埃博拉病毒模型

埃博拉病毒模型

【范文精选】埃博拉病毒模型

【范文大全】埃博拉病毒模型

【专家解析】埃博拉病毒模型

【优秀范文】埃博拉病毒模型

范文一:埃博拉病毒

知识百科:

埃博拉病毒,是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,有很高的死亡率,在50%至90%之间。埃博拉病毒的名称出自非洲扎伊尔的“埃博拉河”。典型症状和体征包括:突起发热、极度乏力、肌肉疼痛、头痛和咽喉痛。随后会出现呕吐、腹泻、皮疹、肾脏和肝脏功能受损,某些病例会同时有内出血和外出血。

安全:

下课铃声响,依次出课堂;运动要适量,上课精神旺; 快乐做游戏,个个守规章;安全记心上,时时不能忘.

知识百科:

埃博拉病毒,是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,有很高的死亡率,在50%至90%之间。埃博拉病毒的名称出自非洲扎伊尔的“埃博拉河”。典型症状和体征包括:突起发热、极度乏力、肌肉疼痛、头痛和咽喉痛。随后会出现呕吐、腹泻、皮疹、肾脏和肝脏功能受损,某些病例会同时有内出血和外出血。

安全:

下课铃声响,依次出课堂;运动要适量,上课精神旺; 快乐做游戏,个个守规章;安全记心上,时时不能忘.

范文二:埃博拉病毒

代表们遵循议事规则,在会议主席团的主持下,通过演讲阐述观点,为了“国家利益”辩论、磋商、游说。他们与友好的国家沟通协作,解决冲突;通过写作决议草案和投票表决来推进国际问题的解决。在模拟联合国,青年学生们通过亲身经历联合国会议的流程,例如阐述观点、政策辩论、投票表决、做出决议等,熟悉联合国的运作方式,了解世界上的国际大事,并了解世界发生的大事对他们未来的影响,了解自身在未来可以发挥的作用。

联合国安全理事会常任理事国,简称常任理事国,是联合国安全理事会中的常任成员,五个创始成员国是二战期间同盟国中的五大国,包括中华民国(后被中华人民共和国取缔),美利坚合众国,俄罗斯联邦,大不列颠及北爱尔兰联合王国,法兰西共和国。其余10个非常任理事国,由大会选举产生,任期两年。根据《联合国宪章》的宗旨及原则,安理会负有维持国际和平与安全的责任,是唯一有权采取强制行动的联合国机构,其中五大国有安理会否决权。自联合国成立以来,安理会常任理事国这种机制在维护世界和平、解决地区冲突方面发挥了巨大作用。截止到2002年,安理会总共批准执行了约55项维持和平行动,有力阻止和减缓了地区冲突的发展和扩大。

埃博拉病毒(英语:Ebola virus)是丝状病毒科中的一种病毒,可导致埃博拉病毒出血热,罹患此病可致人于死,包含数种不同程度的症状(包括恶心、呕吐、腹泻、肤色改变、全身酸痛、体内出血、体外出血、发烧等),感染者症状与同为纤维病毒科的马尔堡病毒极为相似。具有50%至90%的致死率,致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量性休克或器官衰竭。埃博拉病毒,生物安全等级为4级(艾滋病为3级,SARS为3级,级数越大防护越严格)。病毒潜伏期可达2至21天,但通常只有5天至10天。2014年非洲爆发此病毒疫情为有记录以来最严重的埃博拉疫情。2014年10月1日,美国本土出现首例患者。2015年2月2日,两种埃博拉疫苗在利比里亚开始进行大规模人体接种试验。

这种病毒来自“Filoviridae”族。“埃博拉”属于丝状病毒,这是一种十分罕见的病毒,1976年在苏丹南部和扎伊尔即刚果(金)的埃博拉河地区发现它的存在后,引起医学界的广泛关注和重视,“埃博拉”由此而得名。“埃博拉”是扎伊尔(即刚果民主共和国)北部的一条河流的名字。1976年,一种不知名的病毒光顾这里,疯狂地虐杀“埃博拉”河沿岸55个村庄的百姓,致使数百生灵涂炭,有的家庭甚至无一幸免,“埃博拉病毒”也因此而得名。事隔3年(1979年),“埃博拉”病毒又肆虐苏丹,一时尸横遍野。经过两次“暴行”后,“埃博拉”病毒随之神秘地销声匿迹15年,变得无影无踪。

1995年1月起在扎伊尔及1996年2月起在加蓬暴发流行:在扎伊尔基奎特

(Kikwit)市发病316例,死245例,病死率78%;在加蓬奥果韦伊温多(Ogooue Ivindo)发病46例,死31例,病死率67.4%。据世界卫生组织公布的数字显示,全世界已有1100人感染这一病毒,其中793人丧生。医学界尚未找到预防埃博

拉病毒的疫苗和其来源,也没有效的治疗方法。

1976年在苏丹流行时,病死率为53.2%;在扎伊尔,高达88.8%。因此,世

界卫生组织将其列为对人类危害最严重的病毒之一,即“第四级病毒”。有些患者

在感染埃博拉病毒48小时后便不治身亡,而且他们都“死得很难看”,病毒在体内迅速扩散、大量繁殖,袭击多个器官,使之发生变形、坏死,并慢慢被分解。病人先是内出血,继而七窍流血不止,并不断将体内器官的坏死组织从口中呕出,最后因广泛内出血、脑部受损等原因而死亡。照顾病人的医生护士或家庭成员,和病人感染潜伏期为2-21天。感染者均是突然出现高烧、头痛、咽喉疼、虚弱和肌肉疼痛。然后是呕吐、腹痛、腹泻。发病后的两星期内,病毒外溢,导致人

体内外出血、血液凝固、坏死的血液很快传及全身的各个器官,病人最终出现口

腔、鼻腔和肛门出血等症状,患者可在24小时内死亡。

2006年2月美国国家卫生研究院负责人加里·纳贝尔称,预防致命性埃博拉

病毒的疫苗已经通过了最初的人类安全检测,其令人充满希望的迹象表明,这种

疫苗能使人类免受此病的感染。 已经有21人接受了早期测试的试验性疫苗。不

过纳贝尔提醒说,仍需进行更多的研究以证实这种疫苗是否成功。纳贝尔和研究

中心的同事从含有3个埃博拉蛋白质的DNA中研发出疫苗。他们说,这种疫苗

能令猴子对埃博拉有免疫力。疫苗不仅能抑制这种病的传播,还能保护医生、护

士和动物饲养员,以防患于未然。

中国2014年8月9日,宣布已掌握埃博拉病毒抗体基因,同时具备对埃

博拉病毒进行及时检测的诊断试剂研发能力,这让世界为之惊喜。于此同时,世

界卫生组织高官也不断提醒各国重视中国在应对疫情方面的丰富经验。

2014年9月8日,研究人员正在研发一种针对埃博拉病毒的测试疫苗,并

且计划九月开始在健康志愿者身上进行测试。一旦伦理申请获得通过就会开始进

行试验。如果这种疫苗效果良好,这项研究将延伸到西非的冈比亚和马里。

研究人员希望这种疫苗能够让这些国家的人们防止感染这种病毒,但是首先

要在未感染的人群中对这种疫苗进行测试。这种埃博拉病毒已经被证实非常难以

控制,目前只能够对药效和疫苗的效果进行评估。

这种疫苗含有埃博拉病毒的一种蛋白质,一旦进入人体就会引发免疫系统反

应。研究的第一阶段将在60位健康志愿者身上进行试用。如果证实这种疫苗安

全而且有效,那么它就会被用于冈比亚和马里的80位志愿者。到2015年,这种

疫苗有可能在这些病毒爆发的国家得到更广泛的使用。

2014年9月24日,世界卫生组织称,年底前可能将有大规模疫苗,用于控

制西非的埃博拉疫情蔓延。虽然科学家在对两种疫苗进行试验,但目前没有得到

批准的疫苗。根据计划,到年底前生产的疫苗数量,将能够对疫情的控制产生一

定的影响。据认为,目前埃博拉疫情已造成5个西非国家5800多人感染。

 控制传播 控制“埃博拉”的扩散,首先要密切注意世界埃博拉病毒疫

情动态,加强国境检疫,暂停进口猴子主要限制来自疫区的猴子,到目前为止还

没发现除灵长类动物以外的其他动物是埃博拉病毒的宿主。对有出血症状的可疑病人,应隔离观察。一旦确诊应及时报告卫生部门,对病人进行最严格的隔离,即使用带有空气滤过装置的隔离设备。医护人员、实验人员穿好隔离服,可能时

需穿太空服进行检验操作,以防意外。对与病人密切接触者,也应进行密切观察。

 辅助性治疗 治疗首先是辅助性的,包括使病毒入侵最小化,平衡电解

质,修复损失的血小板以便防止出血,保持血液中氧元素含量,以及对并发症的

治疗。排除个别病例,埃博拉康复者的血清在治疗疾病中并没有什么作用。干扰

素对埃博拉也是无效的。在猴子试验中,凝固干扰素似乎能起一些作用,使原本

100%必死的感染猴中存活下33%。USAMRIID的科学家宣称,4只感染埃博拉

病毒的猕猴中有3只康复。对埃博拉病毒病尚无特效治疗方法,一些抗病毒药如

干扰素和利巴韦林无效,主要是支持和对症治疗,包括注意水、电解质平衡,控

制出血;肾衰竭时进行透析治疗等。

用恢复期患者的血浆治疗埃博拉病毒病患者尚存在争议。

世卫组织正与各方加快埃博拉疫苗临床试验,相关疫苗或将于2015年1月

限量分配使用。当下有数种针对埃博拉病毒的潜在疫苗,其中世卫组织重点关注

葛兰素史克公司开发的“ChAd”和美国纽琳基因公司开发的“VSV”疫苗,世卫组

织正与药物研发公司、临床专家与监管方加快这两种疫苗的临床试验。

世卫组织已出台安全使用输血疗法治疗埃博拉患者的指导方针,并帮助受疫

情影响国家从康复患者体内提取血浆、准备血清以治疗更多患者。

临床试验

世界卫生组织(WHO)于2014年8月公开表示,由英国葛兰素史克药厂(GSK)生产的埃博拉病毒疫苗,在9月展开临床试验,并在2015年初之前上市应急。对于外界担心疫苗能否满足市场需求的疑虑,世卫处理疫苗与免疫事务的负责人贝里(JEAN-MARIE OKWO BELE)表示,只要疫苗的临床试验能从9月开始进行,年底时就应该会有结果。他同时强调,由于埃博拉病毒的疫情持续扩散,让情况已到了迫在眉睫的地步,世卫会启动紧急程序,尽全力地在2015年前,让市场有可供使用的疫苗供应。

接种试验

2015年2月2日,两种埃博拉疫苗(cAd3-ZEBOV和rVSV-ZEBOV)在利比里亚开始进行大规模人体接种试验,以评估其安全性和有效性。试验首先在利比里亚首都蒙罗维亚的救赎医院展开;第一阶段结束后,将在蒙罗维亚其他医院进行。18岁以上、没有埃博拉病史的人将作为试验对象。第一阶段将有600名志愿者参与;最终目标是招募2.7万名志愿者接受试验。

美国和利比里亚组成的研究埃博拉疫苗合作项目机构说,接种后,志愿者可能会出现疼痛、红点、发热、疲倦等轻度至中度不良反应,通常随后将自行消失。

[4]

美国

美国参议院2004年5月19日通过“生物盾牌计划”法案,批准拨款56亿美元用于美国预防生物或者化学武器袭击。法案涉及的生化袭击包括天花、炭疽病、肉毒杆菌毒素、瘟疫和埃博拉病毒等。

这项名为“生物盾牌计划”的法案规定,在未来十年内,美国将鼓励制药企业研究与开发针对生物恐怖活动的应对措施,加快对解毒药品的批准过程,在紧急情况下允许政府向公众提供未经食品和药物管理局(FDA)批准的某些治疗方法。

美国原定派遣3000名士兵前往利比里亚帮助抗击埃博拉疫情,现在决定增至4000人。美国国防部长哈格尔已经批准这一计划,美方将分批次派遣总共不超过4000名士兵前往利比里亚。柯比强调,美方派遣的这些人将提供后勤和工程技术支持,但他们不是医护人员,因此不会被派往病毒感染高风险地区。目前,已有大约200名美军士兵部署在利比里亚,参与建造一处用于培训医护人员、提供医疗服务的总部基地。

由于两名护士在照顾埃博拉患者时感染病毒,美国卫生部门20日升级埃博拉防护标准,其中最重要的一点是要求穿上防护服后不能裸露皮肤,并不再建议使用护目镜。

美国内布拉斯加医疗中心2014年10月21日宣布,从西非接回的一名埃博拉患者,在该院治疗两周多后已康复并将于22日出院。至此,美国从西非接回的5名埃博拉患者已全部战胜病毒。

美国疾病控制与预防中心22日宣布,来自西非埃博拉疫区的所有旅客抵美后要接受21天的密切监控,旅客在此期间每天需向美国卫生部门上报体温等情况,以确定是否出现感染埃博拉病毒的症状。此规定也适用于从西非疫区返回国内的美国公民。

这项监控计划将于10月27日起率先在西非旅客主要停留的美国东部6个州开始实行,即纽约、宾夕法尼亚、马里兰、弗吉尼亚、新泽西和佐治亚。最终美国所有州都会对来自西非疫区的旅客进行监控。

日本

日本一个研究小组合成了外表和结构与埃博拉病毒十分相似、但毒性要弱得多的病毒。这种病毒可用于研究埃博拉病毒的感染和毒性发作机制,帮助开发埃博拉疫苗,防止生物恐怖。这种埃博拉类似病毒是东京大学河冈义裕教授领导的研究小组合成的。除了基因不同,这种病毒的外形、结构形式及所包含的蛋白质都与真正的埃博拉病毒一样,并且也能感染人体细胞。河冈教授曾成功合成了真正的埃博拉病毒。

埃博拉病毒共包含7种蛋白质,其构造是在细管状外壳中包裹着基因和蛋白质复合体。电子显微镜观察显示,埃博拉类似病毒与真正的埃博拉病毒外表十分相似。埃博拉类似病毒的毒性要低得多,研究、试验更为方便。

英国

2014年9月17日,对抗埃博拉病毒的疫苗试验已经开始在英国牛津进行,首批60名健康的志愿者将接受疫苗注射。在正常情况下,一种新疫苗需要经过

数年的人体试验才能获得批准使用,但基于西非地区埃博拉疫情的严重性,这一实验性疫苗的开发正以“惊人的速度”推进。 进行试验的这种疫苗由英国药业巨头葛兰素史克和美国国家卫生研究院联合开发。试验的资金来自英国威康信托基金、英国医学研究理事会以及英国国际发展署。

中国

2014年9月18日,国家主席习近平在印度新德里宣布,中国政府将再次向国际社会抗击埃博拉疫情提供援助。习近平指出,当前,西非埃博拉疫情加剧蔓延,给包括中印在内的国际社会带来严峻挑战。为支持利比里亚、塞拉利昂、几内亚等国抗击埃博拉疫情,帮助疫区周边国家加强防疫能力建设,支持有关国际地区组织在抗疫斗争中继续发挥领导和协调作用,中国政府决定在此前提供两批援助的基础上,再次向上述三国提供金额为2亿元人民币紧急现汇、粮食和物资援助,向世界卫生组织和非盟各提供200万美元现汇援助。

塞拉利昂

自2014年9月19日起,西非国家塞拉利昂开始实施为期3天的戒严,以期阻止致命病毒埃博拉的传播。

2014年9月22日电 据外媒报道,西非国家塞拉利昂政府官员表示,全国“闭户”三天之后,医护人员已查出数十起感染埃博拉病毒的新病例,但由于没有查遍全国的每一个人,因此可能延长封锁行动。

朝鲜

为防埃博拉病毒入境,朝鲜2014年10月24日将关闭边境,禁止外国游客进入,不清楚禁令何时解除。

埃博拉疫情从西非地区逐步扩散到亚洲、欧洲、美洲等全球各地,很多国家发布出国旅游“注意”预警,并针对埃博拉疑似感染者采取隔离措施。朝鲜中央电视台也于当天播出相关内容,提醒居民警惕埃博拉病毒。

有关限制西非地区旅客入境是否有助于遏制埃博拉传播存在不少争论,红十字会与红新月会国际联合会秘书长哈吉·阿玛杜·西22日说,封锁边境等旅行限制没有意义,不能有效遏制埃博拉疫情。

截止2014年8月,中国已有5个BSL-3级(俗称P3)实验室可检测埃博拉病毒,对留观或疑似病例开展是否感染埃博拉病毒的实验室诊断。

2014年9月3日,中国疾控中心向媒体介绍埃博拉防控工作进展。中疾控病毒病所研究员李德新介绍,中国目前已经建立针对埃博拉病毒的核酸、抗原及抗体检测技术,可同时对埃博拉病毒的多个核酸靶标进行检测。 其中,核酸检测的灵敏性最高,中国疾控中心受检的20例埃博拉留观病例标本,都至少接受过一次核酸检测。针对埃博拉出血热,中国疾控中心还制定了新的检测要求,每例样本至少查病毒的两个基因,只要其中一个呈阳性,就认为是埃博拉病毒阳性,以免早期漏诊。埃博拉病毒毒力很强,须在BSL-3级实验室对疑似送检样本进行灭活后,才能够开展检测。算上灭活时间,3到5小时内,可以完成一个病例标本的埃博拉病毒实验室检测,并诊断该病例是否存在埃博拉感染。

中国疾病预防控制中心病毒病所研究员李德新介绍,目前全球还没有治疗埃博拉出血热的特效药物,也没有可预防埃博拉病毒感染的有效疫苗,实验室早期

诊断对于早期发现病人及时采取防控措施有重要意义。目前,我国已对80多名埃博拉留观病例进行了筛查,绝大多数已经排除埃博拉病毒感染。

2014年8月,中国疾控中心病毒病所派研究人员赴法国巴斯德研究所开展埃博拉出血热检测方法合作研究,完成了荧光RT-PCR核酸检测试剂盒、胶体金免疫层析法抗原检测试剂盒、酶联免疫吸附法抗原检测试剂盒等埃博拉病毒检测试剂盒的验证工作。

2014年9月,中国疾病预防控制中心病毒病所昨天在北京宣布,已成功研制埃博拉病毒检测试剂盒,并将使用该试剂在塞拉利昂开展病毒检测任务。

据了解,中疾控中心病毒病所已成功研制埃博拉病毒核酸、抗原和抗体检测试剂,此前中国疾控中心派出的赴塞拉利昂实验室检测队携带了该检测试剂,并将利用该试剂在塞拉利昂开展病毒检测任务。

范文三:埃博拉病毒

埃博拉病毒

1995年5月14日(农历四月十五),扎伊尔发现罕见传染病埃博拉。埃博拉(Ebola),是用来称呼一群属于纤维病毒科埃博拉病毒属下数种病毒的通用术语,可导致埃博拉病毒出血热,罹患此病可致人于死,包含数种不同程度的症状,包括恶心、呕吐、腹泻、肤色改变、全身酸痛、体内出血、体外出血、发烧等,感染者症状与同为纤维病毒科的马尔堡病毒极为相似。此病毒以非洲刚果民主共和国的埃博拉河命名(该国旧称扎伊尔),此地接近首次爆发的部落,刚果仍是最近四次爆发的所在地,包括2005年5月的一次大流行。

埃博拉病毒,生物安全等级为4级(艾滋病为3级,SARS为3级,级数越大防护越严格)。病毒潜伏期可达2至21天,但通常只有5天至10天。

2014年非洲爆发此病毒疫情为有记录以来最严重的埃博拉疫情。

2014年11月18日,印度首次发现埃博拉病例,这也是亚洲首列感染埃博拉病毒。

埃博拉病毒(EBOV)是引起人类和灵长类动物发生埃博拉出血热(EBHF)的烈性病毒,由此引起的出血热是当今世界上最致命的病毒性出血热,已造成10次具有规模的爆发流行。埃博拉病毒首次暴发就夺走了近300人的生命,2003年又在刚果(金)让100多人命丧黄泉,2004年5月下旬苏丹南部疫情再发,已有4人死亡,同时俄罗斯一实验室女科学家因针刺感染而丧命。2014年病毒再度爆发,已致4000不等人死亡,确诊、可能感染和疑似病例3069不等例。这一病毒杀手已引起WHO(联合国世界卫生组织)的高度重视。该组织在21日宣布,定于9月4日至5日在日内瓦总部召开专家咨询会,研讨在控制西非埃博拉疫情方面最具前景的试验性疗法和疫苗。100多位专家将参与这次咨询会,重点讨论对付埃博拉的潜在疗法和疫苗的安全性、有效性以及加快临床试验的创新措施与增加供应试验性药物等问题。

