦西

罗伯逊 - 克尔 - 弗里德曼

钱德拉塞卡 - 霍金

查 • 论 • 编 • 历

从等效原理(1907年)开始,到后来(1912年前后)发展出“宇宙中一切物质的运动都可以用曲率来描述,重力场实际上是弯曲时空的表现”的思想,爱因斯坦历经漫长的试误过程,

于1916年11月25日写下了重力场方程而完成广义相对论。这条方程称作爱因斯坦重力场方程,或简为爱因斯坦场方程或爱因斯坦方程:

其中

称为爱因斯坦张量,

是从黎曼张量缩并而成的里奇张量,代表曲率项;

是从(3+1)维时空的度量张量;

是能量-动量-应力张量,

是重力常数,

是真空中光速。

该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。球面对称的准确解称史瓦西解。

目录 [隐藏]

1 爱因斯坦场方程的性质

1.1 能量与动量守恒

1.2 场方程为非线性的

1.3 对应原理

2 添加宇宙常数项

3 真空场方程

3.1 宇宙常数为零

3.2 宇宙常数不为零

4 参见

5 参考文献

[编辑] 爱因斯坦场方程的性质

[编辑] 能量与动量守恒

场方程的一个重要结果是遵守局域的(local)能量与动量守恒,透过应力-能量张量(代表能量密度、动量密度以及应力)可写出:

场方程左边(弯曲几何部份)因为和场方程右边(物质状态部份)仅成比例关系,物质状态部份所遵守的守恒律因而要求弯曲几何部份也有相似的数学结果。透过微分比安基恒等式,以描述时空曲率的里奇张量(以及张量缩并后的里奇标量)之代数关系所设计出来的爱因斯坦张量可以满足这项要求:

[编辑] 场方程为非线性的

爱因斯坦场方程的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说,电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系(亦即两个解的线性叠加仍然是一个解)。另个例子是量子力学中的薛定谔方程,对于概率波函数也是线性的。

[编辑] 对应原理

透过弱场近似以及慢速近似,可以从爱因斯坦场方程退化为牛顿重力定律。事实上,场方程中的比例常数是经过这两个近似,以跟牛顿重力理论做连结后所得出。

[编辑] 添加宇宙常数项

爱因斯坦为了使宇宙能呈现为静态宇宙(不动态变化的宇宙,既不膨胀也不收缩),在后来又尝试加入了一个常数相关的项于场方程中,使得场方程形式变为:

可以注意到这一项正比于度规张量,而维持住守恒律:

此一常数Λ被称为宇宙常数。

这个尝试后来因为两个原因而显得不正确且多此一举:

此一理论所描述的静态宇宙是不稳定的。

十年后,由爱德温·哈伯对于远处星系所作观测的结果证实我们的宇宙正在膨胀,而非静态。

因此,Λ项在之后被舍弃掉,且爱因斯坦称之为“一生中最大的错误”("biggest blunder

[he] ever

made")[1]。之后许多年,学界普遍设宇宙常数为0。

尽管最初爱因斯坦引入宇宙常数项的动机有误,将这样的项放入场方程中并不会导致任何的不一致性。事实上,近年来天文学研究技术上的进步发现,要是存在不为零的Λ确实可以解释一些观测结果。[2]

[3]

爱因斯坦当初将宇宙常数视为一个独立参数,不过宇宙常数项可以透过代数运算移动到场方程的另一边,而将这一项写成应力-能量张量的一部分:

刚才提到的项即可定义为:

而另外又可以定义常数

为“真空能量”密度。宇宙常数的存在等同于非零真空能量的存在;这些名词前在广义相对论中常交替使用。也就是说可以将看成和是一样类型的量,只是的来源是物质与辐射,而的来源则是真空能量。物质、辐射与真空能量三者在物理宇宙学中扮演要角。

[编辑] 真空场方程

[编辑] 宇宙常数为零

若能量-动量张量Tμν在所关注的区域中为零,则场方程被称作真空场方程。在完整的场方程中设定Tμν = 0,则真空场方程可写为:

对此式做张量缩并,亦即使指标μ跟ν相同:

由于,整理可得:

而克罗内克尔δ在四维空间(时空)下取迹数为4,所以式子可写作:

是故。

因此可以得到此一更常见、等价的迹数反转(trace-reversed)式:

[编辑] 宇宙常数不为零

若宇宙常数不为零,则方程为

若同上面宇宙常数为零的例子,其迹数反转(trace-reversed)形式为

真空场方程的解顾名思义称作真空解。平直闵可夫斯基时空是最简单的真空解范例。不寻常的真空解范例包括了史瓦西解与克尔解。

附带一提的是:微分几何中,里奇张量为零(即:Rμν = 0)的流形称作里奇平坦流形,另外里奇张量与度规成比例关系的流形,称为爱因斯坦流形(Einstein

manifold)。

[编辑] 参见

范文十:爱因斯坦引力场方程及精确解

十 堰 大 学 学 报 自然 科 学 版

年第

爱 因 斯 坦 引 力 场 方 程 及 精 确 解

范 秀 英

广 义 相对 论 的 基 本 观 点 是 时 空 结 构 取 决 于物 质 的 分 布 及 运 动

’ ·’

爱因 斯坦 提 出 的

,

一 了二辰 冬了二辰

·

·

场 方 程 即 弓 力 场的 基 本 运 动 规律 体 现 了

运 动 的物 质 及 其 分 布 决 定 周 围 的 时 空 性

且边 界上 鲍

二。

一。

质 对 任意 坐 标 变换 场方 程 形 式 不 变 而 在

弱 场 情 况 下 与 牛顿 引 力 的 泊 松 方 程 对 应 对 论 全 部 内容

· ’·

,

爱因斯坦 弓力场方程 实际上包 括 了广义相

布命 互 去

、 ,

,

·

·

了 一

为 任 意 变分

一 爱 因 斯 坦 引力 场 方程 的 导 出

假 设 引 力场 在 尺 度 上 均 匀

· 、

一。

,

是 只依

,

。,

此 即为无物质 时真 空引 力场方 程

赖 于 度 规 及 一 阶 二 阶 导 数的 张 量 具 对 称

守恒

物 质 在 弯 曲 时 空 中拉 氏 函 数

‘ 七 一

在弱场 能 量 的表 达 式

。、

,

。,

—一

。、

动 量张量

正比

可得

。、

·

,

·

。,

且 如

·

常数

入 常设 为 零

这 样 可得 出 爱 因 斯 由 从 根 本上 反 映 物

阿 狱 令 货 独立 变分 有 等 易等

,

, 一

坦 引力 场方 程 的 形 式

即 物 质 在 弯 曲时 空 中运 动方 程

…。

。,

理 规 律 本质 的 最 小 作 用量 原 理 可 严 格 导 出

爱 因斯坦 引力场方程 设 引 力 场 与 物 质 的作 用 量 分 别 是

告 争 益会

动量 张 量

,

“ “ 〕… ‘

令能 量

二弄 不

。 一。

须满 足 。

二 了 厄

认、一

二厂 又 不亏 一 一二万 」

,

·

、 。

了二 百 。 得

二,“ 二

为 整 个 四 维 时 空 区域

几汽 丁

·

。二

二。

厂百

再由

… 音

“一 。

的任意性 得 爱 因斯 坦 引 力 场 方 程

。 丫 二百

爱 因斯 坦 引 力 场 方 程 及 精 确 解

一 万于

丁刃

,

场 方 程 左 边 描写 时 空 几 何性 质 的 量 右 边 描 写 物质 性 质的 量

,

聂静

止 时此 项 为

,

。 ,

,

二 弓 力场 方程 的 精确解

爱因斯坦场方 程 的各种精确 解 已 由 等人 于 确解 由

又于 方 程 的精 确 解

。 。

,

,

“。

乙 卫

年前 后 讨 论

于 于

! ‘

用常

,

二卜

, ,

密度 的 一 个 理 想 流 体球 模 型 求场 方 程 的精

,

年 求得

年 给 出 了 流 体 球 的五 种 场

年 详细 讨 论

告 一 子

鑫一

,

’一 。

了 求解 爱 因斯 坦 场 方 程 的 普遍 假 定

白 1 1

, ,

,

,

,

, L )

球 对 称静 态 存

量 对 时 间导 数 为 零

一。

, ,

所有

一 百g

“ “

气 g

_

‘,

, 2

一g ,

,

·

一g

( 9

“‘ ,

,

)

,

, ,

,

‘,

,

,

~

1 言户 ~ 1 白

31 . 3 ) 目 一 口

1 葺-

z 1 一9

33

13

, 3 + 9 3 3

· 1

,

,

9

r

0 y e

的函数

一 一

,

,

,

2 呈

_

1 0 ZL2 . 9 1(g + g, :

。。 ,

.

