埃博拉传播模型

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范文一:埃博拉传播动力学模型及其应用

埃博拉传播动力学模型及其应用

摘要:埃博拉出血热,是由埃博拉病毒引起的急性疾病,致死率为25%到90%,在西非国家已经引起了人群恐慌,直接影响着人类身心健康。论文根据埃博拉病毒在三种不同情形下的传播原理,分别建立了不同的SEIRD模型,并且最后给出了埃博拉出血热的流行趋势以及防控策略。

关键字:尸体的传播率;基本再生数;有效的防控措施;药物和疫苗模型 1.引言

埃博拉出血热,是一种致死率很高的急性传染病,若未能在短时间内及时采取相关的治疗措施可能会直接导致死亡。埃博拉病毒通过野生动物,比如果蝠(可能为该病毒的自然宿主),黑猩猩,豪猪等传播至人,并且通过人际间的传播蔓延开来。目前埃博拉出血热在西非传播广泛,尤其在几内亚,利比里亚和塞拉利昂,已经成为公共健康问题。自从西非在2014年3月报告出现首批病例,截至到目前为止,各项指标均显示此次疫情是1976年第一次发现埃博拉病毒以来发生的规模最大且病理最复杂的埃博拉疫情,本次疫情的病例和死亡数字已经超过了所有其他疫情的总和,并且疫情还在各个国家之间继续传播。因此,寻求埃博拉出血热的预防和控制措施显得尤为重要,然而当前的口服补液或者静脉注射等早期的支持性治疗护理方法以及对于特定症状而采取的症状疗法仅可以改善当前的生存率,目前仍未有获得官方认证并且实验证明可中和病毒的治疗措施,但正在开发各种血液,免疫,和药物疗法,当前也没有获得认可的针对埃博拉出血热的疫苗,但在2014年年底经过初步临床实验得到的有效数据的基础之上,世界卫生组织将联合各个有关部门在病例数最高的几内亚地区启动埃博拉疫苗效力试验。

数学模型是历年来人们研究传染病的主要工具,它可以清晰的描述疾病的传播规律,结合已经获取的有效数据,能够在理论上进一步探讨不同防治措施下的效果,同时建立传染病动力学模型可以对传染病进行理论性的定性分析和定量研究,它可以描述疾病的传播,流行规律,在此之后根据实验数据预测疾病流行的最终趋势,并给出预警,为已经得出的防控措施提供理论基础和数量依据。所以,建立以及分析埃博拉出血热的动力学模型,有利于揭示该疾病的流行机制。因此,为了优化根除埃博拉,或者至少能够减轻目前的压力,在本文中,根据埃博拉出血热的传播特点,构建一个可行的数学模型;然后根据是否使用药物或疫苗,对模型进行二次优化,使得到的模型更加符合实际生活中疾病的传播情况;最后,基于对模型的分析与研究,能够预测埃博拉出血热在疫区的流行趋势并且给出预防和控制的最优策略。 2.主要结果 2.1基本假设

i)易感个体从染病到死亡的时间较短,因此在这段时间内不考虑出生和自然死亡。 ii)不考虑垂直传播。

iii)埃博拉病毒对紫外线和伽马射线很敏感,因此不考虑病毒排泄物对疾病传播的影响。 iv)潜伏期的人群不具有传染性。 v)已免疫的个体不会被二次传染。

vi)相关参数如下所示: 几内亚:

利比里亚:`

塞拉利昂: 2.2模型建立

2.2.1 不使用新药和疫苗条件下,传染模型的建立及分析

在埃博拉疫区,埃博拉出血热主要在人际间传播,由于其传染性很强,因此易感人群可以看作疫区全部人口。一般情况下,埃博拉出血热的传播方式为直接接触感染者或者死者尸体,且当易感个体感染埃博拉病毒后进入潜伏期直到出现临床症状后患者才具有传染性。康复后的个体不会被二次传染,即不会再次成为易感个体,此外死者尸体的传染率极高,因此有关部门会在短时间内对死者尸体采取干预措施,即对尸体进行强制性埋葬或焚烧。基于目前的治疗和干预措施,在不考虑使用新药和疫苗的情况下,根据埃博拉病毒的传播特点以及模型假设,在疫区埃博拉出血热在人际间的传播关系见图1。

RI

DI 图1. 仅采用当前治疗措施下的埃博拉出血热传染流程图

在该模型中,分别用S(t),E(t),I(t),R(t),D(t)表示t时刻易感,潜伏,染病,

康复,死亡人群数量。

对于易感仓室S,其输出为感染1SI2SD,易感个体可以通过与染病个体接触

而致病,且传染系数为1;也可以通过与尸体接触而致病,且传染系数为2。因此,单位时间内易感仓室S的变化如下所示:

dS

1SI2SD, dt

易感个体被感染将会进入潜伏仓室E,为1SI2SD,潜伏仓室E的输出为临床爆发E。单位时间内潜伏仓室E的变化为:

dE

1SI2SDE, dt

对于染病仓室I,临床爆发E为输入,死亡1I和康复2I为输出。所以单位时间内染病仓室I的变化如下所示:

dI

E1I2I, dt

感染个体康复后将进入康复仓室R。因此单位时间内康复仓室的变化为:

dR

2I, dt

因病死亡1I将进入死亡仓室,其输出为尸体的焚烧或掩埋如下所示:

D

,所以单位时间内的变化T

dDD

1I, dtT

由以上描述可得疫区仅在当前治疗措施下埃博拉出血热动力学模型为:

dS

dt1SI2SD,

dESISDE,

12dt

dI

E1I2I,dtdR

dt2I,

dDID

1T,dt

2.2.2 使用新药后的模型建立与分析

在2.2.1中建立的模型基础上,如果考虑使用新药,那么不妨假设在单位时间(周)

内的给药量为k(I)IM,其中M表示人均所需药量,k(I)是比例系数,药效为l,且

k(I),l[0,1]。则根据当前的治疗措施并且结合新药治疗,此时康复率为 R,致死率为D。结合2.2.1和模型假设,在采取当前治疗措施并且结合使用新药的情况下,疫区埃

博拉出血热在人际间的传播关系见图2。

RI

DI 图2. 当前治疗措施结合新药治疗下的埃博拉病毒病传染流

是否使用新药对易感仓室和潜伏仓室的输入和输出情况无影响,因此对于易感仓室S和潜伏仓室E与2.2.1中建立的模型完全一致,即有,

dS

1SI2SD, dt

dE

1SI2SDE, dt

临床爆发E为染病仓室I的输入,其输出包括使用新药康复

Ikl

,未使用新药康复TR

(1-kl)2I和因病死亡(1kl)1I。此时在使用新药后与2.2.1中的模型相比,单位时间内康复个体增加(既包括未使用新药康复又包括使用新药康复),死亡个体减少。所以单位时间内染病仓室I的变化如下所示:

dIklIE(1kl)2I(1kl)1I, dtTR

对于康复仓室R,其输入为使用新药康复位时间内康复仓室的变化为:

Ikl

以及未使用新药康复(1kl)2I。因此单TR

dRklI(1kl)2I, dtTR

因病死亡(1kl)1I将进入死亡仓室,其输出为尸体的焚烧或掩埋内的变化如下所示:

D

,所以单位时间T

dDD

(1kl)1I, dtT

由以上描述可得疫区在当前治疗措施结合新药的前提下埃博拉出血热动力学模型为:

dS

1SI2SD,dtdE

1SI2SDE,dtdIklI

E(1kl)2I(1kl)1I,

TR

dt

dRklI

(1kl)2I,

dtTRdDD

(1kl)1I

T,dt

2.2.3 使用疫苗和新药条件下,传染模型的建立及分析

在2.2.2的基础上,如果考虑使用疫苗,那么不妨假设疫苗的有效率为,并且假设

疫苗长期有效,即易感个体注射疫苗康复后不会再次被传染。结合2.2.2和模型假设,在采取当前治疗措施并结合新药以及疫苗的情况下,疫区埃博拉出血热在人际间的传播关系见图3。

S E

RI

DR

2SD

图3 采取当前治疗措施并结合新药以及疫苗情况下的埃博拉病毒病传

染流程图

对于易感仓室S,其输出包括感染1SI2SD以及易感个体的免疫S。此时在使

用疫苗后与2.2.2中的模型相比,单位时间内易感个体的输出增加,既包括被传染,也包括使用疫苗后直接进入康复仓室。因此,单位时间内易感仓室S的变化如下所示:

dS

1SI2SDS, dt

是否使用疫苗对潜伏仓室和染病仓室的输入和输出情况无影响,因此对于潜伏仓室S和染病仓室I与2.2.2中建立的模型完全一致,即有,

dE

1SI2SDE, dt

dIklIE(1kl)2I(1kl)1I, dtTR

对于康复仓室R,其输入包括使用新药康复

Ikl

,未使用新药康复(1kl)2I以及易感TR

个体的免疫康复S,因此单位时间内康复仓室的变化为:

dRklII(1kl)2IS, dtTR

因病死亡(1kl)1I将进入死亡仓室,其输出为尸体的焚烧或掩埋内的变化如下所示:

D

,所以单位时间T

dDD

(1kl)1I, dtT

由以上描述可得疫区在当前治疗措施结合新药以及疫苗的前提下埃博拉出血热动力学

模型为:

dS

1SI2SDS,dtdE

1SI2SDE,dtdIklI

E(1kl)2I(1kl)1I,dtTR

dRklI

(1kl)2IS,

dtTRdDD

(1kl)I1dtT,

3 模型预测及防控措施 3.1 疾病预测与防控措施

在此次疫情中,几内亚,利比里亚和塞拉利昂的疫情最为严重,因此下面仅就这三个西

非国家的实际情况给出疾病预测以及防控措施。在2.2建立的三个传染模型中,接触患者的传染率1和接触尸体的传染率2是未知的,其余参数均可由已知数据求出。对于1与2,则可以利用MATLAB软件对不同时间段累计病例进行拟合,从而得到具体的1和2的数值。通过对这三个国家不同时间段累计病例的数据收集,数据拟合的结果分别如下图所示:

图4 几内亚不同时间段累计病例数据拟合图

(data 1表示实际累计病例, data 2表示拟合之后的累计病例)

(下同)

图5 利比里亚不同时间段累计病例数据拟合图

图6 塞拉利昂不同时间段累计病例数据拟合

1和2拟合数值分别为:

利用分别拟合出的三个国家接触患者的传染率1 和接触尸体的传染率2,再结合2.2.1,2.2.2和2.2.3中建立的传染模型,能够预测出2015年三个国家在仅采取当前治疗措施,当前治疗措施结合新药以及当前治疗措施结合新药和疫苗三种情况下累计病例发展的最终趋势。图7,图8,图9分别给出了三个国家2015年埃博拉出血热在三种情况下累计病例数的最终趋势,通过对累计病例的预测能够反映出三个国际埃博拉出血热传播的最终趋势。

图7 几内亚在三种情况下的累计病

例数的最终趋势

(蓝色曲线:在仅采取当前治疗措施的情况下对疾病的预测。中间红色曲线:在采取当前治疗措施结合新药的情 况下对疾病的预测。底部红色曲线:在采取当前治疗措施结合新药以

及疫苗的情况下对疾病的预测。)(下同)

趋势

图8 利比里亚在三种情况下的累计病例数的最终

图9 塞拉利昂在三种情况下的累计病

例数的最终趋势

对比图7,图8和图9,并且结合2.2.1,2.2.2以及2.2.3中建立的传染模型,如果接种率=0,并且继续当前的治疗措施,不使用新药,三个国家的累计病例均将持续大幅度增长,埃博拉出血热将在这三个国家作为地方性疾病继续传播。如果=0,并且考虑按比例给药,三个国家的累计病例仍然持续增长,但涨幅要远远小于之前不使用新药的情况下累计病例的增长幅度,由此可以看出疾病在这三个国家将会得到控制。如果0,即考虑新药结合疫苗治疗,那么三个国家的累计病例将会逐渐趋于平缓,不再呈现上升趋势,埃博拉出血热将会在这三个国家逐渐消失。

除采取当前措施,如口服补液或者静脉注射等早期的支持性治疗护理方法以及对于特定症状而采取的症状疗法这些仅可以改善当前的生存率的方法以外,为了阻止埃博拉疫情在疫区进一步蔓延,还可以采取一些干预措施,比如病例管理,防止感染者将疾病传染给与其有接触的易感人群;监测和接触者追踪,埃博拉出血热的潜伏期为2到21天,因此要对与埃博拉感染者有接触的人员进行为期21天的健康检测,一旦发现接触者出现埃博拉出血热早期症状,立即实施隔离;实验室良好服务,确保能够在最早的时间内研制出能够中和埃博拉病毒的药物和疫苗;进行安全埋葬,防止在葬礼仪式上死者尸体将疾病传染给前来追悼的易感人群;组织社会动员,提高公众对埃博拉感染危险因素的认识,并采取个人可以采取的保护性措施,以上均是减少埃博拉出血热在人际间传播的有效方法。 3.2 给出模型基本再生数的计算

3.2.1不使用新药和疫苗条件下,传染模型基本再生数的计算

基本再生数(0)表示某一传染个体在其整个传染期通过与易感个体进行有效接触并最终导致易感个体被感染的期望数[1]。通常,01可以看作决定一种传染疾病能否最终在疫区会作为地方性疾病而继续传播的一个平衡点,即当01时,疾病将逐步得到控制,并且最终消失;当01时,疾病将始终存在最终形成地方性疾病继续在疫区传播。在2.2.1中,建立了在不使用新药和疫苗的条件下,埃博拉出血热的传播模型,根据文章中基本再生数以及下一代矩阵的定义,定义一组向量=(E, I, D),仅包含这个模型中的致病项。考虑以下辅助系统:

2,3

dE

dt1SI2SDE,dI

E1I2I,

dt

DdD

I,1dtT

由文章2中的方法可得:

1SI2SD



F0 ,

0

1SI2SD

V0 ,

0

因此,

01S

F00

00

V

0

2S

0 , 0

00 , 1T

0121

所以该传播模型的基本再生数表示如下:

R1(FV1)

在R1的表达式中涉及的参数如下:

(121T)N

,

12

因此,通过计算可得,在仅采取当前的治疗措施不使用新药及疫苗的情况下,三个

国家的基本再生数如下所示:

由分别计算出的几内亚,利比里亚和塞拉利昂的基本再生数可以看出,在仅采取当前的治疗措施而不使用新药和疫苗的条件下,埃博拉出血热将会在这三个国家肆虐,最终将作为地方病继续传播。

3.2.2使用新药后,传染模型基本再生数的计算

在2.2.2中,建立了使用新药后埃博拉出血热的传播模型,定义一组向量=(E, I, D),仅包含这个模型中的致病项。考虑以下辅助系统:

dE

1SI2SDE,dt

klIdIE(1kl)2I(1kl)1I, dtTRdDD

(1kl)I,1

Tdt

由文章2中的方法可得:

1SI2SD



F0 ,

0

EklI

VE(1kl)2I(1kl)1I

TR

 , D

(1kl)1I

T

因此,

01S

F00

00

2S

0 , 0

V

0

00

klI

(1kl)(21)0 , TR

1

(1kl)1

T

所以该模型的基本再生数表示如下:

R1(FV1)

[121T(1kl)]N(1kl)(21) , TR

在R2的表达式中涉及的参数如下:

因此,通过计算可得,在采取当前的治疗措施结合新药的情况下,三个国家的基本再生

数如下所示:

与3.2.1中计算的三个国家的基本再生数相比较,可以看出在使用新药后每个国家的基本再生数均有所下降,这表明若采取当前的治疗措施结合新药后,埃博拉出血热将会在这三个国家得到控制。其中,利比里亚的基本再生数达到0.68(

参考文献

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[7]即将在几内亚启动埃博拉疫苗效力试验.世卫组织/无国界医生组织/挪威公共卫生研究

所联合新闻稿,2015-3-5. http://www.who.int/mediacentre/news/releases/2015/ebola-vaccine-trial/zh/ [8]埃博拉病毒病,2015-4,实况报导第103号

http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs103/zh/

Transmission Dynamics of Ebola Models and Application of the

Models

Abstract:Ebola hemorrhagic fever is a kind of acute disease , the mortality rate as high as 25% to 90% of the epidemic hemorrhagic fever caused by Ebola virus . The disease has caused panic of crowd in the western African , which affects the human physical and mental health . In this paper , according to the mechanism of transmission of the Ebola virus , establish three kinds of SEIR-D models based on three cases , finally give the trend of the Ebola hemorrhagic fiver and the strategy of prevention and control.