典型症状和体征包括突起发热、极度乏力、肌肉疼痛、头痛和咽喉痛。随后会出现呕吐、腹泻、皮疹、肾脏和肝脏功能受损,某些病例会同时有内出血和外出血。

埃博拉病毒(Ebola virus)又译作伊波拉病毒,是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,有很高的死亡率,在50%至90%之间。埃博拉病毒的名称出自非洲扎伊尔的“埃博拉河”。

这种病毒来自“Filoviridae”族。“埃博拉”属于丝状病毒,这是一种十分罕见的病毒,1976年在苏丹南部和扎伊尔即现在的刚果(金)的埃博拉河地区发现它的存在后,引起医学界的广泛关注和重视,“埃博拉”由此而得名。该地区靠近1976年Nhoy Mushola记载的在扎伊尔的Yambuku和苏丹西部的Nzara是第一次爆发的地方。在这次爆发中,共有602个感染案例,有397人死亡。其中扎伊尔318例感染,有280例死亡;苏丹有284例感染,117例死亡。

病毒可透过与患者体液直接接触,或与患者皮肤、黏膜等接触而传染。病毒潜伏期可达2至21天,但通常只有5至10天。 虽然猴子间的空气传染在实验室中已被证实,但并不能证明人与人之间能够透过空气传播病毒。美茵嘉护士是空气传染的可能病例,研究人员并不确定她是如何接触到病毒。埃博拉病毒直至现在,埃博拉病毒的流行大都是因为医院的环境,糟糕的公共卫生、随处弃置的针头、缺乏负压病房都对医护人员造成极大威胁。因为较好的设备及卫生,在现代化的医院中,埃博拉病毒几乎不可能爆发大规模流行。

在疾病的早期阶段,埃博拉病毒可能不具有高度的传染性。在此期接触病人甚至可能不会受感染。随着疾病的进展,病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性。由于缺乏适当的医疗设备和卫生训练,疫情的大规模流行往往发生在那些没有现代化医院和训练有素的医务人员的贫困地区。许多感染源存在的地区正好具有这些特征。在这样的环境下,控制疾病的仅有措施是:禁止共享针头,在严格消毒情况下也不能重复使用针头;隔离病人;在任何情况下都要依照严格的规程,使用一次性口罩、手套、护目镜和防护服。所有医护人员和访问工作者都应当严格执行这些措施。

目前已确定埃博拉病毒分4个亚型,即埃博拉-扎伊尔型(EBO-Zaire)、埃博拉-苏丹型(EBO-Sudan)、埃博拉-莱斯顿型(EBO-R) 和埃博拉-科特迪瓦型(EBO-CI)。不同亚型具有不同的特性,EBO-Z和EBO-S对人类和非人类灵长类动物的致病性和致死率很高;EBO-R对人类不致病,对非人类灵长类动物具有致死性作用;EBO-CI对人类有明显的致病性,但一般不致死,对黑猩猩的致死率很高。

“埃博拉”病毒的形状宛如中国古代的“如意”,利用电子显微镜对埃博拉病毒属成员的研究显示,其呈现一般纤维病毒的线形结构。病毒粒子也可能出现“U”字、“6”字形、缠绕、环状或分枝形,不过实验室纯化技术也可能是造成这些形状产生的因素之一,例如离心机的高速运转可能使病毒粒子变形。病毒粒子一般直径约80纳米,但长度可达1400纳米,典型的埃博拉病毒粒子平均长度则接近1000纳米。在病毒粒子中心结构的核壳蛋白由螺旋状缠绕之基因体RNA与核壳蛋白质以及蛋白质病毒蛋白VP35、VP30、L组成,病毒包含的糖蛋白从表面深入病毒粒子10纳米长,另外10纳米则向外突出在套膜表面,而这层套膜来自宿主的细胞膜,在套膜与核壳蛋白之间的区域,称为基质空间,由病毒蛋白VP40和VP24组成。

埃博拉病毒(EBV)属丝状病毒科,呈长丝状体,单股负链RNA病毒,有18,959个碱基,分子量为 4.17×10^6 。外有包膜,病毒颗粒直径大约80nm,大小100nm×(300~1500)nm,感染能力较强的病毒一般长(665~805)nm左右,有分支形、U形、6形或环形,分支形较常见。有囊膜,表面有(8~10)nm长的纤突。纯病毒粒子由一个螺旋形核糖核壳复合体构成,含负链线性RNA分子和4个毒粒结构蛋白。

EBV在常温下较稳定,对热有中等度抵抗力,56℃不能完全灭活,60℃30min方能破坏其感染性;紫外线照射2min可使之

完全灭活。对化学药品敏感,乙醚、去氧胆酸钠、β-丙内酯、福尔马林、次氯酸钠等消毒剂可以完全灭活病毒感染性;钴60照射、γ射线也可使之灭活。EBV在血液样本或病尸中可存活数周;4℃条件下存放5周其感染性保持不变,8周滴度降至一半。-70℃条件可长期保存。

埃博拉热病的首次公开亮相是1976年9月扎伊尔北部巴姆巴地区的雅布库村庄。埃博拉热病第一例死者是马波罗•洛克拉,传教团的学校教师,他死于9月8日。不明白是什么导致了洛克拉的发烧、带血腹泻、呕吐、牙床和鼻、眼渗血,修女医院的护士们匆忙给他注射了抗生素、氯醛和维他命,静脉注射电解液治疗他的脱水。以后的几天,曾在医院看过病的一些人也在自己的村庄中死去,显示出同样可怕的症状。马波罗•洛克拉葬礼后不久,他的母亲、妻子和岳母也相继病倒。他的家人、朋友总共有21人死亡,只有三个人幸存下来,包括他的妻子,但她怀的婴儿却是死产。9月12日,修女比塔开始发烧,她是第一个染病的修女埃博拉病毒,9月19日,也就是一周后比塔病逝。

埃博拉病毒就是以雅布库村庄附近的一条河来命名的。

埃博拉是一大批神秘而格外危险的非洲出血病毒之一。这些非洲病毒最近已从它们的潜伏处突然杀出,毁灭把它们惊动的人,并且一旦释放便非常难以控制。一般情况下,埃博拉防不胜防。

在躲开可能的攻击后,埃博拉病毒在除了骨头和骨骼的肌肉外,对人体任何其他组织或器官都一视同仁地加以侵蚀,像扫荡一样。当病毒将自身复制到宿主的血细胞中,血细胞便开始死亡并凝结在一起。凝块堵塞血管,切断全身的血液供应;感染的器官开始出现死片。病毒蛋白质以特有的凶残攻击胶原,这是固定器官的结缔组织中主要的蛋白质。当胶原变成浆状物,器官表面开始出现孔洞,包括皮肤,血从孔洞中倾泻而出。皮肤下面出现血斑;液化的死皮在表面形成水疱。在这个阶段所有的孔窍都会渗血,同时皮肤和肌肉的表面隔膜开始炸裂。

这稀奇古怪令人毛骨悚然的过程一直持续到病毒成指数地繁殖,毁坏内脏使之完全失去作用以致宿主死亡为止。当这种事发生时,已死或部分已死的器官开始液化。像血液、粪便和呕吐物这样的流体,一点一滴都充满了上百万的病毒。

在身体内部,心脏开始渗血,渗入周围的空腔。肝脏肿大、裂开,然后化脓腐烂;肾脏失灵,塞满了死细胞和血块。死的、凝结的血细胞比比皆是,包括大脑,妨碍了供氧,最终导致痴呆和严重的癫痫发作。同时,病毒摧毁剩余血液的凝结能力,以致大出血不受抑制地继续。活的死的血液随同死组织及脱落的粘膜,包括胃、口腔和肠道的粘膜,经过呕吐和腹泻抛出体外。崩溃的血管和肠子不再固定在一起,而是像流体一般涌入体腔。虽然在体液中漂浮着,但组织自身是脱水的,无法执行其功能,于是病人开始死亡。

防范措施

控制“埃博拉”的扩散,首先要密切注意世界埃博拉病毒疫情动态,加强国境检疫,暂停进口猴子主要限制来自疫区的猴子,到目前为止还没发现除灵长类动物以外的其他动物是埃博拉病毒的宿主。对有出血症状的可疑病人,应隔离观察。一旦确诊应及时报告卫生部门,对病人进行最严格的隔离,即使用带有空气滤过装置的隔离设备。医护人员、实验人员穿好隔离服,可能时需穿太空服进行检验操作,以防意外。对与病人密切接触者,也应进行密切观察。

病毒抵抗力强?——多种途径可消灭

研究显示:埃博拉病毒具有较强抵抗力,在污染的床单、衣服等干燥环境下存活几小时仍具有感染性,在液体或低温情况下存活时间更长,比如,病毒在4摄氏度放置5天仍具感染性,在零下70摄氏度时可以长期保存。

“但是这种病毒也很容易被消灭。”中国疾病预防控制中心病毒所副所长董小平指出,埃博拉病毒在物理温度增高到60摄氏度,灭活一个小时就不具备感染性;100摄氏度煮沸5分钟就可以杀灭。这种病毒对常用的化学消毒剂,如含氯、含酒精、含酚等有机消毒剂都非常敏感,对紫外线和热线也非常敏感。

董小平强调,埃博拉病毒的传染源是死亡的动物尸体或者是病人,直接接触病人或者间接接触病人体液、血液等污染物品以及他用过的衣裳、床单、被罩等,都有可能造成传染。但其通过呼吸道传播,也就是通过飞沫传播的能力是非常差的,这就意味着病毒最有效的传播途径——呼吸道传播不存在。

同时,针对有公众担心旅行中会感染埃博拉病毒的疑问,专家指出,只要没有直接接触体液和排泄物,这种经历是不会让你传染上埃博拉的。

范文四:关于埃博拉病毒的传染的数学模型

“工大出版社杯”第十六届西北工业大学数学

建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目

B题

学院 第队

摘 要

2014年非洲爆发了历史上最为严重的病毒疫情--埃博拉病毒病(EVD),该病毒通过野生动物传到人,并且通过人际间传播在人群中蔓延.但无论对人还是对动物都无可用的己获正式许可的特异性治疗。据科学研究报道,这个病毒一旦感染人体,将有着高达90%以上的病死率.这是世界上最厉害的感染病毒(生物安全等级为4级),如何消灭埃博拉成为当前的首要任务。由于缺乏有效的治疗手段和人用疫苗,必须综合考虑疾病的传播、患病人口的预测、药物的生产和运输等因素,提高对感染埃博拉危险因素的认识以及个人可以采取一些保护措施,这是减少人类感染和死亡的唯一方法.

本文通过对题目所给的实际统计数据中感染埃博拉病毒后种群数据变化的分析,通过大胆的想象与假设分别建立了数学模型(I)、(II)、(III),并通过所给数据进行仔细验证无误后(误差小到已可以忽略)对疫情的发展做了一定程度上的预测.在假设加入了外界人为对疫情的控制因素后,通过对模型(III)的改进,发现模型预测情况与所给官方数据无缝吻合,其对疫情后续发展的预测无疑可信度又大大增高。同时,也通过对前述模型和实际情况的分析,全方面考虑到了模型的完善性与现实情况的契合性,阐述了严格疫情控制措施的执行和药物效果的提高等措施对控制疫情的重要作用与意义。

本文四个模型均使用的题目所给的实际数据,而且内容上层层优化,互相补充,使文章所述更为具体,更为实用,为埃博拉病毒问题的解决提供了一份可靠的,可行的,可依赖的数学模型。

关键词:埃博拉病毒 预测:随机微分方程 优化问题:最优隔离控制

目 录

一、

二、

三、 问题背景分析 --------------------------------------------1 问题的重述 ----------------------------------------------1 问题重述 ------------------------------------------------1 数学模型的大胆假设及建立 --------------------------------3

问题1 --------------------------------------------------3

1.0模型(I)-------------------------------------------3

1.1模型假设 ---------------------------------------3

1.2模型舱室图 -------------------------------------3

1.3模型建立 ---------------------------------------4

1.4使用模型预测数据 -------------------------------6

1.5模型总结 ---------------------------------------8

2.0模型(II) -----------------------------------------8

2.1模型假设 ---------------------------------------8

2.2模型建立 ---------------------------------------8

2.3模型总结 ---------------------------------------8

问题2 --------------------------------------------------9

3.0模型(III)-----------------------------------------9

3.1核心参数符号说明 -------------------------------9

3.2模型假设 --------------------------------------9

3.3模型舱室图 -------------------------------------10

3.4 模型建立--------------------------------------- 11

3.5使用模型预测数据--------------------------------12

问题3---------------------------------------------------15

4.0模型(IV)------------------------------------------15

4.1核心参数符号说明 -------------------------------15

4.2模型假设 ---------------------------------------15

4.3模型建立 ---------------------------------------16

4.4使用模型预测数据 -------------------------------16

4.5模型总结 ---------------------------------------16

问题4 --------------------------------------------------17

参考文献 -------------------------------------------------18

附录一 ---------------------------------------------------20

附录二 ---------------------------------------------------21

四、 五、 六、

一、问题背景及分析

埃博拉病毒(又译作伊波拉病毒)是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,主要通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径进行接触传播,而非通过空气传播,其生物安全等级为4级(艾滋病为3级,SΑRS为3级,级数越大防护越严格)。各种非人类灵长类动物普遍易感,经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染,病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。发病后1~4天直至死亡,血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高的死亡率(在50%至90%之间),致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。

当前主流的认知是,埃博拉病毒只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段,埃博拉病毒可能不具有高度的传染性,在此期间接触病人甚至可能不会受感染,随着疾病的进展,病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性;存在似乎天生就对埃博拉免疫的人,痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。埃博拉病毒很难根除,迄今为止已有多次疫情爆发的记录。据百度百科,最近的一次在2014年。截至2014年9月25日,此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡,另有6500被确诊感染。更为可怕的是,埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播。

本文旨在利用数学模型对埃博拉病毒的传播进行研究,通过数学建模的方法量化埃博拉病毒的传播规律,深刻认识该病毒的危害,并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

二、问题的重述

问题重述:

假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。人与猩猩的潜伏期都为2周,研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息。根据所给数据分析解决以下四个问题:

1、根据猩猩的发病数量和死亡数量,建立,个病毒传播模型,动态描述病毒在

“虚拟猩猩种群”中的传播,并预测接下来的在猩猩中的疫情变化,并以下

述格式给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据:

2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,

并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并以下述格式给出“虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据:

3、假设在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,

且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据,数据格式同问题2;

4、 请依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫

药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

三、数学模型的大胆假设及建立

问题1.埃博拉病毒在虚拟猩猩种群中的传播规律

核心参数符号说明

符号 符号说明

n 虚拟猩猩种群个体总数

n(t) 随时间变化的虚拟猩猩种群个体总数 s(t) 易感猩猩个数

i(t) 发病猩猩个数

r(t) 移出猩猩(死亡和自愈)个数 α 猩猩间病毒的传染率

β 发病猩猩的周移出率

γ 传染期接触数,γ=α/β

k 发病猩猩死亡率

c 出生死亡因数,c=出生率-死亡率.

模型(I):

1.1模型假设

● 假设埃博拉病毒在研究过程中不会变异

● 在病毒传染期内虚拟猩猩种群的总数n不变

● 不考虑出生和死亡因素对传播的影响

● 痊愈后的感染者不会再感染

● 发病者向移出者转变的速率与发病者的个数成正比

● 易感者s(t)的变化率正比于发病者i(t)与易感者s(t)的乘积

1.2模型舱室图

将猩猩群体分为:易感者、潜伏者、发病者、死亡者、自愈者。

各群体间关系图如下:

1.3模型建立:选用传染病SIR动力学模型建模

由模型假设1.2可知:

s(t)+i(t)+r(t)=n (1)

dt = α*s(t)*i(t)-β*i(t) (2)

dt = β* i(t) (3)

dt = -α* s(t)* i(t) (4)

联立(2)(3)(4)式可得微分方程组如下:

di dt=α∗ s∗i−β∗i,

dr dt=β∗ i, (1.4.1)

ds dt=−α∗s∗i,

dsdrdi

dt [s(t)+i(t)+r(t)]= 0

(则说明s(t)+i(t)+r(t)=n是常数,故r(t)=n-s(t)-i(t).

由此可知,只要知道了s(t)和i(t),即可求出r(t).

而 dt和 dt 与r(t)无关,因此由:

dididsd dt

dsdt=α∗ s∗i−β∗i =−α∗s∗i, (1.4.2)

ds = (α*s*i-β*i)/(-α*s*i)= -1+β/α*s

从而

i(s) = -s+β/α*lns+c

当t=t0时,i(t0)= i0,s(t0)= s0,记p=β/α,有

i(s)= i0+s0-s+pln(s/s0) (*)

接下来我们对(*)式积分曲线的性质进行研究:

p

i′(s)=−1+p/s =0,s=p

>0,𝑠

故当sp时,i(s)是s的减函数

i(0)= -∞ , i(s0)= i0>0 ∞

由连续函数中值定理及单调性知,存在唯一点s∞,00.

由(1.4.2)可知i=0时,ds/dt=0,di/dt=0,所以(s∞,0)为方程组(1.3.2)式得平衡点。当t>=t0时,方程(*)的图像趋势为先增后减(因图像过于复杂,在此不予展示)。当t由t0变化到∞时,点(s(t),i(t))沿(*)图像移动,并

di

沿s减少的方向移动,因为s(t)随时间的增加反而单调减少。

因此,如果s0

𝑝, 则随着s(t)减少到p时,i(t)增加,且当s=p时,i(t)达到最大值.当s(t)

由以上分析可得出如下结论:只是当猩猩种群中的易感者的个数超过阀值p=β/α时传染病才会蔓延。

准确将题目所给数据进行分析并与上面结论相对比,发现趋势准确度很高,故以上数学模型建立可成功供我们分析病毒传播情况并做出后续预测。

1.4使用模型预测数据

将题中所给数据代入以上我们已建立的数学模型中,通过数

Microsoft-Graph将模型对数据的趋势预测图像化分别得到以下图(I)、(II)、

处于发病状态猩猩个数与时间关系(个/周)

图(I)

累计移出猩猩个数与时间的关系(个/周)

图(II)

我们通过趋势图(I)可以获得处于发病状态猩猩在第80周、第120周、第

200周的数量数据,而每周潜伏群体个数与下下周累计得过病的的猩猩(下下周正在发病的猩猩和累计移出猩猩之和)个数之间存在隐含的关系,即:因为埃博拉病毒在宿主体内的潜伏期为2周,故可知下下周累计得过病的猩猩减去本周处于发病状态的猩猩个数即为本周的潜伏群体个数。并且我们通过数据计算已知发病猩猩的自愈率为常数,则可通过图(II)对应的累计移出个数分别求得累计自愈与累计因病死亡的个体个数。具体预测数据如下表所示:

“虚拟猩猩种群”群体数量预测结果(单位:只)

1.5模型总结

就模型一分析总结:模型一中的数学模型在一定时期内预测的相契合,但当

问题周期很长的话,就不得不考虑出生死亡率所产生的影响。因此,有模型二如下:

模型(II)

模型(I)中的假设n为常数在长周期内与事实不相符合,在较长周期内个

体总数不一样。所以建立模型(II)如下:

2.1模型假设

● 假设埃博拉病毒在研究过程中不会变异

● 在病毒传染期内虚拟猩猩种群的总数n不变

● 考虑出生和死亡因素对传播的影响

● 痊愈后的感染者不会再感染

● 发病者向移出者转变的速率与发病者的个数成正比

● 易感者s(t)的变化率正比于发病者i(t)与易感者s(t的乘积

2.2模型建立

模型(II)的具体建立过程同上模型(I),在此不予赘述。

2.3模型总结

就模型二分析总结:n(t)表示第t周时个体总数,c为出生死亡因

数,c=出生率-死亡率(个/周).

