埃博拉病毒传播模型

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【专家解析】埃博拉病毒传播模型

【优秀范文】埃博拉病毒传播模型

范文一:埃博拉病毒传播模型及规律预测

摘要:埃博拉病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒。文章以2014年西非疫区为参照,建立虚拟环境的常微分方程组,利用四阶龙格―库塔法求解其数值解,具体通过C语言程序设计实现,并据此研究埃博拉病毒的传播规律,分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

关键词:数学建模;埃博拉病毒;常微分方程组数值解;四阶龙格―库塔法;西非疫区 文献标识码:A

中图分类号:O175 文章编号:1009-2374(2016)04-0194-03 DOI:10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.04.096

1 模拟真实环境

埃博拉病毒的自然宿主虽尚未最后确定,但已有多方证据表明猴子及猩猩等野生非人灵长类动物有埃博拉感染现象。该病毒的传播途径分为人畜传播、人人传播两种。2014年,在几内亚、塞拉利昂和利比里亚等国,许多受埃博拉病毒影响的人口都以丛林肉为重要的蛋白质和营养物质来源,与丛林中动物接触频繁。这为人畜之间的病毒传播创造了条件。

我们现假设两个感染埃博拉病毒的虚拟种群:即某地区内的20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。人与猩猩的潜伏期都为2周。并在出现疫情41周后模拟外界医疗力量的介入,使得人类与猩猩不再发生接触,且隔离治疗人群的治愈率提高到80%。模拟数据详见附录。

2 建立数学模型

2.1 模型假设

(1)依据人或猩猩的健康状态,将人或猩猩划分为健康者、埃博拉感染者(也称患病者)、退出者(含自愈者、死亡者);(2)自然封闭条件下,猩猩无自然迁移,故无病源的流入、流出,种群数量不变。人类数量庞大,在无大规模迁移的情况下,认为人类数目为一定值,保持不变;(3)健康者中不包含退出者;(4)人和猩猩自愈后二度感染的概率均为0,人被治愈后二度感染的几率为0;(5)不存在有效免疫药物可使人对埃博拉病毒产生免疫,同时猩猩对病毒也不免疫;(6)人的传染途径有人传染人、猩猩传染人两条。两条途径的传染率并不相同,分别假设为传染率C1和传染率C2。C1猩猩与猩猩之间传染途径只有猩猩传染猩猩一条,假设猩猩之间的传染率为C0;(7)患病人无法传染患病猩猩;(8)41周外界介入后,猩猩与人的传播途径切断,隔离患者的治愈率提高到80%,同时未被隔离的患者治愈率不变。

2.2 符号说明

符号说明如表1所示:

3 模型的建立与求解

3.1 数据处理

根据累计死亡个体数,求得每周死亡个体数。同理,根据累计自愈个体数,求得每周自愈个体数。由每周仍处于发病状态的个体数加本周自愈个体数和本周死亡个体数得到每周总患病个体数。

由每周总患病个体数比总体数目得到每周患病个体在总体中的比例A(t);由相邻两周每周患病数相减得到每周新增患病数。由总体个数减去新增病例累计和获得健康个体数,并由此得到健康个体在总体中的比例J(t);由累加自愈治愈人数与累加死亡人数得到退出者总数量,并由此得到退出者在总体中的比例T(t)。

由于埃博拉病毒的潜伏期是两周,所以任意一周的新增病例是两周前处于患病状态的个体传染的。由新增病例数比两周前处于患病状态的个体数得到该周埃博拉病毒传染率,由此计算出每一周的传染率。通过MATLAB绘图,我们得到其近似曲线为一条平行于X轴的曲线,所以通过加权平均求得平均传染率。

因为人类最初患病个体不可能为人类传染所致,所以两周内出现的患病者必为由猩猩传播而来的。最初两周,人每周新增的患病个数除以处于两周前患病状态的猩猩个数得到猩猩与人之间平均传染率C1。

两周之后人患病可由猩猩和人传播两种途径导致,猩猩每周处于患病状态的数量和C1已知,所以每周由猩猩传播导致人患病的数量可求出,用每周新增患病人数减去每周猩猩传播导致人患病的数量,即每周由人传染导致的患病数量。由每周人传染导致的患病数量除以两周前未被隔离处于患病状态的人数可得到每周埃博拉人与人之间传染率C1,通过MATLAB画出C2的图像,可以发现其图像为平行于x轴的曲线,可通过加权平均求出人与人之间平均传染率C2。

死亡率是由本周死亡个数比本周总病例数得到。我们由此求得每一周的死亡率。通过MATLAB绘图我们得到一条同样近似平行于X轴的曲线,所以通过加权平均,求得疫情稳定后平均死亡率。

每周处于未隔离的患者人数处于每周的处于患病状态的总人数可得到每周的未隔离率G,其图像为平行于x轴的曲线,通过加权平均求出平均未隔离率G。

同理,我们还得到疫情稳定后的平均自愈及治愈率。我们近似地认为,在病情爆发后不久,即疫情稳定后,周感染率、周死亡率、周治愈自愈率、周未隔离率都是常值。

3.2 埃博拉病毒的传播模型

由假设知,猩猩患病只能由猩猩传播。每个患病猩猩每周可使得只的健康猩猩变为患病猩猩,由患病猩猩数量得每周共有只健康猩猩被感染。即患病猩猩的增加率,又因为每周自愈的猩猩数目为,死亡的猩猩数目为,所以猩猩患病数随时间变化满足:

同理,我们得到人类的传播模型(由前述,所有脚标为2的符号均为人类相关数据,脚标为1的符号为与猩猩相关数据):

3.3 模型求解

通过联立方程组和数据处理,我们使用四阶龙格―库塔法分别求出人和猩猩群体中健康者和患病者的比例的数值解。

通过C程序设计编译程序求解模型所用常微分方程组的数值解。该程序在前四十组解得检验中拟合程度极高,故由此得到较为可靠的预测数据。C语言程序代码详见附录。

数据拟合如下:

3.4 建立使用免疫药物后的模型

未被隔离患者的治愈率和被隔离患者的治愈率加权平均后得到患者的平均治愈率Zh。1-Zh为死亡率与未被治愈率之和。默认死亡率与未被治愈率权重不变。在(1-Zh)中,可以算出死亡率的权重和未被治愈率的权重。在严格控制人类与黑猩猩接触并使用特效药后的数学模型如下:

将之与隔离前模型对照后发现,特效防疫药物的使用极大地提高了治愈率Zh,快速地降低了患病数。而隔离黑猩猩的措施将黑猩猩传染致病人数降为0。

综上,两种措施都有效地预防了疾病的进一步扩散,抑制了疾病的传播,使患病人数的增长率由正变负,从而导致患病数在短期内大量且持续减少。

4 模型的评价与推广

4.1 模型优势

(1)种群数量较小时,通过求解比例的变化得出结果较为精确;(2)可以动态地描述种群发病率、死亡率、自愈率、治愈率、传染率等多种特征量;(3)四阶龙格―库塔法通过数值求解常微分方程组,很好地拟合了给定的原始数据。

4.2 模型缺陷

(1)由于通过比例而非数量求解,所以当种群数量较大且比例变化不明显时误差较大;(2)认为两个“虚拟种群”内部个体总数在随时间变化时基本不变,未考虑个体总数的时间变化率。

5 附录

5.1 模拟数据

模拟数据如表2所示:

5.2 C语言程序代码

参考文献

[1] 李信真.计算方法[M].西安:西北工业大学出版社,2013.

[2] H.Nishiura,G.Chowell.EARLY TRANSMISSION DYNAMICS OF EBOLA VIRUS DISEASE(EVD)[J].WEST AFRICA,2014,(8).

[3] 甄西丰.实用数值计算方法[M].北京:清华大学出版社,2006.

[4] 刘来福,何青.用Maple和MATLAB解决科学计算问题[M].北京:高等教育出版社,1999.

(责任编辑:王 波)

原文地址:http://fanwen.wenku1.com/article/5166330.html

范文二:埃博拉病毒传播问题

一、 问题重述

埃博拉病毒至今已多次爆发,很难根除。本题希望我们通过建模来量化病毒

传播规律以达到了解疫情和实施有效措施控制疫情的目的。

1、仅针对猩猩群体建立病毒传播模型,根据已知数据描述并预测疫情变化,完成第80、120、200周的数据。

2、对人和猩猩的群体建立模型,综合描述并预测人和猩猩两个群体疫情的发展,完成第80、120、200周的数据。

3、从第41周开始,在实施严格控制人与猩猩的接触和将人群治愈率提高至80%两措施的情况下,对比第2问的预测结果说明措施的作用和影响。完成第45、50、55周数据。.

4、据前分析各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等措施对控制疫情的作用。

二、 问题分析

题目按照研究猩猩单独群体、人和猩猩混合群体、隔离措施和药物治疗对病

毒传播的影响的顺序层层深入,逐步展开对控制疫情的探索研究。

1、问题一要求建模描述并预测病毒在猩猩种群中的传播。实际需要找到几个已知数据类即发病个体数、自愈个体数和死亡个体数之间的关系。观察到已知数据中发病猩猩个数、自愈猩猩个数、死亡猩猩个数随时间单调变化,所以考察各变量从时刻t到时刻t+t的增量,然后得到变量关于t的微分方程,编程进行数值计算。通过已知数据验证模型的可靠性,再以此为基础进行预测。其中,要合理处理潜伏群体和处于发病状态个体数量的关系。

2、问题二建立在问题一的基础上,将人群进行分类。考虑到猩猩感染人而人不感染猩猩,猩猩群体的传播规律不受影响,人类患病者的感染源为患病猩猩和患病的人,这些患病人类中一部分会被隔离治疗,隔离群体则有相对应的治愈率和死亡率,借鉴问题一的想法,找到问题二中给定量和假设量他们之间的关系。然后进一步建立被分类人群(易患病的人、潜伏期的人、已患病的人、患病被隔离的人、隔离被治愈的人、自愈的人、隔离后死亡的人、未被隔离死亡的人)的数量关系。

3、问题三中,采取隔离措施后,人的群体和猩猩的群体相互独立,即猩猩不再将病毒传染给人类。同时,被隔离人群的治愈率提高到了80%。所以对比于第二问,忽略患病猩猩对人的传染,同时被隔离群体的治愈率为一给定值0.8 。可将问题二的模型修改直接利用。对措施产生的作用进行探究应从处于发病状态个体的个数和死亡个体的个数的变化入手,考虑干预手段的大小对疾病预防和控制的影响。

4、注意到前面模型中对患病人群的隔离率没有相应的措施,所以,问题四中应重点分析隔离率对疫情控制的影响,可具体考察与隔离率相关的式子并进行分析。

三、 模型假设

1、埃博拉病毒变异可通过呼吸传播的情况不会发生; 2、该地区人和猩猩均无先天对埃博拉病毒免疫的个体; 3、根据埃博拉病毒的特点,原发病体与其所感染的患病体数量相比非常小,因此可假设患病体都是由传染而得病的。

4、处于潜伏期的个体必定发病;

四、符号说明

t:单位时间(周);

S1(t): 易患病猩猩的数量; E1(t): 潜伏期猩猩的数量; I1(t): 已患病猩猩的数量; R1(t): 自愈猩猩的数量; D1(t): 死亡猩猩的数量; a:猩猩的自愈率; b:猩猩的死亡率

c:猩猩的有效接触率(易患病猩猩一接触患病猩猩则患病称为有效接触);

S2(t): 易患病的人的数量;

E2(t): 潜伏期的人的数量; I2(t): 已患病的人的数量; G (t) : 患病被隔离的人; R*(t): 隔离被治愈的人的数量; R2(t): 自愈的人的数量; D2(t): 死亡的人的数量; d:人的自愈率;; e:人的死亡率;

f:人的有效接触率;

. k:人的隔离率;

g:人的隔离治愈率; 1-g:人的隔离死亡率;

五、模型的建立与求解

问题一:

1、动态描述:

图1是对前40周猩猩群体中个体发病、自愈、死亡数量变化趋势的折线图形描述,先纵向分析三者各自的变化趋势,可以看出:前40周,死亡个体数和自愈个体数均随周数增加,发病个体数在前6周波动,后随周数减少,前40周发病个体数和自愈个体数增加的趋势有所减缓;后横向分析,可以看出:前40周,死亡个体数和自愈个体数同时增加,具有一致性,但不确定这种一致性会保持多久,而他们与发病个体数有相反的变化趋势。 从以上分析可以得出下面结论:

在不具备集体隔离和治疗能力的猩猩群体内,发病和死亡的趋势不会无限进行下去,猩猩们的自愈能力会扭转颓势。

图1 2、预测:

猩猩的群体可分为5类,分别为易患病猩猩、潜伏期猩猩、患病猩猩、自愈类猩猩、死亡类猩猩。由假设得:潜伏期猩猩2周后均变为患病猩猩。

自愈率=自愈猩猩数/(自愈猩猩数+死亡猩猩数)

a= R1 /( R1+D1 ), 已知数据中R1与 形表现为图2:

( R1+D1 )关系的图

图2

容易得到 a=0.33;

对于易患病猩猩,t时刻的数量

S1(t)是连续、可微函数,并且每周每

c,由于易患病猩猩随时间是减少

个患病猩猩有效接触的易患病猩猩的数量为的,所以考察t

到t+t时间内易患病猩猩数量的增加量,就有

S1(t+t)- S1(t)= - c I1S1t

再设t=0时有S0 个易患病猩猩,即得微分方程

dS1

c I1S1 (1)dt

依照(1)式的获得方式,即得如下微分方程

dE1

cI1S1E1t(dt

2 ) (2)

dI1

E1(t2)aI1bI1 (3) dtdR1

aI1 (4) dtdD1

bI1 (5) dt

由于方程(1)~(5)无法求出解析解,所以利用已知附件数据,通过MATLAB

软件进行数值计算,计算所得数据的图表形式如下:

图3

4

图5

然后将指定周数的数据填入下表:

问题二:

混合群体中类似于猩猩群体,人的群体分为8类:易患病的人、潜伏期的人、已患病的人、患病被隔离的人、隔离被治愈的人、自愈的人、隔离后死亡的人、未被隔离死亡的人。由于人发病后与猩猩的接触可以忽略,所以只有猩猩会感染人而人不会感染猩猩。则猩猩群体病毒传播的规律不发生改变,人的感染源有患病猩猩和患病的人。则人的群体的对应微分方程为:

dS2

 (If1+I2)S1 (6) dt

dE2

f(I2+I1)S2E2(t2) (7) dt

dI2

E2(t2)(1k)(dI2eI2)kI2dt

(8)

dR2

(1k)I2d (9) dtdG

I2k (10) dt

dR*

kI2g (11)

dt

dD2

(1k)I2ekI2(1g) (12) dt

由于在问题二中,模型未知量较多和前40周数据有所波动造成了模型求解的复杂,所以在使用已知数据时,将处于发病状态人数数据的前8周看做第一阶段,以后数据为第二阶段;将被隔离人数数据的前5周看做第一阶段,以后看做第二阶段;另外两组数据完整使用。这样在编程求解时初值做相应改变。 通过MATLAB软件进行数值计算,计算所得数据的图表形式如下:

图6

图7

图8

图9

问题三: 1、预测:

问题三中,采取隔离措施后,人的群体和猩猩的群体相互独立,即猩猩不

再将病毒传染给人类。同时被隔离群体的治愈率为一给定值

0.8

g=0.8,1-g=0.2 。(7)~(12)式修改为:

dS2

 fI2S1 dt

dE2

fI2S2E2(t2) dt

dI2

E2(t2)(1k)(dI2eI2)kI2 dtdR2

(1k)I2d dt

dG

I2kdt

dR*

0.8k2I dt

dD2

(1k)I2e0.2kI2 dt

可利用修改过的问题二的模型进行预测。即可完成下表:

2、作用和影响说明:

严格控制患病猩猩与人类的接触后,人的感染源减少了近40%,使人类处于潜伏期和发病状态的数量大幅减少;药物治疗提高治愈率至80%后,隔离治疗人群的死亡率下降了62%,总的患病人群的死亡率下降了41%,对疫情的控制

效果明显。说明干预手段的程度的大小对疾病控制的影响显著。

问题四:

前述数学模型中疫情控制措施有:隔离措施(切断患病猩猩与人的接触、将患病人隔离)和提高治愈率的措施。

前面实现了严格控制患病猩猩与人的接触,并将隔离人群的治愈率提高至80%,对疫情的控制效果比较明显。但患病人群的隔离率k未经改善,观察问题二中(8)式并进行变形得下式:

dI2E2(t2)I2(de)kI2(de1)dt

当提高隔离率时,处于发病状态的个体数量会减少,因病死亡人数也会减少,对控制疫情有积极效果。

模型的建立帮助我们搞清楚了现有干预手段究竟有多大效果,预测表明,隔离措施的严格执行和药物治疗是控制疫情的最好手段。

六、模型的优缺点评价及改进

模型优点:

1、模型变量全面,描述和联系性强,可以将问题描述清楚并就问题给出可参考答案。

2、模型具有灵活性和适应性,如解决问题二时,取用部分数据,模型仍然成。

模型缺点:

1、变量多,模型实现时遇到了较多困难。

2、在进行函数拟合时,有较多点在函数曲线外,误差较大。

3、细节处理不到位。

模型改进:

可以先只找S和I的关系,列微分方程求解,再列E、R、D的微分方程。这样就将一个大问题转化为两个较容易的问题,相当于减少了变量个数,而且更能考虑他们之间的细节关系。

参考文献:

【1】姜启源,谢金星,叶俊 . 数学模型(第三版)【M】. 北京:高等教育出版社,2003.