Key words:transmission rate of dead bodies ; the basic reproduction number ; effective control strategies ; model with drugs and vaccine

范文二:埃博拉病毒传播的数学模型

数 学 建 模 论 文

基于传染病模型的埃博拉疫情发展建模分析

院系名称: 地球科学学院

专业名称: 环境科学

学生姓名:崔昊天、牛星智、朱家佑

学 号: 崔昊天:2013010176

指导教师: 孟得新

完成日期2015 年 4 月 29 日

论文的分工说明:

本篇数学建模论文,是在朱家佑、崔昊天、牛星智的共同努力下完成的。其中朱家佑同学负责SEQIR模型的初步建立、Matlab程序的编译与运行,SIR模型的检验,绘制谱线图,属于首席技术人员;崔昊天同学负责SIR模型的分析与结论,提出SIR模型优化进步的建议以及论文的整体思路与撰写整合,属于文案分析人员;牛星智同学主要负责文献的查考,收集埃博拉病毒的资料以及各国疫情的数据与模型的可行性研究,对比文献资料提出模型存在的不足,并分类整理参考文献,属于认证查考人员。三位同学各司其职,有分工又有合作,环环相扣,共同学习,共同进步。

签名:

日期:2015.4.29

基于传染病模型的埃博拉疫情发展建模分析

摘要

埃博拉(Ebola virus)又译作伊波拉病毒,是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,有很高的死亡率,在50%至90%之间。本文基于西非埃博拉疫情的发展,首先建立SIR模型,对西非埃博拉疫情进行检验,得出模型改进措施,接着建立改进后的SEQIR模型,分析预测疫情发展趋势,对目前世界各国采取的防控埃博拉疫情的措施进行简单评价,并提出埃博拉疫情对于防控的建议。

关键词:埃博拉;检验;预测;评价;建议

目录

第1章 绪论 ............................................................................................................................... 5

1.1研究背景 ............................................................................................................................. 5

1.2 研究目的及意义 ................................................................................................................ 5

1.3 国内外研究现状 ................................................................................................................ 5

1.3.1 国内外传染病模型研究现状 ......................................................................................... 5

1.3.2 国内外埃博拉病毒医疗研究现状 ................................................................................. 6

1.3.2.1 EVD治疗方法 ............................................................................................................. 6

1.3.2.2治疗 EVD 的新药研究进展 ....................................................................................... 7

1.3.2.3疫苗的研究 ................................................................................................................... 9

1.4 技术路线 .......................................................................................................................... 10

第2章 数据与方法 ................................................................................................................. 11

2.1基础知识 ........................................................................................................................... 11

2.2 数据方法 .......................................................................................................................... 11

第3章 模型建立与改进 ......................................................................................................... 12

3.1 SIR模型 ........................................................................................................................ 12

3.1.1 模型建立 ....................................................................................................................... 12

3.1.2 模型分析 ....................................................................................................................... 13

3.1.3 模型验证 ....................................................................................................................... 16

3.2 改进的SIEQR模型 ................................................................................................... 16

3.2.1 模型建立 ....................................................................................................................... 16

3.2.2 模型求解 ....................................................................................................................... 18

3.2.3 模型分析 ....................................................................................................................... 19

第4章 评价与建议 ................................................................................................................. 24

4.1 模型的评价 ...................................................................................................................... 24

4.1.1 SIR模型的评价 ............................................................................................................ 24

4.1.2 SEQIR模型的评价 ....................................................................................................... 24

4.2 现有医疗水平的评价 ...................................................................................................... 24

4.3防控建议 ........................................................................................................................... 25

致谢 ................................................................................................................................................ 26

参考文献......................................................................................................................................... 27

第1章 绪论

1.1研究背景

埃博拉(Ebola virus)又译作伊波拉病毒,是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,有很高的死亡率,在50%至90%之间。

2014年2月西非爆发大规模病毒疫情,截至2014年12月17日,世界卫生组织(WHO)发表数据显示埃博拉出血热疫情肆虐的利比里亚、塞拉利昂和几内亚等西非三国的感染病例(包括疑似病例)已达19031人,其中死亡人数达到7373人[1]。据世界卫生组织透露,2014年西非埃博拉病毒疫情爆发的感染及死亡人数均为历史最高,并仍处于恶化状态中[17]。世界各国针对埃博拉病毒均提出了自己的防控措施,然而埃博拉病毒的致病机理尚未明确,其致死率高居不下,基于数学模型的病毒爆发特性分析因此应运而生。

1.2 研究目的及意义

国内外学者针对一般类型的传染病提出了SIR传染病模型,可用于模拟预测传染病的传播过程,评价当前的医疗卫生体系及防控措施。但是针对埃博拉这一目前无疫苗防治措施的传染病,尚未存在基于SIR模型的改进模型进行合理的模拟预测。

本文基于SIR模型,增加疑似病患、潜伏期感染者两个变量,构建SIEQR模型,分析埃博拉出血热的流行规律,并预测其未来的发展趋势,并对世界卫生组织(WHO)目前针对该疾病的防控措施进行评价,为埃博拉出血热的最佳防控提供理论基础。

1.3 国内外研究现状

1.3.1 国内外传染病模型研究现状

国内外对于传染病的数学模型研究不在少数。传染病模型的基础是Kermack和McKendrick 二人提出的仓室模型(compartmentmodel,CM)[2]。杨方廷[18]通过对SARS在某北方大城市爆发的系统仿真研究发现,恰当地建模能够有效地模拟SARS的人群传播模式。通过数学模型可推导出不同的防控策略(如限制人员流动、对疑似感染者及早隔离等)对于病毒传播的影响。

对于埃博拉病毒的数学模型研究,早在 1996年,Fauci[4]就使用SIR和 SEIR 模型,模拟扎伊尔两个时段的埃博拉爆发:1976 年 Yambuku 疫情爆发和 1995年Kikwit的疫情爆发。他们得到: 当基本再生率K满足范围1.72≤R0≤8.60时,

意味着埃博拉病毒传染性不如以前那么厉害,可以使他们减少潜在的死亡。为了预判埃博拉的发展趋势,弗吉尼亚理工大学的网络动态和模拟科学实验室(NUSSL)从2014年8月开始,采用基于个体的传染病传播工具Epi- fast来模拟埃博拉在西非的传播[22]。

国外学者在研究其发病机理以及病毒作用机理的同时,建立了新型传染病模型对疾病进行预测。由于个体在感染埃博拉病毒后经过一段时间才会出现临床症状,这段时间被称为潜伏期,对潜伏期的长度,Chowell等[9]采用最小二乘法估算出2次疫情平均潜伏期分别为5.30 d(刚果1995年)和3.35 d(乌干达2000年),Le- grand等使用临床观测结果估计的潜伏期分别为7d[12-13](刚果1995年)和12 d (乌干达,2000),与后者较为近似的潜伏期长度也被用于近期对此次西非埃博拉疫情动态的研究中[15]。美国CDC采用的潜伏期平均长度为6 d,99%的分位数为21 d。

1.3.2 国内外埃博拉病毒医疗研究现状

1.3.2.1 EVD治疗方法

由于尚无有效的经过系统研究的药物用于 EVD 患者的治疗,目前的治疗方法以积极的对症和支持治疗为主,主要包括 :维持水、电解质平衡,补充体液和电解质 ;预防和控制出血 ;维持血氧及血压平衡 ;及时控制继发感染 ;治疗肾功能衰竭和出血、DIC(disseminated intravascular coagulation,弥散性血管内凝血 ) 等并发症。临床治疗过程中可根据患者的具体情况采取下列措施进行治疗。

①一般支持、对症治疗 :卧床休息,少渣易消化半流质饮食,保证充分热量 ;

② 补液治疗 :有证据表明,早期补液,维持水电解质和酸碱平衡治疗,可明显提高存活率 ;可使用平衡盐液,维持有效血容量 ;加强胶体液补充如白蛋白、低分子右旋糖酐等,预防和治疗低血压休克 ;

③保肝抗炎治疗 :可使用甘草酸制剂 ;

④出血的治疗 :止血和输血,新鲜冰冻血浆补充凝血因子,预防 DIC ; ⑤ 控制感染 :及时发现继发感染,根据细菌培养和药敏结果应用抗菌药物 ; ⑥ 肾功能衰竭的治疗 :必要时行血液净化治疗 ;

⑦呼吸衰竭的治疗 :及时行氧疗等改善呼吸功能治疗 ;

⑧ 病原学治疗 :未经过人体学试验的三联单克隆抗体 ZMapp,在紧急状态下被批准用于 EVD 患者的治疗 ;目前已有 7 人接受此治疗,5 人获得较好疗效;另外,TKM-Ebola 也已通过 FDA 的批准,紧急情况下可用于确诊或者疑似 EVD 患者 ;

⑨ 恢复期血清治疗 :即从康复者体内提取含埃博拉病毒抗体的血液,将其

输给患者 ;该方法曾在小范围内应用,亦似有较好的效果,WHO 已出台安全使用输血疗法治疗 EVD患者的指导方针,并帮助受疫情影响国家从康复患者体内提取血浆、准备血清以治疗更多患者。但和 ZMapp 一样,目前尚无数据支持其大规模使用的效果,还有待于在应用时机、不良反应等方面做进一步观察。

1.3.2.2治疗 EVD 的新药研究进展

在埃博拉病毒被发现后的几十年里,研究者们一直致力于研发抗埃博拉病毒的新药。不过目前,用于埃博拉病毒预防和治疗的药物仍多处于实验室或前期临床研究阶段。在目前的严峻形势下,美国 FDA 已经批准ZMapp 和 TKM-Ebola 在紧急情况下用于确诊或者疑似感染埃博拉病毒的患者。WHO 委员会也给出建议,可在患者签署知情同意书的基础上,使用未经系统研究证明的药物如 ZMapp 和疫苗来控制感染,而且在伦理上也可接受。不过,即便如此,现有的可用药品也是非常有限或缺乏的。

1.ZMapp

ZMapp 是美国和加拿大共同开发的一种抗埃博拉病毒新药,由 3 种人源化的鼠单克隆抗体组成,其中的主要成分为 MB-003(又称为 :Mapp)和 ZMAb,两者优化后组成了抗埃博拉病毒感染的新药 ZMapp。MB-003是 3 种具有抗埃博拉病毒作用的单克隆抗体组成的混合抗体。2012 年,研究者用 MB-003 治疗了 6 只埃博拉病毒感染的恒河猴,给予 MB-003 的实验组中有 4 只存活;而未给药的对照组 2 只全部死亡。2013 年一项研究发现,感染埃博拉病毒 48 h 内注射 MB-003 混合抗体的恒河猴,其存活率为 43% ;如果不接受药物治疗,其存活率为零。ZMAb 是抗埃博拉病毒混合抗体联合腺病毒载体干扰素 α 的复合抗体。2013 年的另一项研究显示,使用 ZMAb 治疗感染埃博拉病毒 24 h 或 48 h 的猴,存活率分别为 100% 和 50%。2 个多月后,研究人员对存活的猴子进行再次感染试验,观察这些病愈的猴子体内是否产生了抵御埃博拉病毒的抗体,结果无 1 例猴子因再次感染而死亡。为进一步了解ZMapp的抗病毒作用,Qiu 等将致死剂量的埃博拉病毒给予三组猴子(每组6 只),分别在不同时间给予 ZMapp 治疗,结果发现所有动物都存活,更重要的是,即使是在猴感染病毒后 5 d 出现严重症状时使用,该药也能起到很好的保护作用。不过要注意的是,试验时所用毒株与本次西非暴发的毒株不同。不管怎样,ZMapp 的开发与猴试验中的良好疗效都是对抗埃博拉病毒的巨大进步。

2.TKM-Ebola

鉴于 ZMapp 的产能有限和疫情的不断扩展,国际社会也在尽可能的寻找更多的治疗 EVD 的有效药物。为此,2014 年 9 月美国 FDA 批准加拿大制药商 Tekmira公司研制的 TKM-Ebola 药物可在紧急情况下用于确诊或者疑似感染埃博拉病毒的患者。TKM-Ebola 也成为全球第二个可用于 EVD 治疗的药物。

TKM-Ebola 属于基因治疗药物,是一种靶向埃博拉病毒 RNA 多聚酶的小干扰 RNA,通过抑制埃博拉病毒相关基因 VP24 和 VP35,使致病基因 “ 沉默 ” 而起作用。2010 年发表在《柳叶刀》上的小规模的概念验证研究中,研究者将猕猴暴露于高剂量的扎伊尔型病毒后 30 min,开始给予 TKM-Ebola,随后,第一组猕猴(n=3)在暴露后 1、3、5 d 各给药 1次,而第二组猕猴(n=4)在暴露后 1 ~ 6 d 每天给药 1次,结果第一组的保护率可达 66%,第二组的保护率可达 100%。但 FDA 对其在人类的安全性上持保留态度,故仅部分准予其用于埃博拉病毒感染的患者。

3.jk-05

在应对 EVD 方面,中国的科研工作者也未曾停止前进的步伐。其中由中国军事医学科学院微生物流行病研究所针对埃博拉病毒、历时 5 年研制而成的药物 jk-05已通过总后卫生部专家评审,获得军队特需药品批件。jk-05 是一种小分子化学药物,该药能够选择性地抑制流感病毒和埃博拉病毒的 RNA 聚合酶,从而达到抑制病毒复制的目的。研究表明,jk-05 在细胞和动物水平感染实验中具有抗埃博拉病毒活性。该药物虽已完成临床前研究,并完成了用于抗流感病毒时的临床安全性评价,但对于 EVD 的治疗,目前仍仅限于紧急情况下使用。

4.法匹拉韦(favipiravir)

日本相关法规规定,在特定的条件下可采用未获批准治疗埃博拉的药物来治疗致死性的埃博拉病毒感染。根据此规定,日本富士公司和美国 MediVector 公司正在向美国 FDA 提交申请以扩大法匹拉韦(favipiravir,或称 T-705,Avigan)这一原本应用于抗流感病毒的药物,作为抗埃博拉病毒感染用药。法匹拉韦是一种新型的抗病毒化合物,主要用作抗新型流感毒株感染,今年年初,被日本政府批准上市。由于其没有经过猿猴以及人类相关研究,法匹拉韦能否抗埃博拉感染尚不明确。不过埃博拉病毒与流感病毒具有类似的结构(均为单链反义RNA 病毒),因此法匹拉韦可能对埃博拉病毒感染同样有效。但 WHO 目前并未推荐该药用于 EVD 的治疗。

5.其他用于 EVD 治疗的药物

除上述 4 种药物外,还有一些对抗埃博拉病毒的药物正在开发中,虽然很多药物均表现出良好的前景,但同样存在着相似甚至更大的不确定性。BCX-4430 是一个新的核苷类似物,可以影响病毒 RNA 多聚酶的功能而抑制病毒的复制,在啮齿类动物中具有抗埃博拉病毒活性,在非人灵长类动物中能够保护其免受马尔堡病毒感染,但并没有安全性试验的数据。AVI-7537 可通过RNA 干扰技术靶向作用于埃博拉病毒 VP24 蛋白,实验中对非人灵长类动物具有一定的保护作用。还有一些明确安全用法但用于其它疾病的药物,如氯喹、伊马替尼、雌激素受体调节剂(克罗米芬和托瑞米芬)、钙通道阻滞剂(胺碘酮、维拉帕米)等,也在

体外实验中体现出抗埃博拉病毒活性,可作为候选药物单独或联合其他药物用于治疗 EVD。

1.3.2.3疫苗的研究

寻找或研发抗埃博拉病毒的治疗药物固然重要,但管理和控制埃博拉病毒疫情暴发的最有效手段应该还是疫苗的使用,WHO 正与各方加快埃博拉病毒疫苗的临床试验。目前有数种针对埃博拉病毒的疫苗表现出良好的开发前景,但同样需要进一步的研究才能明确其应用价值。其中葛兰素史克公司开发的 “ChAd” 和美国纽琳基因公司开发的 “VSV” 疫苗最受关注,WHO 正与药物研发公司、临床专家与监管方加快这两种疫苗的临床试验,希望受疫情影响的国家能在 2015 年 1 月以后用上这些疫苗。

ChAd 疫苗是针对扎伊尔株设计研发的疫苗,它以一种良性病毒(腺病毒)为载体,仅包含了埃博拉病毒基因组的部分结构,因此不会导致接种疫苗者感染埃博拉病毒,该腺病毒也不会在人体内复制,但是如果人体处于感染状态时却会诱导免疫系统产生埃博拉病毒抗体。之前的动物实验已经证实该疫苗能够有效地防止埃博拉病毒感染,并且单剂量疫苗即可诱导产生高水平的保护效果,促进感染动物的恢复。目前,ChAd 已进入Ⅰ期临床试验阶段,这是首个进入Ⅰ期临床试验的抗击埃博拉病毒的疫苗。该试验已于 2014 年 9 月在牛津大学疫苗研究中心进行,有 60 名志愿者参与,目的是研究疫苗对健康人体是否有害,同时进一步确定最合适的疫苗剂量,但最终确定 ChAd 的疗效还要进行一系列试验。然而,在当下的情况下,人们希望把通过Ⅰ期临床试验的疫苗直接送到疫区的医护工作者手中,之后直接在疫区检测疫苗的效果。

VSV 疫苗是活病毒,该疫苗使用水泡性口炎病毒进行接种,可自我复制,感染细胞后可将埃博拉病毒的蛋白质带入宿主细胞中,之后就会激发免疫反应,防止机体出现器官衰竭和出血等症状。VSV 疫苗的价值在于,对于已经感染的猴子来说,该疫苗依然有效。美国纽琳基因公司已批准开展 VSV 疫苗的Ⅰ期临床实验。

1.4 技术路线

第2章 数据与方法

2.1基础知识

微分方程可以很好的模拟传染病的流行方式以及人感染传染病后的状态,SIR传染病模型是我们建立模型的理论基础,通过对SIR模型的改进,完善埃博拉病毒的传染机理,经过世界卫生组织数据带入验证,确立模型的准确性、科学性。

2.2 数据方法

根据已知埃博拉病毒的疾病生态学,同时考虑到埃博拉较高的病死率、短潜伏期、目前尚无疫苗防疫的特点,对传播动力学过程有较大的影响,本模型在SIR三分室的基础上增加疑似病患E,潜伏期感染者Q。设定的五分室模型如下:

各仓室之间关系如下:

dSQ(t)(1p)S(t)dtdR1I(t)dtd3dE1Q(t)(1p)[E(t)(1p)E(t)p]dtd3 dQ21I(t)Q(t)dtd1d2d3dI12Q(t)(1p)[S(t)E(t)(1p)E(t)p]I(t)d3d1d2dt

这样,就可以更加详细地描述模型变量,更好的预测埃博拉传染趋势。 本文首先运用SIR模型验证传染病传播的规律,再对模型进行参数修正,得出SEQIR模型预测某地区埃博拉疫情的发展。

第3章 模型建立与改进

3.1 SIR模型

3.1.1 模型建立

针对一般的传染病,姜启源等《数学模型》中建立了三个数学模型对其进行模拟,并逐步改进出了SIR模型,现将其作为初步分析的工具,具体过程如下。

模型假设:

1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变,人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类:易感染者(Susceptibles),其数量比例记为s(t),表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例;感染病者(Infectives),其数量比例记为i(t),表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例;恢复者(Recovered),其数量比例记为r(t),表示t时刻已从染病者中移出的人数(这部分人既非已感染者,也非感染病者,不具有传染性,也不会再次被感染,他们已退出该传染系统。)占总人数的比例。

2.病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数r,日治愈率(每天被治愈或死亡的病人占总病人数的比例)为常数μ,显然平均传染期为1/μ,传染期接触数为σ=r/μ。

基于以上模型假设,进行建模过程,我们看出,在假设1中显然有:

s(t) + i(t) + r(t) = 1 (3.1.1.1)

对于病愈免疫或死去的移出者的数量应为

NdrNidt (3.1.1.2)

s0>0)0我们不妨设初始时刻的易感染者,染病者,恢复者的比例分别为s(,

i0(i0>0),r0=0.