当c>0时,出生率大于死亡率,猩猩个体总数在不受外界影响因素下

持续增长,则此情况下n(t)增大,处于发病状态猩猩的个数随时间的变化

率增大,则埃博拉病毒传播速度会加快;

当c

持续减少,则此情况下n(t)减小,处于发病状态猩猩的个数随时间变化率

减小,则埃博拉病毒传播速度会减缓。

问题2.埃博拉病毒在虚拟猩猩种群和人类之间的传播模型

模型(III)

模型假设:

3.1核心参数符号说明

符号 符号说明

N 虚拟人类种群个体总数

S(t) 易感人类个数

I(t) 发病人类个数

R(t) 移出人类(死亡、隔离和自愈)个数

K 隔离治疗人数占本周总发病人数比例

P. 隔离人群的治愈率

U 发病人类的移出率

A 人与人间的病毒传染率

B 人与猩猩间的病毒传染率

n 虚拟猩猩种群个体总数

s(t) 易感猩猩个数

i(t) 发病猩猩个数

r(t) 移出猩猩(死亡和自愈)个数

α 猩猩间病毒的传染率

β 发病猩猩的周移出率

k 发病猩猩死亡率

3.2模型假设

● 假设埃博拉病毒在研究过程中不会变异

● 在病毒传染期内虚拟猩猩种群的总数n和虚拟人类种群的总数N不变 ● 不考虑出生和死亡因素对传播的影响

● 痊愈后的感染者(人类种群和猩猩种群)不会再感染,并且存在天生

就对埃博拉免疫的人

● 发病者向移出者转变的速率与发病者的人数成正比

● 易感者s(t)的变化率正比于发病者i(t)与易感者s(t)的乘积

3.3模型舱室图

“虚拟猩猩种群”

“虚拟人类种群”

注:人类和猩猩种群之间在实际病毒传播中应是互相影响的,不过按题目中

所述,人发病之后与猩猩的接触可以忽略,即不考虑发病人类对易感猩猩的

感染,只考虑发病猩猩对易感人群的感染。

3.4建立模型:选用改进的传染病SIR动力学模型建模

由模型假设可知:

S(t)+I(t)+R(t)=N (1)

dt=Α*S(t)* I(t)+B*S(t)*i(t)-Β*I(t) (2)

dt= U * I(t) (3)

dt = -A* s(t)* i(t) (4)

联立(2)(3)(4)式可得微分方程组如下:

di dt=α∗ s∗i−β∗i,

dr=β∗ i, dt

ds=−α∗s∗i, dt (1.4.1) dI dt=Α∗S∗ I+B∗S∗i−U∗I

dS=−Α∗S∗ I−B∗S∗i dt dR dt=Β∗I(t)

ddSdRdI dt [S(t)+I(t)+R(t)]= 0

(则说明S(t)+I(t)+R(t)=N是常数,故R(t)=N- S(t)- I(t)).

上式即为我们所要建立的数学模型(III)。

3.5使用模型预测数据

将题中所给数据代入以上我们已建立的数学模型中,通过数学软件

Microsoft-Graph将模型对数据的趋势预测图像化分别得到以下图

(III)、(IV)、(V)、(VI).

潜伏人群与时间的关系 (个/周)

图(III)

总的发病人数与时间的关系(个/周)

图(IV)

累计自愈死亡人数与时间的关系(个/周)

图(V)

正在隔离治疗人数与时间的关系(个/周)

图(VI)

我们通过趋势图(IV)可以清楚的获得总的处于发病状态的人群(截止周日

正处于发病状态的人群和正在隔离治疗人群之和)在第80周、第120周、第200周的人数数据,通过趋势图(VI)可以得到正在隔离治疗人群在所求周数的人数数据,通过图(IV)与图(VI)数据的对比,可以获得在所求周数处正处于发病状态的人群人数数据。通过图(V)我们可以获得累计自愈死亡人数(之和)在要求周数的数量数据,而我们根据题中所给数据可以算出治愈率为常量,于是就可得到对应周数处的累计治愈人数,则累计因病死亡人数数据也随之求得。至于每周潜伏人数,若要求本周潜伏人数,则可通过下下周正发病和隔离人数、截止下下周累计死亡和自愈人数之和减去截止本周的累计死亡和自愈人数、正隔离人数之和求得,知道了此递推关系之后,我们通过题中所给数据、Microsoft-Graph数学绘图软件和模型(III)大体拟合出了其随时间变化的图像,通过此图像与已知数据对比,拟合度很高(达到99.85%),故通过图像(III)对所求周数处的潜伏人数做直接预测,具有很高的可靠度。具体预测数据如下表所示:

“虚拟人类种群”群体数量预测结果(单位:个)

问题3:外界的因素介入后,“虚拟人类种群”的发展情况

模型(IV)

4.1核心参数符号说明

符号 符号说明

N 虚拟人类种群个体总数

S(t) 易感人类个数

I(t) 发病人类个数

R(t) 移出人类(死亡、隔离和自愈)个数

K 隔离治疗人数占本周总发病人数比例

P’=0.8. 隔离人群的治愈率

U 发病人类的移出率

A 人与人间的病毒传染率

B 人与猩猩间的病毒传染率

n 虚拟猩猩种群个体总数

s(t) 易感猩猩个数

i(t) 发病猩猩个数

r(t) 移出猩猩(死亡和自愈)个数

α 猩猩间病毒的传染率

β 发病猩猩的周移出率

k 发病猩猩死亡率

E 总发病人群的隔离率

4.2模型假设

● 假设埃博拉病毒在研究过程中不会变异

● 在病毒传染期内虚拟猩猩种群的总数n和虚拟人类种群的总数N不变 ● 不考虑出生和死亡因素对传播的影响

● 痊愈后的感染者(人类种群和猩猩种群)不会再感染,并且存在天生

就对埃博拉免疫的人

● 发病者向移出者转变的速率与发病者的人数成正比

● 易感者s(t)的变化率正比于发病者i(t)与易感者s(t)的乘积

● 从第41周开始,由于外界因素的控制,猩猩与人的接触被控制,发

病猩猩无法再感染人群,且人群的治愈率提高到了常量0.8

4.3模型建立

在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%,故在模型(III)

的基础上进行修改,建立新模型(IV),旨在从第41周开始对数据进行预测,模型建立后如下所示:

dt=Α∗S∗ I+−U∗I

dS=−Α∗S∗ I dt

dR dt=Β∗I(t)

dt [S(t)+I(t)+R(t)]= 0

4.4使用模型进行预测

ddI4.5模型总结

根据实际情况,当外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高后,

埃博拉病毒的传播将会大大受到限制,从而发病人数将会急剧减少,病情明显得到控制,与由模型预测得出的数据结果相近,故所建立模型(IV)可供我们在短期内预测。

问题四: 根据前述模型,对各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

(1) 防疫药物效果提高及严格控制接触病原措施的作用:

严格控制健康人群与猩猩和发病人群的接触,同时提高防疫药物效果 并隔离发病人群,从而降低埃博拉病毒在人与人之间的传染系数A和埃博拉病毒在人与猩猩之间传染系数B,使得模型二中,(Α∗S∗ I+B∗S∗i)每周新增发病人数dt(dt=Α∗S∗ I+B∗S∗i−U∗I )减少,使每周发病人数相对于未采取该措施时的发病人数大大减少,最终减少了累计死亡人数,提高了累计治愈人数; (2) 改良检疫药物的作用:

提高了总发病人群中隔离治疗人群的比例,提高了隔离率,即提高了移出率U,使得模型二中,每周移出人群(U*I)增加,每周新增发病人数dtdt=Α∗S∗ I+B∗S∗i−U∗I )减少,使每周发病人数相对于未采取该措施时的发病人数大大减少;

(3) 改进治疗药物的作用:

提高了隔离治疗人群中治愈人数的比例即提高了隔离治疗人群的治愈率P,最后使得累计死亡人数减少,累计治愈人数增加。

由附录二中数据及模型(IV)中预测所得数据拟合得到如下图像(VII),观察图像可知:在第41周,外界的专

家开始介入,并立即严格控制了人类 每周发病人数与时间的关系(个/周)与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高后,每周处于发病状态的人数相对于前40这周数据出现明显下降趋势,由此可见,各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高对防止疫情进一步

蔓延及对疫情的控制有极其重要的作用。 图(VII)

dI

dI

dI

dI

参考文献

[1] G. Chowell,N.W. Hengartner,C. Castillo-Chavez,P.W. Fenimore,J.M. Hyman. The basic reproductive number of Ebola and the effects of public health measures: the cases of Cong and Uganda[J]. Journal of Theoretical Biology . 2004

[2]杨洪勇,张嗣滚.基于复杂网络的禽流感病毒传播【J】系统仿 真学报,2008,20(18):5001-5005.

[3]俞为群,国外医学,流行病学传染病学分册,【J】埃博拉出血热爆发流行,2000.

[4]贺天峰,易波,许国章,宁波市疾病预防控制中心,【J】埃博拉出血热流行学病学研究进展,1007 – 0931,(2014), 12-1219-04

[5]Peters CJ, LeDuc LW. L,bola: 'fhe virus and the disease〕].J lnfect Dis, 1999, 179 }Suppl 1):1一8.

[6]Democratic Republic of Congo, 2007〕].Vecto:一Borne and Zoonotic Diseases, 2009, 9 }6):723一728.

[7]U'orld llealth Organization. L;bola haemorrhagic fever in Sudan,

1976〕].Bull World llealth Organ, 1978, 56 (2):247-270.

[8]谭春梅,吕慧瑜,吕元聪,广西壮族自治区江滨医院预防保健科(谭春梅):530028南宁,广西壮族自治区疾病预防控制中心,【J】埃博拉出血热的研究新进展, 2014.09.28 ,1674 – 3806(2014)09 – 0874 – 05. [9]周后卿,徐幼专,邵阳学院 理学与信息科学系,【J】埃博拉病毒感染数量的一个数学模型,1672 – 7010(2014)04-0001-05

[10]汪晓银,周保平,数学建模与数学实验,【M】北京:科学出版社,2010 [11]赵廷刚,王素云,魏晋莹,建模的数学方法与数学模型,【M】,北京:科学出版社,2011

[12]蒋娇,聂鲁彬.利比里亚名医死于埃博拉病毒医护人员危险剧增[EB/OL] . [ 2014一07 -28]

[13] Banton S } Roth Z } Pavlovie M. Mathematical Modelling of Ehola Virus Dynamics as a Step towards Ra-tional Vaeeine Design//Keith E Herold.26thSouthern Biomedical Engineering Conference SBEC2010. Maryland:Springer}2010}32:196一200.

[14]Gerardo C and Hiroshi N. Transmission dynamicsand control of Ehola virus disease (EVD):a review口].Chowell and Nishiura BMC Medicine, 2014 } 12(196):1一16.

[15]霍阔,李世霖,湖南工业大学 理学院,【J】甲型H1N1流感传播的SIR模型研究,1673-9833(2010)04-0040-03

[16]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京出版社,2003.Jiang Qiyuan,Xie Jinxing,Ye Jun. MathematicalHeijing Higher Education Press,2003.高等教育Model[M].

[17] 胡宣达.随机微分方程稳定性理论.南京:南京大学出版社,1986

[18]胡适耕,黄程明,吴付科.随机微分方程.北京:科学出版社,2008 [19]龚光鲁,随机微分方程引论.北京:北京大学出版社,1995

[20] 李晨辰,哈尔滨理工大学,具有病毒变异的传染病模型稳定性的研究,2014.3 O175.13,

附录一:“虚拟猩猩种群”题中所给数据

附录二:“虚拟人类种群”题中所给数据

范文五:埃博拉病毒传播的数学模型

数 学 建 模 论 文

基于传染病模型的埃博拉疫情发展建模分析

院系名称: 地球科学学院

专业名称: 环境科学

学生姓名:崔昊天、牛星智、朱家佑

学 号: 崔昊天:2013010176

指导教师: 孟得新

完成日期2015 年 4 月 29 日

论文的分工说明:

本篇数学建模论文,是在朱家佑、崔昊天、牛星智的共同努力下完成的。其中朱家佑同学负责SEQIR模型的初步建立、Matlab程序的编译与运行,SIR模型的检验,绘制谱线图,属于首席技术人员;崔昊天同学负责SIR模型的分析与结论,提出SIR模型优化进步的建议以及论文的整体思路与撰写整合,属于文案分析人员;牛星智同学主要负责文献的查考,收集埃博拉病毒的资料以及各国疫情的数据与模型的可行性研究,对比文献资料提出模型存在的不足,并分类整理参考文献,属于认证查考人员。三位同学各司其职,有分工又有合作,环环相扣,共同学习,共同进步。

签名:

日期:2015.4.29

基于传染病模型的埃博拉疫情发展建模分析

摘要

埃博拉(Ebola virus)又译作伊波拉病毒,是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,有很高的死亡率,在50%至90%之间。本文基于西非埃博拉疫情的发展,首先建立SIR模型,对西非埃博拉疫情进行检验,得出模型改进措施,接着建立改进后的SEQIR模型,分析预测疫情发展趋势,对目前世界各国采取的防控埃博拉疫情的措施进行简单评价,并提出埃博拉疫情对于防控的建议。

关键词:埃博拉;检验;预测;评价;建议

目录

第1章 绪论 ............................................................................................................................... 5

1.1研究背景 ............................................................................................................................. 5

1.2 研究目的及意义 ................................................................................................................ 5

1.3 国内外研究现状 ................................................................................................................ 5

1.3.1 国内外传染病模型研究现状 ......................................................................................... 5

1.3.2 国内外埃博拉病毒医疗研究现状 ................................................................................. 6

1.3.2.1 EVD治疗方法 ............................................................................................................. 6

1.3.2.2治疗 EVD 的新药研究进展 ....................................................................................... 7

1.3.2.3疫苗的研究 ................................................................................................................... 9

1.4 技术路线 .......................................................................................................................... 10

第2章 数据与方法 ................................................................................................................. 11

2.1基础知识 ........................................................................................................................... 11

2.2 数据方法 .......................................................................................................................... 11

第3章 模型建立与改进 ......................................................................................................... 12

3.1 SIR模型 ........................................................................................................................ 12

3.1.1 模型建立 ....................................................................................................................... 12

3.1.2 模型分析 ....................................................................................................................... 13

3.1.3 模型验证 ....................................................................................................................... 16

3.2 改进的SIEQR模型 ................................................................................................... 16

3.2.1 模型建立 ....................................................................................................................... 16

3.2.2 模型求解 ....................................................................................................................... 18

3.2.3 模型分析 ....................................................................................................................... 19

第4章 评价与建议 ................................................................................................................. 24

4.1 模型的评价 ...................................................................................................................... 24

4.1.1 SIR模型的评价 ............................................................................................................ 24

4.1.2 SEQIR模型的评价 ....................................................................................................... 24

4.2 现有医疗水平的评价 ...................................................................................................... 24

4.3防控建议 ........................................................................................................................... 25

致谢 ................................................................................................................................................ 26

参考文献......................................................................................................................................... 27

第1章 绪论

1.1研究背景

埃博拉(Ebola virus)又译作伊波拉病毒,是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,有很高的死亡率,在50%至90%之间。

2014年2月西非爆发大规模病毒疫情,截至2014年12月17日,世界卫生组织(WHO)发表数据显示埃博拉出血热疫情肆虐的利比里亚、塞拉利昂和几内亚等西非三国的感染病例(包括疑似病例)已达19031人,其中死亡人数达到7373人[1]。据世界卫生组织透露,2014年西非埃博拉病毒疫情爆发的感染及死亡人数均为历史最高,并仍处于恶化状态中[17]。世界各国针对埃博拉病毒均提出了自己的防控措施,然而埃博拉病毒的致病机理尚未明确,其致死率高居不下,基于数学模型的病毒爆发特性分析因此应运而生。

1.2 研究目的及意义

国内外学者针对一般类型的传染病提出了SIR传染病模型,可用于模拟预测传染病的传播过程,评价当前的医疗卫生体系及防控措施。但是针对埃博拉这一目前无疫苗防治措施的传染病,尚未存在基于SIR模型的改进模型进行合理的模拟预测。

本文基于SIR模型,增加疑似病患、潜伏期感染者两个变量,构建SIEQR模型,分析埃博拉出血热的流行规律,并预测其未来的发展趋势,并对世界卫生组织(WHO)目前针对该疾病的防控措施进行评价,为埃博拉出血热的最佳防控提供理论基础。

1.3 国内外研究现状

1.3.1 国内外传染病模型研究现状

国内外对于传染病的数学模型研究不在少数。传染病模型的基础是Kermack和McKendrick 二人提出的仓室模型(compartmentmodel,CM)[2]。杨方廷[18]通过对SARS在某北方大城市爆发的系统仿真研究发现,恰当地建模能够有效地模拟SARS的人群传播模式。通过数学模型可推导出不同的防控策略(如限制人员流动、对疑似感染者及早隔离等)对于病毒传播的影响。

对于埃博拉病毒的数学模型研究,早在 1996年,Fauci[4]就使用SIR和 SEIR 模型,模拟扎伊尔两个时段的埃博拉爆发:1976 年 Yambuku 疫情爆发和 1995年Kikwit的疫情爆发。他们得到: 当基本再生率K满足范围1.72≤R0≤8.60时,

意味着埃博拉病毒传染性不如以前那么厉害,可以使他们减少潜在的死亡。为了预判埃博拉的发展趋势,弗吉尼亚理工大学的网络动态和模拟科学实验室(NUSSL)从2014年8月开始,采用基于个体的传染病传播工具Epi- fast来模拟埃博拉在西非的传播[22]。

国外学者在研究其发病机理以及病毒作用机理的同时,建立了新型传染病模型对疾病进行预测。由于个体在感染埃博拉病毒后经过一段时间才会出现临床症状,这段时间被称为潜伏期,对潜伏期的长度,Chowell等[9]采用最小二乘法估算出2次疫情平均潜伏期分别为5.30 d(刚果1995年)和3.35 d(乌干达2000年),Le- grand等使用临床观测结果估计的潜伏期分别为7d[12-13](刚果1995年)和12 d (乌干达,2000),与后者较为近似的潜伏期长度也被用于近期对此次西非埃博拉疫情动态的研究中[15]。美国CDC采用的潜伏期平均长度为6 d,99%的分位数为21 d。

1.3.2 国内外埃博拉病毒医疗研究现状

1.3.2.1 EVD治疗方法

由于尚无有效的经过系统研究的药物用于 EVD 患者的治疗,目前的治疗方法以积极的对症和支持治疗为主,主要包括 :维持水、电解质平衡,补充体液和电解质 ;预防和控制出血 ;维持血氧及血压平衡 ;及时控制继发感染 ;治疗肾功能衰竭和出血、DIC(disseminated intravascular coagulation,弥散性血管内凝血 ) 等并发症。临床治疗过程中可根据患者的具体情况采取下列措施进行治疗。

①一般支持、对症治疗 :卧床休息,少渣易消化半流质饮食,保证充分热量 ;

② 补液治疗 :有证据表明,早期补液,维持水电解质和酸碱平衡治疗,可明显提高存活率 ;可使用平衡盐液,维持有效血容量 ;加强胶体液补充如白蛋白、低分子右旋糖酐等,预防和治疗低血压休克 ;

③保肝抗炎治疗 :可使用甘草酸制剂 ;

④出血的治疗 :止血和输血,新鲜冰冻血浆补充凝血因子,预防 DIC ; ⑤ 控制感染 :及时发现继发感染,根据细菌培养和药敏结果应用抗菌药物 ; ⑥ 肾功能衰竭的治疗 :必要时行血液净化治疗 ;

⑦呼吸衰竭的治疗 :及时行氧疗等改善呼吸功能治疗 ;

⑧ 病原学治疗 :未经过人体学试验的三联单克隆抗体 ZMapp,在紧急状态下被批准用于 EVD 患者的治疗 ;目前已有 7 人接受此治疗,5 人获得较好疗效;另外,TKM-Ebola 也已通过 FDA 的批准,紧急情况下可用于确诊或者疑似 EVD 患者 ;

⑨ 恢复期血清治疗 :即从康复者体内提取含埃博拉病毒抗体的血液,将其

输给患者 ;该方法曾在小范围内应用,亦似有较好的效果,WHO 已出台安全使用输血疗法治疗 EVD患者的指导方针,并帮助受疫情影响国家从康复患者体内提取血浆、准备血清以治疗更多患者。但和 ZMapp 一样,目前尚无数据支持其大规模使用的效果,还有待于在应用时机、不良反应等方面做进一步观察。

1.3.2.2治疗 EVD 的新药研究进展

在埃博拉病毒被发现后的几十年里,研究者们一直致力于研发抗埃博拉病毒的新药。不过目前,用于埃博拉病毒预防和治疗的药物仍多处于实验室或前期临床研究阶段。在目前的严峻形势下,美国 FDA 已经批准ZMapp 和 TKM-Ebola 在紧急情况下用于确诊或者疑似感染埃博拉病毒的患者。WHO 委员会也给出建议,可在患者签署知情同意书的基础上,使用未经系统研究证明的药物如 ZMapp 和疫苗来控制感染,而且在伦理上也可接受。不过,即便如此,现有的可用药品也是非常有限或缺乏的。

1.ZMapp

ZMapp 是美国和加拿大共同开发的一种抗埃博拉病毒新药,由 3 种人源化的鼠单克隆抗体组成,其中的主要成分为 MB-003(又称为 :Mapp)和 ZMAb,两者优化后组成了抗埃博拉病毒感染的新药 ZMapp。MB-003是 3 种具有抗埃博拉病毒作用的单克隆抗体组成的混合抗体。2012 年,研究者用 MB-003 治疗了 6 只埃博拉病毒感染的恒河猴,给予 MB-003 的实验组中有 4 只存活;而未给药的对照组 2 只全部死亡。2013 年一项研究发现,感染埃博拉病毒 48 h 内注射 MB-003 混合抗体的恒河猴,其存活率为 43% ;如果不接受药物治疗,其存活率为零。ZMAb 是抗埃博拉病毒混合抗体联合腺病毒载体干扰素 α 的复合抗体。2013 年的另一项研究显示,使用 ZMAb 治疗感染埃博拉病毒 24 h 或 48 h 的猴,存活率分别为 100% 和 50%。2 个多月后,研究人员对存活的猴子进行再次感染试验,观察这些病愈的猴子体内是否产生了抵御埃博拉病毒的抗体,结果无 1 例猴子因再次感染而死亡。为进一步了解ZMapp的抗病毒作用,Qiu 等将致死剂量的埃博拉病毒给予三组猴子(每组6 只),分别在不同时间给予 ZMapp 治疗,结果发现所有动物都存活,更重要的是,即使是在猴感染病毒后 5 d 出现严重症状时使用,该药也能起到很好的保护作用。不过要注意的是,试验时所用毒株与本次西非暴发的毒株不同。不管怎样,ZMapp 的开发与猴试验中的良好疗效都是对抗埃博拉病毒的巨大进步。