【2】周后卿,徐幼专:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型 .

【3】杨玉华:SARS传染模型的研究及实证分析 .

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阅读详情:http://www.wenku1.com/news/27F628A7D180D76E.html

范文三:埃博拉病毒的传播

西安工业大学数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮

件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问

题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他

公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正

文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反

竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C中选择一项填写): B

所属学校(请填写完整的全名): 西安工业大学 参赛队员 (打印并签名) :1. 陈文兴

2. 闫丽萍

3. 魏栩

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名):

日期: 2015 年 8 月 1 日

埃博拉病毒传播及控制分析

摘要

埃博拉病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,有很高的死亡率。本文根据研究人员统计所给出的前四十周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息,对该病毒的传播、预测与控制进行研究并建立模型,并分析了隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。 针对问题一,在了解埃博拉病毒的传播情况后,根据猩猩的发病情况建立了马尔萨斯模型:xt154.97e0.0270t。在此模型中,较好地描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播情况;根据“虚拟猩猩种群”中的数据,用matlab拟合出不同状态下猩猩数量的变化曲线,并以发病状态为例建立灰色预测模型dx1

 0.0669x160.0539dt,从而较准确的预测出接下来第80、xk1(x(0)(1)b)eab947e0.0124897aa

120、200周的猩猩发病状态的数据。

针对问题二,为描述埃博拉病毒在“虚拟种群“中的相互传播规律及人和猩猩的疫情发展状况,建立SEIR模型 dQdtrI(t)11a2a1etQ(t)ttdIdt11a2a1eQ(t)11a3eI(t)

tdTdt11a3eI(t)

模型求解时,通过对模型的推导,我们发现不能给出每个函数的解析解,因此考虑利用matlab中的ode45函数进行求解。得出了患者数量随时间的变化规律。同样利用灰色预测模型预测出“虚拟人类种群”在第80、120、200周的相关数据。

针对问题三,在问题已建立的模型之上画图分析两个因素:通过某种特效药改变治愈率到80%,控制患者和健康人群的接触即控制隔离强度。对埃博拉病毒传播的影响,并通过图中控制后的患者人数,利用模型二中的关系表达式,计算出,45,50,55周的潜伏期人数,治愈人数,死亡人数。

针对问题四,对问题三进一步讨论改变隔离强度和治愈率对病毒传播的影响,分别用matlab作出患者人数随时间的变化曲线,对比分析,可得出:当降低患者与健康者的接触率和使用特殊药物提高治愈率时,随着时间的延迟,患者人数急剧下降。所以实际生活中,改变通过这两个指标可以有效的控制病情的传播。

关键词:马尔萨斯模型 SEIR模型 灰色预测 隔离强度

一、问题重述

埃博拉病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,埃博拉病毒感染者有很高的死亡率(在50%至90%之间),主要通过接触而非空气传播。迄今为止,已有多次疫情爆发的记录,最近的一次在2014年,截至2014年9月25日,此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡,另有6500被确诊为感染。

本文假设某地区有20万居民和3000只猩猩。研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息(见附件一、附件二),根据相关信息研究回答以下问题:

1、根据猩猩的发病数量和死亡数量,建立病毒传播模型,动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播,并预测猩猩接下来的疫情变化,并给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并给出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

3、由于41周外界专家的介入,及严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,并对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据;

4、依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

二、问题分析

根据题意,这是一个传染性病毒随时间蔓延的过程,需要研究传染病在传播过程中各类种群的数量变化,特别是通过研究患者和疑似患者、患者和治愈者的数量变化,预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度,从而我们可以认识到相应的疫情控制措施对控制传染病传播所能达到的效果。

针对问题一,根据附件一“虚拟猩猩种群”的数据,初步观察到发病状态、累计自愈及累计死亡的猩猩数量,并对数据做定量分析得到截至每周累计发病的数量,利用matlab编程得出病毒传播速度的散点图,针对病毒的传播过程,首先,我们用xt表示t时刻的猩猩发病个数,用表示每天每个猩猩有效接触的个数,考虑t到tt时刻发病个数的增加,建立微分方程 dxx,x0x0,dt

通过马尔萨斯模型求解得:xtx0et。利用灰色预测,预测出后期猩猩每个状态的数量,并以发病状态为例建立灰色预测模型,接着运用matlab编程假设

X0k50.2,54.4,51.2,48.4,45.4,42.4,39.2,36,再对其作一次性累加生成运算得到新的生成数列X1k50.2,104.6紧接着对,,155.8,204.2,249.6,292,331.2,367.2

X1k作紧邻均值生成得出数据阵B和数据向量Yn,再对参数列[a,b]T进行

最小二乘估计最后建立出了灰色模型(GM(1,1)模型)。我们又经过对GM(1,1)模型的残差检验,最终得出了预测结果。

针对问题二,我们把人群分为五类:健康者(易感染者)、确诊患者、疑似患者、潜伏期感染者、死亡者和治愈者,采用SIER模型,并将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群,关系如下图:

在此基础上,找出单位周内这五类群体数量的变化来建立微分方程,得出模型。再利用matlab编程画出图形,改变其隔离强度药物治愈率后重新作图进行比较,对结果进行分析,并利用SEIR模型对埃博拉病毒的传播规律进行定性分析描述,对未来种群数量变化用灰色预测模型进行定量预测,并分析各种疫情控制措施对控制疫情的作用。

针对问题三,在问题已建立的模型之上画图分析两个因素:通过某种特效药改变治愈率,控制患者和健康人群的接触即控制隔离强度。对埃博拉病毒传播的影响。

针对问题四,对问题三进一步讨论改变隔离强度和治愈率对病毒传播的影响,分别用matlab作出患者人数随时间的变化曲线,对比分析,给出有效控制疫情传播的建议。

三、符号说明

符号

S(t)

E(t)

Q(t)

I(t)

T(t) 解释说明 t时刻正常者(易受感染)数量 t时刻疑似患者的数量 t时刻处于潜伏期的数量 t时刻确诊患者的数量 t时刻退出传染系统的数量(包括治愈者和死亡者)

β1

β2

a3

r 潜伏期的人数中转化为确诊患病的数量占潜伏期数量的比例 每日退出传染系统的数量比例 确诊患者的治愈时间 患者的人均周接触个体数量

因接触被感染的概率

潜伏期内的患者被隔离的强度  p

a 患者被治愈的概率

四、模型假设

1、假设单位时间内感染病毒的数量与现有的感染者成比例;

2、假设单位时间内治愈数量与现有感染者成比例;

3、假设单位时间内死亡数量与现有的感染者成比例;

4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒,有很强的免疫能力,即被移除出此传染系统;

5、假设正常者被传染后,进入一段时间的潜伏期,处于潜伏期的群体不会表现症状,不可传染健康者,不具有传染性;

6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗,被视为无法跟别人接触,故不会传染健康者;

7、假设实际治愈周期过后,如果患者没有治愈,则认为患者死亡,即实际治愈周期过后,患者都被移出此感染系统;

8、假设考察地区内疾病传播期间忽略个体的出生,死亡,流动等种群动力因素对总种群数量的影响。即:总种群数量不变,记为N=20万;

9、假设人能以一定的概率接触到猩猩,当接触有传播能力的猩猩后有一定的概率感染病毒,而人发病后与猩猩的接触可以忽略。

10、假设可以及时发现疑似患者并隔离治疗,并且剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后感染正常人。

11、假设人类发病后与猩猩的接触可以忽略,即人类不作为猩猩的感染源。

五、模型的建立与求解

5.1问题一模型建立与求解

据问题一,由附件“虚拟猩猩种群”中的数据,利用Matlab作累计发病个数--时间的散点图如下:(程序参见附件1)

从图可看出:埃博拉病毒传播的速度在前40周始终呈上升的趋势,但上升的斜率有减小的趋势。

5.1.1马尔萨斯模型的建立与求解

“虚拟猩猩种群”的埃博拉病毒传播预测模型类似于人口增长的预测模型,故首先采用马尔萨斯模型(Malthusian 模型)进行建模。设时刻t的确诊患者数量It是连续、可微函数,并且每天每个患者有效接触(足以使人致病的接触)的人数为常数,考察t到t+t病人人数的增加,则有

IttItItt

再设t0时有I0个病人,即得微分方程 dII dtI0I0

解之可得:

ItI0et

其中, I0, 为常数。It154.97e0.0270t

根据“猩猩种群”疫情数据中的确诊患者的数据散点图(图1),考虑利用马尔萨斯模型xtx0et来预测埃博拉病毒的传播情况。用matlab求得

: I0154.97,0.0270。即得马尔萨斯模型如下(程序参见附件2)

I

图:

t154.97e0.0270t

结果表明,随着t的增加,猩猩感染的个数It持续增长。马尔萨斯拟合及预测图线与猩猩在前40周发病情况图线拟合程度较为符合。

由图分析知:马尔萨斯模型是关于人口或种群增长的模型,它发现人口或种群成指数增长。即在该模型中可引意为,猩猩感染病毒的个数随着时间的增长呈指数增长变化。但现实生活中,由于猩猩数量的有限,所以该模型在预测短期的数据上是可以的,但对未来长期预测情况跟实际显然是不太相符合的,因此暂不考虑用该模型进行数据预测。因此对问题一中数据的预测采用灰色预测模型。

5.1.2 利用灰色系统预测结果

我们建立的马尔萨斯较为合理的模型仅仅只是对埃博拉病毒的传播规律进了动态描述,而不能定量的进行数据预测。因此,我们先将附件中“虚拟猩猩种群”的数据用excel进行了处理:分别计算出附件中前40周猩猩的潜伏群体、处于发病状态、累计自愈、累计因病死亡的数量,然后在matlab中做出上述四个状态下猩猩数量关于周数的曲线拟合。(程序参见附件3)

1、潜伏群体

2、处于病状态

3、累计自愈

4、累计因病死亡

为了预测接下来80周,120周,200周的情况,我们分别建立灰色预测模型来预测四种状态的情况,由于模型一致,本文以猩猩发病状态为例建立模型,首先取均值将前40周分为八组(具体情况见附件excel表格)。

得出如下表(单位:只):

假设X0k50.2,54.4,51.2,48.4,45.4,42.4,39.2,36.

5.1.2.1 GM(1,1)模型的建立

为了使其成为有规律的时间序列数据,对其作一次累加生成运算,即令

X(1)(t)X(0)(k)

n1t(t,k1,27)

从而得到新的生成数列X1k50.2,104.6.对,155.8,204.2,249.6,292,331.2,367.2X1k做紧邻均值生成. 则数据阵B和数据向量Yn为

121

2121 B2

1

2

121

2

x1x211x2x311x3x411x4x511x5x611x6x711x7x81111x02104.6-77.41 0x3155.81-130.2 1x04-180 1204.21-226.9 1 Ynx05249.6 0 1x6292- 270.81-311.60331.2 1x7 1x08367.2-349.211对参数列[a,b]T进行最小二乘估计,可得

BBT10.00250.00160.0007-0.0001-0.0009-0.0016-0.0022BT 0.69200.48990.29930.1198-0.0482-0.2044-0.3483

(其中,a为发展系数,反映x的发展BTBBTYnb60.05391

a

 0.0669

趋势;b为灰色作用量,反映数据间的变化关系. )

从而可得出GM(1,1)模型:

dx1

 0.0669x160.0539dt  xk1(x(0)(1)b)eab94e70.0124897aa

bb其中,xk1(x(0)(1))ea947e0.0669897为时间响应函数形式。 aa

5.1.2.2 GM(1,1)模型的残差检验

残差大小检验,即对模型值和实际值的残差进行逐点检验. 