SIR基础模型用微分方程组构成表示如下:

didtsii

dssi

dt

drdti

 (3.1.1.3)

方程组中各参数及其含义如下:

日治愈率(每天被治愈或死亡的病人占总病人数的比例) μ

病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数 r

传染期有效接触数 σ

时刻t内健康人群 S(t)

时刻t内潜伏期人群 I(t)

时刻t内治愈或死亡人群 R(t)

则,在方程(3)中设r=1,μ=0.1,i(0)= 0.00001,s(0)=0.99999,用MATLAB软件编程:

运行后得出图像如图3-1所示。

图3-1 感染者比例与时间关系

3.1.2 模型分析

我们在数值计算和图形观察的基础上,利用相轨线讨论解i(t),s(t)的性质。

i ~ s平面称为相平面,相轨线在相平面上的定义域(s,i)∈D为

D = {(s,i)| s≥0,i≥0 , s + i ≤1} (3.1.2.1) 在方程(3)中消去dt并注意到σ的定义,可得

di11dssσ, i|ss0i0 (3.1.2.2)

所以,有

1di1dssσs1d1dsii0s0sσ (3.1.2.3) i

利用积分特性容易求出方程(5)的解为

i(s0i0)s1

lns

s0 (3.1.2.4)

在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3-2所示。其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向。

i

D

P2

imP1

os1/s

图3-2 s(t)和i(t)的变化曲线

下面根据(3.1.1.3)、(3.1.2.4)式和图3-2分析s(t)、i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作s,i和r)。

1. 不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即

i00 (3.1.2.5)

其证明如下:

dsdr00s首先,由(3.1.1.3) dt 而 s(t)0 故 存在; 由(3.1.1.2)dt而

r(t)1 故r 存在;再由(3.1.1.1)知i存在。

dri0则由(3.1.1.1),对于充分大的t 有dt2 , 这将导致其次,若

r,与r存在相矛盾.从图形上看,不论相轨线从P1或从P2点出发,它终将

与s轴相交(t充分大)。

2.最终未被感染的健康者的比例是s,在(7)式中令i=0得到,s是方程

s0i0s1lns0s0 (3.1.2.6)

在(0,1/σ)内的根。在图形上s是相轨线与s轴在(0,1/σ)内交点的横坐标。

di1di11o1 3.若s0>1/σ,则开始有dssσ,i(t)先增加,令dssσ=0,可

得当s=1/σ时,i(t)达到最大值:

1ims0i01lns0) (3.1.2.7)

di11o

然后s

di110ss4.若01/σ,则恒有dssσ,i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至,

如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线。

可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一个阈值,当s0>1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得s0≤1/σ(即σ ≤1/s0),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的,通常可认为s0接近1)。

并且,即使s0>1/σ,从(19),(20)式可以看出, σ减小时, s增加(通过作图分

i析),m降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。

从另一方面看,ss1/是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被s个健康者交换。所以当 s01/ 即s01时必有σS≤1既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。

3.1.3 模型验证

几内亚是联合国公布的最不发达国家之一,人口1120万。2014年3月23日WHO宣布几内亚埃博拉病毒感染所致的埃博拉病毒病,又称埃博拉出血热暴发,并在几内亚首都科纳克里和利比里亚和塞拉利昂的边界也出现EHF疑似病例。

下表显示了2014年感染埃博拉病毒人员在几内亚的变化情况:

表3-1 2014年感染埃博拉病毒人员在几内亚的变化情况表

由数据可知在前十天内,病毒传播情况大致符合模型模拟情况,可是其增长速度并没有模拟的那么快。究其原因,是因为病毒爆发后,政府采取了相应的隔离措施,而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得≤1/σ(即σ ≤1/),传染病就不会蔓延。下面通过改进的SIEQR模型进行模拟与预测某未知地区的埃博拉病毒爆发情况。

3.2 改进的SIEQR模型

3.2.1 模型建立

在埃博拉病毒爆发的初期,由于潜伏期的存在,社会对埃博拉病毒传播的速度和危害程度认识不够,政府和公众都没有引起足够的重视。当人们发现被感染者不断增加时,政府开始采取多种措施以控制埃博拉病毒的进一步蔓延。通过上述分析,可以把埃博拉病毒的传播过程大致分为3个阶段:

① 控制前,接近于自然传播时的传播模式;

② 过渡期,从公众开始意识到埃博拉的严重性到政府采取严格控制之的一段时间;

③ 控制后,在介入人为控制因素,严格控制之后埃博拉病毒的传播模式。 除西非等不发达地区外,美国、西班牙等国家都是在埃博拉病毒刚刚大肆传播就采取了强有力的措施,因此,这些地区的过渡期都可包括在控后期。由以上分析可知,单纯的SIR模型对于采取控制前埃博拉疫情的预测基本与实际情况较为吻合,但不能反映相关人为因素介入后的病毒传播规律和疫情的实际情况。在考虑相关人为控制因素后,针对SIR模型的不足,我们对加入了隔离等强制措施的SIR模型进行改进。

首先是人群种类的变化,我们在结合理论分析的基础上,把考察范围内的人群分为以下种类:

1、健康人群,即易感染(Susceptibles)人群。记其数量为S(t),表示t时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数;

2、确诊患者,即被感染(Infection)该疾病的人群,记其数量为I(t) 表

示t时刻可能感染该疾病的但又不是疑似病患的人数;

3、疑似病患,记其数量为E(t)表示t时刻感染该疾病的并是疑似病患的人数;

4、潜伏期感染者,记其数量为Q(t)表示t时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数;

5、恢复人群(Recovered),记其数量为R(t),表示t时刻已从感染病者中移出的人数,恢复者或死亡者(这部分人数既不是已感染者,也不是非感染者,不具有传染性,也不会再次被感染,他们已经推出了传染系统)。

基于以上人群分类,我们假设(埃博拉病毒传入某城市):

1. 假设易感人数的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比;

2. 假设从感染数中移除个体的速率与当时的感染人数成正比;

3. 假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生,死亡,流动等种群动力因素对总人数的影响。即:总人口数不变,记为N。

4. 假设潜伏期人群不会传染健康人,不具有传染性。

5. 假设被隔离的患者无法跟别人接触,不会传染健康人。

6. 假设治愈者已对该病毒有免疫力,不会再被该传染病传染,可以退出系统

7.假设初始时刻健康人群的总人数为S0=1.1千万(某城市),潜伏期的总人数为I0=1,疑似病患的总人数为E0=0,确诊病患的总人数为Q0=0,恢复人群的总人数为R0=0。

同样,方程组中参数及其含义如下:

病毒潜伏期(天) d1、d2

病患者治愈(死亡)时间(天) d3

病患人均每天接触人数 r

防控措施强度 p

时刻t内健康人群 S(t)

时刻t内潜伏期人群 Q(t)

时刻t内病症疑似人群 E(t)

时刻t内已患病人群 I(t)

时刻t内治愈或死亡人群 R(t)

传染病传染率 

由模型的假设得到如下关系

S(t)+I(t)+E(t)+Q(t)+R(t)=N(3.2.1.1)

根据假设在时刻t内健康人群变化有

S(tt)S(t)Q(t)(1p)S(t)t (3.2.1.2)

在时刻t内治愈或死亡人群的变化有 R(tt)R(t)11I(t)td3(d3为单位时间内患者的恢复率)(3.2.1.3)

在时刻t内病症疑似人群的变化有

E(tt)E(t)Q(t)(1p)[E(t)(1p)E(t)p1]td3(3.2.1.4)

在时刻t内已潜伏期人群的变化有(已患病人群等于潜伏期病人转为感染者减去移除人数)

Q(tt)Q(t)21I(t)Q(t)d1d2d3(3.2.1.5)

在时刻t内患病人群的变化有

12I(tt)-I(t){Q(t)(1-p)[S(t)E(t)(1-p)]-I(t)}td3d1d2 (3.2.1.6) 2

(d1d2为单位时间内潜伏期病人转为感染者的比例常数)

根据以上变化有方程组:

dSQ(t)(1p)S(t)dtdR1I(t)dtd3dE1Q(t)(1p)[E(t)(1p)E(t)p](3.2.1.7) dtd3dQ21I(t)Q(t)dtd1d2d3dI12Q(t)(1p)[S(t)E(t)(1p)E(t)p]I(t)dtddd312

3.2.2 模型求解

当d1=6, d2=12, d3=10, r=20, p=80%,我们假设患者2天后入院治疗,疑似患者2天后被隔离。有初始状态的患者人数为:

QQ(0)*(NQ(0)E(0)*r)*2N (3.2.2.1)

运用Matlab对模型进行模拟运算,得出患者人数随时间变化如图一:

图3-3 感染者比例与时间关系(P=0.8)

由上图可以得到:在当当d1=6, d2=12, d3=10, r=20, p=80%,在患者2天后入院治疗以及疑似患者2天后被隔离的条件下,当t在0~9.6607d时,患者的人数是急剧上升的,在t=9.6607达到最大值,此时患者人数为y=140822.1475在采取医疗措施,比如患者入院治疗,隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现下降的趋势。

3.2.3 模型分析

通过上述建模过程,我们可继续分析该模型特点,其中b1,b2,b3为固定值,当P值(防控措施强度)改变时,我们得到以下几幅不同的图像。

图3-4 感染者比例与时间关系(P=0)

图3-5 感染者比例与时间关系(P=0.2)

图3-6 感染者比例与时间关系(P=0.4)

图3-7 感染者比例与时间关系(P=0.6)

图3-8 感染者比例与时间关系(P=0.8)

图3-9 感染者比例与时间关系(P=1.0)

通过Matlab拟合的曲线,我们可以很明显的看出当防控强度P为0.4时,可以达到最佳效果(患者最少,患病高峰期延长),而我们主观意识上将患者与疑似患者全部隔离是最理想状态,但曲线拟合结果显示,这反而会使患者数在初期剧增(t≈0)

,这显然是不符合常规的,况且在现实情况下不可能做到防控强

度为1,因此模型预测取P

第4章 评价与建议

4.1 模型的评价

4.1.1 SIR模型的评价

SIR模型中考虑了传染病的几个基本因素,对埃博拉疫情进行了合理的模拟,并对模型进行验证,得出模拟效果良好但仍有瑕疵,于是说该模型既是基础,又有待改进。

4.1.2 SEQIR模型的评价

模型优势:

该模型较好的弥补了SIR模型中欠缺考虑的埃博拉病毒潜伏期短、致死率高等特点,考虑到世界卫生组织针对埃博拉疫情的控制措施,增添多项参数,为埃博拉疫情在某个未知地区的出现提供了理论分析基础,可以预测病毒爆发的全过程并为医疗组织提供合理的防控力度。

模型缺陷:

1、尚无合乎模型假设的区域(美国、西班牙等地虽符合假设,但是病例较少、医疗水平对较高,无爆发迹象,因此无法纳入考察范围)可供模型验证;

2、仍未把握到埃博拉病毒致死率较高的特点,仍有改进空间;

3、病患在达到峰值时的下降速度仍较快,防控措施与模型的相关性仍相对较弱,与实际可能会产生误差。

4.2 现有医疗水平的评价

针对现有医疗水平的评价,本文还是运用SIR模型的数据进行分析,因为发达国家病例少,样本不具有代表性,而西非地区是埃博拉疫情的重灾区,考虑到其医疗卫生条件相对发达国家较差,因此较为符合不考虑隔离强度、无疑似患者仓室的系统,即SIR系统。

通过对SIR模型验证时我们发现对于西非地区采取的防控埃博拉疫情的措施效用仍未达到模型理想的水平,说明西非目前不能保证日接触率λ处于相对较低、日治愈率μ相对较高的水平,即尚不能保证日接触数σ处于较低水平,其防控体系与防控力度相对较弱。但是,西非、世界卫生组织、各国卫生部采取了一系列强制措施,如:加强出入境检疫,积极研制埃博拉病毒疫苗,隔离埃博拉患者等,这些措施起到了防控埃博拉在世界范围内传播的效果,该控制体系的优越性是我们所不能忽视的。

4.3防控建议

目前尚没有针对 EVD 的特异性疫苗,也没有特异性治疗办法,因而严格隔离控制传染源、密切接触者追踪、管理和加强个人防护是防控 EVD 的关键措施。

预防性措施 对于未发生埃博拉出血热流行的国家和地区而言,有效控制传染源的关键是及时发现和隔离控制输入性病例,为此要加强进出境检疫,加强对动物的检疫,尤其是要加强对非人灵长类和蝙蝠等野生动物的检疫工作。口岸检疫部门一旦发现可疑病例或动物,要及时通报卫生部门做好疫情调查和处理,对前往该病流行地区的旅游和进行医护工作的人员,要进行有关埃博拉出血热防病知识的普及和教育,使其提高警惕意识,做好个人防护,加强国际间信息交流与合作,密切关注该病的流行动态,尤其要高度关注曾出现过埃博拉出血热流行的地区。

疫情控制措施 一旦发现可疑病例及其接触者,应立即采取严格的隔离措施,以防止疫情的扩散及流行。与病人接触时做好个人防护,防止直接接触患者污染物。对病人的分泌物、排泄物要严格消毒,污染的针头、注射器等可用焚烧或高压蒸汽进行消毒处理,所有涉及埃博拉病毒的实验室活动应严格按照我国有关规定进行,相关的实验室检查应减少至需要的最低限度,采集病料时应注意个人防护,在病料送检过程中一定要注意防止病毒的散播,病毒分离与培养只能在生物安全 4级实验室进行,该病无特效治疗措施,主要采用对症和支持疗法,注意水,电解质平衡,预防和控制出血,控制继发感染。

致谢

在此,首先感谢孟得新老师教受我们数学建模的基本理论,让我们感受到了数学建模的独有魅力,开发了我们的思维,提升了我们的能力,拓宽了我们的视野。孟老师严谨的治学态度、一丝不苟的钻研精神使我们学习的榜样,在论文遇到瓶颈期的时候,孟老师的指导让我们找到了新的思路,有了新的发现,才得以完成最终的文章。我还要深刻感谢朱家佑、牛星智同学的大力支持与帮助。如果没有朱家佑同学强大的理科思维与熟练的软件操作能力,我们的模型不可能建立的如此迅速,如此富有创新性;如果没有牛星智同学彻夜查考文献、整理文献综述以及模型的改进意见,我们也不可能顺利完成工作,我也不可能有清晰的思路进行论文的撰写与整合。最后,还要感谢帮助和支持我的室友、同学们,谢谢你们的提点与支持。总之,是大家的努力造就了这篇论文,谢谢你们。

参考文献

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范文三:埃博拉病毒传播问题的数学模型

摘 要

本文分别研究在单个种群、多个种群以及有防控措施、无防控措施条件下,埃博拉病毒在动物群之间的传播特性,建立模型,量化埃博拉病毒的传播规律,深刻认识该病毒的危害,并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

问题一

针对描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播特性并预测接下来的在猩猩中的疫情变化问题,我们认为不是单纯的预测问题,灰度预测、时间序列模型等预测模型并不能很好的适用于此。现有的SIR模型【1】是很成熟的描述一般病毒传播的数学模型,但是由于其中不包含我们需要的潜伏群,因此我们对SIR添加入潜伏群E,改进的到我们的单物种SEIR模型【2】。由SEIR模型建立微分方

问题二

针对描述埃博拉病毒在人群与猩猩群中相互传播特性以及预测人和猩猩中疫情变化的问题,本题中假设了病毒只能由猩猩传染到人。问题一中的SEIR模型虽然是对一种物种内部的传染模型,但我们认为传播模型是可以推广的,即在某一物种内部,埃博拉病毒的传播应该有着相同的规律;另外,在多个物种之间,埃博拉病毒的传播也应有类似的规律。因此,我们就以问题一的SEIR模型为基础进行改进,引入猩猩群对人群的影响因子,建立跨物种传播的SEIR模型,建立

针对此问中采取隔离与治愈感染者的措施后,要求预测疫情在人类中的发展情况、并与问题二结果作比较的问题,我们利用问题二的结论排除猩猩对人的影响后,此时病毒是在单物种内传播,适用于我们建立的单物种SEIR模型。我们利用前述数学模型,通过对比有无采取措施时的疫情变化情况,分析得出各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等对控制疫情的作用。

关键词 :单物种、跨物种SEIR模型 微分方程组 残差分析 量化分析

一 、 问题的重述与分析

1.1 问题的重述

埃博拉病毒有传染性,主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。埃博拉病毒只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。存在似乎天生就对埃博拉免疫的人,痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。

本题希望同学们通过数学建模的方法量化埃博拉病毒的传播规律,深刻认识该病毒的危害,并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。人与猩猩的潜伏期都为2周。请你根据相关信息,研究回答以下问题:

1、 建立一个病毒传播模型,动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播,并预

测接下来的在猩猩中的疫情变化,并给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

2、 建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,

并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并给出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

3、 假设在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接

触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据;

4、 请依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫

药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

1.2 问题的分析

1.2.1 问题一的分析

问题一需要我们根据猩猩的发病数量和死亡数量,建立一个病毒传播模型,动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播,并预测接下来的在猩猩中的疫情变化,这其实是一个数学上的预测问题。

针对预测问题,我们可以采用常用的时间序列模型或者灰度预测模型,但是针对病毒的传播,其自身有更加贴近实际的SIR模型,但由于SIR模型通常不考虑潜伏群的影响以及变化,而此题要求我们对潜伏群进行研究。

因此,我们改进SIR模型,加入潜伏群,建立更加适应于埃博拉病毒传播特点的SEIR模型,利用SEIR模型建立起微分方程组,利用微分方程解出的函数对题目要求的进行预测。

1.2.2 问题二的分析

第二个问题需要我们建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,描述人和猩猩疫情的发展,预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况。这实际上是两个变量之间的关联度描述与预测问题。

本题中简化了问题,假设了病毒只能由猩猩传染到人,这就变成了单向的影响,问题一中的SEIR模型是对于一种独立的物种内部的传染模型,现在病毒从一种物种单向传播到另一物种、并在该物种内互相传播。因此,传播模型是可以推广的,即在某一物种内部,流行性疾病的传播应该有着相同的规律;另外,在两个甚至是多个物种之间,流行性疾病的传播也应该有着类似的规律。

因此,我们就以问题一中的SEIR模型为基础进行改进,初步建立两物种间病毒传播的SEIR模型。

1.2.3 问题三的分析

在第三问中,第41周后,因为外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。此时,人群与猩猩群不再有互相影响,消除了猩猩对人群的影响,所以,问题又回归到了第一问的情况,病毒在单一群体中传播的SEIR模型。 由于我们没有病毒在单一人群中传播的原始数据,这样我们无法利用SEIR模型进行预测。理论上,我们应该在第二问的基础上,计算出与猩猩接触而成为潜伏者和感染者的人数Bt,然后用已知总数减去Bt,得到病毒在人群中单一传播时的数据,以此为依据对问题进行求解。

实际上,由于易感人群数高达10E6数量级,而猩猩感染群只有10数量级,差距非常大,因此猩猩感染群对于人群的传染作用在此问题中可以忽略,我们可以直接用题目中的数据对人的SEIR群变化进行预测。

1.2.4 问题四的分析

问题四需要我们分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。那我们就需要利用没有控制措施时的疫情情况与控制时的疫情相比较,得出采取的措施对于控制