2.TKM-Ebola

鉴于 ZMapp 的产能有限和疫情的不断扩展,国际社会也在尽可能的寻找更多的治疗 EVD 的有效药物。为此,2014 年 9 月美国 FDA 批准加拿大制药商 Tekmira公司研制的 TKM-Ebola 药物可在紧急情况下用于确诊或者疑似感染埃博拉病毒的患者。TKM-Ebola 也成为全球第二个可用于 EVD 治疗的药物。

TKM-Ebola 属于基因治疗药物,是一种靶向埃博拉病毒 RNA 多聚酶的小干扰 RNA,通过抑制埃博拉病毒相关基因 VP24 和 VP35,使致病基因 “ 沉默 ” 而起作用。2010 年发表在《柳叶刀》上的小规模的概念验证研究中,研究者将猕猴暴露于高剂量的扎伊尔型病毒后 30 min,开始给予 TKM-Ebola,随后,第一组猕猴(n=3)在暴露后 1、3、5 d 各给药 1次,而第二组猕猴(n=4)在暴露后 1 ~ 6 d 每天给药 1次,结果第一组的保护率可达 66%,第二组的保护率可达 100%。但 FDA 对其在人类的安全性上持保留态度,故仅部分准予其用于埃博拉病毒感染的患者。

3.jk-05

在应对 EVD 方面,中国的科研工作者也未曾停止前进的步伐。其中由中国军事医学科学院微生物流行病研究所针对埃博拉病毒、历时 5 年研制而成的药物 jk-05已通过总后卫生部专家评审,获得军队特需药品批件。jk-05 是一种小分子化学药物,该药能够选择性地抑制流感病毒和埃博拉病毒的 RNA 聚合酶,从而达到抑制病毒复制的目的。研究表明,jk-05 在细胞和动物水平感染实验中具有抗埃博拉病毒活性。该药物虽已完成临床前研究,并完成了用于抗流感病毒时的临床安全性评价,但对于 EVD 的治疗,目前仍仅限于紧急情况下使用。

4.法匹拉韦(favipiravir)

日本相关法规规定,在特定的条件下可采用未获批准治疗埃博拉的药物来治疗致死性的埃博拉病毒感染。根据此规定,日本富士公司和美国 MediVector 公司正在向美国 FDA 提交申请以扩大法匹拉韦(favipiravir,或称 T-705,Avigan)这一原本应用于抗流感病毒的药物,作为抗埃博拉病毒感染用药。法匹拉韦是一种新型的抗病毒化合物,主要用作抗新型流感毒株感染,今年年初,被日本政府批准上市。由于其没有经过猿猴以及人类相关研究,法匹拉韦能否抗埃博拉感染尚不明确。不过埃博拉病毒与流感病毒具有类似的结构(均为单链反义RNA 病毒),因此法匹拉韦可能对埃博拉病毒感染同样有效。但 WHO 目前并未推荐该药用于 EVD 的治疗。

5.其他用于 EVD 治疗的药物

除上述 4 种药物外,还有一些对抗埃博拉病毒的药物正在开发中,虽然很多药物均表现出良好的前景,但同样存在着相似甚至更大的不确定性。BCX-4430 是一个新的核苷类似物,可以影响病毒 RNA 多聚酶的功能而抑制病毒的复制,在啮齿类动物中具有抗埃博拉病毒活性,在非人灵长类动物中能够保护其免受马尔堡病毒感染,但并没有安全性试验的数据。AVI-7537 可通过RNA 干扰技术靶向作用于埃博拉病毒 VP24 蛋白,实验中对非人灵长类动物具有一定的保护作用。还有一些明确安全用法但用于其它疾病的药物,如氯喹、伊马替尼、雌激素受体调节剂(克罗米芬和托瑞米芬)、钙通道阻滞剂(胺碘酮、维拉帕米)等,也在

体外实验中体现出抗埃博拉病毒活性,可作为候选药物单独或联合其他药物用于治疗 EVD。

1.3.2.3疫苗的研究

寻找或研发抗埃博拉病毒的治疗药物固然重要,但管理和控制埃博拉病毒疫情暴发的最有效手段应该还是疫苗的使用,WHO 正与各方加快埃博拉病毒疫苗的临床试验。目前有数种针对埃博拉病毒的疫苗表现出良好的开发前景,但同样需要进一步的研究才能明确其应用价值。其中葛兰素史克公司开发的 “ChAd” 和美国纽琳基因公司开发的 “VSV” 疫苗最受关注,WHO 正与药物研发公司、临床专家与监管方加快这两种疫苗的临床试验,希望受疫情影响的国家能在 2015 年 1 月以后用上这些疫苗。

ChAd 疫苗是针对扎伊尔株设计研发的疫苗,它以一种良性病毒(腺病毒)为载体,仅包含了埃博拉病毒基因组的部分结构,因此不会导致接种疫苗者感染埃博拉病毒,该腺病毒也不会在人体内复制,但是如果人体处于感染状态时却会诱导免疫系统产生埃博拉病毒抗体。之前的动物实验已经证实该疫苗能够有效地防止埃博拉病毒感染,并且单剂量疫苗即可诱导产生高水平的保护效果,促进感染动物的恢复。目前,ChAd 已进入Ⅰ期临床试验阶段,这是首个进入Ⅰ期临床试验的抗击埃博拉病毒的疫苗。该试验已于 2014 年 9 月在牛津大学疫苗研究中心进行,有 60 名志愿者参与,目的是研究疫苗对健康人体是否有害,同时进一步确定最合适的疫苗剂量,但最终确定 ChAd 的疗效还要进行一系列试验。然而,在当下的情况下,人们希望把通过Ⅰ期临床试验的疫苗直接送到疫区的医护工作者手中,之后直接在疫区检测疫苗的效果。

VSV 疫苗是活病毒,该疫苗使用水泡性口炎病毒进行接种,可自我复制,感染细胞后可将埃博拉病毒的蛋白质带入宿主细胞中,之后就会激发免疫反应,防止机体出现器官衰竭和出血等症状。VSV 疫苗的价值在于,对于已经感染的猴子来说,该疫苗依然有效。美国纽琳基因公司已批准开展 VSV 疫苗的Ⅰ期临床实验。

1.4 技术路线

第2章 数据与方法

2.1基础知识

微分方程可以很好的模拟传染病的流行方式以及人感染传染病后的状态,SIR传染病模型是我们建立模型的理论基础,通过对SIR模型的改进,完善埃博拉病毒的传染机理,经过世界卫生组织数据带入验证,确立模型的准确性、科学性。

2.2 数据方法

根据已知埃博拉病毒的疾病生态学,同时考虑到埃博拉较高的病死率、短潜伏期、目前尚无疫苗防疫的特点,对传播动力学过程有较大的影响,本模型在SIR三分室的基础上增加疑似病患E,潜伏期感染者Q。设定的五分室模型如下:

各仓室之间关系如下:

dSQ(t)(1p)S(t)dtdR1I(t)dtd3dE1Q(t)(1p)[E(t)(1p)E(t)p]dtd3 dQ21I(t)Q(t)dtd1d2d3dI12Q(t)(1p)[S(t)E(t)(1p)E(t)p]I(t)d3d1d2dt

这样,就可以更加详细地描述模型变量,更好的预测埃博拉传染趋势。 本文首先运用SIR模型验证传染病传播的规律,再对模型进行参数修正,得出SEQIR模型预测某地区埃博拉疫情的发展。

第3章 模型建立与改进

3.1 SIR模型

3.1.1 模型建立

针对一般的传染病,姜启源等《数学模型》中建立了三个数学模型对其进行模拟,并逐步改进出了SIR模型,现将其作为初步分析的工具,具体过程如下。

模型假设:

1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变,人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类:易感染者(Susceptibles),其数量比例记为s(t),表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例;感染病者(Infectives),其数量比例记为i(t),表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例;恢复者(Recovered),其数量比例记为r(t),表示t时刻已从染病者中移出的人数(这部分人既非已感染者,也非感染病者,不具有传染性,也不会再次被感染,他们已退出该传染系统。)占总人数的比例。

2.病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数r,日治愈率(每天被治愈或死亡的病人占总病人数的比例)为常数μ,显然平均传染期为1/μ,传染期接触数为σ=r/μ。

基于以上模型假设,进行建模过程,我们看出,在假设1中显然有:

s(t) + i(t) + r(t) = 1 (3.1.1.1)

对于病愈免疫或死去的移出者的数量应为

NdrNidt (3.1.1.2)

s0>0)0我们不妨设初始时刻的易感染者,染病者,恢复者的比例分别为s(,

i0(i0>0),r0=0.

SIR基础模型用微分方程组构成表示如下:

didtsii

dssi

dt

drdti

 (3.1.1.3)

方程组中各参数及其含义如下:

日治愈率(每天被治愈或死亡的病人占总病人数的比例) μ

病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数 r

传染期有效接触数 σ

时刻t内健康人群 S(t)

时刻t内潜伏期人群 I(t)

时刻t内治愈或死亡人群 R(t)

则,在方程(3)中设r=1,μ=0.1,i(0)= 0.00001,s(0)=0.99999,用MATLAB软件编程:

运行后得出图像如图3-1所示。

图3-1 感染者比例与时间关系

3.1.2 模型分析

我们在数值计算和图形观察的基础上,利用相轨线讨论解i(t),s(t)的性质。

i ~ s平面称为相平面,相轨线在相平面上的定义域(s,i)∈D为

D = {(s,i)| s≥0,i≥0 , s + i ≤1} (3.1.2.1) 在方程(3)中消去dt并注意到σ的定义,可得

di11dssσ, i|ss0i0 (3.1.2.2)

所以,有

1di1dssσs1d1dsii0s0sσ (3.1.2.3) i

利用积分特性容易求出方程(5)的解为

i(s0i0)s1

lns

s0 (3.1.2.4)

在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3-2所示。其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向。

i

D

P2

imP1

os1/s

图3-2 s(t)和i(t)的变化曲线

下面根据(3.1.1.3)、(3.1.2.4)式和图3-2分析s(t)、i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作s,i和r)。

1. 不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即

i00 (3.1.2.5)

其证明如下:

dsdr00s首先,由(3.1.1.3) dt 而 s(t)0 故 存在; 由(3.1.1.2)dt而

r(t)1 故r 存在;再由(3.1.1.1)知i存在。

dri0则由(3.1.1.1),对于充分大的t 有dt2 , 这将导致其次,若

r,与r存在相矛盾.从图形上看,不论相轨线从P1或从P2点出发,它终将

与s轴相交(t充分大)。

2.最终未被感染的健康者的比例是s,在(7)式中令i=0得到,s是方程

s0i0s1lns0s0 (3.1.2.6)

在(0,1/σ)内的根。在图形上s是相轨线与s轴在(0,1/σ)内交点的横坐标。

di1di11o1 3.若s0>1/σ,则开始有dssσ,i(t)先增加,令dssσ=0,可

得当s=1/σ时,i(t)达到最大值:

1ims0i01lns0) (3.1.2.7)

di11o

然后s

di110ss4.若01/σ,则恒有dssσ,i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至,

如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线。

可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一个阈值,当s0>1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得s0≤1/σ(即σ ≤1/s0),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的,通常可认为s0接近1)。

并且,即使s0>1/σ,从(19),(20)式可以看出, σ减小时, s增加(通过作图分

i析),m降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。

从另一方面看,ss1/是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被s个健康者交换。所以当 s01/ 即s01时必有σS≤1既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。

3.1.3 模型验证

几内亚是联合国公布的最不发达国家之一,人口1120万。2014年3月23日WHO宣布几内亚埃博拉病毒感染所致的埃博拉病毒病,又称埃博拉出血热暴发,并在几内亚首都科纳克里和利比里亚和塞拉利昂的边界也出现EHF疑似病例。

下表显示了2014年感染埃博拉病毒人员在几内亚的变化情况:

表3-1 2014年感染埃博拉病毒人员在几内亚的变化情况表

由数据可知在前十天内,病毒传播情况大致符合模型模拟情况,可是其增长速度并没有模拟的那么快。究其原因,是因为病毒爆发后,政府采取了相应的隔离措施,而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得≤1/σ(即σ ≤1/),传染病就不会蔓延。下面通过改进的SIEQR模型进行模拟与预测某未知地区的埃博拉病毒爆发情况。

3.2 改进的SIEQR模型

3.2.1 模型建立

在埃博拉病毒爆发的初期,由于潜伏期的存在,社会对埃博拉病毒传播的速度和危害程度认识不够,政府和公众都没有引起足够的重视。当人们发现被感染者不断增加时,政府开始采取多种措施以控制埃博拉病毒的进一步蔓延。通过上述分析,可以把埃博拉病毒的传播过程大致分为3个阶段:

① 控制前,接近于自然传播时的传播模式;

② 过渡期,从公众开始意识到埃博拉的严重性到政府采取严格控制之的一段时间;

③ 控制后,在介入人为控制因素,严格控制之后埃博拉病毒的传播模式。 除西非等不发达地区外,美国、西班牙等国家都是在埃博拉病毒刚刚大肆传播就采取了强有力的措施,因此,这些地区的过渡期都可包括在控后期。由以上分析可知,单纯的SIR模型对于采取控制前埃博拉疫情的预测基本与实际情况较为吻合,但不能反映相关人为因素介入后的病毒传播规律和疫情的实际情况。在考虑相关人为控制因素后,针对SIR模型的不足,我们对加入了隔离等强制措施的SIR模型进行改进。

首先是人群种类的变化,我们在结合理论分析的基础上,把考察范围内的人群分为以下种类:

1、健康人群,即易感染(Susceptibles)人群。记其数量为S(t),表示t时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数;

2、确诊患者,即被感染(Infection)该疾病的人群,记其数量为I(t) 表

示t时刻可能感染该疾病的但又不是疑似病患的人数;

3、疑似病患,记其数量为E(t)表示t时刻感染该疾病的并是疑似病患的人数;

4、潜伏期感染者,记其数量为Q(t)表示t时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数;

5、恢复人群(Recovered),记其数量为R(t),表示t时刻已从感染病者中移出的人数,恢复者或死亡者(这部分人数既不是已感染者,也不是非感染者,不具有传染性,也不会再次被感染,他们已经推出了传染系统)。

基于以上人群分类,我们假设(埃博拉病毒传入某城市):

1. 假设易感人数的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比;

2. 假设从感染数中移除个体的速率与当时的感染人数成正比;

3. 假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生,死亡,流动等种群动力因素对总人数的影响。即:总人口数不变,记为N。

4. 假设潜伏期人群不会传染健康人,不具有传染性。

5. 假设被隔离的患者无法跟别人接触,不会传染健康人。

6. 假设治愈者已对该病毒有免疫力,不会再被该传染病传染,可以退出系统

7.假设初始时刻健康人群的总人数为S0=1.1千万(某城市),潜伏期的总人数为I0=1,疑似病患的总人数为E0=0,确诊病患的总人数为Q0=0,恢复人群的总人数为R0=0。

同样,方程组中参数及其含义如下:

病毒潜伏期(天) d1、d2

病患者治愈(死亡)时间(天) d3

病患人均每天接触人数 r

防控措施强度 p

时刻t内健康人群 S(t)

时刻t内潜伏期人群 Q(t)

时刻t内病症疑似人群 E(t)

时刻t内已患病人群 I(t)

时刻t内治愈或死亡人群 R(t)

传染病传染率 

由模型的假设得到如下关系

S(t)+I(t)+E(t)+Q(t)+R(t)=N(3.2.1.1)

根据假设在时刻t内健康人群变化有

S(tt)S(t)Q(t)(1p)S(t)t (3.2.1.2)

在时刻t内治愈或死亡人群的变化有 R(tt)R(t)11I(t)td3(d3为单位时间内患者的恢复率)(3.2.1.3)

在时刻t内病症疑似人群的变化有

E(tt)E(t)Q(t)(1p)[E(t)(1p)E(t)p1]td3(3.2.1.4)

在时刻t内已潜伏期人群的变化有(已患病人群等于潜伏期病人转为感染者减去移除人数)

Q(tt)Q(t)21I(t)Q(t)d1d2d3(3.2.1.5)

在时刻t内患病人群的变化有

12I(tt)-I(t){Q(t)(1-p)[S(t)E(t)(1-p)]-I(t)}td3d1d2 (3.2.1.6) 2

(d1d2为单位时间内潜伏期病人转为感染者的比例常数)

根据以上变化有方程组:

dSQ(t)(1p)S(t)dtdR1I(t)dtd3dE1Q(t)(1p)[E(t)(1p)E(t)p](3.2.1.7) dtd3dQ21I(t)Q(t)dtd1d2d3dI12Q(t)(1p)[S(t)E(t)(1p)E(t)p]I(t)dtddd312

3.2.2 模型求解

当d1=6, d2=12, d3=10, r=20, p=80%,我们假设患者2天后入院治疗,疑似患者2天后被隔离。有初始状态的患者人数为:

QQ(0)*(NQ(0)E(0)*r)*2N (3.2.2.1)

运用Matlab对模型进行模拟运算,得出患者人数随时间变化如图一:

图3-3 感染者比例与时间关系(P=0.8)

由上图可以得到:在当当d1=6, d2=12, d3=10, r=20, p=80%,在患者2天后入院治疗以及疑似患者2天后被隔离的条件下,当t在0~9.6607d时,患者的人数是急剧上升的,在t=9.6607达到最大值,此时患者人数为y=140822.1475在采取医疗措施,比如患者入院治疗,隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现下降的趋势。

3.2.3 模型分析

通过上述建模过程,我们可继续分析该模型特点,其中b1,b2,b3为固定值,当P值(防控措施强度)改变时,我们得到以下几幅不同的图像。

图3-4 感染者比例与时间关系(P=0)

图3-5 感染者比例与时间关系(P=0.2)

图3-6 感染者比例与时间关系(P=0.4)

图3-7 感染者比例与时间关系(P=0.6)

图3-8 感染者比例与时间关系(P=0.8)

图3-9 感染者比例与时间关系(P=1.0)

通过Matlab拟合的曲线,我们可以很明显的看出当防控强度P为0.4时,可以达到最佳效果(患者最少,患病高峰期延长),而我们主观意识上将患者与疑似患者全部隔离是最理想状态,但曲线拟合结果显示,这反而会使患者数在初期剧增(t≈0)

,这显然是不符合常规的,况且在现实情况下不可能做到防控强

度为1,因此模型预测取P

第4章 评价与建议

4.1 模型的评价

4.1.1 SIR模型的评价

SIR模型中考虑了传染病的几个基本因素,对埃博拉疫情进行了合理的模拟,并对模型进行验证,得出模拟效果良好但仍有瑕疵,于是说该模型既是基础,又有待改进。

4.1.2 SEQIR模型的评价

模型优势:

该模型较好的弥补了SIR模型中欠缺考虑的埃博拉病毒潜伏期短、致死率高等特点,考虑到世界卫生组织针对埃博拉疫情的控制措施,增添多项参数,为埃博拉疫情在某个未知地区的出现提供了理论分析基础,可以预测病毒爆发的全过程并为医疗组织提供合理的防控力度。

模型缺陷:

1、尚无合乎模型假设的区域(美国、西班牙等地虽符合假设,但是病例较少、医疗水平对较高,无爆发迹象,因此无法纳入考察范围)可供模型验证;

2、仍未把握到埃博拉病毒致死率较高的特点,仍有改进空间;

3、病患在达到峰值时的下降速度仍较快,防控措施与模型的相关性仍相对较弱,与实际可能会产生误差。

4.2 现有医疗水平的评价

针对现有医疗水平的评价,本文还是运用SIR模型的数据进行分析,因为发达国家病例少,样本不具有代表性,而西非地区是埃博拉疫情的重灾区,考虑到其医疗卫生条件相对发达国家较差,因此较为符合不考虑隔离强度、无疑似患者仓室的系统,即SIR系统。