(1)根据预测公式,计算X

X11k,得 k50.2,104.6,155.8,204.2,249.6,292,331.2,367.2 k1,2,8

0

(2)累减生成X

k序列,k1,28

X0k50.2,54.8434,51.2963,47.9786,44.8755,41.9731,39.2584,36.7193

原始序列: X0k50.2,54.4, 51.2,48.4,45.4,42.4,39.2,36

(3)计算绝对残差和相对残差序列

绝对残差序列:0 0,0.0082,0 .0019,0.0087,0.0116,0.0101,0.0015,0.02 相对残差: 0,0.015%,0.0037%,00179%,0.0255%,0.0238%,0.0038%,0.055%GM(1,1)模型的残差检验结果:相对残差不超过0.05%,精确度高。

5.1.2.3GM(1,1)模型求解

利用Matlab进行预测,分别取预测的个数为8,16,32(程序参见附件4),得到实际值与预测值如下表(单位:只):

本文用75-80,115-120,195-200均值近似代替第80,120,200周的情况,问题一的结果预测见下表:

5.2 问题二模型的建立与求解

5.2.1 SEIR模型建立与求解

针对问题二,我们充分利用附件一、二,并注意到埃博拉病毒传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。对S来说,一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常者,使其成为潜伏期感染者流出S;对于E来说,流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常者,流出者包括一部分没有被感染的正常者和隔离后被确诊患者;对于I来说,它既有从包括隔离和未被隔离的H中确诊的流入者,也有已经治愈的流出者;对于R来说,它只有从I中治愈转化而来的流入者。以上过程在传染的每一时刻都是相同的。在某一时刻对S、E、I、R取其对时间的微分,假设患者可以随意接触和感染正常人。分析t阶段时间内,疫情的发展与变化,这样既可建立传染病传播模型的微分方程组如下:

(1)正常人-----疑似患者:

病人尚未被隔离,所以疫情发展比较迅速,此时病人人均每天接触r个正常人,假设t时刻病人人数为I(t),则新增疑似患者人数为E,

EI(t)rtrI(t)t。

(2)疑似患者-----潜伏期:

疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者,病毒携带者会进入潜伏期,而非病毒携带者最终还是正常人。

设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为,假设t时刻疑似患者人数为E(t),潜伏期患者人数为Q(t),则Q(t)E(t),故新增潜伏期人数为

QE。

(3)潜伏期-----确诊患者:

因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长,用1表示这一特性。那么新增确诊患者人数为I1Q(t)t,现在要确定1,如果潜伏期天数为a1到a2,假设其变化到了一个稳定阶段,那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越多,其概率分布呈指数稳步增长,则每天有11a2a1et概率的人变为埃博拉病毒患者,即111a2a1et。所以新增患者人数:

I11a2a1etQt。 (4)确诊患者-----治愈、死亡:

设T为退出系统人数(治愈者和死亡者),如果治愈天数设为a3,那么a3天后病人要么死亡要么被治愈,而被治愈的人产生抗体,不再会被传染,所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。设系统退出率为a3,则有退出人数



TI(t)2t。2的求解方法与1相同,即随着天数的增加退出传染系统的人数也越来越多,则211a3et。故新退出传染系统的人数

T11a3etIt。

(1)~(4) 根据上述的式子可进一步得出:



QEt

Q(tt)Q(t)rI(t)t11a2a1eQ(t)ttt

所以得出以下:

dtrI(t)11a2a1etQ(t)tt

dIdt11a2a1eQ(t)11a3eI(t)t

I(t)dTdt11ae3 

5.2.2 SEIR模型求解

通过对模型的推导,我们发现不能给出每个函数的解析解,因此考虑利用matlab中的ode45函数进行求解。

首先,对传染病模型进行标准化,再带入参数,并由此建立微分方程组函数M文件,随后用ode函数对该文件进行调用,即可得到微分方程组的解向量,然后利用plot函数画出此解向量即可得到虚拟种群患者随周数变化的曲线图如下(程序详见附件5)

由上图分析可知:人类和猩猩患者的数量持续增多,由于人与猩猩数量差别较大,对20万人类来说,随着人类和猩猩发病者增多,感染源群体增多,易感人群发病机率增大,则人类发病数量增加较快;考虑到人发病之后与猩猩的接触可以忽略,而对于3000只猩猩来说,死亡和自愈之后立即退出传染系统,则在总量一定的情况下随着猩猩的传染源减少,猩猩的发病者数量相对于人类发病者缓慢增加。

SEIR模型综合描述了40周人类与猩猩相互传染的疫情发展状况,前20周“虚拟种群系统”患者数量增加缓慢,后期感染源增多,在缺乏特效药物及隔离强度较低的情况下,患者总量增加较快,符合实际情况,可见模型的合理性。

5.2.3 利用灰色系统进行数据预测(见附件Excel

中的灰色预测数据及结果表

格)

我们先将附件中“虚拟患者种群”的数据用excel进行了处理:分别计算出附件中前40周人类的潜伏群体、处于发病状态、隔离治疗、累计自愈、累计因病死亡的数量,然后在matlab中做出上述五个状态下人类数量关于周数的曲线拟合。(程序参见附件6) 1、潜伏群体 2、处于病状态 3、隔离治疗 4、累计自愈 5、累计因病死亡

利用灰色预测模型得到问题二的预测结果如下:(单位:人)

5.3 问题三模型的建立与求解 5.3.1 模型建立与求解

考虑到人类与猩猩的接触率和药物治愈率两个人为控制因素,在问题二中所建立的SEIR模型的基础上进行了完善。通过降低疑似患者与易感人群的接触,即虚拟种群中患者人数I(t)与易感人群S(t)的接触率r'变小,增加隔离强度P,同时依题将治愈率a提高到80%(aa180%)作图如下:

由图分析知:在未使用药物之前,40周的患者数量已达到2623人,在41周时,专家介入,有效控制易感人群(健康者)与疑似患者的接触率,即对疑似患者进行部分隔离,使得新进入潜伏期的人数在减少。因此,由于时间的延迟,患者人数短期内迅速增长,并达到峰值5436人,其后由于使用某种特效药将隔离治疗人群的治愈率提高了80%,大量的患者被治愈,且受感染的人数越来越少,导致患者人数急剧下降,最后平缓的趋于0,在80周将基本没有患者。和问题二中分别预测的第80、120、200周患者数量36、19、19人对比知,这种特效药物的使用和对患者有效隔离对埃博拉病毒的传播可以进行有效地控制。

所以,在实际对埃博拉病毒的控制中,对于特效药物的研发与使用,以及加强隔离防护措施是非常有必要的。

5.3.2 利用改进后的SIER模型进行数据预测

1、处于发病状态人数

根据上图,可以得到在45、50、55周处于发病状态的人数,即对应周数的坐标I(45)=5418, I(50)=4295, I(55)=2003。

2、退出系统人数(治愈者和死亡者)

在问题二所建立的(4)模型进行改进:退出系统人数

T(t)11a3eptI(t),其中a3=2,P=0.05,利用1中所预测的I(t)数据,即可得到T(45)、T(50)、T(55)。在此基础上,由于人类患者的治愈率a提高到a=%80,得到:累计治愈者人数=aT(t);累计死亡者人数=(1-a)T(t)。

3、潜伏期人数

因在疾病的早起阶段埃博拉病毒可能不具有:“高度的”传染性,所以对问题而中的(2)模型进行改进:取定=0.25,r=43,p=0.05,潜伏期人数Q(t)=reptI(t),利用1 中I(t)的数据,即可得出Q(t)。





4、隔离治疗人数

在此问题中我们取定隔离强度P=0.05,则得到:隔离治疗人数=PQ(t),利用3中Q(t)的预测数据,即可得到45、50、55周的隔离治疗人数。

综上,所得预测结果如下表:

5.4 问题四的模型建立与求解

本问只讨论两个因素对控制埃博拉病毒传播的作用 1.易感人群与疑似患者的隔离控制即改变隔离强度 2.通过防疫.检疫.治疗功能的药物使用改变治愈率 研究结果如下图显示(程序见附件7):

由上图分析可知:四条曲线比较可知,当隔离强度不同时,对患者人数最高峰出现的时间和病毒传播的持续时间(即患者全部痊愈没有再出现患者)有极大的影响。在隔离强度较小时,患者人数的最高峰出现时间靠后,传染病持续的传播时间较长;在隔离强度较大时,患者人数能较快的出现最高峰再较迅速的下降,因此传染病持续的时间比较短,更有利于传染病的控制。所以,在实际的传染病控制过程中,对传染病进行有效的控制,说明实行疑似患者隔离政策对控制传染病传播的效果是很明显的;

分析图可知:当通过使用防疫.检疫.治疗等功能药物使治愈率提高到90%时,峰值明显降低,且提前使患者人数降至“0点”即在短时间内有效的控制了埃博拉病毒的传播 综上,在埃博拉病毒传播过程中,我们可过通过改变隔离强度和治愈率两个指标来对埃博拉疫情进行有效控制。 目前控制埃博拉的防疫措施有:

1、研发强效的防疫药物 2、防止医护工作者感染 3、进行卫生的葬礼 4、隔离感染者 5、追踪接触者

6、设置防疫封锁线,防止疫情向城市蔓延 这些防疫的措施都是通过提高治愈率,及加强隔离制度来有效的控制疫情的发展。只有各种防护措施的结合使用,才能最大限度的控制埃博拉的传播。

六、模型评价与推广

6.1 模型评价:

在建模前期,全面分析数据相互之间的关系,及影响埃博拉病毒传播的因素,找出病毒的作用的时间段和范围,收集比较完整而准确的前期数据。在模型建立中我们采用了各种软件(如matlab,excel等)进行求解,制图精确,计算结果较为准确。但在灰色预测模型中,预测的数据为五周平均数据的近似代替,这对模型的求解结果的准确性有一定的影响。本文所建立的控制模型忽略了人口流动、

变化给该地区病毒传播带来的影响,从而模型预测结果会与实际情况有一定差距。

6.2 模型推广:

通过模型的分析可知,如果全社会的努力和投入的程度继续增加,即隔离措施的提早进行、隔离率增大、防疫药品的早日研发、公众的防御意识提高,可使得疫情周期缩短、患者人数逐步减少。实时监控病毒传播走势,采集更多的数据以验证模型和改进模型,若有预料之外的干扰因素出现,应及时修正模型,重新预测其后期走势。

七、参考文献

[1] 姜启源 谢金星 叶俊,数学模型[M],北京:高等教育出版社,2003(第三版)

[2] 尚涛 谢龙汉 杜如虚,matlab工程计算及分析,北京:清华大学出版社,2011.3

[3] 章绍辉,数学建模,北京:科学出版社,2010

八、附录

【见附件】

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/451B2698CA3A510D.html

范文四:埃博拉病毒传播问题

第一部分 问题重述

第二部分

问题分析

第三部分

模型的假设

第四部分

定义与符号说明

第五部分

模型的建立与求解

第六部分

模型的评价与推广

第七部分

参考文献

第八部分

附录

(www.wenku1.com)一、 问题重述

假设某地区有 20 万居民和 3000 只猩猩。 人能以一定的概率接触到所有的 猩猩, 当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩 的接触可以忽略。研究人员统计了前 40 周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等 信息(见附件一,附件二) ,相关问题如下; (1)根据猩猩的发病数量和死亡数量,建立一个病毒传播模型,动态描述 病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播,并预测接下来的在猩猩中的疫情变化,并给 出“虚拟猩猩种群”在第 80 周、第 120 周、第 200 周的相关数据; (2)建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情 的发展,并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并给出 “虚拟人类种 群”在第 80 周、第 120 周、第 200 周的相关数据; (3)假设在第 41 周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩 的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了 80%。预测接下 来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况, 对比第 2 问的预测结果说明其作用和影 响,给出“虚拟人类种群”在第 45 周、第 50 周、第 55 周的相关数据; (4)依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括 防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

(www.wenku1.com)二、 问题分析

(一)问题 1 的分析 建立一个病毒传播模型, 动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播,有助 于政府和相关医疗机构预测接下来在猩猩中的疫情变化情况,科学预测疫情在 “虚拟猩猩种群”中的发展以及可能对“虚拟人类种群”带来的影响。 题中给出了“虚拟猩猩种群”的有关数据 (截至本周末处于发病状态的数量、 截至本周末总共死亡个数、截至本周末总共自愈个数) ,要求我们预测接下来在 猩猩种群中的疫情变化,分别给出在第 80 周、第 120 周、第 200 周“虚拟猩猩 种群”中潜伏群体、处于发病状态、累计自愈、累计因病死亡的数据。 由以上原因,我们可以建立一个 SLIRD 模型,利用 matlab 做出图像,对所 要求的结果分别进行预测,并将结果进行比较。 (二)问题 2 的分析 建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型, 综合描述人和猩猩疫情的发展, 有助于指导政府通过控制人类与猩猩种群间接触来达到控 制疫情的目的, 可以 帮助政府分析控制两种群接

触所花的成本和疫情控制达到的效果之间的关联程 度。 题中给出了“虚拟人类种群”的有关数据(截至本周末处于发病未隔离状态 的数量、截至本周末总共累计治愈个数、截至本周末总共累计死亡人数、截至本 周末正在被隔离治疗的人数) ,要求我们预测接下来疫情在这两个群体中的发展 情况,并给出 “虚拟人类种群”在第 80 周、第 120 周、第 200 周的相关数据。 由以上原因, 我们可以建立一个考虑因素较问题 1 更多的 SLIRD 模型,利用 matlab 做出图像,对所要求的结果分别进行预测,并将结果进行比较。 (三)问题 3 的分析 在外界专家介入控制人类与猩猩接触的情况下以及某种特效药将被隔离治 疗人群的治愈率提高的条件下。 题中给出了明确的相关条件,即“假设在第 41 周,外界的专家开始介入, 并立即严格控制了人类与猩猩的接触, 且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治 愈率提高到了 80%”,即相关参数的值直接由题设给建立病毒的传播模型,有助 于政府分析各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等措施对控制疫情 的作用,有助于政府合理规划投入医学研究成本,有重要指导意义 定,其余数据也可使用问题 1、问题 2 中已有数据。要求我们预测接下来疫 情在“虚拟人类种群”的发展情况,对比第 2 问的预测结果说明其作用和影响, 给出“虚拟人类种群”在第 45 周、第 50 周、第 55 周的相关数据。 由问题 3 的以上特点,我们可以直接利用问题 1、问题 2 中所建立的模型, 将相关参数设定成符合问题 3 条件的值,利用 matlab 进行做出图像,对所要求 的结果分别进行预测,并将结果进行比较。

(www.wenku1.com)(四)问题 4 的分析 我们可以依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包 括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用,写 出分析结果。

三、 模型假设

(1)假设题目所给的数据真实可靠; (2)假设模型体系中没有猩猩和人类的迁入迁出,以及出生和其它原因的死亡; (3)鉴于被隔离的人数一直处于较少且比较稳定的状态,我们假设被隔离的病人 在本周即会被治愈或不幸死亡,不会长久地占用医疗设施; (4)鉴于被隔离的人数与所有发病人数(包括隔离和未隔离的)比值稳定在 0.42 左右,所以我们有理由相信,由于各种实际情况,该地区只能够将发病人群的百 分之四十二隔离治疗,故我们假设,隔离人数=0.72*发病且未隔离人数; (5)由题目可知,发病后的人与猩猩之间的接触不考虑,故假设猩猩的发病不受 人类影响。

四、定义与符号说明

(1)S1—截止到本周末健康猩猩占总猩

猩数的比例。 (2)S2—截止到本周末健康人占总人数的比例。 (3)L1—截止到本周末潜伏者占总猩猩数的比例。 (4)L2—截止到本周末潜伏者占总人数的比例。 (5)I1—截止到本周末处于发病状态的猩猩占总猩猩数的比例。 (6)I2—截止到本周末处于发病状态且未被隔离的人占总人数的比例。 (7)M—截止到本周末处于被隔离状态的人占总人数的比例,M=0.72*I2。

(www.wenku1.com)(8)R1—截止到本周末累计自愈的猩猩占总猩猩数的比例。 (9)R2—截止到本周末累计治愈的人占总人数的比例。 (10)D1—截止到本周末累计死亡的猩猩占总猩猩数的比例。 (11)D2—截止到本周末累计死亡的人占总人数的比例。 (12) ε 1—本周新增发病的猩猩数与截止本周潜伏的猩猩数的比值, 经过计算, ε 1 取平均值 1.05。 (13)ε 2—本周新增发病的人数与截止本周潜伏的人数的比值,经过计算,ε 2 取平均值 0.99。 (14)μ 1—本周自愈的猩猩数与截止本周处于发病的猩猩数的比值,经过计算 μ 1 取平均值 0.1。 (15) Ω —本周新增死亡的猩猩数与截止本周处于发病的猩猩数的比值,经过计 算,取平均值 0.2。 (16) μ 2—人的自愈率, 即自愈的总人数占发病且未被隔离的人的总数的比例, 经过计算取平均值 0.215。 (17)λ 1—每个发病猩猩每周有效接触(足以致病)的猩猩的数目,经过查阅 相关资料,并由题目所给数据测试得,当 λ 1 取 0.28 时,最为符合,故 λ 1 取 0.28。 (18)λ 2—每个病人每周有效接触(足以致病)的人的数目,经过查阅相关资 料, 并由题目所给数据测试得, 当 λ 2 取 0.7228 时, 最为符合, 故 λ 1 取 0.7228。 (19)λ 3—每个发病猩猩每周有效接触(足以致病)的人的数目,经过查阅相 关资料,并由题目所给数据测试得,当 λ 1 取 0.001 时,最为符合,故 λ 1 取 0.001。 (20)β 1—第二问中被隔离的病人的治愈率,即总共治愈的人数与总共隔离治 疗的人数。计算得 β 1=0.59。 (21)β 2—第三问中被隔离的病人的治愈率,由条件知 β 2=0.8。 (22)N1—“虚拟猩猩种群”总数,即 N1=3000。 (23)N2—“虚拟人类种群”总数,即 N2=200000。