疫情的作用。

二 、 问题假设

2.1、假设附件中提供的采样数据准确无误且具有充分的代表性 2.2、假设短期内猩猩与人类的出生率死亡率对种群数量影响不大 2.3、假设死亡后的猩猩与人类不再具有感染能力

2.4、假设易感者一旦和感染者进行有效接触就会被感染成为潜伏者 2.5、假设单位时间内一个感染者能传染的数量与易感群数量成正比 2.6、假设所有自愈或治愈者不再复发

2.7、假设所有潜伏期病人都会在两周后发病

三 、 符号说明

四 、模型的建立与求解

4.1 问题一 4.1.1模型的建立

图1 猩猩中S、E、I、R关系图

在本题中,我们将未被感染过的健康猩猩作为易感群(S),易感群与感染者有效接触后,并不会立刻成为感染者,而是全都是进入潜伏期,且所有潜伏期患者都是两周后开始发病,因此,每一周的潜伏群E(t)就等于之后两周感染群的和I(t+1)+I(t+2)。同时因为死亡与自愈的猩猩不会再对别的猩猩产生影响,因此我们把死亡与自愈的猩猩同时都计入退出群。由此我们建立以下微分方程组:

dS

dt1(t)IS1(t)IS

dE(t)IS(t)E

11

dtdI

1(t)IS1(t)E1(t)I

dtdR

dt1(t)I

S(0)S0,E(0)E0,I(0)I0,R(0)R0

(0)

另外,题目中要求的是退出群中死亡与自愈分别是多少,我们的模型中的退

出群是两个之和,似乎无法得出题目要求的值,但是我们通过分析能够发现退出群中自愈量与死亡量是存在关系的,我们可以通过选取死亡群组(R1)作为参考数列,建立灰色关联度模型求解死亡群组(R1)与自愈群组(R2)的关系:

x0x0(k)|k1,2,...,n

x1x1(k)|k1,2,...,nmin|x0(t)x1(t)|max|x0(t)xs(t)|t (k)t

|x0(t)x1(t)|max|x0(t)xs(t)|t

n

r1(k)

ni1

(2)

4.1.2 模型的求解

现在我们根据建立的模型利用已知数据进行求解,我们将题目中给出的数据进行整理,得出我们建模求解需要的S、E、I、R四个群的猩猩数量(见附录1),并且利用整理出的已知数据对微分方程组中的参数进行求解: 1)潜伏者日接触率1(t):

1(t)

E/t

I(t)*S(t)

(3)

2)感染者日接触率1(t):

1(t)

I/t

I*S

(4)

3)退出率1(t):

1(t)

1(t):

1(t)=

R(t)

I(t)

(5)

4)潜伏群发病率

每日新确认病例数每日疑似累计数

(6)

由我们整理出来的数据带入以上公式,估算得:

11.085E-4,10,10.3018,10.5121

求出微分方程的参数后,我们根据整理出来的数据特点进行判断,选取第11周时的S、E、I、R值作为初值,即:

S02752,E030,I052,R0166

利用MATLAB编写程序(程序源代码见附录2),将参数以及初始值导入微分方程组(1)进行求解,预测出的S、E、I、R四个群的数量变化分别如下:

猩猩数/个

周数/周

图2 猩猩易感群(S)数量的实测值与预测值

猩猩数/个

周数/周

图3 猩猩潜伏群(E)数量的实测值与预测值

猩猩数/个

周数/周

图4 猩猩感染群(I)数量的实测值与预测值

猩猩数/个

周数/周

图5 猩猩退出群(R)数量的实测值与预测值

以上我们分别预测出了处于S、E、I、R四个群中的猩猩数量,现在我们需要将退出群(R)分解成两部分即分别还需要求解出死亡猩猩(R1)和自愈猩猩(R2)的数量。根据附件一,我们作出死亡群(R1)与自愈群(R2)的图像如下:

图6 猩猩死亡群(R1)与自愈群(R2)数量的实测值

将附件一中的死亡群与自愈群带入方程组(2)可以求得每周死亡数量与每周自愈数量的相关度:

r=0.869

说明死亡群组与自愈群组的相关度很高,即我们可以视为每周死亡数量与自愈数量的变化是同步的,因此他们各自占退出群的比例可以视为保持不变。

R1k1*R(t),R2k2*R(t) k10.6668,k21k1

通过计算我们得知第一问题的结果 :

4.1.3 结果的分析

根据模型求解结果我们发现,易感群、感染群与潜伏群的变化趋势基本一样。通常在疫情爆发时,感染群数量和潜伏群数量都是呈指数型增长,因此本题中给出的数据应该是在疫情已经爆发了一段时间以后,这时疫情已经由于生态系统自身的调节能力而得到控制,因此感染者与潜伏者数量会逐渐下降最终趋于平缓,而退出群虽然会逐渐增加,但是由于最后疫情得到控制,感染者与潜伏者趋于平缓,那么退出群也会逐渐趋于平缓直到达到上限。

从图像我们可以分析出,在开始统计的第11周-100周的时间内,每一周存在的感染者与潜伏者在逐渐减小,但是同时,因病死亡与自愈康复的猩猩数量都在较快的增长,说明这段时间疫情仍然较为严重。

在大约第120周以后,感染者、潜伏者、死亡与自愈者都已经基本达到自己的稳定值,这是说明疫情已经基本上得到控制,猩猩已经基本不再感染埃博拉病

毒。

4.1.4 模型的检验

我们从图1-图4中的实测值散点图和预测值曲线图可以看出,我们利用SEIR模型建立的微分方程组解出后得到的S(t)、E(t)、I(t)、R(t)与实际的群体数量变化非常接近,图像基本吻合,因此说明我们的预测符合实际变化情况,我们的模型可以认为是可信的。

为了更加精确的描述我们模型的准确程度,我们引入残差分析,分析实际观察值与我们建模预测的值之间的残差,用以评判我们的模型是否精准:

图7 猩猩易感群(S)的残差

图8 猩猩潜伏群(E)的残差

图9 猩猩感染群(I)的残差

图10 猩猩退出群(R)的残差

求出残差后我们发现,我们的每一组群体的残差置信区间都基本包含零点,每一组仅有少数残差的置信区间不包含零点在内,因此我们验证了我们的模型是可靠的。

4.1.5 模型的优点与缺点

一、 模型的优点

1. 首先SEIR模型进行了较为详细的分类,建立的微分方程组较为紧凑,相关性较强。因为各参数的设置合理,所以参数的设计在详细的数据的支持下和实际情况较为接近,为图形的拟合和对最终控制期的预测奠定了基础。

2.SEIR模型适用范围较广,只要数据足够地精确详细,则求出估计参数便可求解。

3.该模型虽然是控后模型,但只要人的警惕性增强,把控制期提前到疫情初期,那么只要做适当的参数修改便可以作为疫情发展的全过程的预测模型。

二、 模型的缺点

1.首先是SEIR模型没有考虑年龄结构层次对疫情的影响。因为根据医学研究表明,年龄较小和较大者极易感染病毒,而青壮年由于身体机能强免疫力高不易感染病毒。

2.SEIR模型是基于我们将α,β等描述感染能力的参数当做定值,即感染者潜伏者感染其他人的能力不会发生变化而成立,而实际上病毒的感染能力会随着接触水平等因素变化而变化。

4.2 问题二 4.2.1模型的建立

事实上病毒在两种物种之间相互传播时传播特点非常复杂,但本题已经限定了埃博拉病毒从物种A(猩猩)向物种B(人)的传播,而忽略B对A的影响(虚线部分)。经过这样简化,我们可以得到下图(图11)中的传播关系:

图11 猩猩与人的S、E、I、R关系图

由第一问中的SEIR模型,我们经过可以改进可以得到病毒在两物种之间传播时的SEIR模型,并由此建立新的微分方程组:

dAs

dt1(t)AiAs1(t)AiAs

dAe(t)AiAs(t)Ae

11

dt

dAi(t)AiAs(t)Ae(t)Ai

111

dtdAr1(t)Aidt

(7)

dBt

dt(t)AiBsp(t)Btq(t)Bt

dBs(t)BiBs(t)BiBs(t)

22

dtdBe2(t)BiBsp(t)Bt2(t)Be

dt

dBi

2(t)BiBs2(t)Beq(t)BtdtdBr

2(t)Bidt(t)p(t)q(t)

(8)

同样,还需要求解出死亡人群(Br1)、治愈人群(Br2)及隔离治疗(Br3)的

数量,我们选取死亡群组(Br1)作为参考数列建立灰色关联度模型求解死亡群组

与治愈群组(Br2)和隔离治疗(Br3)的关系:

x0x0(k)|k1,2,...,n

x1x1(k)|k1,2,...,nmin|x0(t)x1(t)|max|x0(t)xs(t)|t (k)t

|x0(t)x1(t)|max|x0(t)xs(t)|t

n

r1(k)

ini1

(9)

4.2.2 模型的求解

现在我们根据建立的模型利用已知数据进行求解,我们将题目中给出的数

据进行整理,得出我们建模求解需要的S、E、I、R四个群的人数(见附录3),并且利用整理出的已知数据对微分方程组中的参数进行求解: 1) 潜伏者日接触率2(t):

2(t)

Be/t

Bi(t)*Bs(t)

(10)

2)感染者日接触率2(t):

2(t)

Bi/t

Bi*Bs

(11)

3)退出率2(t):

2(t)

Br(t)

Bi(t)

(12)

4)潜伏群发病率2(t):

2(t)=每日新确认病例数每日疑似累计数

(13)

5)B物种与A物种接触群日增长率λ(t):

(t)

p(t)

B物种接触群增长数量

Bs∗Ai

(14)

6)B物种接触群到潜伏群的比率p(t):

B物种由接触者成为潜伏者的日新增数量

B物种接触者日累计数量

(15)

7)B物种接触到感染群的发病率

q(t)

B物种由接触者成为感染者的日新增数量

B物种接触者日累计数量

(16)

由我们整理出来的数据带入以上公式,估算得:

2p2-1.23907,27.51951,21.49931,q1.23907

求出微分方程的参数后,我们根据整理出来的数据特点进行判断,选取第11周时的Bs、Be、Bi、Br值作为初值,即:

Bs0,Be0,Bi0,Br0

利用MATLAB编写程序(程序源代码见附录4),将参数以及初始值导入微分方程组(8)进行求解,预测出人的S、E、I、R四个群体的数量变化分别如下:

图12 人群中易感群(Bs)的实际值与预测值

图13 人群中潜伏群(Be)的实际值与预测值

图14 人群中感染群(Bi)的实际值与预测值

图15 人群中退出群(Br)的实际值与预测值

将附件3中的死亡群与自愈群带入方程组(2)可以求得每周死亡人数与每周自治愈人数、每周隔离治疗人数的相关度:

r1=0.832;r2=0.256

说明死亡群组与自愈群组的相关度很高,即我们可以视为每周死亡人数与治愈人数的变化是同步的,但是死亡人数与隔离人数之间并无明显关系。

而我们通过计算发现,隔离治疗人数与感染群人数有非常高的相关度,因此我们可以用感染群人数估计隔离治疗的人数,再利用退出群中减去隔离治疗的部分计算死亡人数与治愈人数:

Br3k*I

Br1k1*(R(t)Br3),Br2k2*(R(t)Br3)

k0.710547032948828

k10.7216,k21k1

通过计算我们得知第二个问题的结果 :

表2 “虚拟人类种群”群体数量预测结果(单位:个)

4.2.3 结果的分析

根据模型求解结果我们发现,在猩猩对人群的单向传染中,人群的易感群、感染群与潜伏群数量与在单个物种中传播时的变化趋势基本一样。且利用模型求解出的结果和实际数据仍然非常吻合,说明我们的SEIR模型经过修改,仍然适用于简化情况下病毒在两个物种之间的传播特点。

从图像我们可以分析出,在开始统计的第11周-100周的时间内,每一周存在的感染者与潜伏者在逐渐减小,但是同时,因病死亡、治愈后康复以及隔离治疗的总人数在较快的增长,说明这段时间疫情仍然较为严重。

在大约第120周以后,感染者、潜伏者、死亡、治愈以及隔离的人数都已经基本达到自己的稳定值,这是说明疫情已经基本上得到控制,人群已经基本不再大规模感染埃博拉病毒。

4.2.4 模型的检验

我们从图12-图15中的实测值散点图和预测值曲线图可以看出,我们利用SEIR模型建立的微分方程组解出后得到的S(t)、E(t)、I(t)、R(t)与实际的群体数量变化非常接近,图像基本吻合,因此说明我们的预测符合实际变化情况,我们的模型可以认为是可信的。

为了更加精确的描述我们模型的准确程度,我们引入残差分析,分析实际观察值与我们建模预测的值之间的残差,用以评判我们的模型是否精准:

图16 人群中易感群(Bs)的残差

图17 人群中潜伏群(Be)的残差

图18 人群中感染群(Bi)的残差

图19 人群中退出群(Br)的残差

求出残差后我们发现,我们的每一组群体的残差置信区间都基本包含零点,每一组仅有少数残差的置信区间不包含零点在内,因此我们验证了我们的模型是可靠的。

4.2.5 模型的优点与缺点

一、模型的优点

1. 首先SEIR模型对于模拟埃博拉病毒在单种生物中传播时具有非常好的效果,预测疫情发展时非常精确

2.我们对单种生物中的SEIR模型进行改进,添加入A种群对B种群的影响因子,贴近实际,使得我们的模型对于更为复杂的跨物种传播仍然适用。 二、模型的缺点

1. SEIR模型自身的缺点在此次改进中不能得到修正,仍然忽略了很多诸如年龄等对于疫情传播有影响的因素。

2.改进后的SEIR模型虽然预测后仍然很精确,残差也非常小,但是我们发现在预测潜伏群体时出现了与常识相违背的结果,这可能是由于我们的参数计算时数据太少而且偶然因素较多导致,这也说明了我们模型的抗干扰能力不够强,实用性也仍然不够广。

4.3 问题三 4.3.1模型的建立

我们在分析中已经得出,我们可以忽略猩猩感染群对于人类的感染作用,因而我们直接利用题目中的数据带入我们一问中建立的单一物种间的病毒传播SEIR模型,建立微分方程组进行求解:

dBs

dt3(t)BiBs2(t)BiBs

dBe(t)BiBs(t)Be

33

dt

dBi(t)BiBs(t)Be(t)Bi

333

dtdBr3(t)Bidt

(17)

在第三问中,题目中要求解出死亡人群(Br1)、治愈人群(Br2)及隔离治

疗(Br3)的数量,我们在第二问中已经通过灰色相关度分析得出死亡群组与自愈群组的相关度很高,即我们可以视为每周死亡人数与治愈人数的变化是同步的;同时,隔离治疗人数与感染群人数有非常高的相关度,因此我们可以用感染群人数估计隔离治疗的人数,再求解死亡群组与感染群组人数。

4.3.2 模型的求解

根据模型解得在41周以后通过采取隔离和治疗后,疫情在“虚拟人类种群”的发展情况:

图20 人群中易感群(Bs)的实际值与预测值

图21 人群中潜伏群(Be)的实际值与预测值

图22 人群中感染群(Bi)的实际值与预测值

图23 人群中退出群(Br)的实际值与预测值

根据建模解出的结果分别计算隔离治疗群(Br3)、累计治愈群(Br2)以及累计死亡群(Br1)人数如下:

Br3k*I

Br1k1*(R(t)Br3),Br2k2*(R(t)Br3)

k0.710547032948828

k10.7216,k21k1

通过计算我们得知第三个问题的结果 :

4.3.3 结果的分析

根据模型求解结果我们发现,在去除猩猩种群对人群的影响以后,病毒单独在人群中进行传播时的易感群、感染群与潜伏群数量与在猩猩中传播时的变化趋势总体上仍然一直。

从图像和数据我们可以分析出, 在第41周开始隔离开猩猩与人群并且提高治疗药效后,潜伏群与感染群下降的速度明显快于在第二问没有采取任何措施时

的下降速度。

这说明采取隔离措施时,减少了人的接触被感染率,抑制潜伏群和感染群的增长,直接体现在加快了潜伏群与感染群趋于最终稳定的速度。

而治疗药物效果的提高,能及时检测人群中的潜伏群,若能采取及时的隔离措施,则能够大大降低其与易感群的有效接触,使传染得到控制,减少了潜伏人群和处于发病状态的数量以及死亡数。

4.3.4 模型的检验

我们采用与第一问一样的模型求解,可以发现最终的预测曲线与实际值之间同样非常吻合,我们同样作出残差图对模型的精确度进行检验分析:

图24 人群中易感群(Bs)的残差

图25 人群中潜伏群(Be)的残差

图26 人群中感染群(Bi)的残差

图27 人群中退出群(Br)的残差

4.3.5 模型的优点与缺点

由于我们在此问中采用了与第一次完全一致的SEIR模型,因此模型具有SEIR模型自身具有的诸多优缺点,在此不再赘述。

需要在此说明的是,在第三问的处理中,我们根据分析得出猩猩对于人的传染影响很小,因此忽略了猩猩群体对人群体的直接影响是对问题进行了简化,但是实际上在41周将猩猩与人群隔离开以前,猩猩的存在会对人群的S、E两个群体数量产生直接影响,且通过S、E两个群体对I、R两个群体产生间接影响,虽然影响很小,但是仍然可能造成我们的简化模型产生较大误差,这是我们模型最大的缺点。

4.4 问题四

通过将第一二问没有采取任何控制与防治措施时的疫情与第三问采取隔离和投放药物的疫情相比较,我们可以得出如下结论:

投放防疫药物、采取隔离措施时,能减少人的接触被感染率,即减少有效接

触,即抑制潜伏群的增长,在我们模型中的直接体现是降低了有效接触的数量,从而降低感染群的峰值。

检疫药物效果的提高,能及时检测人群中的潜伏群,若能采取及时的隔离措施,则能够大大降低其与易感群的有效接触,使传染得到控制,减少了潜伏人群和处于发病状态的数量以及死亡数。

而治疗药物药效的提高,直接作用于患病人群,能够降低其死亡率。

故防疫与检疫药物的效果提升和相关措施的严格执行,能够对疫情的控制起到决定性的作用,能够减少疫情的扩散;而治疗药物的效果的提升则降低了死亡率,控制疫情的死亡人数。

五、参考文献

[1]百度百科,http://baike.baidu.com/link?url=TXifg9YS2W-h23d9kE9BemlthlBguG7KaSJwdRSBjeRXsxmAt-9v7dfT926bUSPO3htwKpaJ-ONYARiSaVaBHa,2015年5月1日

[2]周广发、陈月华,SARS传播模型的探讨,2015年5月1日

六、附录

6.1 附录1

6.2 附录2

问题一微分方程组(1)MATLAB求解程序代码

function dy=seir(t,y) dy = zeros(4,1);