通过对SIR模型验证时我们发现对于西非地区采取的防控埃博拉疫情的措施效用仍未达到模型理想的水平,说明西非目前不能保证日接触率λ处于相对较低、日治愈率μ相对较高的水平,即尚不能保证日接触数σ处于较低水平,其防控体系与防控力度相对较弱。但是,西非、世界卫生组织、各国卫生部采取了一系列强制措施,如:加强出入境检疫,积极研制埃博拉病毒疫苗,隔离埃博拉患者等,这些措施起到了防控埃博拉在世界范围内传播的效果,该控制体系的优越性是我们所不能忽视的。

4.3防控建议

目前尚没有针对 EVD 的特异性疫苗,也没有特异性治疗办法,因而严格隔离控制传染源、密切接触者追踪、管理和加强个人防护是防控 EVD 的关键措施。

预防性措施 对于未发生埃博拉出血热流行的国家和地区而言,有效控制传染源的关键是及时发现和隔离控制输入性病例,为此要加强进出境检疫,加强对动物的检疫,尤其是要加强对非人灵长类和蝙蝠等野生动物的检疫工作。口岸检疫部门一旦发现可疑病例或动物,要及时通报卫生部门做好疫情调查和处理,对前往该病流行地区的旅游和进行医护工作的人员,要进行有关埃博拉出血热防病知识的普及和教育,使其提高警惕意识,做好个人防护,加强国际间信息交流与合作,密切关注该病的流行动态,尤其要高度关注曾出现过埃博拉出血热流行的地区。

疫情控制措施 一旦发现可疑病例及其接触者,应立即采取严格的隔离措施,以防止疫情的扩散及流行。与病人接触时做好个人防护,防止直接接触患者污染物。对病人的分泌物、排泄物要严格消毒,污染的针头、注射器等可用焚烧或高压蒸汽进行消毒处理,所有涉及埃博拉病毒的实验室活动应严格按照我国有关规定进行,相关的实验室检查应减少至需要的最低限度,采集病料时应注意个人防护,在病料送检过程中一定要注意防止病毒的散播,病毒分离与培养只能在生物安全 4级实验室进行,该病无特效治疗措施,主要采用对症和支持疗法,注意水,电解质平衡,预防和控制出血,控制继发感染。

致谢

在此,首先感谢孟得新老师教受我们数学建模的基本理论,让我们感受到了数学建模的独有魅力,开发了我们的思维,提升了我们的能力,拓宽了我们的视野。孟老师严谨的治学态度、一丝不苟的钻研精神使我们学习的榜样,在论文遇到瓶颈期的时候,孟老师的指导让我们找到了新的思路,有了新的发现,才得以完成最终的文章。我还要深刻感谢朱家佑、牛星智同学的大力支持与帮助。如果没有朱家佑同学强大的理科思维与熟练的软件操作能力,我们的模型不可能建立的如此迅速,如此富有创新性;如果没有牛星智同学彻夜查考文献、整理文献综述以及模型的改进意见,我们也不可能顺利完成工作,我也不可能有清晰的思路进行论文的撰写与整合。最后,还要感谢帮助和支持我的室友、同学们,谢谢你们的提点与支持。总之,是大家的努力造就了这篇论文,谢谢你们。

参考文献

[1] 曾德荣,成晓红,黄吉安.对SARS疫情预测与控制的数学模型研究——一种基于一般流传

病模型的改进方法[J].中国安全科学学报,2004,02:44-48.

[2] 徐致靖,徐展凯,刘列,许晴,祖正虎,郑涛. 对想定北京和广州发生输入性埃博拉疫情的计

算实验研究[J].生物技术通讯,2015,01:33-39+50.

[3] 吴开琛,吴开录,陈文江,林明和,李才旭. SARS传播数学模型与流行趋势预测研究[J].中国

热带医学,2003,04:421-426.

[4] Fauci AS:Ebola-underscoring the global disparities in health care resources[J].The New

England Journal of Medicine,2004,371:1084-1086.

[5] 张齐鹏.甲型H1N1流感在预防控制措施下的传播数学模型构建[J].湖南文理学院学报(自

然科学版),2009,04:16-18.

[6] 周后卿,徐幼专.埃博拉病毒感染数量的一个数学模型[J].邵阳学院学报(自然科学

版),2014,04:1-5.

[7] 徐展凯,徐致靖,祖正虎,郑涛.基于个体的传染病传播模型应用[J].生物技术通

讯,2015,01:46-50.

[8] 徐致靖,徐展凯,刘列,祖正虎,郑涛.关于西非埃博拉疫情态势预测研究的总结分析[J].生物

技术通讯,2015,01:22-32.

[9] 刘畅,丁光宏,龚剑秋,王凌程,珂张迪.SARS爆发预测和预警的数学模型研究[J].科学通

报,2004,21:2245-2251.

[10] 孙海,熊思灿,吴志强.基于改进SIR模型的甲型H1N1流感防控研究[J].东华理工大学学

报(自然科学版),2014,01:96-100.

[11] 张云辉,王姝,陈玉琪,李军.埃博拉出血热研究现状及2014年疫情进展[J].传染病信

息,2014,04:3-8.

[12] 程颖,刘军,李昱,刘翟,任翔,施一,高福,余宏杰.埃博拉病毒病:病原学、致病机制、治疗与

疫苗研究进展[J]. 科学通报,2014,30:2889-2899.

[13] 刁天喜,徐守军,赵晓宇,周巍,李鹏,刘术,王伟.埃博拉出血热药物和疫苗研究开发态势分

析[J]. 军事医学,2014,08:569-575.

[14] 孟现民,董平,卢洪洲.埃博拉病毒病的治疗及新药研究进展[J]. 上海医药,2014,21:1-5. [15] 凌春英,马秀慧.甲型H1N1流感的微分方程模型[J]. 高师理科学刊,2012,01:17-19. [16] 高秋月,肖露平,李海燕,方献平. 埃博拉病毒及其免疫研究进展[J]. 生物学教

学,2009,07:7-9.

[17] World Heal ill Organization. Ebola response roadmap situation report[R]. 2014-12-24. [18] 杨方廷.北京SARS疫情过程的仿真分析[J].系统仿真学报, 2003, 15(7): 991-998. [19] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[20] 宋建德,袁丽萍,朱迪国,魏荣. 近期全球埃博拉病毒病流行情况及防控进展[J]. 中国动物

检疫,2014,09:1-6.

[21] 夏生林. 埃博拉出血热的防控[J]. 畜牧与饲料科学,2010,Z2:162-163.

[22] .

[23] 唐关丽. SARS数学模型的建立及其解的存在唯一性[J].现代经济信息,2009,01:98+97.

范文六:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

第11卷第4期2014年12月



邵阳学院学报(自然科学版)

JournalofShaoyangUniversity(NaturalScienceEdition)

Vol.11No.4

Dec.2014

1672-7010(2014)04-0001-05文章编号:

埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

周后卿,徐幼专

1.邵阳学院理学与信息科学系,2.邵阳广播电视大学,(湖南邵阳422000;湖南邵阳422000)

摘 要:埃博拉病毒病(EVD)是严重的、往往致命的人类疾病,病死率高达90%.埃博拉病毒病疫情主要发生在中非和西非靠近热带雨林的边远村庄.该病毒通过野生动物传到人,并且通过人际间传播在人群中蔓延.病情严重的患者需要获得重症支持治疗,无论对人还是对动物都无可用的已获正式许可的特异性治疗办法或者疫苗.由于缺乏有效的治疗手段和人用疫苗,提高对感染埃博拉危险因素的认识以及个人可以采取一些保护措施,这是减少人类感染和死亡的唯一方法.本文建立一个埃博拉病毒的数学模型,对疫情进行实证分析;并且对疫情的发展也做了一个预测.

关键词:埃博拉病毒;数学模型;实证分析;预测

O175.1    文献标志码:A中图分类号:

  

AMathematicalModelofEbolaVirusInfectionNumbers

ZHOUHou-qing1XUYou-zhuan2

(1.DepartmentofScienceandInformationScience,ShaoyangUniversity,Shaoyang,Hunan422000,China;2.ShaoyangRadio&TVUniversity,Shaoyang,Hunan422000,China)

AbstractEbolavirusdiseaseEVD

:(),formerlyknownasEbolahaemorrhagicfever,isasevere,oftenfatalillnessinhumans.

EVDoutbreakshaveacasefatalityrateofupto90%.EVDoutbreaksoccurprimarilyinremotevillagesinCentralandWestAfricaneartropicalrainforests.Thevirusistransmittedtopeoplefromwildanimalsandspreadsinthehumanpopulationthroughhuman-to-humantransmission.Severelyillpatientsrequireintensivesupportivecare.Nolicensedspecifictreatmentorvaccineisavailableforuseinpeopleoranimals.IntheabsenceofeffectivetreatmentandahumanvaccineraisingawarenessoftheriskfactorsforEbolainfectionandtheprotectivemeasuresbeingtakenaretheonlytwowaystoreducehumaninfectionanddeath.ThispaperestablishedamathematicalmodelofEbolavirusandmadeanempiricalanalysisofepidemicdiseases.Furthermorewemadeapredictiontothedevelopmentofepidemic.

KeywordsEbolavirusmathematicalmodelempiricalanalysisprediction

,,

:;;;

2014-10-12收稿日期:

基金项目:邵阳市科技局科技计划项目(M230)

1963—)周后卿(,男,湖南新邵人,副教授,研究方向:组合数学及其应用.作者简介:

 2

邵阳学院学报(自然科学版)第11卷

0 

引言

热)埃博拉病毒病(以往称作埃博拉出血高达是一种严重且往往致命的疾病,死亡率目动物(90%猴子、.该病会影响人类和非人类灵长

大猩猩和黑猩猩)

.埃博拉是1976的,年在两起同时出现的疫情中首次出现的一个村庄,一起在刚果民主共和国靠近埃博拉河地区,证据,病毒的起源尚不得而知另一起出现在苏丹一个边远.但基于现有拉病毒的宿主人们认为果蝠(狐蝠科)可能是埃博自西非的几内亚卫生部在.

2014年3月21个西非国家日宣布本国出现埃博拉疫情后,另外几了埃博拉疫情-利比里亚和塞拉利昂也出现命疾病,.这种病毒是一种严重的致径是直接接触受感染的动物或人的血液、病死率高达90%,其传播感染的途体液和组织道,.据法新社2014年8月8日报

国家肆虐的埃博拉病毒为国际公共卫生紧国际卫生组织(WHO)8日宣布,在西非

急事态前,上升至埃博拉病例已增加到.据世界卫生组织最新统计,截至目1711例,死亡人数病例数量为932人;8月2日到4日两天内新增道,108例,又有45人死亡.另据报日宣布国家进入紧急状态利比里亚和尼日利亚分别于当地时间6还表示埃博拉病毒是.国际卫生组织情,40年来最严重的疫的国家它呼吁各国帮助遭受埃博拉病毒肆虐1

出现疫情,[].目前尽管只有少数国家和地区理,变异规律等问题没有弄清楚,如传染源、但由于人们对埃博拉的传播机传染途径、发病机制、流行和乏有针对性的治疗药物,并再加之缺得到根本控制,应对具有蔓延态势的埃博拉病毒,因而引起人们的恐慌所以病毒尚没有.为了清楚,博拉病毒的发展态势如何?只有这样,现有的干预手段究竟有多大效果,必须搞埃确定更加科学准确的防治措施才能因此,我们必须在调查研究的基础上,

应用科学的分析方法,播的趋势揭示预测埃博拉传

分国家的埃博拉疫情进行了模拟,.本文利用传染病模型对南非部果与实际疫情比较吻合模拟结情的发展提出了预测,.在此基础上对疫的防范和控制以期有利于对疫情.

1 

数学模型

在对于埃博拉病毒的数学模型研究,早1996年,文献[2就使用S-I-R和S-E-I-R发:

模型,

年模拟扎伊尔两个时段的埃博拉爆]

1976Yambuku疫情爆发和1995年Kikwit率的疫情爆发.他们得到:当基本再生

埃博拉病毒传染性不如以前那么厉害,R0

满足范围1.72≤R0

≤8.60时,

意味着以使他们减少潜在的死亡可近些年来,也有一些文献(.

参见[3献的基础上,])对埃博拉病毒做了研究-6.现在在这些文数学模型建立埃博拉病毒感染数量的成理想人群,首先对模型进行假设:.

有迁入迁出及其他原因引起的死亡现象总人数保持在固定水平把研究对象当N.没假设患传染病后通过治好的人,期的免疫力,都具有长.可以忽略不计,同时设传染病的潜伏期很短,传染者即任何人患病后立即成为(作S),在这种情况下,.

传染者(把居民分成易感者,s(t),I)及移出者(R)三类,分别记i(t)和r(t),三者之和保持常数N即病人的日接触率为s(t)+i(t)+r(t)=N(1.1)λ期接触数为,日治愈率为μ,传染

σ=模型构成

λ

.根据S-I-R传染病模型:

第4期

周后卿,徐幼专:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

 3

ds

dt=-λsi,s(0)=s0di

=λsi-iμ,i(0)=idt0,

1.2)drdt

=iμ解得

由(

1.1)式和(1.2)式的第1,2个方程s(t=s-r

0e

σ

1.3)-r

数变化率近似地等于

取)σ

移出人(

e的泰勒展开式的前三项,dr

r1r2

dt=μ[N-r-s0

(1-·())](1.4)出人数:

在初始值σ2

σr0

=0下得到其解为累计移2

r(t)=σs

-1+αtanh0

(12αμt-φ其中

s[σ)],2

1α=s

+2s0i0

tanh=s0

-σ2

所以,[(σ-1()式可化为σ

],φασ.1.4)drμα2σ2

dt=12s0

·ch2

(μαt

,(1.5)2-φ)因为ch2

(μαt

-φ)≥1,所以有1

()

≤ch2

μαt1,

-φ(1.5)式当且仅当t2-φ=0,即t=2μα

drdt

化情况下面我们再分析也即移出的人最多.

s(t),i(t)和r(t)的变以可以从前两个方程求出.模型中前两个方程与r(t)无关,所

的关系i(t)与s(t)之间

即先考虑ds=-λsi,s(0)=0

dt

s,(1.6)didt

=λsi-iμ,i(0)=i0

消去dt,得一阶方程,

dids=-1+σ,is=s0

=i0

解此方程得:

,i0

记(s)=i+s-s+σlns

(1.7)limt→󰀡

s(

t)=s󰀡

,limt→󰀡

i(t)=i󰀡

,limt→󰀡

r(t)=r󰀡

,病人终将治愈或者死亡①不论初始条件s0

i0

如何,i󰀡

=0,即[7]

󰀡,在(②最终未被感染的健康者的比例是s1.7)式中令i(s)=0,得到s󰀡

是方程

i+s-s+σlns

󰀡00󰀡

=00

在(0,σ)内的根.③0

(若s>σ,

则i(t)先增加,当s=σ时,it)达到最大值:i=s+i-σ(1+lns

m00

σ

).至然后i(t)减小且趋于0,s(t)一段增长时期才认为传染病在蔓延,s󰀡

.就是说,

如果仅当感染者比例单调减小i(t)有是一个阈值,当则σs0

单调减小至④若s0

≤σ,

则>σ时传染病会蔓延.

i(t)单调减小到0,s(t)s󰀡

.减小传染期接触数σ,

使得s康意识卫生水平越高,0

≤σ传染病就不会蔓延.注意到人们的健水平越高,医疗水平是控制传染病蔓延的有效途径日治愈率越大,日接触率越小,所以提高卫生和医疗.

2 

实证分析

要通过病人的血液、通过长期的研究发现,途径传播唾液、汗水和分泌物等埃博拉病毒主少,.常规检查发现,血小板严重减血淀粉酶也增高,常见淋巴细胞减少,肝切片中观察到病毒用电子显微镜有时可在转氨酶升高,有时为.埃博拉感染潜伏期高烧、2-21天,感染者表现为,起初突然出现弱;然后是腹痛、咽喉疼、肌肉疼痛、头痛、和全身虚月内,呕吐、腹泻.发病后的半个凝固,而坏死的血液迅速传及全身各个器

病毒外溢,导致人体内外出血、血液

 4

邵阳学院学报(自然科学版)第11卷

官,最终病人出现鼻腔、口腔、肛门出血等症状,严重患者可在24小时内死亡.

预防埃博拉的最有效办法是实施隔离,防止人们接触病患者.埃博拉病毒传播的速度,强度和广度取决于人群中感染者和易感者的数量及两者间的有效接触.所谓有效接触,即病原体由感染者到达易感者体内,并使其感染乃至发病的接触,它受接触程度、病原体种类、病原体排出状况、易感者的抵抗力等许多因素的影响.

建立流行病学数学模型后,还须把模型得到的解用实际资料作拟合检验.若一

表1 

3.2686625.12261496.18390267

3.27103665.32311556.2390270

3.28112705.52351576.25393275

3.31122805.72361586.3413303

4.1127835.12331577.2412305

2014

Tab.1 2014Guineaebolaviruscausedcumulativecasesanddeathnumbers

4.4143865.122481717.

6408307

4.7151955.232581747.8409309

4.91581015.272811867.12406304

4.141681085.282911937.14411310

4.161971226.13282087.17410310

4.22081366.33442157.2415314

4.232181416.5351226

4.262241436.16398264

年几内亚埃博拉病毒造成的累计病例和死亡总数

致,则可初步认为模型合理,可按其适用范围到实践中去应用并作进一步验证.若不一致,则应认真检查模型的假设条件和数学式,进行修改,直至拟合结果基本满意为止.

下面,根据世界卫生组织公布的几内亚自3月26日至7月20日所发生的埃博拉病毒病疫情演变情况的数据(见表一),画出日增人数和死亡人数的散点图(见图1).病例总数会因病例和实验室数据的重新分类、回顾性调查及合并整理以及监测活动的加强而发生变化.

图1 日增感染人数和死亡人数散点图

Fig.1 Thescatterplotofinfectingnumbers

图2 日感染人数与周数关系

Fig.2 Relationshipbetweeninfectingnumbers

再来分析预测每天感染的情况.

1.3)根据(式和附录提供的数据,

可以估计出日感染人数λ=3.72,μ=0.863,1882

s=,其图形参见图2.ch0.195t-6.02从上面的图2我们发现,将在第32周日感染人数最多.也就是说,如果或33周,

anddeaths

我们以3月26日为基点,那么将在今年的

11月下旬或12月上旬每天增加的人数将达到最多.以后,随着积极治疗防控力度加大,被感染的人数将逐渐减少.

尽管医学家们想方设法在努力探索,但还是没有破解埃博拉病毒的真实身份,至今埃博拉是一个不解之谜.没有哪个知

andweeks

第4期周后卿,徐幼专:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

 5

道,每次爆发埃博拉病毒后,处,哪里感染到这种病毒的?埃博拉病毒就是也没有哪个知道,第一个受害者又是从它潜伏在何

人类至今所知道的最可怕的病毒之一,旦感染这种病毒,有其他治疗方法,病人没有疫苗注射,一一能阻止病毒蔓延的方法,实际上等于判了死刑也没.唯染埃博拉的病人完全隔离开来就是把已经感[8

].

射现今治疗埃博拉的唯一方法,就是注进入细胞核进行自身复制,

NPC1阻碍剂.埃博拉病毒需透过NPC1

胞间进行运输胆固醇,NPC1蛋白于细胆固醇的运输路线造成尼曼匹克症,即使阻碍剂会阻挡是可以容忍的,但那的时间绝大多数的爆发都是短暂.

毒估计还有相当一段时间从现在到最后彻底控制消灭埃博拉病高发季节的到来,引起高度重视防治任务异常艰巨,.随着秋冬病毒必须

掌握实情,.只有统一思想,

提高认识,取得最后胜利科学应对,做好防控工作,才能.

参考文献:

[1]World(HealthOrganization.Ebolavirusdisease

EVD)[EB/OL].[2014-08-10]:http://www.

[who.int.

2]FauciAS:Ebola-underscoringtheglobaldisparities

inhealthcareresources[J].TheNewEngland

[JournalofMedicine,

2014,371:1084-1086.3]GerardoCandHiroshiN.Transmissiondynamics

and[]controlofEbolavirusdisease(EVD):areviewJ.ChowellandNishiuraBMCMedicine,2014,12[(196):1-16.4]JosephAL,MartialLNM,JorgeAA.DynamicsandcontrolofEbolavirustransmissionin

MontserradoLiberiaamathematicalmodellinganalysis[],:

J.TheLancetInfectiousDiseases,2014,[]14(12):1189-1195.5YarusZ.AMathematicallookattheEbolaVirus

[][J/OL].http://www.home2.fvcc.edu/,2012.6BantonS,RothZ,PavlovicM.Mathematical

ModelingofEbolaVirusDynamics[]

asaSteptowardsRationalVaccineDesignC//KeithEHerold.26thSouthernBiomedical:EngineeringConference,,

[32:

SBEC2010.MarylandSpringer2010196-200.