(www.wenku1.com)五、模型的建立与求解 第一部分:问题 1 的 SLIRD 模型

(1) 猩猩总数 3000 不变,猩猩种群分为健康猩猩、处于潜伏期猩猩、发病状 态猩猩、已自愈猩猩和已死亡猩猩,称 SLIRD 模型。时刻 t 五类猩猩在猩 猩总数 N 中占的比例分别记作 S1(t) 、L1(t) 、I1(t) 、R1(t)和 D1 (t) 。病猩猩的周接触率为 λ 1,周治愈率为 μ 1,周死亡率为 Ω ,处于 潜伏期猩猩发病比例为 ε 1。 (2) 由模型假设显然有: S1(t)+L1(t

)+I1(t)+R1(t)+D1(t)=1(1.01) 对于健康猩猩、处于潜伏期猩猩、处于发病状态猩猩、已自愈猩猩和已 死亡猩猩有: N*(dS1/dt)=-λ 1*S1*I1*N(1.02) N*(dI1/dt)=N*(ε *L1-μ 1*I1-Ω 1*I1) (1.03) N*(dR1/dt)=N*μ 1*I1(1.04) N*(dD1/dt)=N*Ω *I1(1.05) 则由(1.01) 、 (1.02) 、 (1.03) 、 (1.04) 、 (1.05)式,SLIRD 模型的方 程可以写作: dS1/dt=-λ 1*S1*I1 dL1/dt=λ 1*S1*I1-ε *L1 dI1/dt=ε *L1-μ 1*I1-Ω *I1 dR1/dt=μ 1*I1 dD1/dt=Ω *I1 上述方程无法求出 L1(t) 、I1(t) 、R1(t) 、D1(t)的解析解,我们对其进行

(www.wenku1.com)matlab 数值计算(下图为根据上述模型做出的前 40 周“虚拟猩猩种群”各类状 态猩猩数量变化以及部分放大图) ,并与附件中的数据进行比较,对误差进行数 据分析:

前 40 周“虚拟猩猩种群”各类状态猩猩数量变化图

前 40 周“虚拟猩猩种群”各类状态猩猩数量变化部分放大图 前四周数据与附件所给数据拟合得比较吻合,根据上述模型,利用 matlab 进行数值计算,将时间轴延长(下图为根据上述模型做出的前 200

(www.wenku1.com)周 “虚拟猩猩种群” 各类状态猩猩数量变化以及预测结果) 我们能够得到“虚 拟猩猩种群”在第 80 周、第 120 周、第 200 周的相关数据:

前 200 周“虚拟猩猩种群”各类状态猩猩数量变化图 预测结果: 潜伏群体 80 周 120 周 200 周 0 0 0 处于发病 2 0 0 累计自愈 212 215 216 累计死亡 424 431 431

第二部分:问题 2 的 SLIMRD 模型

(1)猩猩的各种条件不变,人的总数 200000 不变,人群分为健康人、处于潜伏 期的人、发病且被隔离的的人、发病且未被隔离的人,隔离且被治愈的人,死亡 的人,称 SLIMRD 模型。时刻 t 六类人在总数 N2 中占的比例分别记作 S2(t) 、 L2(t) 、I1(t) 、M2(t),R1(t)和 D1(t) 。

(www.wenku1.com)(2)与问题一类似,对于健康人、处于潜伏期的人、处于发病状态且未隔离的 人、隔离且治愈的人和累计死亡的人有:

dS2/dt=-λ 3*S2*I1-I2*λ 2*S2 dL2/dt=λ 3*S2*I1+I2*λ 2*S2-ε 2*L2 dI2/dt=ε 2*L2-M dR2/dt=Mβ 1 dD2/dt=I2(1-μ 2)+M(1-β 1) 此外有 M=0.72*I2

与问题 1 方程组联立: dS1/dt=-λ 1*S1*I1 dL1/dt=λ 1*S1*I1-ε *L1 dI1/dt=ε *L1-μ 1*I1-Ω *I1 dR1/dt=μ 1*I1 dD1/dt=Ω *I1 上述两个方程组无法求出 S2(t) 、L2(t) 、I2(t) 、R2(t) 、D2(t)的解析解, 我们对其进行 matlab 数值计算 (下图为根据上述模型做出的前 40 周 “虚拟人群” 各类状态人的数量变化以及部分放大图) ,并与附件中的数据进行比较,对误差 进行数据分析:

(www.wenku1.com)前 40 周“虚拟人群”各类状态人数量变化图

前 40 周“虚拟人群”各类状态人数量变化部分放大图 前四周数据与附件所给数据拟合得比较吻合,根据上述

模型,利用 matlab 进行数值计算,将时间轴延长(下图为根据上述模型做出的前 200 周“虚拟人群”各类状态人数量变化以及预测结果)我们能够得到“虚拟人 群”在第 80 周、第 120 周、第 200 周的相关数据:

(www.wenku1.com)前 200 周“虚拟人群”各类状态人数量变化图 预测结果 潜伏人群 第 80 周 第 120 周 第 200 周 62 30 12 处于发病状态 46 46 16 隔离治疗 34 34 12 累计治愈 1850 2782 3768 累计因病死亡 4716 7086 9611

第三部分:问题 2 的 SLIMRD 模型

(1) 在问题 3 的情境中,虚拟猩猩种群各类猩猩数量比例的变化同问题 1、问 题 2; (2) 在问题 3 的情境中,前 40 周虚拟人类种群病情发展情况同问题 2 中虚拟 人类种群模型。从第 41 周开始,被隔离人群的治愈率由 β 1 变为了 β 2 (β 2=0.8)

(www.wenku1.com)(3) 故因此我们有从第 41 周开始的两种群常系数微分方程组: 虚拟猩猩种群: dS1/dt=-λ 1*S1*I1 dL1/dt=λ 1*S1*I1-ε *L1 dI1/dt=ε *L1-μ 1*I1-Ω *I1 dR1/dt=μ 1*I1 dD1/dt=Ω *I1 虚拟人类种群: dS2/dt=-I2*λ 2*S2 dL2/dt=I2*λ 2*S2-ε 2*L2 dI2/dt=ε 2*L2-M dR2/dt=Mβ 2 dD2/dt=I2(1-μ 2)+M(1-β 2) 上述两个方程组无法求出 S2(t) 、L2(t) 、I2(t) 、R2(t) 、D2(t)的解析解, 我们对其进行 matlab 数值计算(下图为根据上述模型做出的第 40 到 55 周“虚 拟人群”各类状态人的数量变化以及部分放大图,并附有第 40 到 200 周各类状 态人的数量变化图) ,与附件中的数据进行比较,对误差进行数据分析:

(www.wenku1.com)第 40 到 55 周“虚拟人群”各类状态人数量变化图

第 40 到 55 周“虚拟人群”各类状态人数量变化部分放大图

(www.wenku1.com)第 40 到 200 周“虚拟人群”各类状态人数量变化部分放大图 预测结果: 潜伏群体 45 周 50 周 55 周 22 19 18 处于发病 36 31 27 累计自愈 722 760 794 累计死亡 1851 1922 1989

(www.wenku1.com)四、 模型评价与推广

1.本文将所给的问题归纳为传染病问题,所建立的传染病模型科学合理 2.文中所列的方程符合实际情况和数学法则,合理的设置了一些变量和参数, 使问题清晰明了。 3.文中列出的微分方程无法求出解析值,故使用 MATLAB 进行数值求解,降低了 运算量,并科学地预测出了 40 周以后猩猩种群和人群里疾病的发展趋势 4.方程中涉及到的大部分参数,如 β ,ε 等,均由所给的数据计算取平均值得 到,结果科学而具有说服力。 5.本文中也存在一些无法避免的缺陷,例如有些参数(人或猩猩的有效接触数 等)无法通过计算得到,只能由不断变换数值,观察曲线与所给数值的吻合 度来估算,这可能会导致在预测过程中产生难免的误差。 6.从预测的数据可以看出,如果在第四十周外界专家介入,并立即严格控制了 人类与猩猩

的接触,且通过特效药物将隔离人群的治愈率提高到了 0.8,将 使得第 45 周, 第 50 周和第 55 周以致第 200 周的发病人数,潜伏期人数明显 且持续降低,累计死亡人数也会相应减缓增加。因此,我们有理由相信:控 制人类与猩猩的接触,使用特效药物可以有效遏制埃博拉的发展,同时我们 可以做出合理的推测:加强对人群的监控,改善医疗条件,提高隔离人数占 发病总人数的比例,也可以有效地抵抗埃博拉的传播。

(www.wenku1.com)五、 参考文献

[1]姜启源,数学模型(第二版) ,高等教育出版社,1991 [2]任善强,数学模型,重庆大学出版社,1987 [3]叶其孝主编,大学生数学建模竞赛辅导教材(四) ,湖南教育出版社,2001 [4]张志涌等编著,精通 MATLAB,北京航空航天大学出版社,2011 [5]何万生等,数学模型与建模,甘肃教育出版社,2001 [6]杨学桢,数学建模方法,河北大学出版社,2000 [7]贾晓峰等,微积分与数学模型,高等教育出版社,1999 [8]孙祥编著,清华大学出版社,matlab7.0 基础教程 [9]于润伟编著,matlab 基础及应用 [10]薛定宇,高等应用数学问题求解 matlab 求解 [11]薛定宇,数学物理方程的 matlab 解法与可视化

(www.wenku1.com)六、 附件 第一部分:问题 1 的 matlab 程序代码

t 属于 0 到 40 之间时: function dy=rigid(t,y) dy=zeros(5,1); dy(1)=-0.28*y(3)*y(1); dy(2)=0.28*y(3)*y(1)-1.05*y(2); dy(3)=1.05*y(2)-0.3*y(3); dy(4)=0.1*y(3); dy(5)=0.2*y(3); end

[T,Y]=ode45('rigid',[0 40],[1 1/30 0 0 0]); plot(T,3000*Y(:,1),'-',T,3000*Y(:,2),'*',T,3000*Y(:,3),'+',T,3000*Y(: ,4),'') t 属于 0 到 200 之间时: function dy=rigid(t,y) dy=zeros(5,1); dy(1)=-0.28*y(3)*y(1); dy(2)=0.28*y(3)*y(1)-1.05*y(2); dy(3)=1.05*y(2)-0.3*y(3); dy(4)=0.1*y(3);

(www.wenku1.com)dy(5)=0.2*y(3); end

[T,Y]=ode45('rigid',[0 200],[1 1/30 0 0 0]); plot(T,3000*Y(:,1),'-',T,3000*Y(:,2),'*',T,3000*Y(:,3),'+',T,3000*Y(: ,4),'')

第二部分:问题 2 的 matlab 程序代码

t 属于 0 到 40 之间时: function dy=rigid(t,y) dy=zeros(10,1); dy(1)=-0.28*y(3)*y(1); dy(2)=0.28*y(3)*y(1)-1.05*y(2); dy(3)=1.05*y(2)-0.3*y(3); dy(4)=0.1*y(3); dy(5)=0.2*y(3); dy(6)=-0.001*y(3)*y(6)-0.7228*y(8)*y(6); dy(7)=0.001*y(3)*y(6)+0.7228*y(8)*y(6)-0.99*y(7); dy(8)=0.99*y(7)-0.724*y(8); dy(9)=0.427*y(8); dy(10)=1.089*y(8); end

(www.wenku1.com)[T,Y]=ode45('rigid',[0 40],[1 1/30 0 0 0 1 0 0 0 0]);..... plot(T,200000*Y(:,6),'*',T,200000*Y(:,7),'+',T,200000*Y(:,8),'-',T,20 0000*Y(:,9),'') t 属于 0 到 200 之间时: function dy=rigid(t,y) dy=zeros(10,1); dy(1)=-0.28*y(3)*y(1); dy(2)=0.28*y(3)*y(1)-1.05*y(2); dy(3)=1.05*y(2)-0.3*y(3); dy(4)=0.1*y(3); dy(5)=0.2*y(3); dy(6)=-0.001*y(3)*y(6)-0.7228*y(8)*y(6); dy(7)=0.001*y(3)*y(6)+0.7228*y(8)*y(6)-0.99*y(7); dy(8)=0.99*y(7)-0.724*y(8); dy(9)=0.427*y(8); dy(10)=1.089*y(8); end

[T,Y]=ode45('rigid',[0 200],[1 1

/30 0 0 0 1 0 0 0 0]);..... plot(T,200000*Y(:,6),'*',T,200000*Y(:,7),'+',T,200000*Y(:,8),'-',T,20 0000*Y(:,9),'')

(www.wenku1.com)第三部分:问题 3 的 matlab 程序代码

t 属于 40 到 55 之间时: function dy=rigid(t,y) dy=zeros(5,1); dy(1)=-0.7228*y(3)*y(1); dy(2)=0.7228*y(3)*y(1)-0.99*y(2); dy(3)=0.99*y(2)-0.724*y(3); dy(4)=0.5792*y(3); dy(5)=0.9298*y(3); end [T,Y]=ode45('rigid',[0 15],[0.98772 0.00035 0.000205 0.003415 0.008825]);..... plot(T,200000*Y(:,1),'*',T,200000*Y(:,2),'+',T,200000*Y(:,3),'-',T,20 0000*Y(:,4),'') t 属于 40 到 200 之间时: function dy=rigid(t,y) dy=zeros(5,1); dy(1)=-0.7228*y(3)*y(1); dy(2)=0.7228*y(3)*y(1)-0.99*y(2); dy(3)=0.99*y(2)-0.724*y(3); dy(4)=0.5792*y(3); dy(5)=0.9298*y(3);

(www.wenku1.com)end [T,Y]=ode45('rigid',[0 160],[0.98772 0.00035 0.000205 0.003415 0.008825]);..... plot(T,200000*Y(:,1),'*',T,200000*Y(:,2),'+',T,200000*Y(:,3),'-',T,20 0000*Y(:,4),'')

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/36013821EE908AE6.html

范文五:埃博拉病毒如何传播

健 康 社 区 健康新知

英 国玛 丽女 王 大 学 癌 症 预 防 中心 教 授 祖

埃 博 拉 病 毒 如 何 传 播

目前 的研 究 表 明 , 埃 博 拉 病 毒 主 要 是靠 感 染 者 的  体液传播 。这些体液包 括感染者 的唾液 、 呕吐物 、 血

液、 排泄物、 l I E N、 汗水 和 母乳 等 ( 有 些专 家 对 部分 体 液

兹克在英 国   肿瘤学年报  杂志发表报告 : 中老  年人 如 果 长 期 小剂 量服 用 阿司 匹林 , 可 以显著  降低 罹患某 些癌症 的风 险或 者降低 死 亡率 。