2

一9 ~1 ~

22

, : )

日中

0 o 沱

0

i g

一 e,

0

一e, S

卫 l t s e 月 1 . 了

Z Z in x

{

e

0

0

—e

一e

一p 0

Z Z 一 ep / S in x }

P

一 2

1

曰 一 1 少

g

‘’

(g

;;

,

, +

g

“g :

,

, l

一 g“g

) (

; ; .;

)

g !19 11 一

, 1

(e 一 合

1., g :

·

一e

。 )

1

l2 a 一

“,

一 ““

·

:一 P全

g 粤

叙 叙 一 永 下一 了 丽

‘ (g :L .1 +

一g

, 1

ll. L) !1 。

,

g 合

l

人 .万 自 一 心

。。

( g

!0

+

g

。!

一g

,

P

一百

e一

e

, (

e

. )

o

yao

3( 1 3 9!93 一 92 告 39 93‘ 33 , 一 一 告 !91 一 9 2 , 92(0 一 P呈 合 一 g ’ 告 3(0 93 一 9191 P璧 一 , 合 g ‘ 33 ’ 9 一 告 一P; 一 民 音 2( 1 9 92 r :2一 91 2 一 , 合 g 一 告 3 1 93 3 !1 93 、一 9 ( 一 , 告 1( 1 3! 9!93 一 93 , 一 告 15 。 ” 一告

r

万g

1

一g

, 2

, ‘

· o

饰e

r

_

,

3一 里

1

2

+

9

“o ‘ ”

+

2 。 9 1

,

。一

““

( 9

22

,

+

9

13

,

!

’ 3

,

…: :

,

2

1 2

,

1

+

9

’ 2

9

“ ’ “

,

+

g

:3

,

1

,

3

!

3

+

g

n ‘’

·卜

5 8

十 堰 大学 学报 ( 自 然科 学 版 )

1 ,

一 94 9

年第 3 期

s 三 一 二歹g

1

一’

气 g

. ,1 3

十g一 一 9

,

3 .3

33

,

l

a 备

,

y

l ) *

. 1

’ (

音 专

+

,

, 1

2 民

= 万 g一

~

1

Lg

, ,

·

十9

23

· 3

一9

33

·

1

o 。

八 .

一 百“ 一

1

“。

191 3 90( 3 一 93 1 音 g ,一 民 音 音 1( r: 9!g , 告1 91 ( 一 音 告一 r: g g 一 , 合 g 一 告1 告*

3 ::一

一 一 一 一 一

一 + 3 g !

一 s in 6 e o s 6

一 万叩

,

0

,

。 饰 z 。一 万 a。 了 ) _ .

一 L

,

。。

(

一9

33 。

,

·

n · 一 ‘ Z” ”

二e

3

、,

2 +

一 户 一 丁户

。2 +

一 1

喜。

e +

)

一,

+

。一 !

+

。 9 1

,

一g

。。

,

!

。 一 (专

e

· G

。‘

一g

,

. 。。 ,

)

,

,

。!

( 9

01 。

+

9

1。

。。一

合、 1 e 一 、 。、 一

音 a氏 民艺 一 合 合

,

· G l。

+

。。

.

0 ( 9

)

,

其余为

t ’ 其余 的 I 一 0

R R

: 代 入 R 的公 式 得

_ . 1

, 1 _ .

求偏 导

p

o , 一下 脚标 。 表示对 X ld 在 S eh w arzeh i 球 坐 标 中

。,

、 、 1 X

,

一 Z ln X

’ =

Z l

n

r

1。

‘ ,

,

.