7]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.8]

蒋娇,[医护人员危险剧增[聂鲁彬.利比里亚名医死于埃博拉病毒:EB/OL].[2014-07-28]http//www.huanqiu.com/

埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):

周后卿, 徐幼专, ZHOU Hou-qing, XU You-zhuan

周后卿,ZHOU Hou-qing(邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳,422000), 徐幼专,XU You-zhuan(邵阳广播电视大学,湖南邵阳,422000)

邵阳学院学报(自然科学版)

Journal of Shaoyang University (Natural Science Edition)2014(4)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sygdzkxxxb201404001.aspx

范文七:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型_周后卿

第11卷第4期2014年12月邵阳学院学报(自然科学版)

JournalofShaoyangUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.11No.4Dec.2014



文章编号:1672-7010(2014)04-0001-05

埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

12

徐幼专周后卿,

(1.邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳422000)湖南邵阳422000;2.邵阳广播电视大学,

摘要:埃博拉病毒病(EVD)是严重的、往往致命的人类疾病,病死率高达90%.埃博

拉病毒病疫情主要发生在中非和西非靠近热带雨林的边远村庄.该病毒通过野生动物传到人,并且通过人际间传播在人群中蔓延.病情严重的患者需要获得重症支持治疗,无论对人还是对动物都无可用的已获正式许可的特异性治疗办法或者疫苗.由于缺乏有效的治疗手段和人用疫苗,提高对感染埃博拉危险因素的认识以及个人可以采取一些保护措施,这是减少人类感染和死亡的唯一方法.本文建立一个埃博拉病毒的数学模型,对疫情进行实证分析;并且对疫情的发展也做了一个预测.

关键词:埃博拉病毒;数学模型;实证分析;预测中图分类号:O175.1文献标志码:A

AMathematicalModelofEbolaVirusInfectionNumbers

ZHOUHou-qing1,XUYou-zhuan2

(1.DepartmentofScienceandInformationScience,ShaoyangUniversity,Shaoyang,Hunan422000,China;

2.ShaoyangRadio&TVUniversity,Shaoyang,Hunan422000,China)

isasevere,oftenfatalillnessinhumans.Abstract:Ebolavirusdisease(EVD),formerlyknownasEbolahaemorrhagicfever,EVDoutbreakshaveacasefatalityrateofupto90%.EVDoutbreaksoccurprimarilyinremotevillagesinCentralandWestAfri-ca,neartropicalrainforests.Thevirusistransmittedtopeoplefromwildanimalsandspreadsinthehumanpopulationthroughhu-man-to-humantransmission.Severelyillpatientsrequireintensivesupportivecare.Nolicensedspecifictreatmentorvaccineisa-vailableforuseinpeopleoranimals.Intheabsenceofeffectivetreatmentandahumanvaccine,raisingawarenessoftheriskfactorsforEbolainfectionandtheprotectivemeasuresbeingtakenaretheonlytwowaystoreducehumaninfectionanddeath.ThispaperestablishedamathematicalmodelofEbolavirus,andmadeanempiricalanalysisofepidemicdiseases.Furthermore,wemadeapre-dictiontothedevelopmentofepidemic.

Keywords:Ebolavirus;mathematicalmodel;empiricalanalysis;prediction

收稿日期:2014-10-12

基金项目:邵阳市科技局科技计划项目(M230)

作者简介:周后卿(1963—),男,湖南新邵人,副教授,研究方向:组合数学及其应用.

2

邵阳学院学报(自然科学版)第11卷

0引言

埃博拉病毒病(以往称作埃博拉出血热)是一种严重且往往致命的疾病,死亡率高达90%.该病会影响人类和非人类灵长目动物(猴子、大猩猩和黑猩猩).埃博拉是1976年在两起同时出现的疫情中首次出现的,一起在刚果民主共和国靠近埃博拉河的一个村庄,另一起出现在苏丹一个边远地区,病毒的起源尚不得而知.但基于现有证据,人们认为果蝠(狐蝠科)可能是埃博拉病毒的宿主.

自西非的几内亚卫生部在2014年3月21日宣布本国出现埃博拉疫情后,另外几个西非国家-利比里亚和塞拉利昂也出现了埃博拉疫情.这种病毒是一种严重的致命疾病,病死率高达90%,其传播感染的途径是直接接触受感染的动物或人的血液、体液和组织.据法新社2014年8月8日报道,国际卫生组织(WHO)8日宣布,在西非国家肆虐的埃博拉病毒为国际公共卫生紧急事态.据世界卫生组织最新统计,截至目前,埃博拉病例已增加到1711例,死亡人数上升至932人;8月2日到4日两天内新增病例数量为108例,又有45人死亡.另据报道,利比里亚和尼日利亚分别于当地时间6日宣布国家进入紧急状态.国际卫生组织还表示埃博拉病毒是40年来最严重的疫情,它呼吁各国帮助遭受埃博拉病毒肆虐

[1]

的国家.目前尽管只有少数国家和地区出现疫情,但由于人们对埃博拉的传播机理,如传染源、传染途径、发病机制、流行和变异规律等问题没有弄清楚,并再加之缺乏有针对性的治疗药物,所以病毒尚没有得到根本控制,因而引起人们的恐慌.为了应对具有蔓延态势的埃博拉病毒,必须搞清楚,现有的干预手段究竟有多大效果,埃博拉病毒的发展态势如何?只有这样,才能确定更加科学准确的防治措施.

因此,我们必须在调查研究的基础上,

应用科学的分析方法,揭示预测埃博拉传

播的趋势.本文利用传染病模型对南非部分国家的埃博拉疫情进行了模拟,模拟结果与实际疫情比较吻合.在此基础上对疫情的发展提出了预测,以期有利于对疫情的防范和控制.

1数学模型

早对于埃博拉病毒的数学模型研究,

2]在1996年,文献[就使用S-I-R和S-

E-I-R模型,模拟扎伊尔两个时段的埃博拉爆发:1976年Yambuku疫情爆发和1995年Kikwit的疫情爆发.他们得到:当基本再

意味生率R0满足范围1.72≤R0≤8.60时,

着埃博拉病毒传染性不如以前那么厉害,可以使他们减少潜在的死亡.

3-近些年来,也有一些文献(参见[

6])对埃博拉病毒做了研究.现在在这些文献的基础上,建立埃博拉病毒感染数量的数学模型.

首先对模型进行假设:把研究对象当成理想人群,总人数保持在固定水平N.没有迁入迁出及其他原因引起的死亡现象.假设患传染病后通过治好的人,都具有长期的免疫力,同时设传染病的潜伏期很短,可以忽略不计,即任何人患病后立即成为传染者.

在这种情况下,把居民分成易感者(S),传染者(I)及移出者(R)三类,分别记

i(t)和r(t),三者之和保持常数作s(t),

N,即

s(t)+i(t)+r(t)=N(1.1)

日治愈率为μ,传染病人的日接触率为λ,期接触数为σ=

μ.λ

模型构成

根据S-I-R传染病模型:

第4期周后卿,徐幼专:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

3

ds=-λsi,s(0)=s0

dtdi

i(0)=i0,=λsi-iμ,dt

dr=iμdt

(1.2)

2个方程由(1.1)式和(1.2)式的第1,解得

s(t)=s0e

r

消去dt,得一阶方程,

di=-1+,is=s0=i0,dss解此方程得:

s

(1.7)i(s)=i0+s0-s+σln

s0

limi(t)=i!,limr(t)=r!,记lims(t)=s!,

t→!

t→!

t→!

r

(1.3)

i!=0,i0如何,即①不论初始条件s0,

[7]

病人终将治愈或者死亡.

②最终未被感染的健康者的比例是s!,在(1.7)式中令i(s)=0,得到s!是方程

s

i0+s0-s!+σln!=0在(0,σ)内的根.

s0

③若s0>σ,则i(t)先增加,当s=σ时,

s

i(t)达到最大值:im=s0+i0-σ1+ln0.

σ

s(t)单调减小然后i(t)减小且趋于0,

如果仅当感染者比例i(t)有至s!.就是说,

一段增长时期才认为传染病在蔓延,则σ是一个阈值,当s0>σ时传染病会蔓延.

s(t)则i(t)单调减小到0,④若s0≤σ,

使得单调减小至s!.减小传染期接触数σ,

s0≤σ传染病就不会蔓延.注意到人们的健康意识卫生水平越高,日接触率越小,医疗水平越高,日治愈率越大,所以提高卫生和医疗水平是控制传染病蔓延的有效途径.

移出人取e的泰勒展开式的前三项,

数变化率近似地等于

r2r1dr

=μN-r-s01-+·(1.4)dtσσ2

在初始值r0=0下得到其解为累计移出人数:

2

1σs0

r(t)=-1+αtanhαμt-φ,

s0σ2

其中

[(())]

[

()]

()

2s0i0s0-σs0

.tanhφ=-1+2,

ασσσ

(1.4)式可化为所以,drμα2σ21=·,(1.5)

tdt2s0-φch2

2

2μαt-φ≥1,所以有因为ch21

≤1,tμα-φch2

2

2φμαt

-φ=0,(1.5)式当且仅当即t=2μα

dr

时取得极大值,也即移出的人最多.

dt

i(t)和r(t)的变下面我们再分析s(t),

化情况.模型中前两个方程与r(t)无关,所以可以从前两个方程求出i(t)与s(t)之间的关系.

ds=-λsi,s(0)=s0dt

,(1.6)即先考虑

di=λsi-iμ,i(0)=i0dt

α=

[()

2

]

1()

2实证分析

通过长期的研究发现,埃博拉病毒主要通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播.常规检查发现,血小板严重减少,常见淋巴细胞减少,转氨酶升高,有时血淀粉酶也增高,用电子显微镜有时可在肝切片中观察到病毒.埃博拉感染潜伏期为2-21天,感染者表现为,起初突然出现高烧、咽喉疼、肌肉疼痛、头痛、和全身虚弱;然后是腹痛、呕吐、腹泻.发病后的半个月内,病毒外溢,导致人体内外出血、血液凝固,而坏死的血液迅速传及全身各个器

4

邵阳学院学报(自然科学版)第11卷

口腔、肛门出血等官,最终病人出现鼻腔、

症状,严重患者可在24小时内死亡.

预防埃博拉的最有效办法是实施隔离,防止人们接触病患者.埃博拉病毒传播的速度,强度和广度取决于人群中感染者和易感者的数量及两者间的有效接触.所谓有效接触,即病原体由感染者到达易感者体内,并使其感染乃至发病的接触,它受接触程度、病原体种类、病原体排出状况、易感者的抵抗力等许多因素的影响.

建立流行病学数学模型后,还须把模型得到的解用实际资料作拟合检验.若一

Tab.1

日期累计病例死亡总数日期累计病例死亡总数日期累计病例死亡总数

3.2686625.12261496.18390267

致,则可初步认为模型合理,可按其适用范围到实践中去应用并作进一步验证.若不一致,则应认真检查模型的假设条件和数学式,进行修改,直至拟合结果基本满意为止.

下面,根据世界卫生组织公布的几内亚自3月26日至7月20日所发生的埃博拉病毒病疫情演变情况的数据(见表一),画出日增人数和死亡人数的散点图(见图1).病例总数会因病例和实验室数据的重新分类、回顾性调查及合并整理以及监测活动的加强而发生变化.

表12014年几内亚埃博拉病毒造成的累计病例和死亡总数

2014Guineaebolaviruscausedcumulativecasesanddeathnumbers

3.27103665.32311556.2390270

3.28112705.52351576.25393275

3.31122805.72361586.3413303

4.1127835.12331577.2412305

4.4143865.122481717.6

408307

4.7151955.232581747.8409309

4.91581015.272811867.12406304

4.141681085.282911937.14411310

4.161971226.13282087.17410310

4.22081366.33442157.2415314

资料来源:世界卫生组织

4.232181416.5351226

4.262241436.16398264

图1Fig.1

日增感染人数和死亡人数散点图Thescatterplotofinfectingnumbers

anddeaths

Fig.2

图2日感染人数与周数关系andweeks

Relationshipbetweeninfectingnumbers

再来分析预测每天感染的情况.根据(1.3)式和附录提供的数据,取λ=3.

72,μ=0.863,可以估计出日感染人数s=

1882

其图形参见图2.

ch2(0.195t-6.02)

从上面的图2我们发现,将在第32周或33周,日感染人数最多.也就是说,如果

我们以3月26日为基点,那么将在今年的

11月下旬或12月上旬每天增加的人数将达到最多.以后,随着积极治疗防控力度加大,被感染的人数将逐渐减少.

尽管医学家们想方设法在努力探索,但还是没有破解埃博拉病毒的真实身份,至今埃博拉是一个不解之谜.没有哪个知

第4期周后卿,徐幼专:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

5

道,每次爆发埃博拉病毒后,它潜伏在何

处,也没有哪个知道,第一个受害者又是从哪里感染到这种病毒的?埃博拉病毒就是人类至今所知道的最可怕的病毒之一,一旦感染这种病毒,病人没有疫苗注射,也没有其他治疗方法,实际上等于判了死刑.唯一能阻止病毒蔓延的方法,就是把已经感

[8]

染埃博拉的病人完全隔离开来.

就是注现今治疗埃博拉的唯一方法,

射NPC1阻碍剂.埃博拉病毒需透过NPC1

NPC1蛋白于细进入细胞核进行自身复制,

胞间进行运输胆固醇,即使阻碍剂会阻挡胆固醇的运输路线造成尼曼匹克症,但那是可以容忍的,绝大多数的爆发都是短暂的时间.

从现在到最后彻底控制消灭埃博拉病毒估计还有相当一段时间.随着秋冬病毒高发季节的到来,防治任务异常艰巨,必须引起高度重视.只有统一思想,提高认识,掌握实情,科学应对,做好防控工作,才能取得最后胜利.

参考文献:

[1]WorldHealthOrganization.Ebolavirusdisease

(EVD)[EB/OL].[2014-08-10]:http://

www.who.int.

[2]FauciAS:Ebola-underscoringtheglobaldispari-tiesinhealthcareresources[J].TheNewEnglandJournalofMedicine,2014,371:1084-1086.[3]GerardoCandHiroshiN.Transmissiondynamics

andcontrolofEbolavirusdisease(EVD):areview[J].ChowellandNishiuraBMCMedicine,2014,12(196):1-16.

[4]JosephAL,MartialLNM,JorgeAA.Dynamics

andcontrolofEbolavirustransmissioninMontser-rado,Liberia:amathematicalmodellinganalysis[J].TheLancetInfectiousDiseases,2014,14(12):1189-1195.

[5]YarusZ.AMathematicallookattheEbolaVirus

[J/OL].http://www.home2.fvcc.edu/,2012.[6]BantonS,RothZ,PavlovicM.MathematicalModel-ingofEbolaVirusDynamicsasaSteptowardsRa-tionalVaccineDesign[C]//KeithEHerold.26thSouthernBiomedicalEngineeringConferenceSBEC2010.Maryland:Springer,2010,32:196-200.[7]姜启源,叶俊.数学模型(第三版)谢金星,

[M].北京:高等教育出版社,2003.

[8]蒋娇,聂鲁彬.利比里亚名医死于埃博拉病毒

EB/OL].[2014-07-医护人员危险剧增[28]http://www.huanqiu.com/

范文八:埃博拉病毒传播问题的数学模型

摘 要

本文分别研究在单个种群、多个种群以及有防控措施、无防控措施条件下,埃博拉病毒在动物群之间的传播特性,建立模型,量化埃博拉病毒的传播规律,深刻认识该病毒的危害,并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

问题一

针对描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播特性并预测接下来的在猩猩中的疫情变化问题,我们认为不是单纯的预测问题,灰度预测、时间序列模型等预测模型并不能很好的适用于此。现有的SIR模型【1】是很成熟的描述一般病毒传播的数学模型,但是由于其中不包含我们需要的潜伏群,因此我们对SIR添加入潜伏群E,改进的到我们的单物种SEIR模型【2】。由SEIR模型建立微分方

问题二

针对描述埃博拉病毒在人群与猩猩群中相互传播特性以及预测人和猩猩中疫情变化的问题,本题中假设了病毒只能由猩猩传染到人。问题一中的SEIR模型虽然是对一种物种内部的传染模型,但我们认为传播模型是可以推广的,即在某一物种内部,埃博拉病毒的传播应该有着相同的规律;另外,在多个物种之间,埃博拉病毒的传播也应有类似的规律。因此,我们就以问题一的SEIR模型为基础进行改进,引入猩猩群对人群的影响因子,建立跨物种传播的SEIR模型,建立

针对此问中采取隔离与治愈感染者的措施后,要求预测疫情在人类中的发展情况、并与问题二结果作比较的问题,我们利用问题二的结论排除猩猩对人的影响后,此时病毒是在单物种内传播,适用于我们建立的单物种SEIR模型。我们利用前述数学模型,通过对比有无采取措施时的疫情变化情况,分析得出各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等对控制疫情的作用。

关键词 :单物种、跨物种SEIR模型 微分方程组 残差分析 量化分析

一 、 问题的重述与分析

1.1 问题的重述

埃博拉病毒有传染性,主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。埃博拉病毒只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。存在似乎天生就对埃博拉免疫的人,痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。

本题希望同学们通过数学建模的方法量化埃博拉病毒的传播规律,深刻认识该病毒的危害,并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。人与猩猩的潜伏期都为2周。请你根据相关信息,研究回答以下问题:

1、 建立一个病毒传播模型,动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播,并预

测接下来的在猩猩中的疫情变化,并给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

2、 建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,

并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并给出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

3、 假设在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接

触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据;

4、 请依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫

药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

1.2 问题的分析

1.2.1 问题一的分析

问题一需要我们根据猩猩的发病数量和死亡数量,建立一个病毒传播模型,动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播,并预测接下来的在猩猩中的疫情变化,这其实是一个数学上的预测问题。

针对预测问题,我们可以采用常用的时间序列模型或者灰度预测模型,但是针对病毒的传播,其自身有更加贴近实际的SIR模型,但由于SIR模型通常不考虑潜伏群的影响以及变化,而此题要求我们对潜伏群进行研究。

因此,我们改进SIR模型,加入潜伏群,建立更加适应于埃博拉病毒传播特点的SEIR模型,利用SEIR模型建立起微分方程组,利用微分方程解出的函数对题目要求的进行预测。

1.2.2 问题二的分析

第二个问题需要我们建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,描述人和猩猩疫情的发展,预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况。这实际上是两个变量之间的关联度描述与预测问题。

本题中简化了问题,假设了病毒只能由猩猩传染到人,这就变成了单向的影响,问题一中的SEIR模型是对于一种独立的物种内部的传染模型,现在病毒从一种物种单向传播到另一物种、并在该物种内互相传播。因此,传播模型是可以推广的,即在某一物种内部,流行性疾病的传播应该有着相同的规律;另外,在两个甚至是多个物种之间,流行性疾病的传播也应该有着类似的规律。

因此,我们就以问题一中的SEIR模型为基础进行改进,初步建立两物种间病毒传播的SEIR模型。

1.2.3 问题三的分析

在第三问中,第41周后,因为外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。此时,人群与猩猩群不再有互相影响,消除了猩猩对人群的影响,所以,问题又回归到了第一问的情况,病毒在单一群体中传播的SEIR模型。 由于我们没有病毒在单一人群中传播的原始数据,这样我们无法利用SEIR模型进行预测。理论上,我们应该在第二问的基础上,计算出与猩猩接触而成为潜伏者和感染者的人数Bt,然后用已知总数减去Bt,得到病毒在人群中单一传播时的数据,以此为依据对问题进行求解。

实际上,由于易感人群数高达10E6数量级,而猩猩感染群只有10数量级,差距非常大,因此猩猩感染群对于人群的传染作用在此问题中可以忽略,我们可以直接用题目中的数据对人的SEIR群变化进行预测。

1.2.4 问题四的分析

问题四需要我们分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。那我们就需要利用没有控制措施时的疫情情况与控制时的疫情相比较,得出采取的措施对于控制

疫情的作用。

二 、 问题假设

2.1、假设附件中提供的采样数据准确无误且具有充分的代表性 2.2、假设短期内猩猩与人类的出生率死亡率对种群数量影响不大 2.3、假设死亡后的猩猩与人类不再具有感染能力

2.4、假设易感者一旦和感染者进行有效接触就会被感染成为潜伏者 2.5、假设单位时间内一个感染者能传染的数量与易感群数量成正比 2.6、假设所有自愈或治愈者不再复发

2.7、假设所有潜伏期病人都会在两周后发病

三 、 符号说明

四 、模型的建立与求解

4.1 问题一 4.1.1模型的建立

图1 猩猩中S、E、I、R关系图

在本题中,我们将未被感染过的健康猩猩作为易感群(S),易感群与感染者有效接触后,并不会立刻成为感染者,而是全都是进入潜伏期,且所有潜伏期患者都是两周后开始发病,因此,每一周的潜伏群E(t)就等于之后两周感染群的和I(t+1)+I(t+2)。同时因为死亡与自愈的猩猩不会再对别的猩猩产生影响,因此我们把死亡与自愈的猩猩同时都计入退出群。由此我们建立以下微分方程组:

dS

dt1(t)IS1(t)IS

dE(t)IS(t)E

11

dtdI

1(t)IS1(t)E1(t)I

dtdR

dt1(t)I

S(0)S0,E(0)E0,I(0)I0,R(0)R0

(0)