祖 兹克领 导 的 团队通 过分析 超 过 2 0 0 组 阿

司 匹林 抗 癌效 果研 究和 临床 试验 发 现 , 如果 1 0

是 否会 传 播 有 不 同 意 见 ) 。如 果 感 染 者 身 处 晚 期 , 那

么, 他们 一丁 点体 液都 携带着 大量 病 毒 。   过往研究表 明, 如 果 医 护 人 员 不 慎 接 触 到 埃 博 拉  患者 的 血液 , 只 要 自己身 上没 有 伤 口, 这 些 血液 也 未 触

年 连 续服 用 阿 司 匹林 , 肠 癌发 病率可 降低 大约

3 5 %, 死亡 率 减少 4 0 %; 食 道 癌和 胃癌发 病率 可

降低 3 O %, 死亡率减 少3 5 % ~5 0 %。 如 果服 用

阿司 匹林 至 少 l 0 年, 这一 年龄 段 中, 男性 患癌 、   中风 和 心脏 病 的 几 率 可 降 低 9 %, 女 性发 病 率

降低 大约 7 %。

碰 到 自己 的嘴 巴 、 鼻子 和 眼睛 等 , 用 肥皂 和 清水 把 血 液

冲 洗干 净 即能 防止感 染 。   跟 中 国人谈 虎 色变 的 S A R S ( 非典) 不同, 埃 博 拉 病

毒 目前 尚不 能通 过 空 气传 播 。 不过 , 医学 专家 认 为 , 从

为达到 防癌 抗癌 效 果 , 5 O~6 5岁的人 群 需  要5 ~1 0 年 坚持 服 用 阿 司 匹林 , 每 日7 5 ~1 0 0   毫克 。祖 兹克 教授 指 出, 头3 年 看 不见效 果 , 服  用5 年后 才 能 降低 死亡 率 。但 如 果服 用 阿 司 匹

林 1 O年 , 消 化 道 出血 的 风 险 可 从 2 . 2 %增 至

今 年 的 现 实来 看 , 埃 博拉 是 高传 染 性病 毒 , 传 染性 要 强

过S A R S 、 腮腺炎、 麻疹等传染性疾病。 目 前, 紫外灯、 干  燥、 高温 、 消毒 液 ( 肥 皂水 或 酒精 ) 都可 轻 易杀 死埃 博 拉

病 毒 。病 毒离 开 动 物 体 内 、 在 阴冷 潮 湿 环 境 下 的存 活

期, 只 有短 短几 天 。

3 . 6 %, 对 少数 人 群 会 构 成致 命 危 险 。 因此 , 大  量服 用 阿 司 匹林有 风 险 , 人 们在 开 始每 天服 用

埃 博 拉病 毒 的潜 伏 期 一 般 是 5 ~ 7 天, 最短 2 天, 最

前应该向医生寻求建议 。

长可 达 2 1 天 。初期 症 状是 发烧 头痛 、 关 节 和肌 肉酸 痛 、

咽 喉疼 痛 和 肌 肉无 力 。这 跟 患 流 感 的 症状 很 相 似 , 因  此, 最 开 始 一 般 很 难 诊 断 某 人 是 否感 染 了埃 博 拉 。 目

前医护人 员只能通过询 问患者是否 到过西非“ 疫 区”

等, 进 而做 进 一步检 查 。

英 真扩大袋 - 汀类药  ’ 连更蔻图

英 国卫 生部 门2 0 1 4 年7 月更新的一项健康 指导 ,   将降胆 固醇的他汀类药物适用 范围进 一步扩大。根据

新 研 究认 为  糖 比 盐 更伤 血 压

长期 以来 , 多 项研 究 告 诫 : 吃 盐 过 多会 引发 高血

新指导意见, 未来 1 O 年 内患病风 险在 2 0 %以上的英国

人都可服用此类药物。他汀类药物可帮 助减少脂肪斑  块在血管 中的堆积, 降低血管堵塞 引发心脏病、 中风等   疾 病 的风 险。   根据这一建议, 英 国6 0 岁以上 的男性和6 5 岁 以上  的女性均可从 医生处获得他 汀类药物, 而在年轻人 中,   胆 固醇高、 肥胖 、 有心脏病家族史及吸烟人群也应服药  以降低 患病 风 险。   英国国家 卫生与临床优化研 究所教授马克 ・ 贝克  说’ 防病总 比治病要好, 疾病预防正是现代 医学的最重   要支柱之 一。不过也有反对意见认为, 关于他 汀类 药   物的副作用 目前尚无定论 , 不应 盲 目 扩大其适用 范围,   改变不 良生活习惯仍是降低心血管疾病风险最重要的

手段 。

长期 服用阿司 匹林 可降低患癌 风险

压, 使 中风危 险增加 1 / 4 , 每年 导致 全球 3 0 0 万 人 死  亡 。 日前 , ( ( 美 国 心脏 病 杂 志 刊登 一 项 新 研 究报 告 认  为, 导致 高血 压 的 罪魁 祸 首 不是 盐 而是糖 。

美 国研 究人 员认 为 , 高血 糖 水 平 影 响 大脑 的 关键

区域 下 丘脑 , 进 而导 致 心率加 快 和血 压 升 高。 另外 , 吃

糖 太多导致血糖升 高进 而刺激人体 分泌更多胰 岛素 ,   而胰岛素 同样会刺激心率加快。

美国“ 控糖行动组织” 科 学 总监 阿斯 姆 ・ 马 尔霍 特  拉 博 士表 示 , 糖 对 公 众 健 康 构 成 的风 险被 低 估 了 。控  糖 应 和控 盐一样 成 为预 防 高血 压 的重要 策略 之一 。

5 2

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/6D2B695E173D9994.html

范文六:【埃博拉病毒传播】数学建模

安康学院第七届数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了安康学院数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网

上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的

资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规

则的行为,我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B中选择一项填写): B

我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):

所属院系(请填写完整的全名): 教育科学系 参赛队员 (打印并签名) :1. 吴婷婷 2012110015

2. 胡园园 2012110028

3. 马小梅 2012110038 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名):

日期: 2015 年 5 月 8 日

埃博拉病毒传播问题

摘要:

埃博拉病毒病( EVD) 是严重的、往往致命的人类疾病,病死率高达90%. 埃博拉病毒病疫情主要发生在中非和西非靠近热带雨林的边远村庄. 该病毒通过野生动物传到人,并且通过人际间传播在人群中蔓延. 病情严重的患者需要获得重症支持治疗,无论对人还是对动物都无可用的已获正式许可的特异性治疗办法或者疫苗. 由于缺乏有效的治疗手段和人用疫苗,提高对感染埃博拉危险因素的认识以及个人可以采取一些保护措施,这是

减少人类感染和死亡的唯一方法. 本文建立一个埃博拉病毒的数学模型,对疫情进行实证分析; 并且对疫情的发展也做了一个预测.

关键词: 埃博拉病毒; 数学模型; 实证分析; 预测

一、问题重述

埃博拉病毒(又译作伊波拉病毒)于1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区被发现后,引起了医学界的广泛关注和重视。埃博拉病毒有传染性,主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感,经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染,病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。发病后1~4天直至死亡,血液都含有病毒。当前主流的认知是,埃博拉病毒主要通过接触传播,而非通过空气传播;只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段,埃博拉病毒可能不具有高度的传染性,在此期间接触病人甚至可能不会受感染,随着疾病的进展,病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性;存在似乎天生就对埃博拉免疫的人,痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。所以属于考虑自愈型的。本题希望同学们通过数学建模的方法量化埃博拉病毒的传播规律,深刻认识该病毒的危害,并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

1、仅针对猩猩群体建立病毒传播模型,根据已知数据描述并预测疫情变化,完成第80、120、200周的数据。

2、对人和猩猩的群体建立模型,综合描述并预测人和猩猩两个群体疫情的发展,完成第80、120、200周的数据。

3、从第41周开始,在实施严格控制人与猩猩的接触和将人群治愈率提高至80%两措施的情况下,对比第2问的预测结果说明措施的作用和影响。完成第45、50、55周数据。.

4、据前分析各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等措施对控制疫情的作用。

二、问题分析

由题意可知,目的是为了建立一种数学模型,分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。问题一中,我们首先想到根据虚拟猩猩在前40周的传播情况,建立了一个猩猩的发病数量和死亡数量的模型。由此推测出猩猩在第80周、第120周、第200周的潜伏群体、处于发病状态、累计自愈、累计因病死亡的预测结果;在第二个问题中,建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并预测出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周潜伏人群、处于发病状态、隔离治疗、累计治愈、累计因病死亡的结果;在第三个问题中,提到假设在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,根据对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据;在第四个问题中,依据前面的数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

1、问题一要求建模描述并预测病毒在猩猩种群中的传播。实际需要找到几个已

知数据类即发病个体数、自愈个体数和死亡个体数之间的关系。观察到已知数据中发病猩猩个数、自愈猩猩个数、死亡猩猩个数随时间单调变化,所以考察各变量从时刻t到时刻t+?t的增量,然后得到变量关于t的微分方程,编程进行数值计算。通过已知数据验证模型的可靠性,再以此为基础进行预测。其中,要合理处理潜伏群体和处于发病状态个体数量的关系。

2、问题二建立在问题一的基础上,将人群进行分类。考虑到猩猩感染人而人不

感染猩猩,猩猩群体的传播规律不受影响,人类患病者的感染源为患病猩猩和患病的人,这些患病人类中一部分会被隔离治疗,隔离群体则有相对应的治愈率和死亡率,借鉴问题一的想法,找到问题二中给定量和假设量他们之间的关系。然后进一步建立被分类人群(易患病的人、潜伏期的人、已患病的人、患病被隔离的人、隔离被治愈的人、自愈的人、隔离后死亡的人、未被隔离死亡的人)的数量关系。

3、问题三中,采取隔离措施后,人的群体和猩猩的群体相互独立,即猩猩不再

将病毒传染给人类。同时,被隔离人群的治愈率提高到了80%。所以对比于第二问,忽略患病猩猩对人的传染,同时被隔离群体的治愈率为一给定值0.8 。可将问题二的模型修改直接利用。对措施产生的作用进行探究应从处于发病状态个体的个数和死亡个体的个数的变化入手,考虑干预手段的大小对疾病预防和控制的影响。

4、注意到前面模型中对患病人群的隔离率没有相应的措施,所以,问题四中应

重点分析隔离率对疫情控制的影响,可具体考察与隔离率相关的式子并进行分析。

三、模型建立与求解

1、问题一

模型假设:在本题中,假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,人发病之后与猩猩的接触是可以忽略;

1)动态描述:

图1是对前40周猩猩群体中个体发病、自愈、死亡数量变化趋势的折线图形描述,先纵向分析三者各自的变化趋势,可以看出:前40周,死亡个体数和自愈个体数均随周数增加,发病个体数在前6周波动,后随周数减少,前40周发病个体数和自愈个体数增加的趋势有所减缓;后横向分析,可以看出:前40周,死亡个体数和自愈个体数同时增加,具有一致性,但不确定这种一致性会保持多久,而他们与发

病个体数有相反的变化趋势。

2)而在实际情况中,猩猩的发病率和死亡率会受到种群竞争、气候条件、自然生死等各种因素的影响,仅仅考虑猩猩在前40周的发病数量和死亡数量;

3)忽略猩猩因为出病毒传播以外的其他因素的死亡数量;

模型建立:

猩猩在前40周里的发病数量和死亡数量,分析数据可以知道每周的发病数量差值分别为7、6、5、4、3;并有规律:随着发病时间的增长,发病速度在不降低;统计数量可以得到散点图如下:

从以上分析可以得出下面结论:

在不具备集体隔离和治疗能力的猩猩群体内,发病和死亡的趋势不会无限进行下去,猩猩们的自愈能力会扭转颓势。

然后将指定周数的数据填入下表:

2、问题二 混合群体中类似于猩猩群体,人的群体分为8类:易患病的人、潜伏期的人、已患病的人、患病被隔离的人、隔离被治愈的人、自愈的人、隔离后死亡的人、未被隔离死亡的人。由于人发病后与猩猩的接触可以忽略,所以只有猩猩会感染人而人不会感染猩猩。则猩猩群体病毒传播的规律不发生改变,人的感染源有患病猩猩和患病的人。由于在问题二中,模型未知量较多和前40周数据有所波动造成了模型求解的复杂,所以在使用已知数据时,将处于发病状态人数数据的前8周看做第一阶段,以后数据为第二阶段;将被隔离人数数据的前5周看做第一阶段,以后看做第二阶段;另外两组数据完整使用。这样在编程求解时初值做相应改变。 通过MATLAB软件进行数值计算,计算所得数据的图表形式如下:

3、问题三

(1)预测 采取隔离措施后,人的群体和猩猩的群体相互独立,即猩猩不再将病毒传染给人类。同时被隔离群体的治愈率为一给定值0.8即g=0.8,1-g=0.2 。 可利用修改过的问题二的模型进行预测。即可完成下表:

(2)作用和影响说明:

严格控制患病猩猩与人类的接触后,人的感染源减少了近40%,使人类处于潜伏期和发病状态的数量大幅减少;药物治疗提高治愈率至80%后,隔离治疗人

群的死亡率下降了62%,总的患病人群的死亡率下降了41%,对疫情的控制效果明显。说明干预手段的程度的大小对疾病控制的影响显著。

4、问题四:

前述数学模型中疫情控制措施有:隔离措施(切断患病猩猩与人的接触、将患病人隔离)和提高治愈率的措施。

前面实现了严格控制患病猩猩与人的接触,并将隔离人群的治愈率提高至80%,对疫情的控制效果比较明显。但患病人群的隔离率k未经改善,当提高隔离率时,处于发病状态的个体数量会减少,因病死亡人数也会减少,对控制疫情有积极效果。模型的建立帮助我们搞清楚了现有干预手段究竟有多大效果,预测表明,隔离措施的严格执行和药物治疗是控制疫情的最好手段。

(1)目前的控制方案:

疫症控制:埃博拉出血热是接触式传染性疾病,故改善行为模式、穿着个人医疗防护衣物与勤加消毒是主要的预防措施。避免接触患者及带病尸体的血液与分泌物是最基本的预防方式,及早观察及诊断带病者并具备完善的疾病通报机制为达致此项的必要条件。在照顾病人时,应先将之隔离,并穿着全套保护衣物(包括:连身型防护衣、口罩、手套、保护镜)。勤加洗手也是有效的措施之一,虽说此举的可行性在一些缺乏足够食水的非洲地区很低。在最近的2014年西非疫症中,肥皂亦出现供应短缺的问题(世卫则保证会供应足够的洁手沙)。持续30-60分钟以60摄氏度或持续5分钟以100摄氏度处理的高温消毒法亦为清除埃博拉病毒的有效方式。一些诸如酒精制品、洗洁精、漂白水(次氯酸钠)及漂白粉(次氯酸钙)等的表面清洁剂在适当的浓度下,同样为有效的消毒用品。由于缺乏先进的医疗仪器及未有遵守正确的医疗防护指引,大规模的疫症爆发多出现在缺乏具足够医疗知识之医护人员的贫穷地区。传统的土葬殡仪(尤其是那些涉及清洁及触碰尸体的仪式)应被劝阻或改良。飞机机组人员亦应按照指引第一时间隔离出现埃博拉症状的乘客。

2.隔离检疫

3.预防疫苗传播系统:科学家相信,蝙蝠最有可能是埃博拉病毒属成员的天然宿

主,植物、鸟类、节肢动物亦被列入名单。

4.传播地点:西非:几内亚、利比里亚、塞拉利昂

五、模型的优缺点评价及改进

模型优点:

1、模型变量全面,描述和联系性强,可以将问题描述清楚并就问题给出可参考答案。

2、模型具有灵活性和适应性,如解决问题二时,取用部分数据,模型仍然成。 模型缺点:

1、变量多,模型实现时遇到了较多困难。

2、在进行函数拟合时,有较多点在函数曲线外,误差较大。

3、细节处理不到位。

模型改进:

可以先只找S和I的关系,列微分方程求解,再列E、R、D的微分方程。这样就将一个大问题转化为两个较容易的问题,相当于减少了变量个数,而且更能考虑他们之间的细节关系。

六、参考文献

【1】姜启源,谢金星,叶俊 . 数学模型(第三版)【M】. 北京:高等教育出版社,2003.