,

I 一 户 十 万户 十 万 一

y ‘十 万 了r 一

,

对 于 真 空 静 止 球 对 称解 对 时 间 的 导

,

。 。

,

一 。一

1

· (

·,

:

+ e

,

一 告

1

‘ 一

数为 零

:

。 T

叙 0 =

,

G I一 O

,

;十 : 合1音 专 I I + )+ 一 ( 一 。 。Y 一 专 专。 合 一 一 a民+ 民 、 合 专 专

一 1 + e卜

l “。 0 o 一 百 户 一 万“

J、

了o 少

, 、

,

、 ~

1. 1 。 +

检 工 座 1戈 八 : 化简有

_ 1

找k 一

i 万g ‘ 一 U 乙

、, 、

1

·,

,

)

;一 a一 y1 一 (l y l 合 令警

一e

· +

万 Jl十

a

,

一一 r

a , 万 11火 o 生

1

1 一 1 少~

, 一O

U

¼ » º ¹

R

_

, 3 =

s

i

n

2 6 R .

,

,

22

_ 。。

. 1

, 1

冬(丫 一 乙

,

。,

)

一。

找 。。 =

拌 十 眺 一 万 a 十 “ 石一 万 a

。。

合_

1

,

y。 。 +

, “ ‘了

1

l一 (一 yl

。 ‘

: 。 ¹ 一º ( +

y )

,

一。

专 专

民一

’ a + y = 入 eo n s t 一

:

¼ 代» 得

:

l一e

, 。 、

十万

R

飞 。

万户

飞 。

, ‘,

一R

。1

一。

, 。 +

。。一

一 、一

re 即(

。 r e

“ )

;

一1

e 一 a 得 e 一 一 ra , e 乘 re 一 即d(

‘ “ ) ~ d

ra

,

二o

一“

= 1

r

其 余为 O G‘ ‘ 一

__

一 L

,

所 一 奋 合1

,

l e一 ” 几y ) +

一 2

r一 Z m

, e

……¾

、 ,

, Z m

由¼ 得

一e

~ e

火1

T

+

e

00 户 十 丁户 任

·

3

G爹 G弓 e 一 一

‘ 一

1 .

,

专 专 合

, l

。一

民y 12 。一

,

改变 时 间 坐 标 函 数 即使 入一 0

, 1

万 “ 一 万 p“ 一 万

,

1

以lp l

边 界 处 连 续 的 解 是 eh w arzeh ild r a S 解 即在 边 界 处 ( ~ ) 有

,

一 59 一

r p

_

一。

,

e

压 强 和密 度 都 须 满 足约 束 条 件 能 量

一 一

,

e

爱 因斯 坦 引力 场 方 程及 精确解

, 一 Zu u 一

:

半其

,

一 o n

兀一 一

C

P

了一 厂

Znz

~ 一

e

上寸 X

z一 l

吕兀 P

l

动 量张 量 的迹 是 正 的

,

即 P 二P C

, d p /

“ 3 /

c 为极 值 信 号 传 播速 度

,

d

p

光速 Z 二C

,

x 一 e rZ

X

e

一2 x

Q (X ) - 一

x

x n n 1 〔 + Z + (1+ Z 一

( i

x x 李+ Q ( )Z一 f ( ) aX

, ) x Z j /

zd z dx

,

十 x )[ i + ( n + 一) x 」

p 与其 压 强 P 及 能 量

系为 P ~ T 名

, 、

P

~

量间 —- 动量 张一 一 T的 关 22 一T I 一 T

;

,

l f(x ) ~ 一 (1 + x )/ x 仁 + (n + l )x 〕 z一 F K 一 F l

三 爱 因 斯 坦 场 方程 新 精 确 解

() F ~ e 一 乒x *

:

可 通 过 球 对称 和 态 的 位形 分 类 由 简 单 关 系 式对 应 参 数 n 的 每 一 个 积 分 值 能 给 出 场方程 新精 确 解

,

一 x / (l + x )

( 丁

{

~ J 。 I

一2

, + X ) 一dx /x Z

n n x ,‘+ 1 〔 + ( + 1) 〕

,

, ,

,1 1 〔+ ( +

z ) x

〕一

:) 、 / .