另外,题目中要求的是退出群中死亡与自愈分别是多少,我们的模型中的退

出群是两个之和,似乎无法得出题目要求的值,但是我们通过分析能够发现退出群中自愈量与死亡量是存在关系的,我们可以通过选取死亡群组(R1)作为参考数列,建立灰色关联度模型求解死亡群组(R1)与自愈群组(R2)的关系:

x0x0(k)|k1,2,...,n

x1x1(k)|k1,2,...,nmin|x0(t)x1(t)|max|x0(t)xs(t)|t (k)t

|x0(t)x1(t)|max|x0(t)xs(t)|t

n

r1(k)

ni1

(2)

4.1.2 模型的求解

现在我们根据建立的模型利用已知数据进行求解,我们将题目中给出的数据进行整理,得出我们建模求解需要的S、E、I、R四个群的猩猩数量(见附录1),并且利用整理出的已知数据对微分方程组中的参数进行求解: 1)潜伏者日接触率1(t):

1(t)

E/t

I(t)*S(t)

(3)

2)感染者日接触率1(t):

1(t)

I/t

I*S

(4)

3)退出率1(t):

1(t)

1(t):

1(t)=

R(t)

I(t)

(5)

4)潜伏群发病率

每日新确认病例数每日疑似累计数

(6)

由我们整理出来的数据带入以上公式,估算得:

11.085E-4,10,10.3018,10.5121

求出微分方程的参数后,我们根据整理出来的数据特点进行判断,选取第11周时的S、E、I、R值作为初值,即:

S02752,E030,I052,R0166

利用MATLAB编写程序(程序源代码见附录2),将参数以及初始值导入微分方程组(1)进行求解,预测出的S、E、I、R四个群的数量变化分别如下:

猩猩数/个

周数/周

图2 猩猩易感群(S)数量的实测值与预测值

猩猩数/个

周数/周

图3 猩猩潜伏群(E)数量的实测值与预测值

猩猩数/个

周数/周

图4 猩猩感染群(I)数量的实测值与预测值

猩猩数/个

周数/周

图5 猩猩退出群(R)数量的实测值与预测值

以上我们分别预测出了处于S、E、I、R四个群中的猩猩数量,现在我们需要将退出群(R)分解成两部分即分别还需要求解出死亡猩猩(R1)和自愈猩猩(R2)的数量。根据附件一,我们作出死亡群(R1)与自愈群(R2)的图像如下:

图6 猩猩死亡群(R1)与自愈群(R2)数量的实测值

将附件一中的死亡群与自愈群带入方程组(2)可以求得每周死亡数量与每周自愈数量的相关度:

r=0.869

说明死亡群组与自愈群组的相关度很高,即我们可以视为每周死亡数量与自愈数量的变化是同步的,因此他们各自占退出群的比例可以视为保持不变。

R1k1*R(t),R2k2*R(t) k10.6668,k21k1

通过计算我们得知第一问题的结果 :

4.1.3 结果的分析

根据模型求解结果我们发现,易感群、感染群与潜伏群的变化趋势基本一样。通常在疫情爆发时,感染群数量和潜伏群数量都是呈指数型增长,因此本题中给出的数据应该是在疫情已经爆发了一段时间以后,这时疫情已经由于生态系统自身的调节能力而得到控制,因此感染者与潜伏者数量会逐渐下降最终趋于平缓,而退出群虽然会逐渐增加,但是由于最后疫情得到控制,感染者与潜伏者趋于平缓,那么退出群也会逐渐趋于平缓直到达到上限。

从图像我们可以分析出,在开始统计的第11周-100周的时间内,每一周存在的感染者与潜伏者在逐渐减小,但是同时,因病死亡与自愈康复的猩猩数量都在较快的增长,说明这段时间疫情仍然较为严重。

在大约第120周以后,感染者、潜伏者、死亡与自愈者都已经基本达到自己的稳定值,这是说明疫情已经基本上得到控制,猩猩已经基本不再感染埃博拉病

毒。

4.1.4 模型的检验

我们从图1-图4中的实测值散点图和预测值曲线图可以看出,我们利用SEIR模型建立的微分方程组解出后得到的S(t)、E(t)、I(t)、R(t)与实际的群体数量变化非常接近,图像基本吻合,因此说明我们的预测符合实际变化情况,我们的模型可以认为是可信的。

为了更加精确的描述我们模型的准确程度,我们引入残差分析,分析实际观察值与我们建模预测的值之间的残差,用以评判我们的模型是否精准:

图7 猩猩易感群(S)的残差

图8 猩猩潜伏群(E)的残差

图9 猩猩感染群(I)的残差

图10 猩猩退出群(R)的残差

求出残差后我们发现,我们的每一组群体的残差置信区间都基本包含零点,每一组仅有少数残差的置信区间不包含零点在内,因此我们验证了我们的模型是可靠的。

4.1.5 模型的优点与缺点

一、 模型的优点

1. 首先SEIR模型进行了较为详细的分类,建立的微分方程组较为紧凑,相关性较强。因为各参数的设置合理,所以参数的设计在详细的数据的支持下和实际情况较为接近,为图形的拟合和对最终控制期的预测奠定了基础。

2.SEIR模型适用范围较广,只要数据足够地精确详细,则求出估计参数便可求解。

3.该模型虽然是控后模型,但只要人的警惕性增强,把控制期提前到疫情初期,那么只要做适当的参数修改便可以作为疫情发展的全过程的预测模型。

二、 模型的缺点

1.首先是SEIR模型没有考虑年龄结构层次对疫情的影响。因为根据医学研究表明,年龄较小和较大者极易感染病毒,而青壮年由于身体机能强免疫力高不易感染病毒。

2.SEIR模型是基于我们将α,β等描述感染能力的参数当做定值,即感染者潜伏者感染其他人的能力不会发生变化而成立,而实际上病毒的感染能力会随着接触水平等因素变化而变化。

4.2 问题二 4.2.1模型的建立

事实上病毒在两种物种之间相互传播时传播特点非常复杂,但本题已经限定了埃博拉病毒从物种A(猩猩)向物种B(人)的传播,而忽略B对A的影响(虚线部分)。经过这样简化,我们可以得到下图(图11)中的传播关系:

图11 猩猩与人的S、E、I、R关系图

由第一问中的SEIR模型,我们经过可以改进可以得到病毒在两物种之间传播时的SEIR模型,并由此建立新的微分方程组:

dAs

dt1(t)AiAs1(t)AiAs

dAe(t)AiAs(t)Ae

11

dt

dAi(t)AiAs(t)Ae(t)Ai

111

dtdAr1(t)Aidt

(7)

dBt

dt(t)AiBsp(t)Btq(t)Bt

dBs(t)BiBs(t)BiBs(t)

22

dtdBe2(t)BiBsp(t)Bt2(t)Be

dt

dBi

2(t)BiBs2(t)Beq(t)BtdtdBr

2(t)Bidt(t)p(t)q(t)

(8)

同样,还需要求解出死亡人群(Br1)、治愈人群(Br2)及隔离治疗(Br3)的

数量,我们选取死亡群组(Br1)作为参考数列建立灰色关联度模型求解死亡群组

与治愈群组(Br2)和隔离治疗(Br3)的关系:

x0x0(k)|k1,2,...,n

x1x1(k)|k1,2,...,nmin|x0(t)x1(t)|max|x0(t)xs(t)|t (k)t

|x0(t)x1(t)|max|x0(t)xs(t)|t

n

r1(k)

ini1

(9)

4.2.2 模型的求解

现在我们根据建立的模型利用已知数据进行求解,我们将题目中给出的数

据进行整理,得出我们建模求解需要的S、E、I、R四个群的人数(见附录3),并且利用整理出的已知数据对微分方程组中的参数进行求解: 1) 潜伏者日接触率2(t):

2(t)

Be/t

Bi(t)*Bs(t)

(10)

2)感染者日接触率2(t):

2(t)

Bi/t

Bi*Bs

(11)

3)退出率2(t):

2(t)

Br(t)

Bi(t)

(12)

4)潜伏群发病率2(t):

2(t)=每日新确认病例数每日疑似累计数

(13)

5)B物种与A物种接触群日增长率λ(t):

(t)

p(t)

B物种接触群增长数量

Bs∗Ai

(14)

6)B物种接触群到潜伏群的比率p(t):

B物种由接触者成为潜伏者的日新增数量

B物种接触者日累计数量

(15)

7)B物种接触到感染群的发病率

q(t)

B物种由接触者成为感染者的日新增数量

B物种接触者日累计数量

(16)

由我们整理出来的数据带入以上公式,估算得:

2p2-1.23907,27.51951,21.49931,q1.23907

求出微分方程的参数后,我们根据整理出来的数据特点进行判断,选取第11周时的Bs、Be、Bi、Br值作为初值,即:

Bs0,Be0,Bi0,Br0

利用MATLAB编写程序(程序源代码见附录4),将参数以及初始值导入微分方程组(8)进行求解,预测出人的S、E、I、R四个群体的数量变化分别如下:

图12 人群中易感群(Bs)的实际值与预测值

图13 人群中潜伏群(Be)的实际值与预测值

图14 人群中感染群(Bi)的实际值与预测值

图15 人群中退出群(Br)的实际值与预测值

将附件3中的死亡群与自愈群带入方程组(2)可以求得每周死亡人数与每周自治愈人数、每周隔离治疗人数的相关度:

r1=0.832;r2=0.256

说明死亡群组与自愈群组的相关度很高,即我们可以视为每周死亡人数与治愈人数的变化是同步的,但是死亡人数与隔离人数之间并无明显关系。

而我们通过计算发现,隔离治疗人数与感染群人数有非常高的相关度,因此我们可以用感染群人数估计隔离治疗的人数,再利用退出群中减去隔离治疗的部分计算死亡人数与治愈人数:

Br3k*I

Br1k1*(R(t)Br3),Br2k2*(R(t)Br3)

k0.710547032948828

k10.7216,k21k1

通过计算我们得知第二个问题的结果 :

表2 “虚拟人类种群”群体数量预测结果(单位:个)

4.2.3 结果的分析

根据模型求解结果我们发现,在猩猩对人群的单向传染中,人群的易感群、感染群与潜伏群数量与在单个物种中传播时的变化趋势基本一样。且利用模型求解出的结果和实际数据仍然非常吻合,说明我们的SEIR模型经过修改,仍然适用于简化情况下病毒在两个物种之间的传播特点。

从图像我们可以分析出,在开始统计的第11周-100周的时间内,每一周存在的感染者与潜伏者在逐渐减小,但是同时,因病死亡、治愈后康复以及隔离治疗的总人数在较快的增长,说明这段时间疫情仍然较为严重。

在大约第120周以后,感染者、潜伏者、死亡、治愈以及隔离的人数都已经基本达到自己的稳定值,这是说明疫情已经基本上得到控制,人群已经基本不再大规模感染埃博拉病毒。

4.2.4 模型的检验

我们从图12-图15中的实测值散点图和预测值曲线图可以看出,我们利用SEIR模型建立的微分方程组解出后得到的S(t)、E(t)、I(t)、R(t)与实际的群体数量变化非常接近,图像基本吻合,因此说明我们的预测符合实际变化情况,我们的模型可以认为是可信的。

为了更加精确的描述我们模型的准确程度,我们引入残差分析,分析实际观察值与我们建模预测的值之间的残差,用以评判我们的模型是否精准:

图16 人群中易感群(Bs)的残差

图17 人群中潜伏群(Be)的残差

图18 人群中感染群(Bi)的残差

图19 人群中退出群(Br)的残差

求出残差后我们发现,我们的每一组群体的残差置信区间都基本包含零点,每一组仅有少数残差的置信区间不包含零点在内,因此我们验证了我们的模型是可靠的。

4.2.5 模型的优点与缺点

一、模型的优点

1. 首先SEIR模型对于模拟埃博拉病毒在单种生物中传播时具有非常好的效果,预测疫情发展时非常精确

2.我们对单种生物中的SEIR模型进行改进,添加入A种群对B种群的影响因子,贴近实际,使得我们的模型对于更为复杂的跨物种传播仍然适用。 二、模型的缺点

1. SEIR模型自身的缺点在此次改进中不能得到修正,仍然忽略了很多诸如年龄等对于疫情传播有影响的因素。

2.改进后的SEIR模型虽然预测后仍然很精确,残差也非常小,但是我们发现在预测潜伏群体时出现了与常识相违背的结果,这可能是由于我们的参数计算时数据太少而且偶然因素较多导致,这也说明了我们模型的抗干扰能力不够强,实用性也仍然不够广。

4.3 问题三 4.3.1模型的建立

我们在分析中已经得出,我们可以忽略猩猩感染群对于人类的感染作用,因而我们直接利用题目中的数据带入我们一问中建立的单一物种间的病毒传播SEIR模型,建立微分方程组进行求解:

dBs

dt3(t)BiBs2(t)BiBs

dBe(t)BiBs(t)Be

33

dt

dBi(t)BiBs(t)Be(t)Bi

333

dtdBr3(t)Bidt

(17)

在第三问中,题目中要求解出死亡人群(Br1)、治愈人群(Br2)及隔离治

疗(Br3)的数量,我们在第二问中已经通过灰色相关度分析得出死亡群组与自愈群组的相关度很高,即我们可以视为每周死亡人数与治愈人数的变化是同步的;同时,隔离治疗人数与感染群人数有非常高的相关度,因此我们可以用感染群人数估计隔离治疗的人数,再求解死亡群组与感染群组人数。

4.3.2 模型的求解

根据模型解得在41周以后通过采取隔离和治疗后,疫情在“虚拟人类种群”的发展情况:

图20 人群中易感群(Bs)的实际值与预测值

图21 人群中潜伏群(Be)的实际值与预测值

图22 人群中感染群(Bi)的实际值与预测值

图23 人群中退出群(Br)的实际值与预测值

根据建模解出的结果分别计算隔离治疗群(Br3)、累计治愈群(Br2)以及累计死亡群(Br1)人数如下:

Br3k*I

Br1k1*(R(t)Br3),Br2k2*(R(t)Br3)

k0.710547032948828

k10.7216,k21k1

通过计算我们得知第三个问题的结果 :

4.3.3 结果的分析

根据模型求解结果我们发现,在去除猩猩种群对人群的影响以后,病毒单独在人群中进行传播时的易感群、感染群与潜伏群数量与在猩猩中传播时的变化趋势总体上仍然一直。

从图像和数据我们可以分析出, 在第41周开始隔离开猩猩与人群并且提高治疗药效后,潜伏群与感染群下降的速度明显快于在第二问没有采取任何措施时

的下降速度。

这说明采取隔离措施时,减少了人的接触被感染率,抑制潜伏群和感染群的增长,直接体现在加快了潜伏群与感染群趋于最终稳定的速度。

而治疗药物效果的提高,能及时检测人群中的潜伏群,若能采取及时的隔离措施,则能够大大降低其与易感群的有效接触,使传染得到控制,减少了潜伏人群和处于发病状态的数量以及死亡数。

4.3.4 模型的检验

我们采用与第一问一样的模型求解,可以发现最终的预测曲线与实际值之间同样非常吻合,我们同样作出残差图对模型的精确度进行检验分析:

图24 人群中易感群(Bs)的残差

图25 人群中潜伏群(Be)的残差

图26 人群中感染群(Bi)的残差

图27 人群中退出群(Br)的残差

4.3.5 模型的优点与缺点

由于我们在此问中采用了与第一次完全一致的SEIR模型,因此模型具有SEIR模型自身具有的诸多优缺点,在此不再赘述。

需要在此说明的是,在第三问的处理中,我们根据分析得出猩猩对于人的传染影响很小,因此忽略了猩猩群体对人群体的直接影响是对问题进行了简化,但是实际上在41周将猩猩与人群隔离开以前,猩猩的存在会对人群的S、E两个群体数量产生直接影响,且通过S、E两个群体对I、R两个群体产生间接影响,虽然影响很小,但是仍然可能造成我们的简化模型产生较大误差,这是我们模型最大的缺点。

4.4 问题四

通过将第一二问没有采取任何控制与防治措施时的疫情与第三问采取隔离和投放药物的疫情相比较,我们可以得出如下结论:

投放防疫药物、采取隔离措施时,能减少人的接触被感染率,即减少有效接

触,即抑制潜伏群的增长,在我们模型中的直接体现是降低了有效接触的数量,从而降低感染群的峰值。

检疫药物效果的提高,能及时检测人群中的潜伏群,若能采取及时的隔离措施,则能够大大降低其与易感群的有效接触,使传染得到控制,减少了潜伏人群和处于发病状态的数量以及死亡数。

而治疗药物药效的提高,直接作用于患病人群,能够降低其死亡率。

故防疫与检疫药物的效果提升和相关措施的严格执行,能够对疫情的控制起到决定性的作用,能够减少疫情的扩散;而治疗药物的效果的提升则降低了死亡率,控制疫情的死亡人数。

五、参考文献

[1]百度百科,http://baike.baidu.com/link?url=TXifg9YS2W-h23d9kE9BemlthlBguG7KaSJwdRSBjeRXsxmAt-9v7dfT926bUSPO3htwKpaJ-ONYARiSaVaBHa,2015年5月1日

[2]周广发、陈月华,SARS传播模型的探讨,2015年5月1日

六、附录

6.1 附录1

6.2 附录2

问题一微分方程组(1)MATLAB求解程序代码

function dy=seir(t,y) dy = zeros(4,1);

α=0.000107593196449557; β=0;

w=0.301185431268702; =0.512238823647188;

dy(1)= -y(3)*y(1)* α-β*y(1)*y(3); dy(2)= α*y(1)*y(3)-y(2)*;

dy(3)= β*y(1)*y(3)+*y(2)-y(3)*w; dy(4)=y(3)*w; end

6.3 附录3

6.4 附录4

问题二微分方程组(7)(8)MATLAB求解程序代码

function dz=qq(t,z) dz=zeros(8,1);

a=0.000107593196449557; b=0;

w=0.301185431268702;

q=0.506343491;

b2=7.51950955852228E-06; q2=-1.23907471853569E-07; w2=1.49931331589255;

dz(1)= -q2*z(7)*z(1)-b2*z(1)*z(3); dz(2)= q2*z(1)*z(7)-z(2)*q2;

dz(3)= b2*z(3)*z(1)+q2*z(2)-z(3)*w2; dz(4)=z(2)*w2;

dz(5)= -z(7)*z(5)*a-b*z(5)*z(7); dz(6)= a*z(5)*z(7)-z(6)*q;

dz(7)= b*z(5)*z(7)+q*z(6)-z(7)*w; dz(8)=z(7)*w; end

范文九:埃博拉病毒传播模型及规律预测

  摘要:埃博拉病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒。文章以2014年西非疫区为参照,建立虚拟环境的常微分方程组,利用四阶龙格―库塔法求解其数值解,具体通过C语言程序设计实现,并据此研究埃博拉病毒的传播规律,分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

  关键词:数学建模;埃博拉病毒;常微分方程组数值解;四阶龙格―库塔法;西非疫区 文献标识码:A

  中图分类号:O175 文章编号:1009-2374(2016)04-0194-03 DOI:10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.04.096

  1 模拟真实环境

  埃博拉病毒的自然宿主虽尚未最后确定,但已有多方证据表明猴子及猩猩等野生非人灵长类动物有埃博拉感染现象。该病毒的传播途径分为人畜传播、人人传播两种。2014年,在几内亚、塞拉利昂和利比里亚等国,许多受埃博拉病毒影响的人口都以丛林肉为重要的蛋白质和营养物质来源,与丛林中动物接触频繁。这为人畜之间的病毒传播创造了条件。

  我们现假设两个感染埃博拉病毒的虚拟种群:即某地区内的20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。人与猩猩的潜伏期都为2周。并在出现疫情41周后模拟外界医疗力量的介入,使得人类与猩猩不再发生接触,且隔离治疗人群的治愈率提高到80%。模拟数据详见附录。

  2 建立数学模型

  2.1 模型假设

  (1)依据人或猩猩的健康状态,将人或猩猩划分为健康者、埃博拉感染者(也称患病者)、退出者(含自愈者、死亡者);(2)自然封闭条件下,猩猩无自然迁移,故无病源的流入、流出,种群数量不变。人类数量庞大,在无大规模迁移的情况下,认为人类数目为一定值,保持不变;(3)健康者中不包含退出者;(4)人和猩猩自愈后二度感染的概率均为0,人被治愈后二度感染的几率为0;(5)不存在有效免疫药物可使人对埃博拉病毒产生免疫,同时猩猩对病毒也不免疫;(6)人的传染途径有人传染人、猩猩传染人两条。两条途径的传染率并不相同,分别假设为传染率C1和传染率C2。C1猩猩与猩猩之间传染途径只有猩猩传染猩猩一条,假设猩猩之间的传染率为C0;(7)患病人无法传染患病猩猩;(8)41周外界介入后,猩猩与人的传播途径切断,隔离患者的治愈率提高到80%,同时未被隔离的患者治愈率不变。