【2】周后卿,徐幼专:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型 .

【3】杨玉华:SARS传染模型的研究及实证分析 .

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/98BC5573A1F72257.html

范文七:埃博拉病毒传播分析与数学建模

****大学数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了****大学数学建模竞赛的参赛规则与竞赛纪律。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛纪律的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守参赛规则和竞赛纪律,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛纪律的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权****大学数学建模竞赛组委会,可将们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

埃博拉病毒传播分析

摘 要

本文的研究对象为1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区发现的埃博拉病毒。埃博拉病毒是一种生物安全等级为4级,并且能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,其主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。其病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。面对其强大的传染力和对人类健康的巨大威胁,本文通过数学建模的方法了解埃博拉病毒的传播规律,并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

本文中,首先我们根据已给的信息及相关假设数据,通过对已知条件和所给表格书记的分析,我们大致明白了猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈的过程,因此我们采用了excel拟合曲线,分析其发病、潜伏、自愈、死亡和隔离的相应的变化曲线,估计参数,再根据其建立数学模型,并用MATLAB求解方程组,调试参数,从而得到我们需要的结果。

其次通过对已经得到的数据和曲线图的分析,可以得出人类通过严格的药物控制过后,对其发病和潜伏的影响,从而能够达到对疫情的控制的作用,并且对埃博拉病毒未来发展趋势有了更深刻的了解,以为更好的控制埃博拉病毒做出贡献。

关键词:非线性曲线拟合;微分方程;MATLAB;数学模型

1 问题的重述

1.1 背景

埃博拉病毒(又译作伊波拉病毒)于1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区被发现后,引起了医学界的广泛关注和重视。该病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,其生物安全等级为4级。

埃博拉病毒有传染性,主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感,经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染,病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。发病后1~4天直至死亡,血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高的死亡率(在50%至90%之间),致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。

当前主流的认知是,埃博拉病毒主要通过接触传播,而非通过空气传播;只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段,埃博拉病毒可能不具有高度的传染性,在此期间接触病人甚至可能不会受感染,随着疾病的进展,病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性;存在似乎天生就对埃博拉免疫的人,痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。

埃博拉病毒很难根除,迄今为止已有多次疫情爆发的记录。据百度百科,最近的一次在2014年。截至2014年9月25日,此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡,另有6500被确诊感染。更为可怕的是,埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播! 1.2 问题

假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息,请你根据相关信息,研究回答以下问题:

1、 根据猩猩的发病数量和死亡数量,建立一个病毒传播模型,动态描述病毒在

“虚拟猩猩种群”中的传播,并预测接下来的在猩猩中的疫情变化,并以下述格式给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

2、 建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,

并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并以下述格式给出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

3、 假设在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接

触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据,数据格式同问题2;

4、 请依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫

药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

2 问题分析

2.1问题一的分析

通过对已知条件的分析,并通过给出的表格数据,大致明白猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈。我们通过excel作出发病随时间的变化曲线,潜伏随时间变化曲线,估计参数。然后通过建立数学模型用MATLAB解出方程组,调试参数使其死亡,自愈等曲线与给出表格大致相同,然后通过建立的模型求出问题一。 2.2问题二的分析

同问题一分析,我们通过excel作出相应处于发病状态的曲线,自愈以及死亡和隔离的曲线,估计模型相应的参数。然后通过建立的数学模型用MATLAB解出方程组,调试参数使其自愈,处于发病等曲线和表格给出的数据大致一致。

2.3问题三的分析

同问题二分析,我们通过excel作出治愈率提高80%后相应处于发病状态的曲线,自愈以及死亡和隔离的曲线,估计模型相应的参数。然后通过建立的数学模型用MATLAB解出方程组,调试参数使其自愈,处于发病等曲线和表格给出的数据大致一致。 2.4问题四的分析

通过上术数据和曲线图的分析,可以很清楚的看出当有人类干预后即就是严格的通过药物后,发病和潜伏等都有很明显的改善。

3 假设与符号

3.1模型的假设:

 由于埃博拉病毒的传播期限不是很长,故假设不考虑这段时间内的人口出生

率和自然死亡率;  平均潜伏期限为6天;

 处于潜伏期的埃博拉病人不具有传染性。 3.2符号说明:

t0 表示从最初发现埃博拉患者到卫生部门采取预防措施的时间间隔; N 表示疫区总人口数;

S(t) 表示t时刻健康人数占总人口数的比例; I(t) 表示t时刻感染人数占总人口数的比例; E(t) 表示t时刻潜伏期的人口数占总人口数的比例; Q(t) 表示t时刻退出类的人数占总人数的比例;

λ(t) 表示日接触率,即表示每个病人平均每天有效接触的人数; N’ 表示疫区总猩猩口数;

S(t)’ 表示t时刻健康猩猩数占总猩猩数的比例; I(t)’ 表示t时刻感染猩猩数占总猩猩数的比例; E(t)’ 表示t时刻潜伏期的猩猩数占总猩猩数的比例; Q(t)’ 表示t时刻退出类的猩猩数占总猩猩的比例;

λ(t)’ 表示日接触率,即表示每个病猩猩平均每天有效接触的猩猩数; λ(t)’’ 表示日接触率,即表示每个病猩猩平均每天有效接触的人数; g(t) 表示政府控制力度; f(t) 表示疫情指标。

4 模型的建立与求解

4.1问题一模型的构建

由问题的分析,将猩猩群分为易感猩猩群S,病毒潜伏猩猩群E,发病猩猩群I,退出者Q四类:

 易感人群S与病毒潜伏人群E之间的转化

易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者,设每个病人平均每天有效接触的健康人数为λ(t)S,NI个病人平均每天能使λ(t)SNI个易感者成为病毒潜伏者。故

N'

ds'ds

'S'N'I',即''S'I' dtdt

 病毒潜伏人群E与发病人群I间的转化

潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量,即 dE'

S'(t)'I''E'。 dt 发病人群I与退出者Q间的转化

单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少,即

dQ

''I' dt

ds'

'S'I' dtdE'

S'(t)'I''E' dtdQ

''I' dt

S'E'I'Q'1

S(0)'s0',E(0)'E0',I(0)'I0',Q(0)'Q0'

很明显从我们建立的模型是无法得到E’,S’,I’,Q’的解析解的。为了解决这个问题,我们求助于计算机软件MATLAB来求出它们的数值解。

我们先通过附件中给的数据算出每一天的E’,S’,I’,Q’,做出它们与时间的函数图象,然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。对比这两组图,可以发现实际和理论存在着一定的差异。这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。所以,我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数(λ’,ε’,α’)来使实际图象和理论图象趋于一致。

经过多次调试,我们发现,当λ’=0.680人,ε’=0.9,α’=0.58时,实际图象和理论图象有最好的符合。而这三个值均在我们估计的范围内,所以我们认为这三个值的得到是合理的。

一旦参数确定,就可以通过MATLAB软件求出该方程组在某个区间段的数值解,从而可推算出我们所需的数值如下表所示。

在根据逻辑关系式计算可得下表的预测值

表1 “虚拟猩猩种群”群体数量预测结果

单位:只

结果分析

根据上表可知,在第80周以后,处于潜伏状态的猩猩接近于0 ,处于发病状态的猩猩也趋近与0,且猩猩的治愈数和因病死亡数变化不大,由该模型预测出的结果与附件中的数据的得出的发病率和累计死亡率趋势相同。

健康人数占总数比例 (比对)

图1.1 健康人数占总数比例图(参考数据)

图1.2 健康人数占总数的比例图(模拟数据)

潜伏人数占总数比例(比对)

图2.1 潜伏人数占总数的比例图(参考数据)

图2.2 潜伏人数占总数的比例图(模拟数据)

退出人数占总数比例(比对)

图3.1 退出人数占总数的比例图(参考数据)

图3.2 退出人数占总数的比例图(模拟数据)

MATLAB主要程序

function dx=rossler(t,x,flag,a,b,c)

dx=[-a*x(1)+a*x(1)*x(3)+a*x(1)*x(2)+a*x(1)*x(1);a*x(1)-a*x(1)*x(3)-a*x(1)*x(2)-a*x(1)*x(1)-b*x(2);c-c*x(3)-c*x(2)-c*x(1)]; a=0.680;b=0.90;c=0.580; x0=[0.995 0.005 0]';

[t,y]=ode45('rossler',[0 80],x0,[],a,b,c); flot(t,y);

4.2问题二模型的构建

由问题的分析,将人群分为易感人群S,病毒潜伏人群E,发病人群I,退出者Q四类:

 易感人群S与病毒潜伏人群E之间的转化

易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者,设每个病人平均每天有效接触的健康人数为λ(t)S,NI个病人平均每天能使λ(t)SNI个易感者成为病毒潜伏者。故

N

dsds

'S'NI'SNI,即''S'I'SI dtdt

 病毒潜伏人群E与发病人群I间的转化

潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量,即

dE

S(t)IE。 dt 发病人群I与退出者Q间的转化

单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少,即

dQ

I dt

ds

'S'I'SI dtdE

S(t)IE dtdQ

I dt

SEIQ1

S(0)s0,E(0)E0,I(0)I0,Q(0)Q0

很明显从我们建立的模型是无法得到E,S,I,Q的解析解的。为了解决这个问题,我们求助于计算机软件MATLAB来求出它们的数值解。

我们先通过附件中给的数据算出每一天的E,S,I,Q,做出它们与时间的函数图象,然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。对比这两组图,可以发现实际和理论存在着一定的差异。这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。所以,我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数(λ,ε,α)来使实际图象和理论图象趋于一致。

隔离治疗人数占总人数的比例

图4.1 隔离治疗人数占总人数的比例图(模拟数据)

图4.2 隔离治疗人数占总人数的比例图(参考数据)

死亡人数占总人数的比例

图5.1 死亡人数占总数的饿比例图(模拟数据)

图5.2 死亡人数占总数的比例图(参考数据)

自愈人数占总人数的比例

图6.1 自愈人数占总数的比例图(模拟数据)

图6.2 自愈人数占总人数的比例(参考数据)

发病人数占总数的比例图

图7.1 发病人数占总人数的比例(参考数据)

图7.2 发病人数占总数的比例图(模拟数据)

表2 “虚拟人类种群”群体数量预测结果

单位:个

结果分析 :

由上表可知,在第80周以后,处于潜伏状态的人群变化幅度不大,处于发病状态的人群也变化幅度不大,且人群的治愈数和因病死亡数持续增长,由该模型预测出的结果与附件中的数据的得出的发病率和累计死亡率趋势相同。 4.3问题三的分析

外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。专家的预防措施力度g(t)在控制疫情的过程中起到了重要的作用,与下列因素有关:

 专家关注的疫情来自于最近几天的疫情,不妨取近三天的平均值;  当t=t0时,g(t)有一个初始值,即为潜在的政府力度K0;

综上所述,可以给出g(t)随疫情变化的曲线,形态如图所示,(横坐标为疫情,纵坐标为g(t)),其表达式为

f(t)2

g(t)k0k1(1e

1

)

其中k0+k1=1,。根据有关数据,令k0=0.2,k1=0.8,当f(t)=0.58时,取g(t0)=0.7,得参数估计1=0.1803.

政府控制力度g(t)与日传染率λ(t)的关系: (1)当政府控制力度为0的时候λ(t)取最大值; (2)随着g(t)的增大,λ(t)减小;

(3)当g(t)不强时,对λ(t)的变化所起的作用较小; (4)当g(t)超过一定的数值时对λ(t)的影响效果明显; (5)当g(t)趋近于1的时候(不可能为1),则λ(t)趋近0。 由以上几点可以确定λ(t)随g(t)的变化关系曲线,采用函数

(t)k2(1e

刻画此形态,其中1为常数。

(1f(t)2)1

)

图8 g(t)和λ(t)的关系图

表3 “虚拟人类种群”群体数量预测结果

单位:个

结果分析

由上表可知,在专家介入后,埃博拉病毒的预防控制力度加大,累计治愈的人数在增多,因病死亡人数虽然在增加,但是其增加幅度不大,说明埃博拉病毒已经得到了良好的控制,与预期估测结果相吻合。 4.4问题四的分析

在发病初期,由于人们对埃博拉病毒的认识不够,重视不足,防范措施较差,没有有效的防疫药物、检疫药物和治疗药物治疗,也没有相应的政府控制措施,随着时间t的增长,病情不断恶化,感染病情所占比例I呈现不断增加的趋势,健康人数占总人数的比例S不断下降,退出率Q也呈现持续增长的趋势,造成了巨大的经济损失和人员伤亡。

在发病中后期,随着相关政府的介入和对该病毒的相关知识的普及,提高了人们对埃博拉病毒的预防意识,同时,在科研人员的不断努力下,防疫药物、检疫药物和治疗药物的种类增多、疗效增强,随着时间的增长,感染患者的比例I呈下降趋势,健康人数所占比例S的下降趋势由急变缓,治愈率不断提高,死亡人数得到控制,一场殃及全人类的疫情风波得到较好的控制。

5 模型的评价

本模型中,我们根据已给的信息及相关假设数据,通过对已知条件和所给表格书记的分析,我们大致明白了猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈的过程,因此我们采用了excel拟合曲线,分析其发病、潜伏、自愈、死亡和隔离的相应的变化曲线,估计参数,再根据其建立数学模型,并用MATLAB求解方程组,调试参数,从而得到我们需要的结果。

其次通过对已经得到的数据和曲线图的分析,可以得出人类通过严格的药物控制过后,对其发病和潜伏的影响,从而能够达到对疫情的控制的作用,并且对埃博拉病毒未来发展趋势有了更深刻的了解,以为更好的控制埃博拉病毒做出贡献。

本模型重点是分析规律和进行预测。因为已知数据受很多随机因素的影响,规律性受到干扰,所以其变化情况不能较好地表达总体的规律性,进而不能对疫情进行较准确的预测;针对这个问题,我们对已知数据进行了统计平均,从总体的平均规律入手,没有局限于仅对现有数据的模拟。但是也要根据现有的数据对模型进行检验。从前面求解方程得到的图形结果来看,模拟的曲线确实较好地代表了现有数据的总体变化规律。

不论是本论文模型还是概率模型,进一步的工作和更准确的结果给出将有待于收集传染病学实际资料。相信随着人们对埃博拉的进一步认识,随着社会各界的深入研究,从数学角度看,其传播模型将更加完善,预测结果将更准确,从医学角度看,埃博拉将有更好的治疗方案和防控措施,疫期将进一步缩短。

参考文献

[1] [2] [3] [4] [5]

张秀兰 林峰. 《数学建模于实验》化学工业出版社. 2013 贺超英 王少喻. 《MATLAB应用与实验教程》. 2013 张德丰. 《MATLAB实用数值分析》. 20012 SARS数学建模优秀论文.