·

+

: )

由 于 解 的 物理 相 关 性 压 强 和 密 度 都 曰 二 “丫 * P o dp 认 、 甘~ 、。 * 是有 限 的 正 值 令 及 贷 均 应 沿 其 中 心 向外 门 r卜 曰 目 、 / 一以 门~ ” ~ 直 到 其 结 构 表面 而 减 小

,

、。 。

此 对 n 任 何 值 极 易 求解

。 . : (

·

n

一 1)

x

(n 一 1 ) ( n 一 2 )

上二二 一一之二 二止二 一一二 二

2

,

“ J

p

~

d

p

:

, I

、x

去+

n (

之二二- 一土二

.

d x

一 1 ) (n 一 2 ) (n 一 3 )

均 方 程 线元 为 sZ ~ g fd

。。

d t Z g k , +

d

x

k

d

x

‘ ( k

, l

二l

, 2

, 3 )

人9 0。 一 e

3 3 g L -

, g

l x

一e

g

’‘

, g

: 2 -

一r

对 此 积分 前 两 项

,

Z , 一 r s in 6

, a

,

, 1

=

,

0

( k

护 l)

{

J (

_

,

.

x

一 “

式中 y

程为

,

是 : 的 函数 作 为其 结 果 的 场 方

, ~ _ _

,

厂亩

。 _ .

一8

“T

~

{

一8

祥一

_

~

“ 一“

(

) 幸+ 含 一 含

l

1 . 1 下

二 ”

’ ( 1 )

由 位 形 内任 一 点 的 e 和 e 一 一 : 的 已 知 值 值 常数 A 求 出其压 强 密 度 值

、 、

n x 育Ll+ ( + 1) 」 一

, . _

1

n

3

n x 一 ‘ 1)/( 1 〔+ ( 一 l ) 〕 一

十1

、 1

·

x +

+

…1 刁

1 )

兰 )d x [ 1 +

(

n

一 1 )x

l

一 ‘ ‘ “ , 〕 一

·

+

‘,

,

,

,

’‘ n 戈

十 ”

,

一 8 兀T -

~

:“

二 一 8 兀 T 且 8 兀P ~ 一

。 ~ -. 12 y ., . _ ,

~

,

~

_

_ 尸

} ‘

_ _,

,

.

~

e 一“

资y

2

1

, ‘ +

4

1

K

~

l 叨花一 a ~ 丁一一 二 厂 a 一 分 一 乙r 4

1

,

… … (2 )

r _ 一。 值 可 通 过 其 边 界条 件 P r “, 一 1一 Zu 定 由 P 一 二 o 有 x l~ ea , = u / n 一 ( Z n + l ) 、. 〔 」

,

粤 尸

C

,

e 7

一 8 二 T 忿一 一 8 二 P 一 一

-下

F

1

_

。 ,

a

l l

,

e

一 一 一万 少

r r -

..

气J 少

e cr l 假定 y 的值由 二 A ( 十

,

“ n )

n

为参 数

可求 出 n A 一 [ 1 一 (Z n + 1 )u / n 〕/ (1 一 Zu ) 一 ’ 对 n 一 1 解 恒 等 于 T o lm an 第 四 解 l 解 同 A d er 1974 年 认尚 仑过 的 在 其 中 心 处

7 , 从 e ‘ 一 1 一Zu

,

,

n

,

~

2

,

对 于 来 自任何位 形 区 域 的红 移 都 有简 单 关 e 系

且含 有 的 简单 表 示 式 帮 助 人 们 计 算

,

具最 粤 大 值 粤之 值 随

F

_ _ F

r

值 的 增 加而 减 小

今 。,

,

_ 、 ’ ‘

弓!力 场 中超相 对 论粒 子 的 轨 迹 . 。 _ 山 叨 . 1 、 ~

,

,

1一1

) + e

二本 占、 d p ‘ , 豁, * 。 入” 汀 寸 曰 阱 而 “” 比 兀 现 伟

,

,

,

、1

、乙 少

月 一e

a

气气 任

十 艾一

乙r

,

又, 二 - 叶 . 一 丁. 乙 任

1 .