α=0.000107593196449557; β=0;

w=0.301185431268702; =0.512238823647188;

dy(1)= -y(3)*y(1)* α-β*y(1)*y(3); dy(2)= α*y(1)*y(3)-y(2)*;

dy(3)= β*y(1)*y(3)+*y(2)-y(3)*w; dy(4)=y(3)*w; end

6.3 附录3

6.4 附录4

问题二微分方程组(7)(8)MATLAB求解程序代码

function dz=qq(t,z) dz=zeros(8,1);

a=0.000107593196449557; b=0;

w=0.301185431268702;

q=0.506343491;

b2=7.51950955852228E-06; q2=-1.23907471853569E-07; w2=1.49931331589255;

dz(1)= -q2*z(7)*z(1)-b2*z(1)*z(3); dz(2)= q2*z(1)*z(7)-z(2)*q2;

dz(3)= b2*z(3)*z(1)+q2*z(2)-z(3)*w2; dz(4)=z(2)*w2;

dz(5)= -z(7)*z(5)*a-b*z(5)*z(7); dz(6)= a*z(5)*z(7)-z(6)*q;

dz(7)= b*z(5)*z(7)+q*z(6)-z(7)*w; dz(8)=z(7)*w; end

范文四:埃博拉病毒传播模型及规律预测

  摘要:埃博拉病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒。文章以2014年西非疫区为参照,建立虚拟环境的常微分方程组,利用四阶龙格―库塔法求解其数值解,具体通过C语言程序设计实现,并据此研究埃博拉病毒的传播规律,分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

  关键词:数学建模;埃博拉病毒;常微分方程组数值解;四阶龙格―库塔法;西非疫区 文献标识码:A

  中图分类号:O175 文章编号:1009-2374(2016)04-0194-03 DOI:10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.04.096

  1 模拟真实环境

  埃博拉病毒的自然宿主虽尚未最后确定,但已有多方证据表明猴子及猩猩等野生非人灵长类动物有埃博拉感染现象。该病毒的传播途径分为人畜传播、人人传播两种。2014年,在几内亚、塞拉利昂和利比里亚等国,许多受埃博拉病毒影响的人口都以丛林肉为重要的蛋白质和营养物质来源,与丛林中动物接触频繁。这为人畜之间的病毒传播创造了条件。

  我们现假设两个感染埃博拉病毒的虚拟种群:即某地区内的20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。人与猩猩的潜伏期都为2周。并在出现疫情41周后模拟外界医疗力量的介入,使得人类与猩猩不再发生接触,且隔离治疗人群的治愈率提高到80%。模拟数据详见附录。

  2 建立数学模型

  2.1 模型假设

  (1)依据人或猩猩的健康状态,将人或猩猩划分为健康者、埃博拉感染者(也称患病者)、退出者(含自愈者、死亡者);(2)自然封闭条件下,猩猩无自然迁移,故无病源的流入、流出,种群数量不变。人类数量庞大,在无大规模迁移的情况下,认为人类数目为一定值,保持不变;(3)健康者中不包含退出者;(4)人和猩猩自愈后二度感染的概率均为0,人被治愈后二度感染的几率为0;(5)不存在有效免疫药物可使人对埃博拉病毒产生免疫,同时猩猩对病毒也不免疫;(6)人的传染途径有人传染人、猩猩传染人两条。两条途径的传染率并不相同,分别假设为传染率C1和传染率C2。C1猩猩与猩猩之间传染途径只有猩猩传染猩猩一条,假设猩猩之间的传染率为C0;(7)患病人无法传染患病猩猩;(8)41周外界介入后,猩猩与人的传播途径切断,隔离患者的治愈率提高到80%,同时未被隔离的患者治愈率不变。

  2.2 符号说明

  符号说明如表1所示:

  

  3 模型的建立与求解

  3.1 数据处理

  根据累计死亡个体数,求得每周死亡个体数。同理,根据累计自愈个体数,求得每周自愈个体数。由每周仍处于发病状态的个体数加本周自愈个体数和本周死亡个体数得到每周总患病个体数。

  由每周总患病个体数比总体数目得到每周患病个体在总体中的比例A(t);由相邻两周每周患病数相减得到每周新增患病数。由总体个数减去新增病例累计和获得健康个体数,并由此得到健康个体在总体中的比例J(t);由累加自愈治愈人数与累加死亡人数得到退出者总数量,并由此得到退出者在总体中的比例T(t)。

  由于埃博拉病毒的潜伏期是两周,所以任意一周的新增病例是两周前处于患病状态的个体传染的。由新增病例数比两周前处于患病状态的个体数得到该周埃博拉病毒传染率,由此计算出每一周的传染率。通过MATLAB绘图,我们得到其近似曲线为一条平行于X轴的曲线,所以通过加权平均求得平均传染率。

  因为人类最初患病个体不可能为人类传染所致,所以两周内出现的患病者必为由猩猩传播而来的。最初两周,人每周新增的患病个数除以处于两周前患病状态的猩猩个数得到猩猩与人之间平均传染率C1。

  两周之后人患病可由猩猩和人传播两种途径导致,猩猩每周处于患病状态的数量和C1已知,所以每周由猩猩传播导致人患病的数量可求出,用每周新增患病人数减去每周猩猩传播导致人患病的数量,即每周由人传染导致的患病数量。由每周人传染导致的患病数量除以两周前未被隔离处于患病状态的人数可得到每周埃博拉人与人之间传染率C1,通过MATLAB画出C2的图像,可以发现其图像为平行于x轴的曲线,可通过加权平均求出人与人之间平均传染率C2。

  死亡率是由本周死亡个数比本周总病例数得到。我们由此求得每一周的死亡率。通过MATLAB绘图我们得到一条同样近似平行于X轴的曲线,所以通过加权平均,求得疫情稳定后平均死亡率。

  每周处于未隔离的患者人数处于每周的处于患病状态的总人数可得到每周的未隔离率G,其图像为平行于x轴的曲线,通过加权平均求出平均未隔离率G。

  同理,我们还得到疫情稳定后的平均自愈及治愈率。我们近似地认为,在病情爆发后不久,即疫情稳定后,周感染率、周死亡率、周治愈自愈率、周未隔离率都是常值。

  

  3.2 埃博拉病毒的传播模型

  由假设知,猩猩患病只能由猩猩传播。每个患病猩猩每周可使得只的健康猩猩变为患病猩猩,由患病猩猩数量得每周共有只健康猩猩被感染。即患病猩猩的增加率,又因为每周自愈的猩猩数目为,死亡的猩猩数目为,所以猩猩患病数随时间变化满足:

  

  同理,我们得到人类的传播模型(由前述,所有脚标为2的符号均为人类相关数据,脚标为1的符号为与猩猩相关数据):   

  3.3 模型求解

  通过联立方程组和数据处理,我们使用四阶龙格―库塔法分别求出人和猩猩群体中健康者和患病者的比例的数值解。

  

  通过C程序设计编译程序求解模型所用常微分方程组的数值解。该程序在前四十组解得检验中拟合程度极高,故由此得到较为可靠的预测数据。C语言程序代码详见附录。

  数据拟合如下:

  

  3.4 建立使用免疫药物后的模型

  未被隔离患者的治愈率和被隔离患者的治愈率加权平均后得到患者的平均治愈率Zh。1-Zh为死亡率与未被治愈率之和。默认死亡率与未被治愈率权重不变。在(1-Zh)中,可以算出死亡率的权重和未被治愈率的权重。在严格控制人类与黑猩猩接触并使用特效药后的数学模型如下:

  

  将之与隔离前模型对照后发现,特效防疫药物的使用极大地提高了治愈率Zh,快速地降低了患病数。而隔离黑猩猩的措施将黑猩猩传染致病人数降为0。

  综上,两种措施都有效地预防了疾病的进一步扩散,抑制了疾病的传播,使患病人数的增长率由正变负,从而导致患病数在短期内大量且持续减少。

  4 模型的评价与推广

  4.1 模型优势

  (1)种群数量较小时,通过求解比例的变化得出结果较为精确;(2)可以动态地描述种群发病率、死亡率、自愈率、治愈率、传染率等多种特征量;(3)四阶龙格―库塔法通过数值求解常微分方程组,很好地拟合了给定的原始数据。

  4.2 模型缺陷

  (1)由于通过比例而非数量求解,所以当种群数量较大且比例变化不明显时误差较大;(2)认为两个“虚拟种群”内部个体总数在随时间变化时基本不变,未考虑个体总数的时间变化率。

  5 附录

  5.1 模拟数据

  模拟数据如表2所示:

  

  5.2 C语言程序代码

  

  

  参考文献

  [1] 李信真.计算方法[M].西安:西北工业大学出版社,2013.

  [2] H.Nishiura,G.Chowell.EARLY TRANSMISSION DYNAMICS OF EBOLA VIRUS DISEASE(EVD)[J].WEST AFRICA,2014,(8).

  [3] 甄西丰.实用数值计算方法[M].北京:清华大学出版社,2006.

  [4] 刘来福,何青.用Maple和MATLAB解决科学计算问题[M].北京:高等教育出版社,1999.

  (责任编辑:王 波)

范文五:埃博拉病毒如何传播

健 康 社 区 健康新知  

英 国玛 丽女 王 大 学 癌 症 预 防 中心 教 授 祖 

埃 博 拉 病 毒 如 何 传 播 

目前 的研 究 表 明 , 埃 博 拉 病 毒 主 要 是靠 感 染 者 的  体液传播 。这些体液包 括感染者 的唾液 、 呕吐物 、 血 

液、 排泄物、 l I E N、 汗水 和 母乳 等 ( 有 些专 家 对 部分 体 液 

兹克在英 国   肿瘤学年报  杂志发表报告 : 中老  年人 如 果 长 期 小剂 量服 用 阿司 匹林 , 可 以显著  降低 罹患某 些癌症 的风 险或 者降低 死 亡率 。  

祖 兹克领 导 的 团队通 过分析 超 过 2 0 0 组 阿 

司 匹林 抗 癌效 果研 究和 临床 试验 发 现 , 如果 1 0  

是 否会 传 播 有 不 同 意 见 ) 。如 果 感 染 者 身 处 晚 期 , 那 

么, 他们 一丁 点体 液都 携带着 大量 病 毒 。   过往研究表 明, 如 果 医 护 人 员 不 慎 接 触 到 埃 博 拉  患者 的 血液 , 只 要 自己身 上没 有 伤 口, 这 些 血液 也 未 触 

年 连 续服 用 阿 司 匹林 , 肠 癌发 病率可 降低 大约 

3 5 %, 死亡 率 减少 4 0 %; 食 道 癌和 胃癌发 病率 可 

降低 3 O %, 死亡率减 少3 5 % ~5 0 %。 如 果服 用 

阿司 匹林 至 少 l 0 年, 这一 年龄 段 中, 男性 患癌 、   中风 和 心脏 病 的 几 率 可 降 低 9 %, 女 性发 病 率 

降低 大约 7 %。  

碰 到 自己 的嘴 巴 、 鼻子 和 眼睛 等 , 用 肥皂 和 清水 把 血 液 

冲 洗干 净 即能 防止感 染 。   跟 中 国人谈 虎 色变 的 S A R S ( 非典) 不同, 埃 博 拉 病 

毒 目前 尚不 能通 过 空 气传 播 。 不过 , 医学 专家 认 为 , 从 

为达到 防癌 抗癌 效 果 , 5 O~6 5岁的人 群 需  要5 ~1 0 年 坚持 服 用 阿 司 匹林 , 每 日7 5 ~1 0 0   毫克 。祖 兹克 教授 指 出, 头3 年 看 不见效 果 , 服  用5 年后 才 能 降低 死亡 率 。但 如 果服 用 阿 司 匹 

林 1 O年 , 消 化 道 出血 的 风 险 可 从 2 . 2 %增 至 

今 年 的 现 实来 看 , 埃 博拉 是 高传 染 性病 毒 , 传 染性 要 强 

过S A R S 、 腮腺炎、 麻疹等传染性疾病。 目 前, 紫外灯、 干  燥、 高温 、 消毒 液 ( 肥 皂水 或 酒精 ) 都可 轻 易杀 死埃 博 拉 

病 毒 。病 毒离 开 动 物 体 内 、 在 阴冷 潮 湿 环 境 下 的存 活 

期, 只 有短 短几 天 。  

3 . 6 %, 对 少数 人 群 会 构 成致 命 危 险 。 因此 , 大  量服 用 阿 司 匹林有 风 险 , 人 们在 开 始每 天服 用 

埃 博 拉病 毒 的潜 伏 期 一 般 是 5 ~ 7 天, 最短 2 天, 最 

前应该向医生寻求建议 。  

长可 达 2 1 天 。初期 症 状是 发烧 头痛 、 关 节 和肌 肉酸 痛 、  

咽 喉疼 痛 和 肌 肉无 力 。这 跟 患 流 感 的 症状 很 相 似 , 因  此, 最 开 始 一 般 很 难 诊 断 某 人 是 否感 染 了埃 博 拉 。 目  

前医护人 员只能通过询 问患者是否 到过西非“ 疫 区”  

等, 进 而做 进 一步检 查 。  

英 真扩大袋 - 汀类药  ’ 连更蔻图  

英 国卫 生部 门2 0 1 4 年7 月更新的一项健康 指导 ,   将降胆 固醇的他汀类药物适用 范围进 一步扩大。根据 

新 研 究认 为  糖 比 盐 更伤 血 压 

长期 以来 , 多 项研 究 告 诫 : 吃 盐 过 多会 引发 高血 

新指导意见, 未来 1 O 年 内患病风 险在 2 0 %以上的英国  

人都可服用此类药物。他汀类药物可帮 助减少脂肪斑  块在血管 中的堆积, 降低血管堵塞 引发心脏病、 中风等   疾 病 的风 险。   根据这一建议, 英 国6 0 岁以上 的男性和6 5 岁 以上  的女性均可从 医生处获得他 汀类药物, 而在年轻人 中,   胆 固醇高、 肥胖 、 有心脏病家族史及吸烟人群也应服药  以降低 患病 风 险。   英国国家 卫生与临床优化研 究所教授马克 ・ 贝克  说’ 防病总 比治病要好, 疾病预防正是现代 医学的最重   要支柱之 一。不过也有反对意见认为, 关于他 汀类 药   物的副作用 目前尚无定论 , 不应 盲 目 扩大其适用 范围,   改变不 良生活习惯仍是降低心血管疾病风险最重要的  

手段 。  

长期 服用阿司 匹林 可降低患癌 风险 

压, 使 中风危 险增加 1 / 4 , 每年 导致 全球 3 0 0 万 人 死  亡 。 日前 , ( ( 美 国 心脏 病 杂 志 刊登 一 项 新 研 究报 告 认  为, 导致 高血 压 的 罪魁 祸 首 不是 盐 而是糖 。  

美 国研 究人 员认 为 , 高血 糖 水 平 影 响 大脑 的 关键  

区域 下 丘脑 , 进 而导 致 心率加 快 和血 压 升 高。 另外 , 吃 

糖 太多导致血糖升 高进 而刺激人体 分泌更多胰 岛素 ,   而胰岛素 同样会刺激心率加快。  

美国“ 控糖行动组织” 科 学 总监 阿斯 姆 ・ 马 尔霍 特  拉 博 士表 示 , 糖 对 公 众 健 康 构 成 的风 险被 低 估 了 。控  糖 应 和控 盐一样 成 为预 防 高血 压 的重要 策略 之一 。  

5 2  

范文六:埃博拉病毒的传播

西安工业大学数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮

件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问

题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他

公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正

文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反

竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C中选择一项填写): B

所属学校(请填写完整的全名): 西安工业大学 参赛队员 (打印并签名) :1. 陈文兴

2. 闫丽萍

3. 魏栩

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名):

日期: 2015 年 8 月 1 日

埃博拉病毒传播及控制分析

摘要

埃博拉病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,有很高的死亡率。本文根据研究人员统计所给出的前四十周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息,对该病毒的传播、预测与控制进行研究并建立模型,并分析了隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。 针对问题一,在了解埃博拉病毒的传播情况后,根据猩猩的发病情况建立了马尔萨斯模型:xt154.97e0.0270t。在此模型中,较好地描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播情况;根据“虚拟猩猩种群”中的数据,用matlab拟合出不同状态下猩猩数量的变化曲线,并以发病状态为例建立灰色预测模型dx1

 0.0669x160.0539dt,从而较准确的预测出接下来第80、xk1(x(0)(1)b)eab947e0.0124897aa

120、200周的猩猩发病状态的数据。

针对问题二,为描述埃博拉病毒在“虚拟种群“中的相互传播规律及人和猩猩的疫情发展状况,建立SEIR模型 dQdtrI(t)11a2a1etQ(t)ttdIdt11a2a1eQ(t)11a3eI(t)

tdTdt11a3eI(t)

模型求解时,通过对模型的推导,我们发现不能给出每个函数的解析解,因此考虑利用matlab中的ode45函数进行求解。得出了患者数量随时间的变化规律。同样利用灰色预测模型预测出“虚拟人类种群”在第80、120、200周的相关数据。

针对问题三,在问题已建立的模型之上画图分析两个因素:通过某种特效药改变治愈率到80%,控制患者和健康人群的接触即控制隔离强度。对埃博拉病毒传播的影响,并通过图中控制后的患者人数,利用模型二中的关系表达式,计算出,45,50,55周的潜伏期人数,治愈人数,死亡人数。

针对问题四,对问题三进一步讨论改变隔离强度和治愈率对病毒传播的影响,分别用matlab作出患者人数随时间的变化曲线,对比分析,可得出:当降低患者与健康者的接触率和使用特殊药物提高治愈率时,随着时间的延迟,患者人数急剧下降。所以实际生活中,改变通过这两个指标可以有效的控制病情的传播。

关键词:马尔萨斯模型 SEIR模型 灰色预测 隔离强度

一、问题重述

埃博拉病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,埃博拉病毒感染者有很高的死亡率(在50%至90%之间),主要通过接触而非空气传播。迄今为止,已有多次疫情爆发的记录,最近的一次在2014年,截至2014年9月25日,此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡,另有6500被确诊为感染。

本文假设某地区有20万居民和3000只猩猩。研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息(见附件一、附件二),根据相关信息研究回答以下问题:

1、根据猩猩的发病数量和死亡数量,建立病毒传播模型,动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播,并预测猩猩接下来的疫情变化,并给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并给出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

3、由于41周外界专家的介入,及严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,并对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据;

4、依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

二、问题分析

根据题意,这是一个传染性病毒随时间蔓延的过程,需要研究传染病在传播过程中各类种群的数量变化,特别是通过研究患者和疑似患者、患者和治愈者的数量变化,预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度,从而我们可以认识到相应的疫情控制措施对控制传染病传播所能达到的效果。