李学文 李炳照 王宏洲 《数学建模优秀论文精选与点评》.2011

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范文八:埃博拉病毒传播模式的研究

埃博拉病毒传播模 式 的研 究

李进龙

( 西 南交通 大学  四川 ・ 成都

摘 要

6 1 1 7 5 6 )

本文针对埃博拉 病毒 的传播 问题分别建立 了自由传播状况下 的 S I R 模 型和有 药物强力控制情况 下的微分

埃 博 拉 病 毒  S I R模 型  微 分 方 程 模 型  文献 标 识 码 : A

方程模 型, 利用 MA T L AB软件对模 型进行求解 , 对求解结论进行分析, 并对模 型的优缺 点进行评价。

关键 词 中 图分 类 号 : R 3 7 3 . 9

1 病毒传播模型 的假设  对 于 一 种 新 型病 毒 , 在 没 有 药 物 干 预和 防治 的情 况 下 , 病  情 的 蔓延 是 相 当迅 速 的 。 在应 对 新 型病 毒 时 ,医 疗卫 生 部 门  通常会采取隔离病患, 药 物 治 疗 等 措 施 。一 般 情 况 下 , 采 取 药  物治疗对控制疫情扩散有显著效果 。针对病情扩散情 况,政  府 可 以决 定 适 当的 隔 离 时 间和 药物 投 放 比例 。   首先 , 我们假设所考察人群 总数恒定 , 且无病源的输入和  输出; 己治愈 的患 者二 度 感 染 的概 率 为 0 ; 所 有 患 者 均 为“ 他人  输入 型” 患者; 各类人群在人群总体中分布均匀 ; 己被 隔离 的  人群 之 间不 会 发 生 交 叉 感 染 。   2问 题 分 析 与模 型 建 立  我们 把 人 群 分 为 4类 : 正常 人 群 、 患病 人 群 、 治 愈 人群 和  死 亡 人群 , 分 别 用 H( t ) 、 x( t ) 、 R( t ) 和 D( t ) 表 示 。在 新 病 毒爆   发初 期 ,由于 整 个 社 会对 新病 毒传 播 速 度 和 危 害 程度 认 识 不  够, 没有采取任何有效 的隔离控制措施, 疫情会不断蔓延。病  毒 的 传播 规 律 分 为 “ 控 前” 和“ 控后” 两个 阶段 。控 前 模 型 为 近  乎 自然传播 的模型 ,控后模型为介入 隔离强度后 的微分方程  模型。   基于 以上 分 析 , 我 们 对控 前和 控 后 分 别 建 模 。设 T为 实  施强力控制 的时间 ( 以 d为单位) 。当 t < T时 , 适用于控前  模型; 当t < T时 , 适用于控后模型。   2 . 1 控 前 模 型  假 设某 地 区产 生 第 一 例病 例 的时 间 为 T 。 , 在( T 0 , T ) 时段 ,   是近 乎 自由传 播 的时 段 , 隔 离 强度 为 0 , 每天感染病人人数 r   为常数。现在 考虑在 t到 什At这段时间内这 4类人群的变  化情况, 并 通 过 分 析各 类 人 群 的 状态 转 化 关 系 , 来 建 立 微 分 方  程模型。   ( 1 )现有病人数 。现有病人数是指在某一时 间段 内考察  人群 中所有确 诊病人数 。 现有病人数 的变化= 新增病人数一

( 死  亡 人 数+ 治愈人数) 。我 们 设 r 为 每 个 未被 隔离 的病 人 单 位 时  间的 人 数 , 和 分 别 为 治 愈 率 和死 亡率 。

当 △= t —o时 , 有:   = r X( t ) . ( L   + L   ) x X( t )   ( 2 ) 累计 死 亡 人 数 。 累 计死 亡 人 数 的 变化 = 新增死亡人数,   有 D( t + △t ) . D( t ) = L 。 x( t ) △t

n ,・ 、

其 中, 初始值为

i   ( O ) :1

《 I   r ( 0 ) = 1

l D( O ) = O

【 R ( 0 ) = 0

2 . 2 控 后 模 型

控后隔离强度从控前的 0 变为 P 。未被隔离的病人平均  每 人 单 位 时 间感 染 的人 数 r 随 时 间 逐渐 变 化 , 它 从 初 始 的 最大  值 a + b逐渐减少至最小值 a , a 、 b的值客观存在。设每个被隔  离 的病 人 单 位 时 间感 染 的 人数 为 r ( t ) = a + b e   。   其 中, 用来反映 r ( t ) 的变 化 快 慢 。 类似 于 控 前 模 型 , 我 们  得 到埃 博拉 传 播 的控 后 模 型 :    ̄   一 c   其中 ’   =   a +b e

2 4

I   d t

=  磅

: L 2 X ( t )

. 6

【   Y ( O=  ( r ) + D( f ) +  (   3模 型 的 求 解  3 . 1 控前模型求解  对 于现 有 病 人数 x( t ) , 可 以根 据 病 毒传 播 的控 前 方程 式 .   求 得解 析解 为 x( t ) = x( 0 ) e   “   , t ≤T   其中, f  r :O . 5 5

再将 x( t ) 分别代入病毒传播的控后方程 , 就可 以给 出 D   ( t ) , R( t ) 以及 Y( t ) 的数 值 解 。   3 . 2控 后 模 型 的 求 解  同理 , 我 们 求 得 现 有病 人数 的解 析 解 为

x( t )   ( T ) e

二 :  t ≥T

其 中 { f a 6 = 0 . 2 4 5

查阅资料, 取P = 6 5 %, 九 : 0 . 0 2 。   ( 3 ) 累计 治愈人 数 。 累计 治愈 人数 的变 化= 新增 治 愈人数 , 有  4求解 结 果 分 析 与 评 价  R( t + △t ) . R( t ) = L 2 X( t ) △t   4 . 1 模 型 的优 点  n  r  、   当△ = t 一0时 , 有:   = L : x( t )   ( 1 ) 对新 型病 毒疫 情 分 别 建 立 了 控 前 、 控后模型, 并 根 据  ( 4 )累 计病 人数 。累 计 病 人 数= 现 有病 人数 + 累计 死 亡 人  以往疫情统计数据估 计参数 ,建立病人数随时间变化 的一元  函数 。( 2 ) 微 分方程稳定性较好

, 给 出模型收敛性条件, 对政  数+ 累计治愈人数, 有 Y( t ) = x( t ) + D( t ) + R ( t )   府 的决 策 有 指 导 意 义 。( 3 ) 针 对 不 同 隔 离 强度 进 行 分 段 研 究 ,   综上所述 , 我 们 得 到 埃 博 拉 传 播 的控 前模 型 :   能够 方 便 有 效 地 预测 疫 情 趋 势 , 欲 对 某 疫 区 进行 预 测 , 只 需对  d X   ( t ) =r   ( f ) 一 ( ‘+厶) ×  ( r )   参数进行估计 , 给 出初 值 带 入 方 程 即 可 。   dD( O 4 . 2 模型 的缺点  d t     qX( t ) ( 1 ) 微 分 方程 中参数 估 计 稍显 简 单 , 可 对 病 毒进 行 分类 , 针  d R( t ) 对不 同新型病毒 , 得到更准确的模型 。( 2 ) 给 出的模型忽略性  d   ( f ) t   。 、   别、 年龄及地 区差异对隔离措施强度、 控制时间等参数的影响 。

当△ = t 一0时 , 有:

L 2 X( t )

o. 6

:=

f ) =  ( 0 +D ( r ) +  0 )

1 8 8

科教 导刊 r 电子版J・2 0 1 5年 第 2期 r 中J一

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/6BB7B828FF772F6D.html

范文九:埃博拉病毒传播模式的研究

摘 要 本文针对埃博拉病毒的传播问题分别建立了自由传播状况下的SIR模型和有药物强力控制情况下的微分方程模型,利用MATLAB软件对模型进行求解,对求解结论进行分析,并对模型的优缺点进行评价。

关键词 埃博拉病毒 SIR模型 微分方程模型

中图分类号:R373.9 文献标识码:A

1病毒传播模型的假设

对于一种新型病毒,在没有药物干预和防治的情况下,病情的蔓延是相当迅速的。在应对新型病毒时,医疗卫生部门通常会采取隔离病患,药物治疗等措施。一般情况下,采取药物治疗对控制疫情扩散有显著效果。针对病情扩散情况,政府可以决定适当的隔离时间和药物投放比例。

首先,我们假设所考察人群总数恒定,且无病源的输入和输出;已治愈的患者二度感染的概率为0;所有患者均为“他人输入型”患者;各类人群在人群总体中分布均匀;已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。

2问题分析与模型建立

我们把人群分为4类:正常人群、患病人群、治愈人群和死亡人群,分别用H(t)、X(t)、R(t)和D(t)表示。在新病毒爆发初期,由于整个社会对新病毒传播速度和危害程度认识不够,没有采取任何有效的隔离控制措施,疫情会不断蔓延。病毒的传播规律分为“控前”和“控后”两个阶段。控前模型为近乎自然传播的模型,控后模型为介入隔离强度后的微分方程模型。

基于以上分析,我们对控前和控后分别建模。设T为实施强力控制的时间(以d为单位)。当t  2.1控前模型

假设某地区产生第一例病例的时间为T0,在(T0,T)时段,是近乎自由传播的时段,隔离强度为0,每天感染病人人数r为常数。现在考虑在t到t+△t这段时间内这4类人群的变化情况,并通过分析各类人群的状态转化关系,来建立微分方程模型。

(1)现有病人数。现有病人数是指在某一时间段内考察人群中所有确诊病人数。现有病人数的变化=新增病人数-(死亡人数+治愈人数)。我们设r为每个未被隔离的病人单位时间的人数,和分别为治愈率和死亡率。

当△=t→0时,有:=rX(t)-(L1+L2)��X(t)

(2)累计死亡人数。累计死亡人数的变化=新增死亡人数,有D(t+△t)-D(t)=L1X(t)△t

当△=t→0时,有:=L2X(t)

(3)累计治愈人数。累计治愈人数的变化=新增治愈人数,有

R(t+△t)-R(t)=L2X(t)△t

当△=t→0时,有:=L2X(t)

(4)累计病人数。累计病人数=现有病人数+累计死亡人数+累计治愈人数,有Y(t)=X(t)+D(t)+R(t)

综上所述,我们得到埃博拉传播的控前模型:

其中,初始值为:

2.2控后模型

控后隔离强度从控前的0变为p。未被隔离的病人平均每人单位时间感染的人数r随时间逐渐变化,它从初始的最大值a+b逐渐减少至最小值a,a、b的值客观存在。设每个被隔离的病人单位时间感染的人数为r(t)=a+be-�%d(t-T)。

其中,用来反映r(t)的变化快慢。类似于控前模型,我们得到埃博拉传播的控后模型:

其中,

3模型的求解

3.1控前模型求解

对于现有病人数X(t),可以根据病毒传播的控前方程式,求得解析解为X(t)=X(0)e(r-L1-L2)t,t≤T

其中,

再将X(t)分别代入病毒传播的控后方程,就可以给出D(t),R(t)以及Y(t)的数值解。

3.2控后模型的求解

同理,我们求得现有病人数的解析解为

X(t)=X(T)e,t≥T

其中

查阅资料,取P=65%,�%d=0.02。

4求解结果分析与评价

4.1模型的优点

(1)对新型病毒疫情分别建立了控前、控后模型,并根据以往疫情统计数据估计参数,建立病人数随时间变化的一元函数。(2)微分方程稳定性较好,给出模型收敛性条件,对政府的决策有指导意义。(3)针对不同隔离强度进行分段研究,能够方便有效地预测疫情趋势,欲对某疫区进行预测,只需对参数进行估计,给出初值带入方程即可。

4.2模型的缺点

(1)微分方程中参数估计稍显简单,可对病毒进行分类,针对不同新型病毒,得到更准确的模型。(2)给出的模型忽略性别、年龄及地区差异对隔离措施强度、控制时间等参数的影响。

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/4F4AA902007360DF.html

范文十:关于埃博拉病毒的传染的数学模型

“工大出版社杯”第十六届西北工业大学数学

建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目

B题

学院 第队

摘 要

2014年非洲爆发了历史上最为严重的病毒疫情--埃博拉病毒病(EVD),该病毒通过野生动物传到人,并且通过人际间传播在人群中蔓延.但无论对人还是对动物都无可用的己获正式许可的特异性治疗。据科学研究报道,这个病毒一旦感染人体,将有着高达90%以上的病死率.这是世界上最厉害的感染病毒(生物安全等级为4级),如何消灭埃博拉成为当前的首要任务。由于缺乏有效的治疗手段和人用疫苗,必须综合考虑疾病的传播、患病人口的预测、药物的生产和运输等因素,提高对感染埃博拉危险因素的认识以及个人可以采取一些保护措施,这是减少人类感染和死亡的唯一方法.

本文通过对题目所给的实际统计数据中感染埃博拉病毒后种群数据变化的分析,通过大胆的想象与假设分别建立了数学模型(I)、(II)、(III),并通过所给数据进行仔细验证无误后(误差小到已可以忽略)对疫情的发展做了一定程度上的预测.在假设加入了外界人为对疫情的控制因素后,通过对模型(III)的改进,发现模型预测情况与所给官方数据无缝吻合,其对疫情后续发展的预测无疑可信度又大大增高。同时,也通过对前述模型和实际情况的分析,全方面考虑到了模型的完善性与现实情况的契合性,阐述了严格疫情控制措施的执行和药物效果的提高等措施对控制疫情的重要作用与意义。

本文四个模型均使用的题目所给的实际数据,而且内容上层层优化,互相补充,使文章所述更为具体,更为实用,为埃博拉病毒问题的解决提供了一份可靠的,可行的,可依赖的数学模型。

关键词:埃博拉病毒 预测:随机微分方程 优化问题:最优隔离控制

目 录

一、

二、

三、 问题背景分析 --------------------------------------------1 问题的重述 ----------------------------------------------1 问题重述 ------------------------------------------------1 数学模型的大胆假设及建立 --------------------------------3

问题1 --------------------------------------------------3

1.0模型(I)-------------------------------------------3

1.1模型假设 ---------------------------------------3

1.2模型舱室图 -------------------------------------3

1.3模型建立 ---------------------------------------4

1.4使用模型预测数据 -------------------------------6

1.5模型总结 ---------------------------------------8

2.0模型(II) -----------------------------------------8

2.1模型假设 ---------------------------------------8

2.2模型建立 ---------------------------------------8

2.3模型总结 ---------------------------------------8

问题2 --------------------------------------------------9

3.0模型(III)-----------------------------------------9

3.1核心参数符号说明 -------------------------------9

3.2模型假设 --------------------------------------9

3.3模型舱室图 -------------------------------------10

3.4 模型建立--------------------------------------- 11

3.5使用模型预测数据--------------------------------12

问题3---------------------------------------------------15

4.0模型(IV)------------------------------------------15

4.1核心参数符号说明 -------------------------------15

4.2模型假设 ---------------------------------------15

4.3模型建立 ---------------------------------------16

4.4使用模型预测数据 -------------------------------16

4.5模型总结 ---------------------------------------16

问题4 --------------------------------------------------17

参考文献 -------------------------------------------------18

附录一 ---------------------------------------------------20

附录二 ---------------------------------------------------21

四、 五、 六、

一、问题背景及分析

埃博拉病毒(又译作伊波拉病毒)是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,主要通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径进行接触传播,而非通过空气传播,其生物安全等级为4级(艾滋病为3级,SΑRS为3级,级数越大防护越严格)。各种非人类灵长类动物普遍易感,经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染,病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。发病后1~4天直至死亡,血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高的死亡率(在50%至90%之间),致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。

当前主流的认知是,埃博拉病毒只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段,埃博拉病毒可能不具有高度的传染性,在此期间接触病人甚至可能不会受感染,随着疾病的进展,病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性;存在似乎天生就对埃博拉免疫的人,痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。埃博拉病毒很难根除,迄今为止已有多次疫情爆发的记录。据百度百科,最近的一次在2014年。截至2014年9月25日,此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡,另有6500被确诊感染。更为可怕的是,埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播。

本文旨在利用数学模型对埃博拉病毒的传播进行研究,通过数学建模的方法量化埃博拉病毒的传播规律,深刻认识该病毒的危害,并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

二、问题的重述

问题重述:

假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。人与猩猩的潜伏期都为2周,研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息。根据所给数据分析解决以下四个问题:

1、根据猩猩的发病数量和死亡数量,建立,个病毒传播模型,动态描述病毒在

“虚拟猩猩种群”中的传播,并预测接下来的在猩猩中的疫情变化,并以下

述格式给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据:

2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,

并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并以下述格式给出“虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据:

3、假设在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,

且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据,数据格式同问题2;

4、 请依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫

药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

三、数学模型的大胆假设及建立

问题1.埃博拉病毒在虚拟猩猩种群中的传播规律

核心参数符号说明

符号 符号说明

n 虚拟猩猩种群个体总数

n(t) 随时间变化的虚拟猩猩种群个体总数 s(t) 易感猩猩个数

i(t) 发病猩猩个数

r(t) 移出猩猩(死亡和自愈)个数 α 猩猩间病毒的传染率

β 发病猩猩的周移出率

γ 传染期接触数,γ=α/β

k 发病猩猩死亡率

c 出生死亡因数,c=出生率-死亡率.