2

1 ~ 一 只 一 一 r 二 少十 下 乙T

l

不 适 用 于 中子 星 n 。 对 ~ 3 的所有 值

,

,

,

冬的 值 随

r

增大

r

代入 (l )

、 ( 2 )

、 ( 3 )

,

导出

~ 而 减小 中 心 与 表 面密 度 最大 比 值 孕 4

,

.5

一 60 一

十 堰 大 学学 报 ( 自 然 科 学 版 )

19 94 年 第 3 期

论 氧 化 性 与还 原 性 的相 对 强 弱

何爱 平

在 中 学 化学 的教 学 过 程 中 常 常见 到 如 下 试 题 有 下 列 四 个 反 应 : : Zx 一Zy 十 z ~ 22 十y ;

,

,

:

Z

y

x

:

;

+

+

Z

y

22

一 Z w + ~ Z w

: 十z ;

Zx

一 2 + 2

一 22

一 x + Z

列 出 氧 化 剂的 氧化性 由强 到 弱的顺 序 还 原剂 的 还 原 性 由强 到 弱 的顺 序 这 是 一 类 根据 氧

,

化 还 原反 应 来判 断 氧 化 剂 的氧化性 或 还 原 剂 的 还 原 性 强 弱 的试题 解 答 这 类 试 题 的难 度 大 涉 及 的 知识 面 广 易答 错 那 么 怎样 正 确 地 解 答这 类 试题 判 断 氧化性 或 还 原 性 强 弱 的 一 般原 则 和 方 法 是 什 么 ? 影 响氧 化性 或 还 原性 相 对 强 弱 的 因素有 哪 些 ? 对 此 笔 者 谈 谈 自

,

, , ,

,

己的看 法

一 判 断 物 质 氧化 性 与 还 原 性 相 对 强 弱 的 基 本 原 理

判 断 某一 氧化 还 原反应 能 否 向正 反 应 方向 进 行 必 须综 合 考虑 焙 变 和 嫡 变两 种 因 素

,

,

。 。

1 ( ) 在恒 温 恒 压 下 △ G ~ △H 一 T △ S :么G △ H 和 △S 组 成 热 力学研 ) 从 (1 式 中 可 以 看 出 由两 个 都与 反 应 进 行 方 向有 关 的 因 素 : 究指 出 反 应 的 进 行 趋 向于 使 体 系 的能 量达 到 最 低 值 (即能 量 最 低 原 理 ) 使 体 系 混 乱度 达

,

到 最 大 程 度 ( 即 嫡增原 理 ) : : 热 力学 定律 指 出 自 由焙 变 (‘ ) 等 温 等 压 条件 下 过 程 方 向 的判据 即 是 ; 若 △ G 0 反 应 是 非 自发 进 行 △G 一 。 反 应 处 于 平衡

,

,

,

,

s

4

,

中心

一 1 解 有规 律 ; “

牛顿引 力 定律研 究 天 体 相互 作 用 迈 了

一 步 爱 因 斯 坦 理 论 真 实 地 深刻 反 映 在 追

,

最 孕 大值 仍 为 一 有 限 数

F

一5

,

所有

值 均 有 粤 中心 有

最 在

:

二。

大值 随 性

*

二、

口 d p

,

p

、 ~

r

、 J 目 刀 日 “l 口 月 吠

上上 万 丁 U 尸

* * 光 卜 万 飞 多夸 还 1 二 且

千。

求真 理 的 无 穷 尽 征 途 中 向前 跨 进 一 步 通 过 场 方 程 求 出 规 律 已知 T u 。 可 求 g 相 u 当 于 物 质 运 动 决 定 时 空 结构 ;或 已 知 g 求 , u, 为 解 方 程 出 R 后求 T 求 的 出发

,

。。 ,

、 、 R u

,

点 新 精 确解 使 引 力 场 方 程 得 以 简 单 和 谐

,

所 有各解 其 密度将 沿 中 心 向外 降 小 参 1

2 3

5

《 力论 和 宇宙论 引 . 《 对论 》 W 泡利 相

,

的作用

, S

·

· M

广 义 相 对 论 的 原理 和 应 用 》

温 伯特

《 义 相 对 论 与引 力 波 》 广

二 .

, J

·

韦伯

4《场论 》

.

朗道

, E

栗 弗席 兹

《新疆 大 学 学 报 》

. 1 985 1

一— —