针对问题一,根据附件一“虚拟猩猩种群”的数据,初步观察到发病状态、累计自愈及累计死亡的猩猩数量,并对数据做定量分析得到截至每周累计发病的数量,利用matlab编程得出病毒传播速度的散点图,针对病毒的传播过程,首先,我们用xt表示t时刻的猩猩发病个数,用表示每天每个猩猩有效接触的个数,考虑t到tt时刻发病个数的增加,建立微分方程 dxx,x0x0,dt

通过马尔萨斯模型求解得:xtx0et。利用灰色预测,预测出后期猩猩每个状态的数量,并以发病状态为例建立灰色预测模型,接着运用matlab编程假设

X0k50.2,54.4,51.2,48.4,45.4,42.4,39.2,36,再对其作一次性累加生成运算得到新的生成数列X1k50.2,104.6紧接着对,,155.8,204.2,249.6,292,331.2,367.2

X1k作紧邻均值生成得出数据阵B和数据向量Yn,再对参数列[a,b]T进行

最小二乘估计最后建立出了灰色模型(GM(1,1)模型)。我们又经过对GM(1,1)模型的残差检验,最终得出了预测结果。

针对问题二,我们把人群分为五类:健康者(易感染者)、确诊患者、疑似患者、潜伏期感染者、死亡者和治愈者,采用SIER模型,并将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群,关系如下图:

在此基础上,找出单位周内这五类群体数量的变化来建立微分方程,得出模型。再利用matlab编程画出图形,改变其隔离强度药物治愈率后重新作图进行比较,对结果进行分析,并利用SEIR模型对埃博拉病毒的传播规律进行定性分析描述,对未来种群数量变化用灰色预测模型进行定量预测,并分析各种疫情控制措施对控制疫情的作用。

针对问题三,在问题已建立的模型之上画图分析两个因素:通过某种特效药改变治愈率,控制患者和健康人群的接触即控制隔离强度。对埃博拉病毒传播的影响。

针对问题四,对问题三进一步讨论改变隔离强度和治愈率对病毒传播的影响,分别用matlab作出患者人数随时间的变化曲线,对比分析,给出有效控制疫情传播的建议。

三、符号说明

符号

S(t)

E(t)

Q(t)

I(t)

T(t) 解释说明 t时刻正常者(易受感染)数量 t时刻疑似患者的数量 t时刻处于潜伏期的数量 t时刻确诊患者的数量 t时刻退出传染系统的数量(包括治愈者和死亡者)

β1

β2

a3

r 潜伏期的人数中转化为确诊患病的数量占潜伏期数量的比例 每日退出传染系统的数量比例 确诊患者的治愈时间 患者的人均周接触个体数量

因接触被感染的概率

潜伏期内的患者被隔离的强度  p

a 患者被治愈的概率

四、模型假设

1、假设单位时间内感染病毒的数量与现有的感染者成比例;

2、假设单位时间内治愈数量与现有感染者成比例;

3、假设单位时间内死亡数量与现有的感染者成比例;

4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒,有很强的免疫能力,即被移除出此传染系统;

5、假设正常者被传染后,进入一段时间的潜伏期,处于潜伏期的群体不会表现症状,不可传染健康者,不具有传染性;

6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗,被视为无法跟别人接触,故不会传染健康者;

7、假设实际治愈周期过后,如果患者没有治愈,则认为患者死亡,即实际治愈周期过后,患者都被移出此感染系统;

8、假设考察地区内疾病传播期间忽略个体的出生,死亡,流动等种群动力因素对总种群数量的影响。即:总种群数量不变,记为N=20万;

9、假设人能以一定的概率接触到猩猩,当接触有传播能力的猩猩后有一定的概率感染病毒,而人发病后与猩猩的接触可以忽略。

10、假设可以及时发现疑似患者并隔离治疗,并且剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后感染正常人。

11、假设人类发病后与猩猩的接触可以忽略,即人类不作为猩猩的感染源。

五、模型的建立与求解

5.1问题一模型建立与求解

据问题一,由附件“虚拟猩猩种群”中的数据,利用Matlab作累计发病个数--时间的散点图如下:(程序参见附件1)

从图可看出:埃博拉病毒传播的速度在前40周始终呈上升的趋势,但上升的斜率有减小的趋势。

5.1.1马尔萨斯模型的建立与求解

“虚拟猩猩种群”的埃博拉病毒传播预测模型类似于人口增长的预测模型,故首先采用马尔萨斯模型(Malthusian 模型)进行建模。设时刻t的确诊患者数量It是连续、可微函数,并且每天每个患者有效接触(足以使人致病的接触)的人数为常数,考察t到t+t病人人数的增加,则有

IttItItt

再设t0时有I0个病人,即得微分方程 dII dtI0I0

解之可得:

ItI0et

其中, I0, 为常数。It154.97e0.0270t

根据“猩猩种群”疫情数据中的确诊患者的数据散点图(图1),考虑利用马尔萨斯模型xtx0et来预测埃博拉病毒的传播情况。用matlab求得

: I0154.97,0.0270。即得马尔萨斯模型如下(程序参见附件2)

I

图:

t154.97e0.0270t

结果表明,随着t的增加,猩猩感染的个数It持续增长。马尔萨斯拟合及预测图线与猩猩在前40周发病情况图线拟合程度较为符合。

由图分析知:马尔萨斯模型是关于人口或种群增长的模型,它发现人口或种群成指数增长。即在该模型中可引意为,猩猩感染病毒的个数随着时间的增长呈指数增长变化。但现实生活中,由于猩猩数量的有限,所以该模型在预测短期的数据上是可以的,但对未来长期预测情况跟实际显然是不太相符合的,因此暂不考虑用该模型进行数据预测。因此对问题一中数据的预测采用灰色预测模型。

5.1.2 利用灰色系统预测结果

我们建立的马尔萨斯较为合理的模型仅仅只是对埃博拉病毒的传播规律进了动态描述,而不能定量的进行数据预测。因此,我们先将附件中“虚拟猩猩种群”的数据用excel进行了处理:分别计算出附件中前40周猩猩的潜伏群体、处于发病状态、累计自愈、累计因病死亡的数量,然后在matlab中做出上述四个状态下猩猩数量关于周数的曲线拟合。(程序参见附件3)

1、潜伏群体

2、处于病状态

3、累计自愈

4、累计因病死亡

为了预测接下来80周,120周,200周的情况,我们分别建立灰色预测模型来预测四种状态的情况,由于模型一致,本文以猩猩发病状态为例建立模型,首先取均值将前40周分为八组(具体情况见附件excel表格)。

得出如下表(单位:只):

假设X0k50.2,54.4,51.2,48.4,45.4,42.4,39.2,36.

5.1.2.1 GM(1,1)模型的建立

为了使其成为有规律的时间序列数据,对其作一次累加生成运算,即令

X(1)(t)X(0)(k)

n1t(t,k1,27)

从而得到新的生成数列X1k50.2,104.6.对,155.8,204.2,249.6,292,331.2,367.2X1k做紧邻均值生成. 则数据阵B和数据向量Yn为

121

2121 B2

1

2

121

2

x1x211x2x311x3x411x4x511x5x611x6x711x7x81111x02104.6-77.41 0x3155.81-130.2 1x04-180 1204.21-226.9 1 Ynx05249.6 0 1x6292- 270.81-311.60331.2 1x7 1x08367.2-349.211对参数列[a,b]T进行最小二乘估计,可得

BBT10.00250.00160.0007-0.0001-0.0009-0.0016-0.0022BT 0.69200.48990.29930.1198-0.0482-0.2044-0.3483

(其中,a为发展系数,反映x的发展BTBBTYnb60.05391

a

 0.0669

趋势;b为灰色作用量,反映数据间的变化关系. )

从而可得出GM(1,1)模型:

dx1

 0.0669x160.0539dt  xk1(x(0)(1)b)eab94e70.0124897aa

bb其中,xk1(x(0)(1))ea947e0.0669897为时间响应函数形式。 aa

5.1.2.2 GM(1,1)模型的残差检验

残差大小检验,即对模型值和实际值的残差进行逐点检验. 

(1)根据预测公式,计算X

X11k,得 k50.2,104.6,155.8,204.2,249.6,292,331.2,367.2 k1,2,8

0

(2)累减生成X

k序列,k1,28

X0k50.2,54.8434,51.2963,47.9786,44.8755,41.9731,39.2584,36.7193

原始序列: X0k50.2,54.4, 51.2,48.4,45.4,42.4,39.2,36

(3)计算绝对残差和相对残差序列

绝对残差序列:0 0,0.0082,0 .0019,0.0087,0.0116,0.0101,0.0015,0.02 相对残差: 0,0.015%,0.0037%,00179%,0.0255%,0.0238%,0.0038%,0.055%GM(1,1)模型的残差检验结果:相对残差不超过0.05%,精确度高。

5.1.2.3GM(1,1)模型求解

利用Matlab进行预测,分别取预测的个数为8,16,32(程序参见附件4),得到实际值与预测值如下表(单位:只):

本文用75-80,115-120,195-200均值近似代替第80,120,200周的情况,问题一的结果预测见下表:

5.2 问题二模型的建立与求解

5.2.1 SEIR模型建立与求解

针对问题二,我们充分利用附件一、二,并注意到埃博拉病毒传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。对S来说,一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常者,使其成为潜伏期感染者流出S;对于E来说,流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常者,流出者包括一部分没有被感染的正常者和隔离后被确诊患者;对于I来说,它既有从包括隔离和未被隔离的H中确诊的流入者,也有已经治愈的流出者;对于R来说,它只有从I中治愈转化而来的流入者。以上过程在传染的每一时刻都是相同的。在某一时刻对S、E、I、R取其对时间的微分,假设患者可以随意接触和感染正常人。分析t阶段时间内,疫情的发展与变化,这样既可建立传染病传播模型的微分方程组如下:

(1)正常人-----疑似患者:

病人尚未被隔离,所以疫情发展比较迅速,此时病人人均每天接触r个正常人,假设t时刻病人人数为I(t),则新增疑似患者人数为E,

EI(t)rtrI(t)t。

(2)疑似患者-----潜伏期:

疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者,病毒携带者会进入潜伏期,而非病毒携带者最终还是正常人。

设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为,假设t时刻疑似患者人数为E(t),潜伏期患者人数为Q(t),则Q(t)E(t),故新增潜伏期人数为

QE。

(3)潜伏期-----确诊患者:

因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长,用1表示这一特性。那么新增确诊患者人数为I1Q(t)t,现在要确定1,如果潜伏期天数为a1到a2,假设其变化到了一个稳定阶段,那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越多,其概率分布呈指数稳步增长,则每天有11a2a1et概率的人变为埃博拉病毒患者,即111a2a1et。所以新增患者人数:

I11a2a1etQt。 (4)确诊患者-----治愈、死亡:

设T为退出系统人数(治愈者和死亡者),如果治愈天数设为a3,那么a3天后病人要么死亡要么被治愈,而被治愈的人产生抗体,不再会被传染,所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。设系统退出率为a3,则有退出人数



TI(t)2t。2的求解方法与1相同,即随着天数的增加退出传染系统的人数也越来越多,则211a3et。故新退出传染系统的人数

T11a3etIt。

(1)~(4) 根据上述的式子可进一步得出:



QEt

Q(tt)Q(t)rI(t)t11a2a1eQ(t)ttt

所以得出以下:

dtrI(t)11a2a1etQ(t)tt

dIdt11a2a1eQ(t)11a3eI(t)t

I(t)dTdt11ae3 

5.2.2 SEIR模型求解

通过对模型的推导,我们发现不能给出每个函数的解析解,因此考虑利用matlab中的ode45函数进行求解。

首先,对传染病模型进行标准化,再带入参数,并由此建立微分方程组函数M文件,随后用ode函数对该文件进行调用,即可得到微分方程组的解向量,然后利用plot函数画出此解向量即可得到虚拟种群患者随周数变化的曲线图如下(程序详见附件5)

由上图分析可知:人类和猩猩患者的数量持续增多,由于人与猩猩数量差别较大,对20万人类来说,随着人类和猩猩发病者增多,感染源群体增多,易感人群发病机率增大,则人类发病数量增加较快;考虑到人发病之后与猩猩的接触可以忽略,而对于3000只猩猩来说,死亡和自愈之后立即退出传染系统,则在总量一定的情况下随着猩猩的传染源减少,猩猩的发病者数量相对于人类发病者缓慢增加。

SEIR模型综合描述了40周人类与猩猩相互传染的疫情发展状况,前20周“虚拟种群系统”患者数量增加缓慢,后期感染源增多,在缺乏特效药物及隔离强度较低的情况下,患者总量增加较快,符合实际情况,可见模型的合理性。

5.2.3 利用灰色系统进行数据预测(见附件Excel

中的灰色预测数据及结果表

格)

我们先将附件中“虚拟患者种群”的数据用excel进行了处理:分别计算出附件中前40周人类的潜伏群体、处于发病状态、隔离治疗、累计自愈、累计因病死亡的数量,然后在matlab中做出上述五个状态下人类数量关于周数的曲线拟合。(程序参见附件6) 1、潜伏群体 2、处于病状态 3、隔离治疗 4、累计自愈 5、累计因病死亡

利用灰色预测模型得到问题二的预测结果如下:(单位:人)

5.3 问题三模型的建立与求解 5.3.1 模型建立与求解

考虑到人类与猩猩的接触率和药物治愈率两个人为控制因素,在问题二中所建立的SEIR模型的基础上进行了完善。通过降低疑似患者与易感人群的接触,即虚拟种群中患者人数I(t)与易感人群S(t)的接触率r'变小,增加隔离强度P,同时依题将治愈率a提高到80%(aa180%)作图如下:

由图分析知:在未使用药物之前,40周的患者数量已达到2623人,在41周时,专家介入,有效控制易感人群(健康者)与疑似患者的接触率,即对疑似患者进行部分隔离,使得新进入潜伏期的人数在减少。因此,由于时间的延迟,患者人数短期内迅速增长,并达到峰值5436人,其后由于使用某种特效药将隔离治疗人群的治愈率提高了80%,大量的患者被治愈,且受感染的人数越来越少,导致患者人数急剧下降,最后平缓的趋于0,在80周将基本没有患者。和问题二中分别预测的第80、120、200周患者数量36、19、19人对比知,这种特效药物的使用和对患者有效隔离对埃博拉病毒的传播可以进行有效地控制。

所以,在实际对埃博拉病毒的控制中,对于特效药物的研发与使用,以及加强隔离防护措施是非常有必要的。

5.3.2 利用改进后的SIER模型进行数据预测

1、处于发病状态人数

根据上图,可以得到在45、50、55周处于发病状态的人数,即对应周数的坐标I(45)=5418, I(50)=4295, I(55)=2003。

2、退出系统人数(治愈者和死亡者)

在问题二所建立的(4)模型进行改进:退出系统人数

T(t)11a3eptI(t),其中a3=2,P=0.05,利用1中所预测的I(t)数据,即可得到T(45)、T(50)、T(55)。在此基础上,由于人类患者的治愈率a提高到a=%80,得到:累计治愈者人数=aT(t);累计死亡者人数=(1-a)T(t)。

3、潜伏期人数

因在疾病的早起阶段埃博拉病毒可能不具有:“高度的”传染性,所以对问题而中的(2)模型进行改进:取定=0.25,r=43,p=0.05,潜伏期人数Q(t)=reptI(t),利用1 中I(t)的数据,即可得出Q(t)。





4、隔离治疗人数

在此问题中我们取定隔离强度P=0.05,则得到:隔离治疗人数=PQ(t),利用3中Q(t)的预测数据,即可得到45、50、55周的隔离治疗人数。

综上,所得预测结果如下表:

5.4 问题四的模型建立与求解

本问只讨论两个因素对控制埃博拉病毒传播的作用 1.易感人群与疑似患者的隔离控制即改变隔离强度 2.通过防疫.检疫.治疗功能的药物使用改变治愈率 研究结果如下图显示(程序见附件7):

由上图分析可知:四条曲线比较可知,当隔离强度不同时,对患者人数最高峰出现的时间和病毒传播的持续时间(即患者全部痊愈没有再出现患者)有极大的影响。在隔离强度较小时,患者人数的最高峰出现时间靠后,传染病持续的传播时间较长;在隔离强度较大时,患者人数能较快的出现最高峰再较迅速的下降,因此传染病持续的时间比较短,更有利于传染病的控制。所以,在实际的传染病控制过程中,对传染病进行有效的控制,说明实行疑似患者隔离政策对控制传染病传播的效果是很明显的;

分析图可知:当通过使用防疫.检疫.治疗等功能药物使治愈率提高到90%时,峰值明显降低,且提前使患者人数降至“0点”即在短时间内有效的控制了埃博拉病毒的传播 综上,在埃博拉病毒传播过程中,我们可过通过改变隔离强度和治愈率两个指标来对埃博拉疫情进行有效控制。 目前控制埃博拉的防疫措施有:

1、研发强效的防疫药物 2、防止医护工作者感染 3、进行卫生的葬礼 4、隔离感染者 5、追踪接触者

6、设置防疫封锁线,防止疫情向城市蔓延 这些防疫的措施都是通过提高治愈率,及加强隔离制度来有效的控制疫情的发展。只有各种防护措施的结合使用,才能最大限度的控制埃博拉的传播。

六、模型评价与推广

6.1 模型评价:

在建模前期,全面分析数据相互之间的关系,及影响埃博拉病毒传播的因素,找出病毒的作用的时间段和范围,收集比较完整而准确的前期数据。在模型建立中我们采用了各种软件(如matlab,excel等)进行求解,制图精确,计算结果较为准确。但在灰色预测模型中,预测的数据为五周平均数据的近似代替,这对模型的求解结果的准确性有一定的影响。本文所建立的控制模型忽略了人口流动、

变化给该地区病毒传播带来的影响,从而模型预测结果会与实际情况有一定差距。

6.2 模型推广:

通过模型的分析可知,如果全社会的努力和投入的程度继续增加,即隔离措施的提早进行、隔离率增大、防疫药品的早日研发、公众的防御意识提高,可使得疫情周期缩短、患者人数逐步减少。实时监控病毒传播走势,采集更多的数据以验证模型和改进模型,若有预料之外的干扰因素出现,应及时修正模型,重新预测其后期走势。

七、参考文献

[1] 姜启源 谢金星 叶俊,数学模型[M],北京:高等教育出版社,2003(第三版)

[2] 尚涛 谢龙汉 杜如虚,matlab工程计算及分析,北京:清华大学出版社,2011.3

[3] 章绍辉,数学建模,北京:科学出版社,2010

八、附录

【见附件】

范文七:【埃博拉病毒传播】数学建模

安康学院第七届数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了安康学院数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网

上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的

资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规

则的行为,我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B中选择一项填写): B

我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):

所属院系(请填写完整的全名): 教育科学系 参赛队员 (打印并签名) :1. 吴婷婷 2012110015

2. 胡园园 2012110028

3. 马小梅 2012110038 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名):

日期: 2015 年 5 月 8 日

埃博拉病毒传播问题

摘要:

埃博拉病毒病( EVD) 是严重的、往往致命的人类疾病,病死率高达90%. 埃博拉病毒病疫情主要发生在中非和西非靠近热带雨林的边远村庄. 该病毒通过野生动物传到人,并且通过人际间传播在人群中蔓延. 病情严重的患者需要获得重症支持治疗,无论对人还是对动物都无可用的已获正式许可的特异性治疗办法或者疫苗. 由于缺乏有效的治疗手段和人用疫苗,提高对感染埃博拉危险因素的认识以及个人可以采取一些保护措施,这是

减少人类感染和死亡的唯一方法. 本文建立一个埃博拉病毒的数学模型,对疫情进行实证分析; 并且对疫情的发展也做了一个预测.