模型(I):

1.1模型假设

● 假设埃博拉病毒在研究过程中不会变异

● 在病毒传染期内虚拟猩猩种群的总数n不变

● 不考虑出生和死亡因素对传播的影响

● 痊愈后的感染者不会再感染

● 发病者向移出者转变的速率与发病者的个数成正比

● 易感者s(t)的变化率正比于发病者i(t)与易感者s(t)的乘积

1.2模型舱室图

将猩猩群体分为:易感者、潜伏者、发病者、死亡者、自愈者。

各群体间关系图如下:

1.3模型建立:选用传染病SIR动力学模型建模

由模型假设1.2可知:

s(t)+i(t)+r(t)=n (1)

dt = α*s(t)*i(t)-β*i(t) (2)

dt = β* i(t) (3)

dt = -α* s(t)* i(t) (4)

联立(2)(3)(4)式可得微分方程组如下:

di dt=α∗ s∗i−β∗i,

dr dt=β∗ i, (1.4.1)

ds dt=−α∗s∗i,

dsdrdi

dt [s(t)+i(t)+r(t)]= 0

(则说明s(t)+i(t)+r(t)=n是常数,故r(t)=n-s(t)-i(t).

由此可知,只要知道了s(t)和i(t),即可求出r(t).

而 dt和 dt 与r(t)无关,因此由:

dididsd dt

dsdt=α∗ s∗i−β∗i =−α∗s∗i, (1.4.2)

ds = (α*s*i-β*i)/(-α*s*i)= -1+β/α*s

从而

i(s) = -s+β/α*lns+c

当t=t0时,i(t0)= i0,s(t0)= s0,记p=β/α,有

i(s)= i0+s0-s+pln(s/s0) (*)

接下来我们对(*)式积分曲线的性质进行研究:

p

i′(s)=−1+p/s =0,s=p

>0,(www.wenku1.com)

故当sp时,i(s)是s的减函数

i(0)= -∞ , i(s0)= i0>0 ∞

由连续函数中值定理及单调性知,存在唯一点s∞,00.

由(1.4.2)可知i=0时,ds/dt=0,di/dt=0,所以(s∞,0)为方程组(1.3.2)式得平衡点。当t>=t0时,方程(*)的图像趋势为先增后减(因图像过于复杂,在此不予展示)。当t由t0变化到∞时,点(s(t),i(t))沿(*)图像移动,并

di

沿s减少的方向移动,因为s(t)随时间的增加反而单调减少。

因此,如果s0

(www.wenku1.com), 则随着s(t)减少到p时,i(t)增加,且当s=p时,i(t)达到最大值.当s(t)

由以上分析可得出如下结论:只是当猩猩种群中的易感者的个数超过阀值p=β/α时传染病才会蔓延。

准确将题目所给数据进行分析并与上面结论相对比,发现趋势准确度很高,故以上数学模型建立可成功供我们分析病毒传播情况并做出后续预测。

1.4使用模型预测数据

将题中所给数据代入以上我们已建立的数学模型中,通过数

Microsoft-Graph将模型对数据的趋势预测图像化分别得到以下图(I)、(II)、

处于发病状态猩猩个数与时间关系(个/周)

图(I)

累计移出猩猩个数与时间的关系(个/周)

图(II)

我们通过趋势图(I)可以获得处于发病状态猩猩在第80周、第120周、第

200周的数量数据,而每周潜伏群体个数与下下周累计得过病的的猩猩(下下周正在发病的猩猩和累计移出猩猩之和)个数之间存在隐含的关系,即:因为埃博拉病毒在宿主体内的潜伏期为2周,故可知下下周累计得过病的猩猩减去本周处于发病状态的猩猩个数即为本周的潜伏群体个数。并且我们通过数据计算已知发病猩猩的自愈率为常数,则可通过图(II)对应的累计移出个数分别求得累计自愈与累计因病死亡的个体个数。具体预测数据如下表所示:

“虚拟猩猩种群”群体数量预测结果(单位:只)

1.5模型总结

就模型一分析总结:模型一中的数学模型在一定时期内预测的相契合,但当

问题周期很长的话,就不得不考虑出生死亡率所产生的影响。因此,有模型二如下:

模型(II)

模型(I)中的假设n为常数在长周期内与事实不相符合,在较长周期内个

体总数不一样。所以建立模型(II)如下:

2.1模型假设

● 假设埃博拉病毒在研究过程中不会变异

● 在病毒传染期内虚拟猩猩种群的总数n不变

● 考虑出生和死亡因素对传播的影响

● 痊愈后的感染者不会再感染

● 发病者向移出者转变的速率与发病者的个数成正比

● 易感者s(t)的变化率正比于发病者i(t)与易感者s(t的乘积

2.2模型建立

模型(II)的具体建立过程同上模型(I),在此不予赘述。

2.3模型总结

就模型二分析总结:n(t)表示第t周时个体总数,c为出生死亡因

数,c=出生率-死亡率(个/周).

当c>0时,出生率大于死亡率,猩猩个体总数在不受外界影响因素下

持续增长,则此情况下n(t)增大,处于发病状态猩猩的个数随时间的变化

率增大,则埃博拉病毒传播速度会加快;

当c

持续减少,则此情况下n(t)减小,处于发病状态猩猩的个数随时间变化率

减小,则埃博拉病毒传播速度会减缓。

问题2.埃博拉病毒在虚拟猩猩种群和人类之间的传播模型

模型(III)

模型假设:

3.1核心参数符号说明

符号 符号说明

N 虚拟人类种群个体总数

S(t) 易感人类个数

I(t) 发病人类个数

R(t) 移出人类(死亡、隔离和自愈)个数

K 隔离治疗人数占本周总发病人数比例

P. 隔离人群的治愈率

U 发病人类的移出率

A 人与人间的病毒传染率

B 人与猩猩间的病毒传染率

n 虚拟猩猩种群个体总数

s(t) 易感猩猩个数

i(t) 发病猩猩个数

r(t) 移出猩猩(死亡和自愈)个数

α 猩猩间病毒的传染率

β 发病猩猩的周移出率

k 发病猩猩死亡率

3.2模型假设

● 假设埃博拉病毒在研究过程中不会变异

● 在病毒传染期内虚拟猩猩种群的总数n和虚拟人类种群的总数N不变 ● 不考虑出生和死亡因素对传播的影响

● 痊愈后的感染者(人类种群和猩猩种群)不会再感染,并且存在天生

就对埃博拉免疫的人

● 发病者向移出者转变的速率与发病者的人数成正比

● 易感者s(t)的变化率正比于发病者i(t)与易感者s(t)的乘积

3.3模型舱室图

“虚拟猩猩种群”

“虚拟人类种群”

注:人类和猩猩种群之间在实际病毒传播中应是互相影响的,不过按题目中

所述,人发病之后与猩猩的接触可以忽略,即不考虑发病人类对易感猩猩的

感染,只考虑发病猩猩对易感人群的感染。

3.4建立模型:选用改进的传染病SIR动力学模型建模

由模型假设可知:

S(t)+I(t)+R(t)=N (1)

dt=Α*S(t)* I(t)+B*S(t)*i(t)-Β*I(t) (2)

dt= U * I(t) (3)

dt = -A* s(t)* i(t) (4)

联立(2)(3)(4)式可得微分方程组如下:

di dt=α∗ s∗i−β∗i,

dr=β∗ i, dt

ds=−α∗s∗i, dt (1.4.1) dI dt=Α∗S∗ I+B∗S∗i−U∗I

dS=−Α∗S∗ I−B∗S∗i dt dR dt=Β∗I(t)

ddSdRdI dt [S(t)+I(t)+R(t)]= 0

(则说明S(t)+I(t)+R(t)=N是常数,故R(t)=N- S(t)- I(t)).

上式即为我们所要建立的数学模型(III)。

3.5使用模型预测数据

将题中所给数据代入以上我们已建立的数学模型中,通过数学软件

Microsoft-Graph将模型对数据的趋势预测图像化分别得到以下图

(III)、(IV)、(V)、(VI).

潜伏人群与时间的关系 (个/周)

图(III)

总的发病人数与时间的关系(个/周)

图(IV)

累计自愈死亡人数与时间的关系(个/周)

图(V)

正在隔离治疗人数与时间的关系(个/周)

图(VI)

我们通过趋势图(IV)可以清楚的获得总的处于发病状态的人群(截止周日

正处于发病状态的人群和正在隔离治疗人群之和)在第80周、第120周、第200周的人数数据,通过趋势图(VI)可以得到正在隔离治疗人群在所求周数的人数数据,通过图(IV)与图(VI)数据的对比,可以获得在所求周数处正处于发病状态的人群人数数据。通过图(V)我们可以获得累计自愈死亡人数(之和)在要求周数的数量数据,而我们根据题中所给数据可以算出治愈率为常量,于是就可得到对应周数处的累计治愈人数,则累计因病死亡人数数据也随之求得。至于每周潜伏人数,若要求本周潜伏人数,则可通过下下周正发病和隔离人数、截止下下周累计死亡和自愈人数之和减去截止本周的累计死亡和自愈人数、正隔离人数之和求得,知道了此递推关系之后,我们通过题中所给数据、Microsoft-Graph数学绘图软件和模型(III)大体拟合出了其随时间变化的图像,通过此图像与已知数据对比,拟合度很高(达到99.85%),故通过图像(III)对所求周数处的潜伏人数做直接预测,具有很高的可靠度。具体预测数据如下表所示:

“虚拟人类种群”群体数量预测结果(单位:个)

问题3:外界的因素介入后,“虚拟人类种群”的发展情况

模型(IV)

4.1核心参数符号说明

符号 符号说明

N 虚拟人类种群个体总数

S(t) 易感人类个数

I(t) 发病人类个数

R(t) 移出人类(死亡、隔离和自愈)个数

K 隔离治疗人数占本周总发病人数比例

P’=0.8. 隔离人群的治愈率

U 发病人类的移出率

A 人与人间的病毒传染率

B 人与猩猩间的病毒传染率

n 虚拟猩猩种群个体总数

s(t) 易感猩猩个数

i(t) 发病猩猩个数

r(t) 移出猩猩(死亡和自愈)个数

α 猩猩间病毒的传染率

β 发病猩猩的周移出率

k 发病猩猩死亡率

E 总发病人群的隔离率

4.2模型假设

● 假设埃博拉病毒在研究过程中不会变异

● 在病毒传染期内虚拟猩猩种群的总数n和虚拟人类种群的总数N不变 ● 不考虑出生和死亡因素对传播的影响

● 痊愈后的感染者(人类种群和猩猩种群)不会再感染,并且存在天生

就对埃博拉免疫的人

● 发病者向移出者转变的速率与发病者的人数成正比

● 易感者s(t)的变化率正比于发病者i(t)与易感者s(t)的乘积

● 从第41周开始,由于外界因素的控制,猩猩与人的接触被控制,发

病猩猩无法再感染人群,且人群的治愈率提高到了常量0.8

4.3模型建立

在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%,故在模型(III)

的基础上进行修改,建立新模型(IV),旨在从第41周开始对数据进行预测,模型建立后如下所示:

dt=Α∗S∗ I+−U∗I

dS=−Α∗S∗ I dt

dR dt=Β∗I(t)

dt [S(t)+I(t)+R(t)]= 0

4.4使用模型进行预测

ddI4.5模型总结

根据实际情况,当外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高后,

埃博拉病毒的传播将会大大受到限制,从而发病人数将会急剧减少,病情明显得到控制,与由模型预测得出的数据结果相近,故所建立模型(IV)可供我们在短期内预测。

问题四: 根据前述模型,对各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

(1) 防疫药物效果提高及严格控制接触病原措施的作用:

严格控制健康人群与猩猩和发病人群的接触,同时提高防疫药物效果 并隔离发病人群,从而降低埃博拉病毒在人与人之间的传染系数A和埃博拉病毒在人与猩猩之间传染系数B,使得模型二中,(Α∗S∗ I+B∗S∗i)每周新增发病人数dt(dt=Α∗S∗ I+B∗S∗i−U∗I )减少,使每周发病人数相对于未采取该措施时的发病人数大大减少,最终减少了累计死亡人数,提高了累计治愈人数; (2) 改良检疫药物的作用:

提高了总发病人群中隔离治疗人群的比例,提高了隔离率,即提高了移出率U,使得模型二中,每周移出人群(U*I)增加,每周新增发病人数dtdt=Α∗S∗ I+B∗S∗i−U∗I )减少,使每周发病人数相对于未采取该措施时的发病人数大大减少;

(3) 改进治疗药物的作用:

提高了隔离治疗人群中治愈人数的比例即提高了隔离治疗人群的治愈率P,最后使得累计死亡人数减少,累计治愈人数增加。

由附录二中数据及模型(IV)中预测所得数据拟合得到如下图像(VII),观察图像可知:在第41周,外界的专

家开始介入,并立即严格控制了人类 每周发病人数与时间的关系(个/周)与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高后,每周处于发病状态的人数相对于前40这周数据出现明显下降趋势,由此可见,各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高对防止疫情进一步

蔓延及对疫情的控制有极其重要的作用。 图(VII)

dI

dI

dI

dI

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附录一:“虚拟猩猩种群”题中所给数据

附录二:“虚拟人类种群”题中所给数据

阅读详情:http://www.wenku1.com/news/7E72553E9A3E0FCA.html