  2.2 符号说明

  符号说明如表1所示:

  

  3 模型的建立与求解

  3.1 数据处理

  根据累计死亡个体数,求得每周死亡个体数。同理,根据累计自愈个体数,求得每周自愈个体数。由每周仍处于发病状态的个体数加本周自愈个体数和本周死亡个体数得到每周总患病个体数。

  由每周总患病个体数比总体数目得到每周患病个体在总体中的比例A(t);由相邻两周每周患病数相减得到每周新增患病数。由总体个数减去新增病例累计和获得健康个体数,并由此得到健康个体在总体中的比例J(t);由累加自愈治愈人数与累加死亡人数得到退出者总数量,并由此得到退出者在总体中的比例T(t)。

  由于埃博拉病毒的潜伏期是两周,所以任意一周的新增病例是两周前处于患病状态的个体传染的。由新增病例数比两周前处于患病状态的个体数得到该周埃博拉病毒传染率,由此计算出每一周的传染率。通过MATLAB绘图,我们得到其近似曲线为一条平行于X轴的曲线,所以通过加权平均求得平均传染率。

  因为人类最初患病个体不可能为人类传染所致,所以两周内出现的患病者必为由猩猩传播而来的。最初两周,人每周新增的患病个数除以处于两周前患病状态的猩猩个数得到猩猩与人之间平均传染率C1。

  两周之后人患病可由猩猩和人传播两种途径导致,猩猩每周处于患病状态的数量和C1已知,所以每周由猩猩传播导致人患病的数量可求出,用每周新增患病人数减去每周猩猩传播导致人患病的数量,即每周由人传染导致的患病数量。由每周人传染导致的患病数量除以两周前未被隔离处于患病状态的人数可得到每周埃博拉人与人之间传染率C1,通过MATLAB画出C2的图像,可以发现其图像为平行于x轴的曲线,可通过加权平均求出人与人之间平均传染率C2。

  死亡率是由本周死亡个数比本周总病例数得到。我们由此求得每一周的死亡率。通过MATLAB绘图我们得到一条同样近似平行于X轴的曲线,所以通过加权平均,求得疫情稳定后平均死亡率。

  每周处于未隔离的患者人数处于每周的处于患病状态的总人数可得到每周的未隔离率G,其图像为平行于x轴的曲线,通过加权平均求出平均未隔离率G。

  同理,我们还得到疫情稳定后的平均自愈及治愈率。我们近似地认为,在病情爆发后不久,即疫情稳定后,周感染率、周死亡率、周治愈自愈率、周未隔离率都是常值。

  

  3.2 埃博拉病毒的传播模型

  由假设知,猩猩患病只能由猩猩传播。每个患病猩猩每周可使得只的健康猩猩变为患病猩猩,由患病猩猩数量得每周共有只健康猩猩被感染。即患病猩猩的增加率,又因为每周自愈的猩猩数目为,死亡的猩猩数目为,所以猩猩患病数随时间变化满足:

  

  同理,我们得到人类的传播模型(由前述,所有脚标为2的符号均为人类相关数据,脚标为1的符号为与猩猩相关数据):   

  3.3 模型求解

  通过联立方程组和数据处理,我们使用四阶龙格―库塔法分别求出人和猩猩群体中健康者和患病者的比例的数值解。

  

  通过C程序设计编译程序求解模型所用常微分方程组的数值解。该程序在前四十组解得检验中拟合程度极高,故由此得到较为可靠的预测数据。C语言程序代码详见附录。

  数据拟合如下:

  

  3.4 建立使用免疫药物后的模型

  未被隔离患者的治愈率和被隔离患者的治愈率加权平均后得到患者的平均治愈率Zh。1-Zh为死亡率与未被治愈率之和。默认死亡率与未被治愈率权重不变。在(1-Zh)中,可以算出死亡率的权重和未被治愈率的权重。在严格控制人类与黑猩猩接触并使用特效药后的数学模型如下:

  

  将之与隔离前模型对照后发现,特效防疫药物的使用极大地提高了治愈率Zh,快速地降低了患病数。而隔离黑猩猩的措施将黑猩猩传染致病人数降为0。

  综上,两种措施都有效地预防了疾病的进一步扩散,抑制了疾病的传播,使患病人数的增长率由正变负,从而导致患病数在短期内大量且持续减少。

  4 模型的评价与推广

  4.1 模型优势

  (1)种群数量较小时,通过求解比例的变化得出结果较为精确;(2)可以动态地描述种群发病率、死亡率、自愈率、治愈率、传染率等多种特征量;(3)四阶龙格―库塔法通过数值求解常微分方程组,很好地拟合了给定的原始数据。

  4.2 模型缺陷

  (1)由于通过比例而非数量求解,所以当种群数量较大且比例变化不明显时误差较大;(2)认为两个“虚拟种群”内部个体总数在随时间变化时基本不变,未考虑个体总数的时间变化率。

  5 附录

  5.1 模拟数据

  模拟数据如表2所示:

  

  5.2 C语言程序代码

  

  

  参考文献

  [1] 李信真.计算方法[M].西安:西北工业大学出版社,2013.

  [2] H.Nishiura,G.Chowell.EARLY TRANSMISSION DYNAMICS OF EBOLA VIRUS DISEASE(EVD)[J].WEST AFRICA,2014,(8).

  [3] 甄西丰.实用数值计算方法[M].北京:清华大学出版社,2006.

  [4] 刘来福,何青.用Maple和MATLAB解决科学计算问题[M].北京:高等教育出版社,1999.

  (责任编辑:王 波)

范文十:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

第11卷第4期2014年12月



邵阳学院学报(自然科学版)

JournalofShaoyangUniversity(NaturalScienceEdition)

Vol.11No.4

Dec.2014

1672-7010(2014)04-0001-05文章编号:

埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

周后卿,徐幼专

1.邵阳学院理学与信息科学系,2.邵阳广播电视大学,(湖南邵阳422000;湖南邵阳422000)

摘 要:埃博拉病毒病(EVD)是严重的、往往致命的人类疾病,病死率高达90%.埃博拉病毒病疫情主要发生在中非和西非靠近热带雨林的边远村庄.该病毒通过野生动物传到人,并且通过人际间传播在人群中蔓延.病情严重的患者需要获得重症支持治疗,无论对人还是对动物都无可用的已获正式许可的特异性治疗办法或者疫苗.由于缺乏有效的治疗手段和人用疫苗,提高对感染埃博拉危险因素的认识以及个人可以采取一些保护措施,这是减少人类感染和死亡的唯一方法.本文建立一个埃博拉病毒的数学模型,对疫情进行实证分析;并且对疫情的发展也做了一个预测.

关键词:埃博拉病毒;数学模型;实证分析;预测

O175.1    文献标志码:A中图分类号:

  

AMathematicalModelofEbolaVirusInfectionNumbers

ZHOUHou-qing1XUYou-zhuan2

(1.DepartmentofScienceandInformationScience,ShaoyangUniversity,Shaoyang,Hunan422000,China;2.ShaoyangRadio&TVUniversity,Shaoyang,Hunan422000,China)

AbstractEbolavirusdiseaseEVD

:(),formerlyknownasEbolahaemorrhagicfever,isasevere,oftenfatalillnessinhumans.

EVDoutbreakshaveacasefatalityrateofupto90%.EVDoutbreaksoccurprimarilyinremotevillagesinCentralandWestAfricaneartropicalrainforests.Thevirusistransmittedtopeoplefromwildanimalsandspreadsinthehumanpopulationthroughhuman-to-humantransmission.Severelyillpatientsrequireintensivesupportivecare.Nolicensedspecifictreatmentorvaccineisavailableforuseinpeopleoranimals.IntheabsenceofeffectivetreatmentandahumanvaccineraisingawarenessoftheriskfactorsforEbolainfectionandtheprotectivemeasuresbeingtakenaretheonlytwowaystoreducehumaninfectionanddeath.ThispaperestablishedamathematicalmodelofEbolavirusandmadeanempiricalanalysisofepidemicdiseases.Furthermorewemadeapredictiontothedevelopmentofepidemic.

KeywordsEbolavirusmathematicalmodelempiricalanalysisprediction

,,

:;;;

2014-10-12收稿日期:

基金项目:邵阳市科技局科技计划项目(M230)

1963—)周后卿(,男,湖南新邵人,副教授,研究方向:组合数学及其应用.作者简介:

 2

邵阳学院学报(自然科学版)第11卷

0 

引言

热)埃博拉病毒病(以往称作埃博拉出血高达是一种严重且往往致命的疾病,死亡率目动物(90%猴子、.该病会影响人类和非人类灵长

大猩猩和黑猩猩)

.埃博拉是1976的,年在两起同时出现的疫情中首次出现的一个村庄,一起在刚果民主共和国靠近埃博拉河地区,证据,病毒的起源尚不得而知另一起出现在苏丹一个边远.但基于现有拉病毒的宿主人们认为果蝠(狐蝠科)可能是埃博自西非的几内亚卫生部在.

2014年3月21个西非国家日宣布本国出现埃博拉疫情后,另外几了埃博拉疫情-利比里亚和塞拉利昂也出现命疾病,.这种病毒是一种严重的致径是直接接触受感染的动物或人的血液、病死率高达90%,其传播感染的途体液和组织道,.据法新社2014年8月8日报

国家肆虐的埃博拉病毒为国际公共卫生紧国际卫生组织(WHO)8日宣布,在西非

急事态前,上升至埃博拉病例已增加到.据世界卫生组织最新统计,截至目1711例,死亡人数病例数量为932人;8月2日到4日两天内新增道,108例,又有45人死亡.另据报日宣布国家进入紧急状态利比里亚和尼日利亚分别于当地时间6还表示埃博拉病毒是.国际卫生组织情,40年来最严重的疫的国家它呼吁各国帮助遭受埃博拉病毒肆虐1

出现疫情,[].目前尽管只有少数国家和地区理,变异规律等问题没有弄清楚,如传染源、但由于人们对埃博拉的传播机传染途径、发病机制、流行和乏有针对性的治疗药物,并再加之缺得到根本控制,应对具有蔓延态势的埃博拉病毒,因而引起人们的恐慌所以病毒尚没有.为了清楚,博拉病毒的发展态势如何?只有这样,现有的干预手段究竟有多大效果,必须搞埃确定更加科学准确的防治措施才能因此,我们必须在调查研究的基础上,

应用科学的分析方法,播的趋势揭示预测埃博拉传

分国家的埃博拉疫情进行了模拟,.本文利用传染病模型对南非部果与实际疫情比较吻合模拟结情的发展提出了预测,.在此基础上对疫的防范和控制以期有利于对疫情.

1 

数学模型

在对于埃博拉病毒的数学模型研究,早1996年,文献[2就使用S-I-R和S-E-I-R发:

模型,

年模拟扎伊尔两个时段的埃博拉爆]

1976Yambuku疫情爆发和1995年Kikwit率的疫情爆发.他们得到:当基本再生

埃博拉病毒传染性不如以前那么厉害,R0

满足范围1.72≤R0

≤8.60时,

意味着以使他们减少潜在的死亡可近些年来,也有一些文献(.

参见[3献的基础上,])对埃博拉病毒做了研究-6.现在在这些文数学模型建立埃博拉病毒感染数量的成理想人群,首先对模型进行假设:.

有迁入迁出及其他原因引起的死亡现象总人数保持在固定水平把研究对象当N.没假设患传染病后通过治好的人,期的免疫力,都具有长.可以忽略不计,同时设传染病的潜伏期很短,传染者即任何人患病后立即成为(作S),在这种情况下,.

传染者(把居民分成易感者,s(t),I)及移出者(R)三类,分别记i(t)和r(t),三者之和保持常数N即病人的日接触率为s(t)+i(t)+r(t)=N(1.1)λ期接触数为,日治愈率为μ,传染

σ=模型构成

λ

.根据S-I-R传染病模型:

第4期

周后卿,徐幼专:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

 3

ds

dt=-λsi,s(0)=s0di

=λsi-iμ,i(0)=idt0,

1.2)drdt

=iμ解得

由(

1.1)式和(1.2)式的第1,2个方程s(t=s-r

0e

σ

1.3)-r

数变化率近似地等于

取)σ

移出人(

e的泰勒展开式的前三项,dr

r1r2

dt=μ[N-r-s0

(1-·())](1.4)出人数:

在初始值σ2

σr0

=0下得到其解为累计移2

r(t)=σs

-1+αtanh0

(12αμt-φ其中

s[σ)],2

1α=s

+2s0i0

tanh=s0

-σ2

所以,[(σ-1()式可化为σ

],φασ.1.4)drμα2σ2

dt=12s0

·ch2

(μαt

,(1.5)2-φ)因为ch2

(μαt

-φ)≥1,所以有1

()

≤ch2

μαt1,

-φ(1.5)式当且仅当t2-φ=0,即t=2μα

drdt

化情况下面我们再分析也即移出的人最多.

s(t),i(t)和r(t)的变以可以从前两个方程求出.模型中前两个方程与r(t)无关,所

的关系i(t)与s(t)之间

即先考虑ds=-λsi,s(0)=0

dt

s,(1.6)didt

=λsi-iμ,i(0)=i0

消去dt,得一阶方程,

dids=-1+σ,is=s0

=i0

解此方程得:

,i0

记(s)=i+s-s+σlns

(1.7)limt→󰀡

s(

t)=s󰀡

,limt→󰀡

i(t)=i󰀡

,limt→󰀡

r(t)=r󰀡

,病人终将治愈或者死亡①不论初始条件s0

i0

如何,i󰀡

=0,即[7]

󰀡,在(②最终未被感染的健康者的比例是s1.7)式中令i(s)=0,得到s󰀡

是方程

i+s-s+σlns

󰀡00󰀡

=00

在(0,σ)内的根.③0

(若s>σ,

则i(t)先增加,当s=σ时,it)达到最大值:i=s+i-σ(1+lns

m00

σ

).至然后i(t)减小且趋于0,s(t)一段增长时期才认为传染病在蔓延,s󰀡

.就是说,

如果仅当感染者比例单调减小i(t)有是一个阈值,当则σs0

单调减小至④若s0

≤σ,

则>σ时传染病会蔓延.

i(t)单调减小到0,s(t)s󰀡

.减小传染期接触数σ,

使得s康意识卫生水平越高,0

≤σ传染病就不会蔓延.注意到人们的健水平越高,医疗水平是控制传染病蔓延的有效途径日治愈率越大,日接触率越小,所以提高卫生和医疗.

2 

实证分析

要通过病人的血液、通过长期的研究发现,途径传播唾液、汗水和分泌物等埃博拉病毒主少,.常规检查发现,血小板严重减血淀粉酶也增高,常见淋巴细胞减少,肝切片中观察到病毒用电子显微镜有时可在转氨酶升高,有时为.埃博拉感染潜伏期高烧、2-21天,感染者表现为,起初突然出现弱;然后是腹痛、咽喉疼、肌肉疼痛、头痛、和全身虚月内,呕吐、腹泻.发病后的半个凝固,而坏死的血液迅速传及全身各个器

病毒外溢,导致人体内外出血、血液

 4

邵阳学院学报(自然科学版)第11卷

官,最终病人出现鼻腔、口腔、肛门出血等症状,严重患者可在24小时内死亡.

预防埃博拉的最有效办法是实施隔离,防止人们接触病患者.埃博拉病毒传播的速度,强度和广度取决于人群中感染者和易感者的数量及两者间的有效接触.所谓有效接触,即病原体由感染者到达易感者体内,并使其感染乃至发病的接触,它受接触程度、病原体种类、病原体排出状况、易感者的抵抗力等许多因素的影响.

建立流行病学数学模型后,还须把模型得到的解用实际资料作拟合检验.若一

表1 

3.2686625.12261496.18390267

3.27103665.32311556.2390270

3.28112705.52351576.25393275

3.31122805.72361586.3413303

4.1127835.12331577.2412305

2014

Tab.1 2014Guineaebolaviruscausedcumulativecasesanddeathnumbers

4.4143865.122481717.

6408307

4.7151955.232581747.8409309

4.91581015.272811867.12406304

4.141681085.282911937.14411310

4.161971226.13282087.17410310

4.22081366.33442157.2415314

4.232181416.5351226

4.262241436.16398264

年几内亚埃博拉病毒造成的累计病例和死亡总数

致,则可初步认为模型合理,可按其适用范围到实践中去应用并作进一步验证.若不一致,则应认真检查模型的假设条件和数学式,进行修改,直至拟合结果基本满意为止.

下面,根据世界卫生组织公布的几内亚自3月26日至7月20日所发生的埃博拉病毒病疫情演变情况的数据(见表一),画出日增人数和死亡人数的散点图(见图1).病例总数会因病例和实验室数据的重新分类、回顾性调查及合并整理以及监测活动的加强而发生变化.

图1 日增感染人数和死亡人数散点图

Fig.1 Thescatterplotofinfectingnumbers

图2 日感染人数与周数关系

Fig.2 Relationshipbetweeninfectingnumbers

再来分析预测每天感染的情况.

1.3)根据(式和附录提供的数据,

可以估计出日感染人数λ=3.72,μ=0.863,1882

s=,其图形参见图2.ch0.195t-6.02从上面的图2我们发现,将在第32周日感染人数最多.也就是说,如果或33周,

anddeaths

我们以3月26日为基点,那么将在今年的

11月下旬或12月上旬每天增加的人数将达到最多.以后,随着积极治疗防控力度加大,被感染的人数将逐渐减少.

尽管医学家们想方设法在努力探索,但还是没有破解埃博拉病毒的真实身份,至今埃博拉是一个不解之谜.没有哪个知

andweeks

第4期周后卿,徐幼专:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

 5

道,每次爆发埃博拉病毒后,处,哪里感染到这种病毒的?埃博拉病毒就是也没有哪个知道,第一个受害者又是从它潜伏在何

人类至今所知道的最可怕的病毒之一,旦感染这种病毒,有其他治疗方法,病人没有疫苗注射,一一能阻止病毒蔓延的方法,实际上等于判了死刑也没.唯染埃博拉的病人完全隔离开来就是把已经感[8

].

射现今治疗埃博拉的唯一方法,就是注进入细胞核进行自身复制,

NPC1阻碍剂.埃博拉病毒需透过NPC1

胞间进行运输胆固醇,NPC1蛋白于细胆固醇的运输路线造成尼曼匹克症,即使阻碍剂会阻挡是可以容忍的,但那的时间绝大多数的爆发都是短暂.

毒估计还有相当一段时间从现在到最后彻底控制消灭埃博拉病高发季节的到来,引起高度重视防治任务异常艰巨,.随着秋冬病毒必须

掌握实情,.只有统一思想,

提高认识,取得最后胜利科学应对,做好防控工作,才能.

参考文献:

[1]World(HealthOrganization.Ebolavirusdisease

EVD)[EB/OL].[2014-08-10]:http://www.

[who.int.

2]FauciAS:Ebola-underscoringtheglobaldisparities

inhealthcareresources[J].TheNewEngland

[JournalofMedicine,

2014,371:1084-1086.3]GerardoCandHiroshiN.Transmissiondynamics

and[]controlofEbolavirusdisease(EVD):areviewJ.ChowellandNishiuraBMCMedicine,2014,12[(196):1-16.4]JosephAL,MartialLNM,JorgeAA.DynamicsandcontrolofEbolavirustransmissionin

MontserradoLiberiaamathematicalmodellinganalysis[],:

J.TheLancetInfectiousDiseases,2014,[]14(12):1189-1195.5YarusZ.AMathematicallookattheEbolaVirus

[][J/OL].http://www.home2.fvcc.edu/,2012.6BantonS,RothZ,PavlovicM.Mathematical

ModelingofEbolaVirusDynamics[]

asaSteptowardsRationalVaccineDesignC//KeithEHerold.26thSouthernBiomedical:EngineeringConference,,

[32:

SBEC2010.MarylandSpringer2010196-200.

7]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.8]

蒋娇,[医护人员危险剧增[聂鲁彬.利比里亚名医死于埃博拉病毒:EB/OL].[2014-07-28]http//www.huanqiu.com/

埃博拉病毒感染数量的一个数学模型

作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):

周后卿, 徐幼专, ZHOU Hou-qing, XU You-zhuan

周后卿,ZHOU Hou-qing(邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳,422000), 徐幼专,XU You-zhuan(邵阳广播电视大学,湖南邵阳,422000)

邵阳学院学报(自然科学版)

Journal of Shaoyang University (Natural Science Edition)2014(4)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sygdzkxxxb201404001.aspx