关键词: 埃博拉病毒; 数学模型; 实证分析; 预测

一、问题重述

埃博拉病毒(又译作伊波拉病毒)于1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区被发现后,引起了医学界的广泛关注和重视。埃博拉病毒有传染性,主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感,经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染,病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。发病后1~4天直至死亡,血液都含有病毒。当前主流的认知是,埃博拉病毒主要通过接触传播,而非通过空气传播;只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段,埃博拉病毒可能不具有高度的传染性,在此期间接触病人甚至可能不会受感染,随着疾病的进展,病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性;存在似乎天生就对埃博拉免疫的人,痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。所以属于考虑自愈型的。本题希望同学们通过数学建模的方法量化埃博拉病毒的传播规律,深刻认识该病毒的危害,并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

1、仅针对猩猩群体建立病毒传播模型,根据已知数据描述并预测疫情变化,完成第80、120、200周的数据。

2、对人和猩猩的群体建立模型,综合描述并预测人和猩猩两个群体疫情的发展,完成第80、120、200周的数据。

3、从第41周开始,在实施严格控制人与猩猩的接触和将人群治愈率提高至80%两措施的情况下,对比第2问的预测结果说明措施的作用和影响。完成第45、50、55周数据。.

4、据前分析各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等措施对控制疫情的作用。

二、问题分析

由题意可知,目的是为了建立一种数学模型,分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。问题一中,我们首先想到根据虚拟猩猩在前40周的传播情况,建立了一个猩猩的发病数量和死亡数量的模型。由此推测出猩猩在第80周、第120周、第200周的潜伏群体、处于发病状态、累计自愈、累计因病死亡的预测结果;在第二个问题中,建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并预测出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周潜伏人群、处于发病状态、隔离治疗、累计治愈、累计因病死亡的结果;在第三个问题中,提到假设在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,根据对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据;在第四个问题中,依据前面的数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

1、问题一要求建模描述并预测病毒在猩猩种群中的传播。实际需要找到几个已

知数据类即发病个体数、自愈个体数和死亡个体数之间的关系。观察到已知数据中发病猩猩个数、自愈猩猩个数、死亡猩猩个数随时间单调变化,所以考察各变量从时刻t到时刻t+?t的增量,然后得到变量关于t的微分方程,编程进行数值计算。通过已知数据验证模型的可靠性,再以此为基础进行预测。其中,要合理处理潜伏群体和处于发病状态个体数量的关系。

2、问题二建立在问题一的基础上,将人群进行分类。考虑到猩猩感染人而人不

感染猩猩,猩猩群体的传播规律不受影响,人类患病者的感染源为患病猩猩和患病的人,这些患病人类中一部分会被隔离治疗,隔离群体则有相对应的治愈率和死亡率,借鉴问题一的想法,找到问题二中给定量和假设量他们之间的关系。然后进一步建立被分类人群(易患病的人、潜伏期的人、已患病的人、患病被隔离的人、隔离被治愈的人、自愈的人、隔离后死亡的人、未被隔离死亡的人)的数量关系。

3、问题三中,采取隔离措施后,人的群体和猩猩的群体相互独立,即猩猩不再

将病毒传染给人类。同时,被隔离人群的治愈率提高到了80%。所以对比于第二问,忽略患病猩猩对人的传染,同时被隔离群体的治愈率为一给定值0.8 。可将问题二的模型修改直接利用。对措施产生的作用进行探究应从处于发病状态个体的个数和死亡个体的个数的变化入手,考虑干预手段的大小对疾病预防和控制的影响。

4、注意到前面模型中对患病人群的隔离率没有相应的措施,所以,问题四中应

重点分析隔离率对疫情控制的影响,可具体考察与隔离率相关的式子并进行分析。

三、模型建立与求解

1、问题一

模型假设:在本题中,假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,人发病之后与猩猩的接触是可以忽略;

1)动态描述:

图1是对前40周猩猩群体中个体发病、自愈、死亡数量变化趋势的折线图形描述,先纵向分析三者各自的变化趋势,可以看出:前40周,死亡个体数和自愈个体数均随周数增加,发病个体数在前6周波动,后随周数减少,前40周发病个体数和自愈个体数增加的趋势有所减缓;后横向分析,可以看出:前40周,死亡个体数和自愈个体数同时增加,具有一致性,但不确定这种一致性会保持多久,而他们与发

病个体数有相反的变化趋势。

2)而在实际情况中,猩猩的发病率和死亡率会受到种群竞争、气候条件、自然生死等各种因素的影响,仅仅考虑猩猩在前40周的发病数量和死亡数量;

3)忽略猩猩因为出病毒传播以外的其他因素的死亡数量;

模型建立:

猩猩在前40周里的发病数量和死亡数量,分析数据可以知道每周的发病数量差值分别为7、6、5、4、3;并有规律:随着发病时间的增长,发病速度在不降低;统计数量可以得到散点图如下:

从以上分析可以得出下面结论:

在不具备集体隔离和治疗能力的猩猩群体内,发病和死亡的趋势不会无限进行下去,猩猩们的自愈能力会扭转颓势。

然后将指定周数的数据填入下表:

2、问题二 混合群体中类似于猩猩群体,人的群体分为8类:易患病的人、潜伏期的人、已患病的人、患病被隔离的人、隔离被治愈的人、自愈的人、隔离后死亡的人、未被隔离死亡的人。由于人发病后与猩猩的接触可以忽略,所以只有猩猩会感染人而人不会感染猩猩。则猩猩群体病毒传播的规律不发生改变,人的感染源有患病猩猩和患病的人。由于在问题二中,模型未知量较多和前40周数据有所波动造成了模型求解的复杂,所以在使用已知数据时,将处于发病状态人数数据的前8周看做第一阶段,以后数据为第二阶段;将被隔离人数数据的前5周看做第一阶段,以后看做第二阶段;另外两组数据完整使用。这样在编程求解时初值做相应改变。 通过MATLAB软件进行数值计算,计算所得数据的图表形式如下:

3、问题三

(1)预测 采取隔离措施后,人的群体和猩猩的群体相互独立,即猩猩不再将病毒传染给人类。同时被隔离群体的治愈率为一给定值0.8即g=0.8,1-g=0.2 。 可利用修改过的问题二的模型进行预测。即可完成下表:

(2)作用和影响说明:

严格控制患病猩猩与人类的接触后,人的感染源减少了近40%,使人类处于潜伏期和发病状态的数量大幅减少;药物治疗提高治愈率至80%后,隔离治疗人

群的死亡率下降了62%,总的患病人群的死亡率下降了41%,对疫情的控制效果明显。说明干预手段的程度的大小对疾病控制的影响显著。

4、问题四:

前述数学模型中疫情控制措施有:隔离措施(切断患病猩猩与人的接触、将患病人隔离)和提高治愈率的措施。

前面实现了严格控制患病猩猩与人的接触,并将隔离人群的治愈率提高至80%,对疫情的控制效果比较明显。但患病人群的隔离率k未经改善,当提高隔离率时,处于发病状态的个体数量会减少,因病死亡人数也会减少,对控制疫情有积极效果。模型的建立帮助我们搞清楚了现有干预手段究竟有多大效果,预测表明,隔离措施的严格执行和药物治疗是控制疫情的最好手段。

(1)目前的控制方案:

疫症控制:埃博拉出血热是接触式传染性疾病,故改善行为模式、穿着个人医疗防护衣物与勤加消毒是主要的预防措施。避免接触患者及带病尸体的血液与分泌物是最基本的预防方式,及早观察及诊断带病者并具备完善的疾病通报机制为达致此项的必要条件。在照顾病人时,应先将之隔离,并穿着全套保护衣物(包括:连身型防护衣、口罩、手套、保护镜)。勤加洗手也是有效的措施之一,虽说此举的可行性在一些缺乏足够食水的非洲地区很低。在最近的2014年西非疫症中,肥皂亦出现供应短缺的问题(世卫则保证会供应足够的洁手沙)。持续30-60分钟以60摄氏度或持续5分钟以100摄氏度处理的高温消毒法亦为清除埃博拉病毒的有效方式。一些诸如酒精制品、洗洁精、漂白水(次氯酸钠)及漂白粉(次氯酸钙)等的表面清洁剂在适当的浓度下,同样为有效的消毒用品。由于缺乏先进的医疗仪器及未有遵守正确的医疗防护指引,大规模的疫症爆发多出现在缺乏具足够医疗知识之医护人员的贫穷地区。传统的土葬殡仪(尤其是那些涉及清洁及触碰尸体的仪式)应被劝阻或改良。飞机机组人员亦应按照指引第一时间隔离出现埃博拉症状的乘客。

2.隔离检疫

3.预防疫苗传播系统:科学家相信,蝙蝠最有可能是埃博拉病毒属成员的天然宿

主,植物、鸟类、节肢动物亦被列入名单。

4.传播地点:西非:几内亚、利比里亚、塞拉利昂

五、模型的优缺点评价及改进

模型优点:

1、模型变量全面,描述和联系性强,可以将问题描述清楚并就问题给出可参考答案。

2、模型具有灵活性和适应性,如解决问题二时,取用部分数据,模型仍然成。 模型缺点:

1、变量多,模型实现时遇到了较多困难。

2、在进行函数拟合时,有较多点在函数曲线外,误差较大。

3、细节处理不到位。

模型改进:

可以先只找S和I的关系,列微分方程求解,再列E、R、D的微分方程。这样就将一个大问题转化为两个较容易的问题,相当于减少了变量个数,而且更能考虑他们之间的细节关系。

六、参考文献

【1】姜启源,谢金星,叶俊 . 数学模型(第三版)【M】. 北京:高等教育出版社,2003.

【2】周后卿,徐幼专:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型 .

【3】杨玉华:SARS传染模型的研究及实证分析 .

范文八:埃博拉病毒传播分析与数学建模

****大学数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了****大学数学建模竞赛的参赛规则与竞赛纪律。

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我们授权****大学数学建模竞赛组委会,可将们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

埃博拉病毒传播分析

摘 要

本文的研究对象为1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区发现的埃博拉病毒。埃博拉病毒是一种生物安全等级为4级,并且能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,其主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。其病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。面对其强大的传染力和对人类健康的巨大威胁,本文通过数学建模的方法了解埃博拉病毒的传播规律,并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

本文中,首先我们根据已给的信息及相关假设数据,通过对已知条件和所给表格书记的分析,我们大致明白了猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈的过程,因此我们采用了excel拟合曲线,分析其发病、潜伏、自愈、死亡和隔离的相应的变化曲线,估计参数,再根据其建立数学模型,并用MATLAB求解方程组,调试参数,从而得到我们需要的结果。

其次通过对已经得到的数据和曲线图的分析,可以得出人类通过严格的药物控制过后,对其发病和潜伏的影响,从而能够达到对疫情的控制的作用,并且对埃博拉病毒未来发展趋势有了更深刻的了解,以为更好的控制埃博拉病毒做出贡献。

关键词:非线性曲线拟合;微分方程;MATLAB;数学模型

1 问题的重述

1.1 背景

埃博拉病毒(又译作伊波拉病毒)于1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区被发现后,引起了医学界的广泛关注和重视。该病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,其生物安全等级为4级。

埃博拉病毒有传染性,主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感,经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染,病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。发病后1~4天直至死亡,血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高的死亡率(在50%至90%之间),致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。

当前主流的认知是,埃博拉病毒主要通过接触传播,而非通过空气传播;只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段,埃博拉病毒可能不具有高度的传染性,在此期间接触病人甚至可能不会受感染,随着疾病的进展,病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性;存在似乎天生就对埃博拉免疫的人,痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。

埃博拉病毒很难根除,迄今为止已有多次疫情爆发的记录。据百度百科,最近的一次在2014年。截至2014年9月25日,此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡,另有6500被确诊感染。更为可怕的是,埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播! 1.2 问题

假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息,请你根据相关信息,研究回答以下问题:

1、 根据猩猩的发病数量和死亡数量,建立一个病毒传播模型,动态描述病毒在

“虚拟猩猩种群”中的传播,并预测接下来的在猩猩中的疫情变化,并以下述格式给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

2、 建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,

并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并以下述格式给出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;

3、 假设在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接

触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据,数据格式同问题2;

4、 请依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫

药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。

2 问题分析

2.1问题一的分析

通过对已知条件的分析,并通过给出的表格数据,大致明白猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈。我们通过excel作出发病随时间的变化曲线,潜伏随时间变化曲线,估计参数。然后通过建立数学模型用MATLAB解出方程组,调试参数使其死亡,自愈等曲线与给出表格大致相同,然后通过建立的模型求出问题一。 2.2问题二的分析

同问题一分析,我们通过excel作出相应处于发病状态的曲线,自愈以及死亡和隔离的曲线,估计模型相应的参数。然后通过建立的数学模型用MATLAB解出方程组,调试参数使其自愈,处于发病等曲线和表格给出的数据大致一致。

2.3问题三的分析

同问题二分析,我们通过excel作出治愈率提高80%后相应处于发病状态的曲线,自愈以及死亡和隔离的曲线,估计模型相应的参数。然后通过建立的数学模型用MATLAB解出方程组,调试参数使其自愈,处于发病等曲线和表格给出的数据大致一致。 2.4问题四的分析

通过上术数据和曲线图的分析,可以很清楚的看出当有人类干预后即就是严格的通过药物后,发病和潜伏等都有很明显的改善。

3 假设与符号

3.1模型的假设:

 由于埃博拉病毒的传播期限不是很长,故假设不考虑这段时间内的人口出生

率和自然死亡率;  平均潜伏期限为6天;

 处于潜伏期的埃博拉病人不具有传染性。 3.2符号说明:

t0 表示从最初发现埃博拉患者到卫生部门采取预防措施的时间间隔; N 表示疫区总人口数;

S(t) 表示t时刻健康人数占总人口数的比例; I(t) 表示t时刻感染人数占总人口数的比例; E(t) 表示t时刻潜伏期的人口数占总人口数的比例; Q(t) 表示t时刻退出类的人数占总人数的比例;

λ(t) 表示日接触率,即表示每个病人平均每天有效接触的人数; N’ 表示疫区总猩猩口数;

S(t)’ 表示t时刻健康猩猩数占总猩猩数的比例; I(t)’ 表示t时刻感染猩猩数占总猩猩数的比例; E(t)’ 表示t时刻潜伏期的猩猩数占总猩猩数的比例; Q(t)’ 表示t时刻退出类的猩猩数占总猩猩的比例;

λ(t)’ 表示日接触率,即表示每个病猩猩平均每天有效接触的猩猩数; λ(t)’’ 表示日接触率,即表示每个病猩猩平均每天有效接触的人数; g(t) 表示政府控制力度; f(t) 表示疫情指标。

4 模型的建立与求解

4.1问题一模型的构建

由问题的分析,将猩猩群分为易感猩猩群S,病毒潜伏猩猩群E,发病猩猩群I,退出者Q四类:

 易感人群S与病毒潜伏人群E之间的转化

易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者,设每个病人平均每天有效接触的健康人数为λ(t)S,NI个病人平均每天能使λ(t)SNI个易感者成为病毒潜伏者。故

N'

ds'ds

'S'N'I',即''S'I' dtdt

 病毒潜伏人群E与发病人群I间的转化

潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量,即 dE'

S'(t)'I''E'。 dt 发病人群I与退出者Q间的转化

单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少,即

dQ

''I' dt

ds'

'S'I' dtdE'

S'(t)'I''E' dtdQ

''I' dt

S'E'I'Q'1

S(0)'s0',E(0)'E0',I(0)'I0',Q(0)'Q0'

很明显从我们建立的模型是无法得到E’,S’,I’,Q’的解析解的。为了解决这个问题,我们求助于计算机软件MATLAB来求出它们的数值解。

我们先通过附件中给的数据算出每一天的E’,S’,I’,Q’,做出它们与时间的函数图象,然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。对比这两组图,可以发现实际和理论存在着一定的差异。这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。所以,我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数(λ’,ε’,α’)来使实际图象和理论图象趋于一致。

经过多次调试,我们发现,当λ’=0.680人,ε’=0.9,α’=0.58时,实际图象和理论图象有最好的符合。而这三个值均在我们估计的范围内,所以我们认为这三个值的得到是合理的。

一旦参数确定,就可以通过MATLAB软件求出该方程组在某个区间段的数值解,从而可推算出我们所需的数值如下表所示。

在根据逻辑关系式计算可得下表的预测值

表1 “虚拟猩猩种群”群体数量预测结果

单位:只

结果分析

根据上表可知,在第80周以后,处于潜伏状态的猩猩接近于0 ,处于发病状态的猩猩也趋近与0,且猩猩的治愈数和因病死亡数变化不大,由该模型预测出的结果与附件中的数据的得出的发病率和累计死亡率趋势相同。

健康人数占总数比例 (比对)

图1.1 健康人数占总数比例图(参考数据)

图1.2 健康人数占总数的比例图(模拟数据)

潜伏人数占总数比例(比对)

图2.1 潜伏人数占总数的比例图(参考数据)

图2.2 潜伏人数占总数的比例图(模拟数据)

退出人数占总数比例(比对)

图3.1 退出人数占总数的比例图(参考数据)

图3.2 退出人数占总数的比例图(模拟数据)

MATLAB主要程序

function dx=rossler(t,x,flag,a,b,c)

dx=[-a*x(1)+a*x(1)*x(3)+a*x(1)*x(2)+a*x(1)*x(1);a*x(1)-a*x(1)*x(3)-a*x(1)*x(2)-a*x(1)*x(1)-b*x(2);c-c*x(3)-c*x(2)-c*x(1)]; a=0.680;b=0.90;c=0.580; x0=[0.995 0.005 0]';

[t,y]=ode45('rossler',[0 80],x0,[],a,b,c); flot(t,y);

4.2问题二模型的构建

由问题的分析,将人群分为易感人群S,病毒潜伏人群E,发病人群I,退出者Q四类:

 易感人群S与病毒潜伏人群E之间的转化

易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者,设每个病人平均每天有效接触的健康人数为λ(t)S,NI个病人平均每天能使λ(t)SNI个易感者成为病毒潜伏者。故

N

dsds

'S'NI'SNI,即''S'I'SI dtdt

 病毒潜伏人群E与发病人群I间的转化

潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量,即

dE

S(t)IE。 dt 发病人群I与退出者Q间的转化

单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少,即

dQ

I dt

ds

'S'I'SI dtdE

S(t)IE dtdQ

I dt

SEIQ1

S(0)s0,E(0)E0,I(0)I0,Q(0)Q0

很明显从我们建立的模型是无法得到E,S,I,Q的解析解的。为了解决这个问题,我们求助于计算机软件MATLAB来求出它们的数值解。

我们先通过附件中给的数据算出每一天的E,S,I,Q,做出它们与时间的函数图象,然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。对比这两组图,可以发现实际和理论存在着一定的差异。这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。所以,我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数(λ,ε,α)来使实际图象和理论图象趋于一致。

隔离治疗人数占总人数的比例

图4.1 隔离治疗人数占总人数的比例图(模拟数据)

图4.2 隔离治疗人数占总人数的比例图(参考数据)

死亡人数占总人数的比例

图5.1 死亡人数占总数的饿比例图(模拟数据)

图5.2 死亡人数占总数的比例图(参考数据)

自愈人数占总人数的比例

图6.1 自愈人数占总数的比例图(模拟数据)

图6.2 自愈人数占总人数的比例(参考数据)

发病人数占总数的比例图

图7.1 发病人数占总人数的比例(参考数据)

图7.2 发病人数占总数的比例图(模拟数据)

表2 “虚拟人类种群”群体数量预测结果

单位:个

结果分析 :

由上表可知,在第80周以后,处于潜伏状态的人群变化幅度不大,处于发病状态的人群也变化幅度不大,且人群的治愈数和因病死亡数持续增长,由该模型预测出的结果与附件中的数据的得出的发病率和累计死亡率趋势相同。 4.3问题三的分析

外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。专家的预防措施力度g(t)在控制疫情的过程中起到了重要的作用,与下列因素有关:

 专家关注的疫情来自于最近几天的疫情,不妨取近三天的平均值;  当t=t0时,g(t)有一个初始值,即为潜在的政府力度K0;

综上所述,可以给出g(t)随疫情变化的曲线,形态如图所示,(横坐标为疫情,纵坐标为g(t)),其表达式为

f(t)2

g(t)k0k1(1e

1

)

其中k0+k1=1,。根据有关数据,令k0=0.2,k1=0.8,当f(t)=0.58时,取g(t0)=0.7,得参数估计1=0.1803.

政府控制力度g(t)与日传染率λ(t)的关系: (1)当政府控制力度为0的时候λ(t)取最大值; (2)随着g(t)的增大,λ(t)减小;

(3)当g(t)不强时,对λ(t)的变化所起的作用较小; (4)当g(t)超过一定的数值时对λ(t)的影响效果明显; (5)当g(t)趋近于1的时候(不可能为1),则λ(t)趋近0。 由以上几点可以确定λ(t)随g(t)的变化关系曲线,采用函数

(t)k2(1e

刻画此形态,其中1为常数。

(1f(t)2)1

)

图8 g(t)和λ(t)的关系图

表3 “虚拟人类种群”群体数量预测结果

单位:个

结果分析

由上表可知,在专家介入后,埃博拉病毒的预防控制力度加大,累计治愈的人数在增多,因病死亡人数虽然在增加,但是其增加幅度不大,说明埃博拉病毒已经得到了良好的控制,与预期估测结果相吻合。 4.4问题四的分析

在发病初期,由于人们对埃博拉病毒的认识不够,重视不足,防范措施较差,没有有效的防疫药物、检疫药物和治疗药物治疗,也没有相应的政府控制措施,随着时间t的增长,病情不断恶化,感染病情所占比例I呈现不断增加的趋势,健康人数占总人数的比例S不断下降,退出率Q也呈现持续增长的趋势,造成了巨大的经济损失和人员伤亡。

在发病中后期,随着相关政府的介入和对该病毒的相关知识的普及,提高了人们对埃博拉病毒的预防意识,同时,在科研人员的不断努力下,防疫药物、检疫药物和治疗药物的种类增多、疗效增强,随着时间的增长,感染患者的比例I呈下降趋势,健康人数所占比例S的下降趋势由急变缓,治愈率不断提高,死亡人数得到控制,一场殃及全人类的疫情风波得到较好的控制。

5 模型的评价

本模型中,我们根据已给的信息及相关假设数据,通过对已知条件和所给表格书记的分析,我们大致明白了猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈的过程,因此我们采用了excel拟合曲线,分析其发病、潜伏、自愈、死亡和隔离的相应的变化曲线,估计参数,再根据其建立数学模型,并用MATLAB求解方程组,调试参数,从而得到我们需要的结果。

其次通过对已经得到的数据和曲线图的分析,可以得出人类通过严格的药物控制过后,对其发病和潜伏的影响,从而能够达到对疫情的控制的作用,并且对埃博拉病毒未来发展趋势有了更深刻的了解,以为更好的控制埃博拉病毒做出贡献。

本模型重点是分析规律和进行预测。因为已知数据受很多随机因素的影响,规律性受到干扰,所以其变化情况不能较好地表达总体的规律性,进而不能对疫情进行较准确的预测;针对这个问题,我们对已知数据进行了统计平均,从总体的平均规律入手,没有局限于仅对现有数据的模拟。但是也要根据现有的数据对模型进行检验。从前面求解方程得到的图形结果来看,模拟的曲线确实较好地代表了现有数据的总体变化规律。

不论是本论文模型还是概率模型,进一步的工作和更准确的结果给出将有待于收集传染病学实际资料。相信随着人们对埃博拉的进一步认识,随着社会各界的深入研究,从数学角度看,其传播模型将更加完善,预测结果将更准确,从医学角度看,埃博拉将有更好的治疗方案和防控措施,疫期将进一步缩短。

参考文献

[1] [2] [3] [4] [5]

张秀兰 林峰. 《数学建模于实验》化学工业出版社. 2013 贺超英 王少喻. 《MATLAB应用与实验教程》. 2013 张德丰. 《MATLAB实用数值分析》. 20012 SARS数学建模优秀论文.

李学文 李炳照 王宏洲 《数学建模优秀论文精选与点评》.2011

范文九:埃博拉病毒传播模式的研究

埃博拉病毒传播模 式 的研 究 

李进龙 

( 西 南交通 大学  四川 ・ 成都

摘 要

6 1 1 7 5 6 )  

本文针对埃博拉 病毒 的传播 问题分别建立 了自由传播状况下 的 S I R 模 型和有 药物强力控制情况 下的微分 

埃 博 拉 病 毒  S I R模 型  微 分 方 程 模 型  文献 标 识 码 : A 

方程模 型, 利用 MA T L AB软件对模 型进行求解 , 对求解结论进行分析, 并对模 型的优缺 点进行评价。  

关键 词 中 图分 类 号 : R 3 7 3 . 9  

1 病毒传播模型 的假设  对 于 一 种 新 型病 毒 , 在 没 有 药 物 干 预和 防治 的情 况 下 , 病  情 的 蔓延 是 相 当迅 速 的 。 在应 对 新 型病 毒 时 ,医 疗卫 生 部 门  通常会采取隔离病患, 药 物 治 疗 等 措 施 。一 般 情 况 下 , 采 取 药  物治疗对控制疫情扩散有显著效果 。针对病情扩散情 况,政  府 可 以决 定 适 当的 隔 离 时 间和 药物 投 放 比例 。   首先 , 我们假设所考察人群 总数恒定 , 且无病源的输入和  输出; 己治愈 的患 者二 度 感 染 的概 率 为 0 ; 所 有 患 者 均 为“ 他人  输入 型” 患者; 各类人群在人群总体中分布均匀 ; 己被 隔离 的  人群 之 间不 会 发 生 交 叉 感 染 。   2问 题 分 析 与模 型 建 立  我们 把 人 群 分 为 4类 : 正常 人 群 、 患病 人 群 、 治 愈 人群 和  死 亡 人群 , 分 别 用 H( t ) 、 x( t ) 、 R( t ) 和 D( t ) 表 示 。在 新 病 毒爆   发初 期 ,由于 整 个 社 会对 新病 毒传 播 速 度 和 危 害 程度 认 识 不  够, 没有采取任何有效 的隔离控制措施, 疫情会不断蔓延。病  毒 的 传播 规 律 分 为 “ 控 前” 和“ 控后” 两个 阶段 。控 前 模 型 为 近  乎 自然传播 的模型 ,控后模型为介入 隔离强度后 的微分方程  模型。   基于 以上 分 析 , 我 们 对控 前和 控 后 分 别 建 模 。设 T为 实  施强力控制 的时间 ( 以 d为单位) 。当 t < T时 , 适用于控前  模型; 当t < T时 , 适用于控后模型。   2 . 1 控 前 模 型  假 设某 地 区产 生 第 一 例病 例 的时 间 为 T 。 , 在( T 0 , T ) 时段 ,   是近 乎 自由传 播 的时 段 , 隔 离 强度 为 0 , 每天感染病人人数 r   为常数。现在 考虑在 t到 什At这段时间内这 4类人群的变  化情况, 并 通 过 分 析各 类 人 群 的 状态 转 化 关 系 , 来 建 立 微 分 方  程模型。   ( 1 )现有病人数 。现有病人数是指在某一时 间段 内考察  人群 中所有确 诊病人数 。 现有病人数 的变化= 新增病人数一

( 死  亡 人 数+ 治愈人数) 。我 们 设 r 为 每 个 未被 隔离 的病 人 单 位 时  间的 人 数 , 和 分 别 为 治 愈 率 和死 亡率 。  

当 △= t —o时 , 有:   = r X( t ) . ( L   + L   ) x X( t )   ( 2 ) 累计 死 亡 人 数 。 累 计死 亡 人 数 的 变化 = 新增死亡人数,   有 D( t + △t ) . D( t ) = L 。 x( t ) △t  

n ,・ 、  

其 中, 初始值为 

i   ( O ) :1  

《 I   r ( 0 ) = 1  

l D( O ) = O  

【 R ( 0 ) = 0  

2 . 2 控 后 模 型 

控后隔离强度从控前的 0 变为 P 。未被隔离的病人平均  每 人 单 位 时 间感 染 的人 数 r 随 时 间 逐渐 变 化 , 它 从 初 始 的 最大  值 a + b逐渐减少至最小值 a , a 、 b的值客观存在。设每个被隔  离 的病 人 单 位 时 间感 染 的 人数 为 r ( t ) = a + b e   。   其 中, 用来反映 r ( t ) 的变 化 快 慢 。 类似 于 控 前 模 型 , 我 们  得 到埃 博拉 传 播 的控 后 模 型 :    ̄   一 c   其中 ’   =   a +b e

-  

2 4

』  

l  

I   d t  

=  磅  

: L 2 X ( t )  

I  

心  

. 6  

【   Y ( O=  ( r ) + D( f ) +  (   3模 型 的 求 解  3 . 1 控前模型求解  对 于现 有 病 人数 x( t ) , 可 以根 据 病 毒传 播 的控 前 方程 式 .   求 得解 析解 为 x( t ) = x( 0 ) e   “   , t ≤T   其中, f  r :O . 5 5  

再将 x( t ) 分别代入病毒传播的控后方程 , 就可 以给 出 D   ( t ) , R( t ) 以及 Y( t ) 的数 值 解 。   3 . 2控 后 模 型 的 求 解  同理 , 我 们 求 得 现 有病 人数 的解 析 解 为 

x( t )   ( T ) e  

二  

二  

二 :  t ≥T  

其 中 { f a 6 = 0 . 2 4 5  

查阅资料, 取P = 6 5 %, 九 : 0 . 0 2 。   ( 3 ) 累计 治愈人 数 。 累计 治愈 人数 的变 化= 新增 治 愈人数 , 有  4求解 结 果 分 析 与 评 价  R( t + △t ) . R( t ) = L 2 X( t ) △t   4 . 1 模 型 的优 点  n  r  、   当△ = t 一0时 , 有:   = L : x( t )   ( 1 ) 对新 型病 毒疫 情 分 别 建 立 了 控 前 、 控后模型, 并 根 据  ( 4 )累 计病 人数 。累 计 病 人 数= 现 有病 人数 + 累计 死 亡 人  以往疫情统计数据估 计参数 ,建立病人数随时间变化 的一元  函数 。( 2 ) 微 分方程稳定性较好

, 给 出模型收敛性条件, 对政  数+ 累计治愈人数, 有 Y( t ) = x( t ) + D( t ) + R ( t )   府 的决 策 有 指 导 意 义 。( 3 ) 针 对 不 同 隔 离 强度 进 行 分 段 研 究 ,   综上所述 , 我 们 得 到 埃 博 拉 传 播 的控 前模 型 :   能够 方 便 有 效 地 预测 疫 情 趋 势 , 欲 对 某 疫 区 进行 预 测 , 只 需对  d X   ( t ) =r   ( f ) 一 ( ‘+厶) ×  ( r )   参数进行估计 , 给 出初 值 带 入 方 程 即 可 。   dD( O 4 . 2 模型 的缺点  d t     qX( t ) ( 1 ) 微 分 方程 中参数 估 计 稍显 简 单 , 可 对 病 毒进 行 分类 , 针  d R( t ) 对不 同新型病毒 , 得到更准确的模型 。( 2 ) 给 出的模型忽略性  d   ( f ) t   。 、   别、 年龄及地 区差异对隔离措施强度、 控制时间等参数的影响 。  

当△ = t 一0时 , 有:  

L 2 X( t )  

o. 6  

:=

 

f ) =  ( 0 +D ( r ) +  0 )  

1 8 8  

科教 导刊 r 电子版J・2 0 1 5年 第 2期 r 中J一 

范文十:埃博拉病毒传播模式的研究

  摘 要 本文针对埃博拉病毒的传播问题分别建立了自由传播状况下的SIR模型和有药物强力控制情况下的微分方程模型,利用MATLAB软件对模型进行求解,对求解结论进行分析,并对模型的优缺点进行评价。   关键词 埃博拉病毒 SIR模型 微分方程模型   中图分类号:R373.9 文献标识码:A   1病毒传播模型的假设   对于一种新型病毒,在没有药物干预和防治的情况下,病情的蔓延是相当迅速的。在应对新型病毒时,医疗卫生部门通常会采取隔离病患,药物治疗等措施。一般情况下,采取药物治疗对控制疫情扩散有显著效果。针对病情扩散情况,政府可以决定适当的隔离时间和药物投放比例。   首先,我们假设所考察人群总数恒定,且无病源的输入和输出;已治愈的患者二度感染的概率为0;所有患者均为“他人输入型”患者;各类人群在人群总体中分布均匀;已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。   2问题分析与模型建立   我们把人群分为4类:正常人群、患病人群、治愈人群和死亡人群,分别用H(t)、X(t)、R(t)和D(t)表示。在新病毒爆发初期,由于整个社会对新病毒传播速度和危害程度认识不够,没有采取任何有效的隔离控制措施,疫情会不断蔓延。病毒的传播规律分为“控前”和“控后”两个阶段。控前模型为近乎自然传播的模型,控后模型为介入隔离强度后的微分方程模型。   基于以上分析,我们对控前和控后分别建模。设T为实施强力控制的时间(以d为单位)。当t  2.1控前模型   假设某地区产生第一例病例的时间为T0,在(T0,T)时段,是近乎自由传播的时段,隔离强度为0,每天感染病人人数r为常数。现在考虑在t到t+△t这段时间内这4类人群的变化情况,并通过分析各类人群的状态转化关系,来建立微分方程模型。   (1)现有病人数。现有病人数是指在某一时间段内考察人群中所有确诊病人数。现有病人数的变化=新增病人数-(死亡人数+治愈人数)。我们设r为每个未被隔离的病人单位时间的人数,和分别为治愈率和死亡率。   当△=t→0时,有:=rX(t)-(L1+L2)��X(t)   (2)累计死亡人数。累计死亡人数的变化=新增死亡人数,有D(t+△t)-D(t)=L1X(t)△t   当△=t→0时,有:=L2X(t)   (3)累计治愈人数。累计治愈人数的变化=新增治愈人数,有   R(t+△t)-R(t)=L2X(t)△t   当△=t→0时,有:=L2X(t)   (4)累计病人数。累计病人数=现有病人数+累计死亡人数+累计治愈人数,有Y(t)=X(t)+D(t)+R(t)   综上所述,我们得到埃博拉传播的控前模型:   其中,初始值为:   2.2控后模型   控后隔离强度从控前的0变为p。未被隔离的病人平均每人单位时间感染的人数r随时间逐渐变化,它从初始的最大值a+b逐渐减少至最小值a,a、b的值客观存在。设每个被隔离的病人单位时间感染的人数为r(t)=a+be-�%d(t-T)。   其中,用来反映r(t)的变化快慢。类似于控前模型,我们得到埃博拉传播的控后模型:   其中,   3模型的求解   3.1控前模型求解   对于现有病人数X(t),可以根据病毒传播的控前方程式,求得解析解为X(t)=X(0)e(r-L1-L2)t,t≤T   其中,   再将X(t)分别代入病毒传播的控后方程,就可以给出D(t),R(t)以及Y(t)的数值解。   3.2控后模型的求解   同理,我们求得现有病人数的解析解为   X(t)=X(T)e,t≥T   其中   查阅资料,取P=65%,�%d=0.02。   4求解结果分析与评价   4.1模型的优点   (1)对新型病毒疫情分别建立了控前、控后模型,并根据以往疫情统计数据估计参数,建立病人数随时间变化的一元函数。(2)微分方程稳定性较好,给出模型收敛性条件,对政府的决策有指导意义。(3)针对不同隔离强度进行分段研究,能够方便有效地预测疫情趋势,欲对某疫区进行预测,只需对参数进行估计,给出初值带入方程即可。   4.2模型的缺点   (1)微分方程中参数估计稍显简单,可对病毒进行分类,针对不同新型病毒,得到更准确的模型。(2)给出的模型忽略性别、年龄及地区差异对隔离措施强度、控制时间等参数的影响。